束（数学）

数学において、層（複数形：sheaves）は、位相空間の開集合に付随し、それらに関して局所的に定義されるデータ（集合、アーベル群、環など）を体系的に追跡するためのツールです。たとえば、各開集合について、データはその開集合上で定義された連続関数の環である可能性があります。このようなデータは、より小さな開集合に制限できるという点で適切に動作し、また、開集合に割り当てられたデータは、元の開集合をカバーするより小さな開集合のコレクションに割り当てられた互換性のあるデータのすべてのコレクションと同等です（直感的には、すべてのデータは、その構成データの合計です）。

層を研究する数学の分野は層理論と呼ばれます。

層は概念的には一般的かつ抽象的なオブジェクトとして理解されます。層の正確な定義はむしろ技術的です。層は、開集合に割り当てられるデータのタイプに応じて、たとえば集合の層または環の層として具体的に定義されます。

ある層から別の層への写像（または射）も存在します。層（アーベル群の層など、特定の種類の層）と、固定された位相空間上のその射は、カテゴリを形成します。一方、各連続写像には、領域上の層とその射を余領域上の層と射に変換する直接像関手と、反対方向に作用する逆像関手の両方が関連付けられています。これらの関手とその特定の変種は、層理論の重要な部分です。

層は一般的な性質と汎用性を備えているため、位相幾何学、特に代数幾何学と微分幾何学においてさまざまな用途に使用されています。まず、微分可能多様体やスキームなどの幾何学的構造は、空間上の環の層によって表現できます。このような状況では、ベクトル束や因子などのいくつかの幾何学的構成は、層によって自然に指定されます。次に、層は、特異コホモロジーなどの「通常の」位相コホモロジー理論も含む非常に一般的なコホモロジー理論の枠組みを提供します。特に代数幾何学と複素多様体の理論では、層コホモロジーは空間の位相的性質と幾何学的性質を強力に結び付けます。層は、微分方程式の理論に応用できるD加群の理論の基礎も提供します。さらに、グロタンディーク位相など、位相空間よりも一般的な設定への層の一般化は、数理論理学や数論への応用をもたらしました。

多くの数学の分野では、位相空間 (たとえば、微分可能多様体) 上に定義された構造のいくつかは、自然に局所化されるか、または開部分集合に制限されます。典型的な例としては、連続した実数値または複素数値関数、回微分可能(実数値または複素数値) 関数、有界実数値関数、ベクトル場、および空間上の任意のベクトル束の切断などがあります。データをより小さな開部分集合に制限できることから、前束の概念が生まれます。大まかに言えば、層とは、ローカル データをグローバル データに接着できる前束のことです。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U\subseteq X}$ ${\displaystyle n}$

を位相空間とします。上の集合の前層は次のデータで構成されます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X}$

• 各開集合 に対して、集合 が存在します。この集合は とも表記されます。この集合の要素は上の の切断と呼ばれます。上の の切断は の大域切断と呼ばれます。${\displaystyle U\subseteq X}$${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)}$${\displaystyle \Gamma (U,{\mathcal {F}})}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$
• 開集合 の各包含に対して、関数 が成り立ちます。以下の多くの例から判断して、この射は制限射と呼ばれます。 の場合、その制限は関数 の制限との類推によって表されることがよくあります。${\displaystyle V\subseteq U}$${\displaystyle \operatorname {res} _{V}^{U}\colon {\mathcal {F}}(U)\rightarrow {\mathcal {F}}(V)}$${\displaystyle {\text{res}}_{V}^{U}}$${\displaystyle s\in {\mathcal {F}}(U)}$${\displaystyle {\text{res}}_{V}^{U}(s)}$${\displaystyle s|_{V}}$

制限射は、2 つの追加の (関数的) プロパティを満たす必要があります。

• のすべての開集合に対して、制限射は上の恒等射です。${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {res} _{U}^{U}\colon {\mathcal {F}}(U)\rightarrow {\mathcal {F}}(U)}$${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)}$
• 3つの開集合がある場合、合成集合${\displaystyle W\subseteq V\subseteq U}$ ${\displaystyle {\text{res}}_{W}^{V}\circ {\text{res}}_{V}^{U}={\text{res}}_{W}^{U}}$

非公式には、2 番目の公理は、1 つのステップで に制限するか、最初に に制限してから に制限するかは問題ではないことを示しています。この定義の簡潔な関数の再定式化については、後ほど説明します。 ${\displaystyle W}$${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$

前層の例の多くは、さまざまな関数のクラスから来ています。任意の に、上の連続した実数値関数の集合を割り当てることができます。制限写像は、 上の連続関数をより小さな開部分集合 (これも連続関数) に制限するだけで得られます。2 つの前層公理はすぐにチェックされ、前層の例が得られます。これは、正則関数の前層と滑らかな関数の前層に拡張できます。 ${\displaystyle U}$${\displaystyle C^{0}(U)}$${\displaystyle U}$${\displaystyle U}$${\displaystyle V\subseteq U}$${\displaystyle {\mathcal {H}}(-)}$${\displaystyle C^{\infty }(-)}$

もう一つの一般的な例は、上の定数実数値関数の集合に を割り当てることです。この前層はに関連付けられた定数前層と呼ばれ、 と表記されます。 ${\displaystyle U}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle {\underline {\mathbb {R} }}^{\text{psh}}}$

前層が与えられたとき、自然な疑問は、開集合上のその切断が、の開部分集合への制限によってどの程度指定されるかということです。層とは、技術的な意味では、その切断が制限によって一意に決定される前層です。 ${\displaystyle U}$${\displaystyle U}$

公理的には、層とは次の公理の両方を満たす前層です。

1. (局所性)が開集合であり、 がすべての に対しての開被覆であり、 がセクションであるとします。のすべての に対して であれば、 です。${\displaystyle U}$${\displaystyle \{U_{i}\}_{i\in I}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle U_{i}\subseteq U}$${\displaystyle i\in I}$${\displaystyle s,t\in {\mathcal {F}}(U)}$${\displaystyle s|_{U_{i}}=t|_{U_{i}}}$${\displaystyle i\in I}$${\displaystyle s=t}$
2. （接着）が開集合で、 がすべての に対しての開被覆であり、 がセクションの族であるとする。セクションのすべてのペアが定義域の重なりに同意する場合、つまりすべて に対してである場合、すべて に対してとなるセクションが存在する。^[1]${\displaystyle U}$${\displaystyle \{U_{i}\}_{i\in I}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle U_{i}\subseteq U}$${\displaystyle i\in I}$${\displaystyle \{s_{i}\in {\mathcal {F}}(U_{i})\}_{i\in I}}$${\displaystyle s_{i}|_{U_{i}\cap U_{j}}=s_{j}|_{U_{i}\cap U_{j}}}$${\displaystyle i,j\in I}$${\displaystyle s\in {\mathcal {F}}(U)}$${\displaystyle s|_{U_{i}}=s_{i}}$${\displaystyle i\in I}$

