単射層

数学では、アーベル群の入射層は、層コホモロジー（および層Extなどの他の導来関数）を定義するために必要な解決を構築するために使用されます。

層に適用される関連概念のグループがさらにあります：flabby（フランス語でflasque ）、 fine、soft（フランス語でmou）、acyclic。この分野の歴史では、これらはAlexander Grothendieckの1957年の「東北論文」より前に導入されました。この論文では、アーベル圏の入射的オブジェクトの概念が理論の基礎となるのに十分であることが示されました。層のその他のクラスは歴史的に古い概念です。コホモロジーや導来関手を定義する抽象的な枠組みでは、これらは必要ありません。ただし、ほとんどの具体的な状況では、非巡回層による解決の方が構築しやすいことがよくあります。そのため、非巡回層は計算目的に使用されます（たとえば、Lerayスペクトル列）。

入射層 とは、アーベル層のカテゴリの入射的な対象である層である。言い換えれば、からへの準同型は常に、を含む任意の層に拡張できる。${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}.}$

アーベル層のカテゴリには十分な数の入射オブジェクトがあります。つまり、任意の層は入射層のサブ層です。このグロタンディークの結果は、カテゴリの生成元の存在から生じます(明示的に記述でき、サブオブジェクト分類子 に関連付けられています)。これは、任意の左完全関数の右導出関数が存在し、標準同型性を除いて一意であることを示すのに十分です。

技術的な観点からは、通常、入射層は上記の他のクラスの層よりも優れています。他のクラスでできることはほとんどすべて実行でき、理論はより単純でより一般的です。実際、入射層はフラビ（フラスク）で、柔らかく、非巡回的です。ただし、他のクラスの層が自然に発生する状況もあり、これは具体的な計算状況で特に当てはまります。

双対概念である射影層はあまり使用されません。なぜなら、一般的な層のカテゴリでは十分な数が存在しないからです。すべての層が射影層の商であるわけではなく、特に射影分解が常に存在するわけではありません。これは、たとえば、ザリスキ位相における射影空間上の層のカテゴリを見るときに当てはまります。これにより、右完全関数 (Tor など) の左導来関数を定義しようとするときに問題が発生します。これは、アドホックな方法で実行できる場合があります。たとえば、Tor の左導来関数は、射影分解ではなく平坦分解を使用して定義できますが、これが分解に依存しないことを示すには多少の作業が必要です。すべての層のカテゴリでこの問題が発生するわけではありません。たとえば、アフィン スキーム上の層のカテゴリには、十分な数の射影が含まれています。

X上の非巡回層 とは、すべての高次層コホモロジー群が消えるような層です。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

任意の層のコホモロジー群は、その層の任意の非巡回分解から計算できます (これはDe Rham-Weil の定理と呼ばれます)。

X上の細かい層は「単位の分割」を持つ層です。より正確には、空間Xの任意の開被覆に対して、その層からそれ自身への準同型写像の族が見つかり、その和は 1 で、各準同型写像は開被覆の何らかの要素の外側では 0 になります。

細層は通常、パラコンパクトハウスドルフ空間X上でのみ使用されます。典型的な例としては、そのような空間上の連続実数値関数の芽の層、滑らかな (パラコンパクト ハウスドルフ) 多様体上の滑らかな関数、またはこれらの環の層上の加群などがあります。また、パラコンパクト ハウスドルフ空間上の細層はソフトで非巡回的です。

アレクサンダー・スパニエ分解を用いると、滑らかな多様体上の層の細束による分解を求めることができる。^[1]

応用として、実多様体 Xを考えます。定数層は、 （滑らかな）微分形式の詳細層によって次のように分解されます。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle 0\to \mathbb {R} \to C_{X}^{0}\to C_{X}^{1}\to \cdots \to C_{X}^{\dim X}\to 0.}$

これはポアンカレの補題による層の正確な複体の解決、すなわち解である。の値を持つXのコホモロジーは、大域的に定義された微分形式の複体のコホモロジーとして計算できる。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle H^{i}(X,\mathbb {R} )=H^{i}(C_{X}^{\bullet }(X)).}$

X上のソフト層 とは、 Xの任意の閉部分集合上の任意のセクションがグローバルセクションに拡張できる層 のことです。${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

ソフト層はパラコンパクト ハウスドルフ空間上で非巡回的です。

フラスク層（フラビー層とも呼ばれる）は、次の性質を持つ層 である。が層が定義されている 基本位相空間であり、${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle U\subseteq V\subseteq X}$

が開集合である場合、制限写像

${\displaystyle r_{U\subseteq V}:\Gamma (V,{\mathcal {F}})\to \Gamma (U,{\mathcal {F}})}$

は、群（環、加群など） の写像として、射影的です。

フラスク層は、（定義により）そのセクションが拡張されるため便利です。つまり、ホモロジー代数の観点から扱うのが最も簡単な層の 1 つです。任意の層には、エタレ空間のすべての可能性のある不連続セクションのフラスク層への標準埋め込みがあり、これを繰り返すことで、任意の層の標準フラスク分解を見つけることができます。フラスク分解、つまりフラスク層による分解は、層コホモロジーを定義する 1 つの方法です。

フラスクシーブは柔らかく非環式です。

Flasqueはフランス語で、英語ではflabbyと訳されることもあります。

• Godement、Roger (1998)、Topologie algébrique et théorie des faisceaux、パリ: Hermann、ISBN 978-2-7056-1252-8、MR  0345092
• Grothendieck, Alexander (1957)、「Sur quelques Points d'algèbre homologique」、東北数学ジャーナル、第 2 シリーズ、9 (2): 119–221、doi : 10.2748/tmj/1178244839、ISSN  0040-8735、MR  0102537
• MathOverflowの「層コホモロジーおよび単射的解決」