これら両方の公理において、開被覆に関する仮説は、 という仮定と同等です。 ${\textstyle \bigcup _{i\in I}U_{i}=U}$

公理 2 によって存在が保​​証されているセクションは、セクションの接着、連結、または照合と呼ばれます。公理 1 により、セクションは一意です。公理 2 の一致前提条件を満たすセクションとセクションは、互換性があると呼ばれることがよくあります。したがって、公理 1 と公理 2 を合わせると、互換性のあるセクションの任意のコレクションは一意に接着できること が示されます。分離前層、または単前層は、公理 1 を満たす前層です。^[2]${\displaystyle s}$${\displaystyle s_{i}}$${\displaystyle s_{i}}$${\displaystyle s_{j}}$

上で述べた連続関数からなる前層は層です。この主張は、交差点で一致する連続関数が与えられた場合、その制限が に等しい唯一の連続関数が存在することを確認することに帰着します。対照的に、定数前層は空集合上の局所性公理を満たさないため、通常は層ではありません(これについては定数層で詳しく説明します)。 ${\displaystyle f_{i}:U_{i}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle U_{i}\cap U_{j}}$${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} }$${\displaystyle f_{i}}$

プレシーブとシーブは通常大文字で表記され、特に一般的です。これはおそらく、フランス語で束を意味するfaisceauに由来すると思われます。 などのカリグラフィ文字の使用も一般的です。 ${\displaystyle F}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

層を指定するには、その制限を基礎空間の位相の基底の開集合に指定するだけで十分であることが示せます。さらに、被覆の開集合に対して上記の層公理を検証するだけで十分であることも示せます。この観察は、代数幾何学で極めて重要な別の例、すなわち準コヒーレント層 を構築するために使われます。ここで、問題の位相空間は、点が の素イデアルである可換環 のスペクトル${\displaystyle R}$です。開集合は、この空間上のザリスキ位相の基底を形成します。 -モジュールが与えられたとき、上に で表され、次を満たす 層があります。 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle D_{f}:=\{{\mathfrak {p}}\subseteq R,f\notin {\mathfrak {p}}\}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\tilde {M}}}$${\displaystyle \operatorname {Spec} R}$

${\displaystyle {\tilde {M}}(D_{f}):=M[1/f],}$の局在。​​${\displaystyle M}$${\displaystyle f}$

以前に議論したものと同等な層の別の特徴付けがあります。任意の開および の任意の開被覆に対して、がファイバー積である場合に限り、前層 が層になります。この特徴付けは層の構築に役立ちます。たとえば、がアーベル層である場合、射影極限は射影極限と可換であるため、層射影の核は層です。一方、帰納的極限は必ずしも射影極限と可換ではないため、余核は常に層であるとは限りません。これを修正する方法の 1 つは、ノイザン位相空間を考慮することです。すべての開集合はコンパクトであるため、余核は層です。有限射影極限は帰納的極限と可換であるためです。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \{U_{a}\}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)}$${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)\cong {\mathcal {F}}(U_{a})\times _{{\mathcal {F}}(U_{a}\cap U_{b})}{\mathcal {F}}(U_{b})}$${\displaystyle {\mathcal {F}},{\mathcal {G}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}\to {\mathcal {G}}}$

位相空間の連続写像は 、${\displaystyle f:Y\to X}$${\displaystyle \Gamma (Y/X)}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \Gamma (Y/X)(U)=\{s:U\to Y,f\circ s=\operatorname {id} _{U}\}.}$

このようなものは一般にの切断と呼ばれ、この例が の元が一般に切断と呼ばれる理由です。この構成は、 がファイバー束の基底空間への射影である場合に特に重要です。たとえば、滑らかな関数の層は、自明な束の切断の層です。 ${\displaystyle s}$${\displaystyle f}$${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)}$${\displaystyle f}$

もう一つの例：

${\displaystyle \mathbb {C} {\stackrel {\exp }{\longrightarrow }}\mathbb {C} \setminus \{0\}}$

は、 上の複素対数の枝の集合を任意の に割り当てる層です。 ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {C} \setminus \{0\}}$${\displaystyle U}$

点とアーベル群 が与えられた場合、スカイスクレイパー層 は次のように定義されます。がを含む開集合である場合、 です。がを含まない場合、自明群 です。制限写像は、両方の開集合が を含む場合は上の恒等写像、そうでない場合はゼロ写像のいずれかです。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S_{x}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S_{x}(U)=S}$${\displaystyle U}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S_{x}(U)=0}$${\displaystyle S}$${\displaystyle x}$

次元 -多様体 には、 - 倍連続的に微分可能な関数の層( ) など、重要な層が多数存在します。 の開面上の切断は-関数です。 の場合、この層は構造層と呼ばれ、 と表記されます。 非ゼロ関数も層を形成し、 と表記されます。(次数 の)微分形式も層 を形成します。これらすべての例では、制限射は制限関数または形式によって与えられます。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle C^{k}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle j}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{M}^{j}}$${\displaystyle j\leq k}$${\displaystyle U}$${\displaystyle C^{j}}$${\displaystyle U\to \mathbb {R} }$${\displaystyle j=k}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{M}}$${\displaystyle C^{k}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{\times }}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \Omega _{M}^{p}}$

をコンパクトにサポートされている関数に送る割り当ては層ではありません。これは、一般に、より小さな開部分集合に渡すことでこの特性を保存する方法がないためです。代わりに、これはコシェーフを形成します。これは、制限マップが層の場合とは逆方向に進む双対概念です。 ^[3]ただし、これらのベクトル空間の双対を取ると、超関数の層である層が得られます。 ${\displaystyle U}$${\displaystyle U}$

通常は束ではない上記の定数前束に加えて、束ではない前束の例がさらにあります。

• を離散位相を持つ2 点位相空間とします。前層を次のように定義します。制限写像は をその最初の座標に射影したもので、制限写像はをその 2 番目の座標に射影したものです。は分離されていない前層です。つまり、大域セクションは 3 つの数によって決定されますが、 および 上のそのセクションの値は、それらの数のうち 2 つだけを決定します。したがって、および上の任意の 2 つのセクションを接着することはできますが、一意に接着することはできません。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{x,y\}}$${\displaystyle F}$$${\displaystyle F(\varnothing )=\{\varnothing \},\ F(\{x\})=\mathbb {R} ,\ F(\{y\})=\mathbb {R} ,\ F(\{x,y\})=\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$$${\displaystyle F(\{x,y\})\to F(\{x\})}$${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$${\displaystyle F(\{x,y\})\to F(\{y\})}$${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$${\displaystyle F}$${\displaystyle \{x\}}$${\displaystyle \{y\}}$${\displaystyle \{x\}}$${\displaystyle \{y\}}$
• を実数直線とし、を上の有界連続関数の集合とします。これは層ではありません。なぜなら、接着が常に可能であるとは限らないからです。たとえば、となるすべての の集合をとします。恒等関数は各 上で有界です。したがって、上のセクションが得られます。しかし、関数は実数直線上で有界ではないため、これらのセクションは接着しません。したがって、 は前層ですが、層ではありません。実際、は連続関数の層のサブ前層であるため、分離されています。${\displaystyle X=\mathbb {R} }$${\displaystyle F(U)}$${\displaystyle U}$${\displaystyle U_{i}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle |x|<i}$${\displaystyle f(x)=x}$${\displaystyle U_{i}}$${\displaystyle s_{i}}$${\displaystyle U_{i}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$

層の歴史的動機の1つは、複素多様体^[4]、 複素解析幾何学^[5]、および代数幾何学からのスキーム理論の研究から来ています。これは、これまでのすべてのケースで、位相空間を、複素多様体、複素解析空間、またはスキームの構造を与える構造層と一緒に考えるためです。位相空間に層を備えるというこの観点は、局所環空間の理論にとって不可欠です（以下を参照）。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {O}}}$

層を導入する主な歴史的動機の1つは、複素多様体上の正則関数 を追跡する装置を構築することでした。たとえば、コンパクトな複素多様体（複素射影空間や同次多項式の射影空間における消失点など）では、唯一の正則関数は${\displaystyle X}$

${\displaystyle f:X\to \mathbb {C} }$

は定数関数である。^{[6] [7]}これは、同型ではないが、 と表記されるそれらの大域正則関数の環が同型である、というコンパクト複素多様体が２つ存在することを意味する。これを、あらゆる多様体が何らかの の中に埋め込むことができる滑らかな多様体と比較すると、その滑らかな関数の環はからの滑らかな関数を制限することから来ている。 ${\displaystyle X,X'}$${\displaystyle {\mathcal {H}}(X),{\mathcal {H}}(X')}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle C^{\infty }(M)}$${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$

複素多様体上の正則関数の環を考える場合のもう 1 つの複雑さは、十分に小さい開集合 が与えられると、正則関数が に同型になるということです。層は、任意の開部分集合 上の基礎となる位相空間上の正則構造を追跡することを可能にするため、この複雑さに対処するための直接的なツールです。これは、 が位相的に複雑になるにつれて、環はを接着することで表すことができることを意味します。この層は、または単に と表記される場合があり、構造層が関連付けられている空間を強調したい場合 でも、このことに注意してください。${\displaystyle X}$${\displaystyle U\subseteq X}$${\displaystyle {\mathcal {H}}(U)\cong {\mathcal {H}}(\mathbb {C} ^{n})}$${\displaystyle X}$${\displaystyle U\subseteq X}$${\displaystyle U}$${\displaystyle {\mathcal {H}}(U)}$${\displaystyle {\mathcal {H}}(U_{i})}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(-)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

層のもう 1 つの一般的な例は、複素部分多様体 を考えることによって構築できます。開部分集合を取り、 上の正則関数の環を与える関連する層があります。 この種の形式主義は非常に強力であることがわかり、層コホモロジーなどの多くのホモロジー代数の動機となっています。これは、セール交差公式からの この種の層を使用して交差理論を構築できるためです。${\displaystyle Y\hookrightarrow X}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y}}$${\displaystyle U\subseteq X}$${\displaystyle U\cap Y}$

大まかに言えば、層の射は層の関数に似ています。単に出力を入力に割り当てるだけの集合間の関数とは対照的に、層の射は基礎となる層のローカル-グローバル構造と互換性があることも要求されます。この考え方は、次の定義で明確にされています。

およびを 上の 2 つの集合の層 (それぞれアーベル群、環など) とします。射は、の各開集合に対する集合の射 (それぞれアーベル群、環など) で構成され、この射が制約と互換性があるという条件に従います。言い換えると、開集合 のすべての開部分集合に対して、次の図は可換 です。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varphi :{\mathcal {F}}\to {\mathcal {G}}}$${\displaystyle \varphi _{U}:{\mathcal {F}}(U)\to {\mathcal {G}}(U)}$${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$${\displaystyle V}$${\displaystyle U}$

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\mathcal {F}}(U)&\xrightarrow {\quad \varphi _{U}\quad } &{\mathcal {G}}(U)\\r_{V}^{U}{\Biggl \downarrow }&&{\Biggl \downarrow }{r'}_{V}^{U}\\{\mathcal {F}}(V)&{\xrightarrow[{\quad \varphi _{V}\quad }]{}}&{\mathcal {G}}(V)\end{array}}}$

たとえば、 の導関数を取ると、 上の層の射が得られます。実際、 内の ( - 回連続的に微分可能な) 関数が与えられた場合、その導関数の (より小さな開部分集合 への) 制限はの導関数に等しくなります。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\colon {\mathcal {O}}_{\mathbb {R} }^{n}\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {R} }^{n-1}.}$${\displaystyle n}$${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} }$${\displaystyle U}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle V}$${\displaystyle f|_{V}}$

この射の概念により、固定された位相空間上の集合の層（それぞれアーベル群、環など）はカテゴリを形成します。したがって、モノ-、エピ-、同型などの一般的なカテゴリの概念を層に適用できます。 ${\displaystyle X}$

上の層の射が同型（単型）である場合と、すべての に対して が集合（それぞれアーベル群、環など）の同型（それぞれ入射射）であるような の開被覆が存在する場合に限ります。これらのステートメントは、局所情報を使用して層を操作する方法の例を示していますが、同じ方法で層の射がエピモーフィズムであるかどうかを確認することはできないことに注意することが重要です。実際、開集合のレベルでの写像が層のエピモーフィズムに対して常に全射であるとは限らないというステートメントは、大域セクション関数の非正確性と同等です。または、層コホモロジーの非自明性と同等です。 ${\displaystyle \varphi \colon {\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {G}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \{U_{\alpha }\}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \varphi |_{U_{\alpha }}\colon {\mathcal {F}}(U_{\alpha })\rightarrow {\mathcal {G}}(U_{\alpha })}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \varphi _{U}\colon {\mathcal {F}}(U)\rightarrow {\mathcal {G}}(U)}$

束の茎は、 関数の芽を一般化して、点「の周り」の束の特性を捉えます。ここで「周り」とは、概念的に言えば、点のより小さな近傍を見ることを意味します。もちろん、単一の近傍では十分に小さくなることはありません。そのため、何らかの限界を考慮する必要があります。より正確には、茎は次のように定義されます。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle x\in X}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}=\varinjlim _{U\ni x}{\mathcal {F}}(U),}$

直接の極限は、与えられた点 を含むのすべての開部分集合上にあります。言い換えると、 の要素は の開近傍上の切断によって与えられ、そのような 2 つの切断は、それらの制限がより小さな近傍で一致する場合、同等であるとみなされます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$

自然射は、のセクションをの芽に取り込みます。これは、芽の通常の定義を一般化します。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)\to {\mathcal {F}}_{x}}$${\displaystyle s}$${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)}$ ${\displaystyle s_{x}}$${\displaystyle x}$

多くの場合、層の茎を知るだけで、層自体を制御するのに十分です。たとえば、層の射が単射、エピモーフィズム、または同型であるかどうかは、茎でテストできます。この意味で、層は、ローカルデータである茎によって決定されます。対照的に、層に存在するグローバル情報、つまりグローバルセクション、つまり空間全体のセクションは、通常、より少ない情報しか持ちません。たとえば、コンパクトな複素多様体の場合、正則関数の層のグローバルセクションは です。これは 、任意の正則関数${\displaystyle {\mathcal {F}}(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle X\to \mathbb {C} }$

リウヴィルの定理により定数となる。^[6]

前層に含まれるデータを取得して、それを層として表現すると便利なことがよくあります。これを行う最善の方法があることがわかりました。それは、前層を取得して、層化または前層に関連付けられた層と呼ばれる新しい層を生成します。たとえば、定数前層 (上記を参照) の層化は、定数層と呼ばれます。その名前にもかかわらず、そのセクションは局所的に定数な関数です。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle a{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

層は のエタレ空間、すなわち写像のセクションの層として 構築できる。${\displaystyle a{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle E}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle E\to X.}$

層のもう一つの構成は、前層から前層への関数を用いて前層の性質を徐々に改善していくものである。任意の前層 に対して は分離前層であり、任意の分離前層 に対して は層である。付随する層は で与えられる。^[8]${\displaystyle a{\mathcal {F}}}$${\displaystyle L}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle L{\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle L{\mathcal {F}}}$${\displaystyle a{\mathcal {F}}}$${\displaystyle LL{\mathcal {F}}}$

層 が を層で近似したものであるという考えは、次の普遍的性質を使って明確にされます。つまり、前層 の自然な射 が存在するので、任意の層および前層 の任意の射に対して、 となる唯一の層の射 が存在するということです。実際、は層のカテゴリから前層 のカテゴリへの包含関数 (または忘却関数) の左随伴関数であり、 は随伴の単位です。このようにして、層のカテゴリは前層のジロー部分カテゴリに変わります。このカテゴリ状況は、層化関数が層射のコカーネルや層のテンソル積を構築するときに現れるが、カーネルなどには現れない理由です。 ${\displaystyle a{\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle i\colon {\mathcal {F}}\to a{\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle f\colon {\mathcal {F}}\to {\mathcal {G}}}$${\displaystyle {\tilde {f}}\colon a{\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {G}}}$${\displaystyle f={\tilde {f}}i}$${\displaystyle a}$${\displaystyle i}$

がアーベル群の層のサブ層である場合、商層は前層に関連付けられた層です。言い換えると、商層はアーベル群の層の正確なシーケンスに適合します。 ${\displaystyle K}$${\displaystyle F}$ ${\displaystyle Q}$${\displaystyle U\mapsto F(U)/K(U)}$

${\displaystyle 0\to K\to F\to Q\to 0.}$

(これは層拡張とも呼ばれます。)

をアーベル群の層とします。 からへの層の射の集合はアーベル群を形成します ( のアーベル群構造により)。およびの層 hom は、 によって表されます。 ${\displaystyle F,G}$${\displaystyle \operatorname {Hom} (F,G)}$${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle {\mathcal {Hom}}(F,G)}$

はアーベル群の層であり、は によって与えられる上の層です(ここでは層化は不要であることに注意)。との直和はによって与えられる層であり、とのテンソル積は前層 に関連付けられた層です。 ${\displaystyle U\mapsto \operatorname {Hom} (F|_{U},G|_{U})}$${\displaystyle F|_{U}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle (F|_{U})(V)=F(V)}$${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle U\mapsto F(U)\oplus G(U)}$${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle U\mapsto F(U)\otimes G(U)}$

これらの操作はすべて、環の層上の加群の層に拡張されます。上記は、 が定数層である場合の特別なケースです。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\underline {\mathbf {Z} }}}$

(前)層のデータは基本空間の開集合に依存するため、異なる位相空間上の層は、それらの間に射が存在しないという意味で互いに無関係です。ただし、2 つの位相空間間の連続写像が与えられた場合、プッシュフォワードとプルバックは、上の層を上の層に関連付け、逆もまた同様です。 ${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

上の層のプッシュフォワード（直接像とも呼ばれる）は、次のように定義される層である。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle (f_{*}{\mathcal {F}})(V)={\mathcal {F}}(f^{-1}(V)).}$

ここではの開部分集合であり、その逆像はの連続性により で開かれている。この構成により、上記の 超高層ビル層が復元される。${\displaystyle V}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle S_{x}}$

${\displaystyle S_{x}=i_{*}(S)}$

ここで は包含であり、によってシングルトン上の層とみなされます。 ${\displaystyle i:\{x\}\to X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S(\{*\})=S,S(\emptyset )=\emptyset }$

局所コンパクト空間間の写像に対して、コンパクトな台を持つ直像は直像の部分層である。^[9]定義により、は台が適切に写像されるものから構成される。 が適切であれば となるが、一般には両者は一致しない。 ${\displaystyle (f_{!}{\mathcal {F}})(V)}$${\displaystyle s\in {\mathcal {F}}(f^{-1}(V))}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f_{!}{\mathcal {F}}=f_{*}{\mathcal {F}}}$

引き戻しまたは逆像は逆方向に進み、上の層から で表される上の層を生成します。 が開集合の包含である場合、逆像は単なる制限、つまり内の開集合に対して によって与えられます。ある空間 上の層は、 がいくつかの開集合によってとなり、これらすべての開集合への の制限が一定である場合、局所的に一定と呼ばれます。広範囲の位相空間 上で、そのような層は基本群の表現と同等です。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle f^{-1}{\mathcal {G}}}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle (f^{-1}{\mathcal {G}})(U)={\mathcal {G}}(U)}$${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X=\bigcup _{i\in I}U_{i}}$${\displaystyle U_{i}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$

一般の写像 の場合、 の定義はより複雑です。逆像関数で詳しく説明します。茎は、自然な同一視の観点から、プルバックの本質的な特殊ケースです。ここで、 は上記のとおりです。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle f^{-1}{\mathcal {G}}}$${\displaystyle i}$

${\displaystyle {\mathcal {G}}_{x}=i^{-1}{\mathcal {G}}(\{x\}).}$

より一般的には、茎は を満たします。 ${\displaystyle (f^{-1}{\mathcal {G}})_{x}={\mathcal {G}}_{f(x)}}$

開集合の包含について、アーベル群の層のゼロによる拡大（「Fのj下層」と発音）は、次のように定義される前層の層化である。 ${\displaystyle j:U\to X}$ ${\displaystyle j_{!}{\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle U}$

${\displaystyle V\mapsto {\mathcal {F}}(V)}$ifとelse の場合。${\displaystyle V\subseteq U}$${\displaystyle V\mapsto 0}$

上の層の場合、この構成は、ある意味で の補完的であり、 はの補集合の包含です。 ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle i_{*}}$${\displaystyle i:X\setminus U\to X}$${\displaystyle U}$

${\displaystyle (j_{!}j^{*}{\mathcal {G}})_{x}={\mathcal {G}}_{x}}$の場合、茎は0であり、それ以外の場合は0である。${\displaystyle x}$${\displaystyle U}$

${\displaystyle (i_{*}i^{*}{\mathcal {G}})_{x}=0}$の場合、 は等しくなり、それ以外の場合は は等しくなります。${\displaystyle x}$${\displaystyle U}$${\displaystyle {\mathcal {G}}_{x}}$

より一般的には、 が局所的に閉じた部分集合である場合、を含むの開集合が存在し、は で閉じています。と を自然な包含とします。上の層のゼロによる拡大は によって定義されます。 ${\displaystyle A\subset X}$${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle U}$${\displaystyle f:A\to U}$${\displaystyle j:U\to X}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle j_{!}f_{*}F}$

茎上での優れた動作により、ゼロ関手による拡張は、上の層理論的問題を成層 の層に関する問題、つまり をより小さな局所的に閉じた部分集合に分解する問題に簡約するのに役立ちます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

上で紹介した（前）層（ここでは は単なる集合）に加えて、これらのセクションの追加構造を把握しておくことが重要になる場合がよくあります。たとえば、連続関数の層のセクションは自然に実ベクトル空間を形成し、制限はこれらのベクトル空間間の 線型写像です。${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)}$

任意のカテゴリに値を持つ前層は、まず 上の開集合のカテゴリを、そのオブジェクトが の開集合であり、その射が包含であるような姿勢カテゴリと見なすことによって定義されます。すると、上の - 値前層は、から への反変関数と同じになります。この関数のカテゴリの射は自然変換とも呼ばれ、定義を解くとわかるように、上で定義した射と同じです。 ${\displaystyle C}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle O(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C}$${\displaystyle X}$${\displaystyle O(X)}$${\displaystyle C}$

対象カテゴリがすべての極限を許容する場合、次の図が任意の開集合 のすべての開被覆に対して イコライザーである場合、 値前層 は層です。 ${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{U_{i}\}_{i\in I}}$${\displaystyle U}$

${\displaystyle F(U)\rightarrow \prod _{i}F(U_{i}){{{} \atop \longrightarrow } \atop {\longrightarrow \atop {}}}\prod _{i,j}F(U_{i}\cap U_{j}).}$

ここで最初のマップは制限マップの積である

${\displaystyle \operatorname {res} _{U_{i},U}\colon F(U)\rightarrow F(U_{i})}$

そして矢印のペアは2つの制約セットの積である

${\displaystyle \operatorname {res} _{U_{i}\cap U_{j},U_{i}}\colon F(U_{i})\rightarrow F(U_{i}\cap U_{j})}$

そして

${\displaystyle \operatorname {res} _{U_{i}\cap U_{j},U_{j}}\colon F(U_{j})\rightarrow F(U_{i}\cap U_{j}).}$

がアーベル圏である場合、この条件は、正確なシーケンスが存在することを要求することで言い換えることもできる。${\displaystyle C}$

${\displaystyle 0\to F(U)\to \prod _{i}F(U_{i})\xrightarrow {\operatorname {res} _{U_{i}\cap U_{j},U_{i}}-\operatorname {res} _{U_{i}\cap U_{j},U_{j}}} \prod _{i,j}F(U_{i}\cap U_{j}).}$

この層条件の特別なケースは、 が空集合であり、インデックス集合も空である場合に発生します。この場合、層条件はの終端オブジェクトである必要があります。 ${\displaystyle U}$${\displaystyle I}$${\displaystyle {\mathcal {F}}(\emptyset )}$${\displaystyle C}$

代数幾何学や微分幾何学を含むいくつかの幾何学分野では、空間は環の自然な層を伴い、これはしばしば構造層と呼ばれ、 と表記されます。このようなペアは環空間と呼ばれます。多くの種類の空間は、特定の種類の環空間として定義できます。一般に、構造層の茎はすべて局所環であり、その場合、ペアは局所環空間と呼ばれます。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}}$

例えば、次元多様体は局所環空間であり、その構造層はの開部分集合上の -関数から構成されます。局所環空間であるという性質は、点 で非ゼロであるそのような関数は、 の十分に小さい開近傍でも非ゼロであるという事実につながります。一部の著者は、実数（または複素数）多様体を、 （それぞれ）の開部分集合と（それぞれ正則な）関数の層からなるペアに局所同型である局所環空間として実際に定義しています。 ^[10]同様に、代数幾何学における空間の基礎概念であるスキームは、環 のスペクトルに局所同型である局所環空間です。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle C^{k}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle C^{k}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle C^{k}}$

環付き空間が与えられた場合、加群の層とは、のすべての開集合上でが -加群であり、開集合 のすべての包含に対して、制限写像が制限写像と互換性があるような層のことです。つまり、およびの任意の に対して、 fsの制限はの制限と の制限を掛け合わせたものです。 ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {M}}(U)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}$${\displaystyle V\subseteq U}$${\displaystyle {\mathcal {M}}(U)\to {\mathcal {M}}(V)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(U)\to {\mathcal {O}}(V)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle s}$${\displaystyle f}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(U)}$${\displaystyle s}$${\displaystyle {\mathcal {M}}(U)}$

最も重要な幾何学的対象は、加群の層です。たとえば、ベクトル束と-加群の局所自由層の間には 1 対 1 の対応があります。このパラダイムは、実ベクトル束、複素ベクトル束、または代数幾何学のベクトル束に適用されます (ここで、 はそれぞれ滑らかな関数、正則関数、または正則関数で構成されます)。微分方程式の解の層は-加群、つまり微分作用素の層上の加群です。任意の位相空間上で、定数層上の加群は、上記の意味での アーベル群の層と同じです。${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}}$${\displaystyle D}$${\displaystyle {\underline {\mathbf {Z} }}}$

環の層上の加群の層には、別の逆像関数が存在します。この関数は通常 と表記され、 とは異なります。逆像関数を参照してください。 ${\displaystyle f^{*}}$${\displaystyle f^{-1}}$

可換環上の加群の有限性条件は、加群の層に対する同様の有限性条件を生じます。は、のすべての点に対して、の開近傍、自然数（ に依存する可能性あり）、および層の射影射（それぞれ、加えて自然数、および正確な列）が存在する場合、有限生成（または有限提示 ）と呼ばれます。整合加群の概念に関連して、 は、それが有限型であり、すべての開集合およびすべての層の射（必ずしも射影的ではない）に対して、 の核が有限型である場合、整合層と呼ばれます。は、それが自分自身上の加群として整合している場合、整合しています。 加群の場合と同様に、整合は一般に有限提示よりも厳密に強い条件です。Oka の整合定理は、複素多様体上の正則関数の層が整合していることを述べています。 ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle U}$${\displaystyle x}$${\displaystyle n}$${\displaystyle U}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{n}|_{U}\to {\mathcal {M}}|_{U}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{m}|_{U}\to {\mathcal {O}}_{X}^{n}|_{U}\to {\mathcal {M}}|_{U}\to 0}$${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \phi :{\mathcal {O}}_{X}^{n}\to {\mathcal {M}}}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

上の例では、一部の層は自然に切断層として現れることが指摘されました。実際、すべての集合の層は、エタレ空間と呼ばれる位相空間の切断層として表すことができます。エタレ空間は、おおよそ「広がる」という意味のフランス語の étalé [etale]に由来しています。 が上の層である場合、 のエタレ空間(エタール空間と呼ばれることもある) は、の切断層が となるような局所同相を伴う位相空間です。 この空間は通常非常に奇妙であり、層が自然な位相的状況から生じる場合でも、明確な位相的解釈がない場合があります。たとえば、 が連続関数 の切断層である場合、が局所同相である場合に限ります。 ${\displaystyle F\in {\text{Sh}}(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle F}$${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \pi :E\to X}$${\displaystyle \Gamma (\pi ,-)}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle F}$${\displaystyle E}$${\displaystyle F}$${\displaystyle E}$${\displaystyle F}$${\displaystyle f:Y\to X}$${\displaystyle E=Y}$${\displaystyle f}$

エタレ空間は、上のの茎から構築されます。集合として、 はそれらの互いに素な和であり、は上のの茎上の値を取る明らかな写像です。 の位相は次のように定義されます。各要素と各に対して、におけるの芽(または と表記) が得られます。これらの芽は の点を決定します。任意の および に対して、これらの点の和 (すべての に対して) は において開いていると宣言されます。各茎は部分空間位相として離散位相を持つことに注意してください。層間の 2 つの射は、対応するエタレ空間の連続写像を決定します。これは、射影写像と互換性があります (すべての芽が同じ点上の芽に写像されるという意味で)。これにより、構築は関数になります。 ${\displaystyle E}$${\displaystyle F}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle x}$${\displaystyle F}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle E}$${\displaystyle s\in F(U)}$${\displaystyle x\in U}$${\displaystyle s}$${\displaystyle x}$${\displaystyle [s]_{x}}$${\displaystyle s_{x}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle U}$${\displaystyle s\in F(U)}$${\displaystyle x\in U}$${\displaystyle E}$

上記の構成により、上の集合の層のカテゴリと 上のエターレ空間のカテゴリの間のカテゴリの同値性が決定されます。エターレ空間の構成は前層にも適用でき、その場合、エターレ空間の切断の層は、与えられた前層に関連付けられた層を復元します。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

この構成により、すべての層は、位相空間の特定のカテゴリ上の表現可能な関手になります。上記のように、を 上の層、 をそのエタレ空間、 を自然な射影とします。上の位相空間のオーバーカテゴリ、つまり への固定された連続写像を伴う位相空間のカテゴリを考えます。このカテゴリのすべてのオブジェクトは連続写像 であり、 からへの射は への 2 つの写像と可換な連続写像です。 には関手${\displaystyle F}$${\displaystyle X}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \pi :E\to X}$ ${\displaystyle {\text{Top}}/X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f:Y\to X}$${\displaystyle Y\to X}$${\displaystyle Z\to X}$${\displaystyle Y\to Z}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \Gamma :{\text{Top}}/X\to {\text{Sets}}}$

オブジェクトを に送信する。たとえば、 が開集合の包含である場合、${\displaystyle f:Y\to X}$${\displaystyle f^{-1}F(Y)}$${\displaystyle i:U\hookrightarrow X}$

${\displaystyle \Gamma (i)=f^{-1}F(U)=F(U)=\Gamma (F,U)}$

そして、ポイントを含めるには、${\displaystyle i:\{x\}\hookrightarrow X}$

${\displaystyle \Gamma (i)=f^{-1}F(\{x\})=F|_{x}}$

はの茎である。自然同型性がある。${\displaystyle F}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle (f^{-1}F)(Y)\cong \operatorname {Hom} _{\mathbf {Top} /X}(f,\pi )}$、

これは、（エタール空間に対して）が関手を表すことを示しています。 ${\displaystyle \pi :E\to X}$${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle E}$は、射影写像が被覆写像となるように構築されます。代数幾何学では、被覆写像の自然な類似物はエタール射と呼ばれます。「エタール」に似ていますが、フランス語ではエタール[etal] という単語の意味が異なります。同じ普遍的特性を保持するような方法でスキームに変換したり、スキームの射に変換したりすることは可能ですが、準有限ではないため、一般にエタール射ではありません。ただし、形式的にはエタールです。 ${\displaystyle \pi }$${\displaystyle E}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \pi }$

エタール空間による層の定義は、この記事の前半で示した定義よりも古いものです。数学解析などの数学のいくつかの分野では今でも一般的です。

開集合が固定され、層が変数とみなされる文脈では、集合はしばしば次のように表記される。${\displaystyle U}$${\displaystyle F(U)}$${\displaystyle \Gamma (U,F).}$

上で述べたように、この 関数はエピモーフィズムを保存しません。代わりに、層のエピモーフィズムは次の性質を持つ写像です。任意のセクションに対して、${\displaystyle {\mathcal {F}}\to {\mathcal {G}}}$${\displaystyle g\in {\mathcal {G}}(U)}$${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{U_{i}\}_{i\in I}}$

${\displaystyle U=\bigcup _{i\in I}U_{i}}$

の像に制約が属するような開集合の集合。しかし、自体は の像に属さなくてもよい。この現象の具体的な例としては、指数写像 ${\displaystyle g|_{U_{i}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}(U_{i})}$${\displaystyle g}$${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}{\stackrel {\exp }{\to }}{\mathcal {O}}^{\times }}$

正則関数の層と非ゼロ正則関数の間の写像です。この写像はエピモフィズムであり、任意の非ゼロ正則関数（たとえば、 内の何らかの開部分集合上）は、局所的に、つまり適切な開部分集合に制限した後で、複素対数を許容することを意味します。ただし、は大域的に対数を持つ必要はありません。 ${\displaystyle g}$${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle g}$${\displaystyle g}$

層コホモロジーはこの現象を捉えている。より正確には、アーベル群の層の 正確な列に対して

${\displaystyle 0\to {\mathcal {F}}_{1}\to {\mathcal {F}}_{2}\to {\mathcal {F}}_{3}\to 0,}$

(つまり、核が であるエピモフィズム) には、長い完全列 が存在します。この列により、最初のコホモロジー群は、とのセクション間の写像の非全射性の尺度となります。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{2}\to {\mathcal {F}}_{3}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}}$$${\displaystyle 0\to \Gamma (U,{\mathcal {F}}_{1})\to \Gamma (U,{\mathcal {F}}_{2})\to \Gamma (U,{\mathcal {F}}_{3})\to H^{1}(U,{\mathcal {F}}_{1})\to H^{1}(U,{\mathcal {F}}_{2})\to H^{1}(U,{\mathcal {F}}_{3})\to H^{2}(U,{\mathcal {F}}_{1})\to \dots }$$${\displaystyle H^{1}(U,{\mathcal {F}}_{1})}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{2}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{3}}$

層コホモロジーを構築するには、いくつかの異なる方法があります。 Grothendieck (1957) は、層コホモロジーをの導来関数として定義することによって、これらの方法を導入しました。 この方法は理論的には満足のいくものですが、単射分解に基づいているため、具体的な計算ではほとんど役に立ちません。Godement 分解は、もう 1 つの一般的なアプローチですが、実際にはアクセスできません。 ${\displaystyle \Gamma }$

特に多様体上の層のコンテキストでは、層コホモロジーは、ソフト層、細層、フラビー層（フラスク層とも呼ばれ、フランス語で「フラビー」を意味する flasqueに由来）による分解を使用して計算できることがよくあります。たとえば、単位分割の議論は、多様体上の滑らかな関数の層がソフトであることを示します。 の高次コホモロジー群はソフト層に対しては消えるため、他の層のコホモロジーを計算する方法が得られます。たとえば、de Rham 複体は任意の滑らかな多様体上の定数層の分解であるため、 の層コホモロジーはそのde Rham コホモロジーに等しくなります。 ${\displaystyle H^{i}(U,{\mathcal {F}})}$${\displaystyle i>0}$${\displaystyle {\underline {\mathbf {R} }}}$${\displaystyle {\underline {\mathbf {R} }}}$

異なるアプローチは、チェフコホモロジーによるものである。チェフコホモロジーは層に対して開発された最初のコホモロジー理論であり、複素射影空間のコヒーレント層コホモロジーの計算などの具体的な計算に適している。^[11]これは、空間の開部分集合上のセクションを空間上のコホモロジー類に関連付ける。ほとんどの場合、チェフコホモロジーは導来関手コホモロジーと同じコホモロジー群を計算する。しかし、いくつかの異常な空間については、チェフコホモロジーは正しいが正しくない高次コホモロジー群を与える。これを回避するために、ジャン=ルイ・ヴェルディエはハイパーカバーを開発した。ハイパーカバーは正しい高次コホモロジー群を与えるだけでなく、上記の開部分集合を別の空間の特定の射で置き換えることを可能にする。この柔軟性は、ピエール・ドリーニュの混合ホッジ構造の構築など、いくつかのアプリケーションで必要となる。 ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle H^{1}}$

他の多くのコヒーレント層コホモロジー群は、 や何らかの重み付き射影空間などの既知のコホモロジーを持つ空間への空間の埋め込みを使用して見つかります。このようにして、これらの周囲空間上の既知の層コホモロジー群は層 と関連付けることができ、 となります。たとえば、射影平面曲線のコヒーレント層コホモロジーを計算することは簡単に見つかります。この空間の大きな定理の1つは、層コホモロジー群 に関連付けられたスペクトル列を使用して見つかったホッジ分解であり、これはデリーニュによって証明されました。^{[12] [13]}基本的に、項を持つ -page${\displaystyle i:X\hookrightarrow Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle i_{*}{\mathcal {F}}}$${\displaystyle H^{i}(Y,i_{*}{\mathcal {F}})\cong H^{i}(X,{\mathcal {F}})}$${\displaystyle E_{1}}$

${\displaystyle E_{1}^{p,q}=H^{p}(X,\Omega _{X}^{q})}$

滑らかな 射影多様体 の層コホモロジーは退化します。つまり、 となります。これにより、コホモロジー群 上の標準ホッジ構造が得られます。後に、これらのコホモロジー群はグリフィス留数を使って明示的に簡単に計算できることが分かりました。ヤコビアン イデアルを参照してください。これらの種類の定理は、代数多様体のコホモロジーに関する最も深い定理の 1 つである分解定理につながり、混合ホッジ加群への道を開きます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle E_{1}=E_{\infty }}$${\displaystyle H^{k}(X,\mathbb {C} )}$

いくつかのコホモロジー群を計算するためのもう 1 つの明確なアプローチは、ボレル-ボット-ヴェイユの定理です。これは、旗多様体上のいくつかの直線束のコホモロジー群をリー群の既約表現と同一視するものです。この定理は、たとえば、射影空間とグラスマン多様体上のすべての直線束のコホモロジー群を簡単に計算するために使用できます。

多くの場合、ポアンカレ双対性を一般化する層の双対性理論が存在します。グロタンディーク双対性とヴェルディエ双対性を参照してください。

ある空間X上のアーベル群などの層のカテゴリの導来カテゴリ(ここでは と表記)は、次の関係により、層コホモロジーに対する概念的な避難所となります。 ${\displaystyle D(X)}$

${\displaystyle H^{n}(X,{\mathcal {F}})=\operatorname {Hom} _{D(X)}(\mathbf {Z} ,{\mathcal {F}}[n]).}$

の左随伴である（すでにアーベル群の層のレベルで） の間の随伴は、随伴を生じます。${\displaystyle f^{-1}}$${\displaystyle f_{*}}$

${\displaystyle f^{-1}:D(Y)\rightleftarrows D(X):Rf_{*}}$（のために）、${\displaystyle f:X\to Y}$

ここで は導来関手です。この導来関手はに対してとなるため、層コホモロジーの概念を包含します。 ${\displaystyle Rf_{*}}$${\displaystyle H^{n}(X,{\mathcal {F}})=R^{n}f_{*}{\mathcal {F}}}$${\displaystyle f:X\to \{*\}}$

と同様に、コンパクトなサポートを持つ直接像も導出できます。次の同型性により、のファイバーのコンパクトなサポートを持つコホモロジーがパラメータ化されます。 ${\displaystyle f_{*}}$${\displaystyle f_{!}}$${\displaystyle Rf_{!}{\mathcal {F}}}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle (R^{i}f_{!}{\mathcal {F}})_{y}=H_{c}^{i}(f^{-1}(y),{\mathcal {F}}).}$^[14]

この同型性は基底変換定理の一例である。別の付加定理もある。

${\displaystyle Rf_{!}:D(X)\rightleftarrows D(Y):f^{!}.}$

上で考察したすべての関手とは異なり、ねじれ（または例外的）逆像関手は一般に導来圏のレベルでのみ定義される。つまり、この関手はアーベル圏間の何らかの関手の導来関手として得られるものではない。Xがn次元の滑らかな向き付け可能な多様体である場合、 ${\displaystyle f^{!}}$${\displaystyle f:X\to \{*\}}$

${\displaystyle f^{!}{\underline {\mathbf {R} }}\cong {\underline {\mathbf {R} }}[n].}$^[15]

この計算と、関数と双対性の互換性 (ヴェルディエ双対性を参照) を使用すると、ポアンカレ双対性の高度な説明を得ることができます。スキーム上の準コヒーレント層のコンテキストでは、コヒーレント双対性と呼ばれる同様の双対性があります。

倒錯層は、層（ただし一般層自体には含まれない）の特定のオブジェクトである。倒錯層は、特異点の幾何学を研究するための重要なツールである。^[16]${\displaystyle D(X)}$

層の導来圏のもう一つの重要な応用は、スキーム と表記される連接層の導来圏である。これはグロタンディークが導来圏とK理論を用いた交差理論^[17]の発展に利用したものであり、部分スキームの交差積はK理論では次のように表される。${\displaystyle X}$${\displaystyle D_{Coh}(X)}$${\displaystyle Y_{1},Y_{2}}$

${\displaystyle [Y_{1}]\cdot [Y_{2}]=[{\mathcal {O}}_{Y_{1}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}^{\mathbf {L} }{\mathcal {O}}_{Y_{2}}]\in K({\text{Coh(X)}})}$

ここで、コヒーレント層は、その構造層によって与えられる - 加群によって定義されます。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y_{i}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

アンドレ・ヴェイユのヴェイユ予想は、有限体上の代数多様体に対するコホモロジー理論が存在し、それがリーマン予想の類似物を与えることを述べたものである。複素多様体のコホモロジーは、ユークリッド位相における局所定数層の層コホモロジーとして定義することができ、これは、正特性におけるヴェイユコホモロジー理論を定数層の層コホモロジーとして定義することを示唆している。しかし、そのような多様体上の唯一の古典的な位相はザリスキ位相であり、ザリスキ位相には開集合が非常に少なく、あまりに少ないため、既約多様体上の任意のザリスキ定数層のコホモロジーは消えてしまう（次数 0 を除く）。アレクサンドル・グロタンディークは、被覆の概念を公理化するグロタンディーク位相を導入することでこの問題を解決した。グロタンディークの洞察は、層の定義は位相空間の開集合のみに依存し、個々の点には依存しないというものでした。彼が被覆の概念を公理化すると、開集合は他のオブジェクトに置き換えることができます。前層は、以前と同じように、これらのオブジェクトのそれぞれをデータに取り込み、層は、新しい被覆の概念に関して接着公理を満たす前層です。これにより、グロタンディークはエタールコホモロジーおよびℓ 進コホモロジーを定義することができ、これらは最終的にヴェイユ予想を証明するために使用されました。 ${\displaystyle {\underline {\mathbf {C} }}}$

グロタンディーク位相を持つカテゴリはサイトと呼ばれます。サイト上の層のカテゴリはトポスまたはグロタンディークトポスと呼ばれます。トポスの概念は後にウィリアム・ローヴェアとマイルズ・ティアニーによって抽象化され、数学論理と関係のある基本トポスを定義しました。

層理論の最初の起源は特定するのが難しい ―解析接続の考えと同じ範囲にあるかもしれない^{[説明が必要] 。}コホモロジーに関する基礎研究から、認識可能な独立した層理論が出現するまでに約 15 年かかりました。

• 1936年、エドゥアルト・チェフは、単体複合体を開いた被覆に関連付けるための神経構造を導入しました。
• 1938年、ハスラー・ホイットニーは、JWアレクサンダーとコルモゴロフが初めてコチェーンを定義して以来の研究を要約し、コホモロジーの「現代的な」定義を与えた。
• 1943年ノーマン・スティーンロッドが局所係数を持つホモロジーに関する論文を発表した。^[18]
• 1945年、ジャン・ルレーは捕虜として行った研究を発表した。その研究は偏微分方程式理論への応用のための不動点定理を証明することを動機としており、これが層理論とスペクトル列の始まりとなった。^[19]
• 1947年、アンリ・カルタンはアンドレ・ヴェイユとの書簡の中で、層の方法によってド・ラームの定理を反証した（ド・ラーム・ヴェイユの定理を参照）。ルレーは閉集合（後の甲羅）を介した講義の中で層の定義を与えた。
• 1948 カルタンセミナーが初めて層理論をまとめる。
• 1950 カルタンセミナーによる「第2版」層理論:層空間( espace étalé ) の定義が使用され、茎構造を持つ。サポートが導入され、サポートを持つコホモロジーが導入される。連続マッピングによりスペクトル列が生じる。同時に、岡潔は、複数の複素変数におけるイデアルの層というアイデア (それに隣接) を導入する。
• 1951 カルタンセミナーは岡の研究に基づいて定理 A と B を証明した。
• 1953年、解析理論における連接層の有限性定理はカルタンとジャン＝ピエール・セールによって証明され、^[20]セール双対性も同様に証明された。
• 1954年セールの論文「Faisceaux algébriques cohérents^」[21]（1955年出版）は代数幾何学に層を導入した。これらのアイデアはすぐにフリードリヒ・ヒルツェブルッフによって利用され、ヒルツェブルッフは1956年に位相幾何学的手法に関する主要な本を執筆した。
• 1955年、アレクサンダー・グロタンディークはカンザスでの講義でアーベル圏と前層を定義し、入射的解決を使用することで、すべての位相空間上で層コホモロジーを導来関手として直接使用できるようになりました。
• 1956年オスカー・ザリスキの報告書「代数層理論」^[22]
• 1957年グロタンディークの東北論文^[23]はホモロジー代数を書き直し、グロタンディーク双対性（すなわち、特異な代数多様体に対するセール双対性）を証明した。
• 1957 年以降: グロタンディークは代数幾何学の要求に沿って層理論を拡張し、スキームとその上の一般層、局所コホモロジー、導来カテゴリー(ヴェルディエと共同)、グロタンディーク位相を導入しました。また、ホモロジー代数における「 6 つの演算」という彼の影響力のある図式的なアイデアも登場しました。
• 1958年、ロジャー・ゴドマンの層理論に関する本が出版される。この頃、佐藤幹夫は層理論的な性質を持つことになる超関数を提案した。

この時点で層は数学の主流となり、その使用は代数的位相幾何学に限定されなくなった。後に層のカテゴリーの論理は直観主義論理であることが発見された（この観察は現在ではクリプキ・ジョイアル意味論と呼ばれることが多いが、おそらく複数の著者によるものであるべきである）。

• 一貫性のある束
• ガーベ
• スタック（数学）
• スペクトルの束
• 倒錯した束
• 空間の前層
• 構築可能な束
• ド・ラームの定理

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