発見と動機 代数トポロジーの問題に触発されたジャン・ルレイは、 層 の概念を導入し、層のコホモロジーを 計算するという問題に直面しました。層のコホモロジーを計算するために、ルレイは現在ルレイスペクトル系列 として知られる計算手法を導入しました。これにより、層のコホモロジー群と、その層のプッシュフォワード のコホモロジー群との間に関係が与えられました。この関係は無限のプロセスを含んでいました。ルレイは、プッシュフォワードのコホモロジー群が自然な鎖複体 を形成することを発見し、それによってコホモロジーのコホモロジーを取ることができました。これはまだ元の層のコホモロジーではありませんでしたが、ある意味では一歩近づきました。コホモロジーのコホモロジーは再び鎖複体を形成し、そのコホモロジーは鎖複体を形成し、以下同様でした。この無限プロセスの極限は、本質的に元の層のコホモロジー群と同じでした。
ルレイの計算手法は、より一般的な現象の一例であることがすぐに明らかになった。スペクトル系列は様々な状況で発見され、ファイブレーションなどの幾何学的状況や、 導来関手 を含む代数的状況から生じるホモロジー群とコホモロジー群の間の複雑な関係を示した。導来圏 の導入以来、その理論的重要性は低下したが、スペクトル系列は依然として最も効果的な計算ツールである。これは、スペクトル系列の多くの項が計算不可能な場合でも同様である。
残念ながら、スペクトル系列には膨大な情報が含まれているため、それらを理解するのは困難です。この情報は通常、アーベル群 または加群 のランク3の格子に含まれています。最も扱いやすいのは、スペクトル系列が最終的に崩壊する場合です。つまり、系列をさらに進めても新しい情報は得られません。たとえそうでない場合でも、さまざまな工夫によってスペクトル系列から有用な情報を得ることが可能です。
二段階スペクトル系列 実際には、スペクトル系列は主に環 R 上の二重 次数 付き加群のカテゴリー(または環の層上の二重次数 付き加群の層) に現れます。つまり、すべてのシートは二重次数付き R 加群です。E r = ⨁ p 、 q ∈ Z 2 E r p 、 q 。 {\textstyle E_{r}=\bigoplus _{p,q\in \mathbb {Z} ^{2}}E_{r}^{p,q}。} { E r 、 d r } r ≥ r 0 {\displaystyle \{E_{r},d_{r}\}_{r\geq r_{0}}} { E r p 、 q } p 、 q {\displaystyle \{E_{r}^{p,q}\}_{p,q}} d r = （ d r p 、 q : E r p 、 q → E r p + r 、 q − r + 1 ） p 、 q ∈ Z 2 {\displaystyle d_{r}=(d_{r}^{p,q}:E_{r}^{p,q}\to E_{r}^{p+r,q-r+1})_{p,q\in \mathbb {Z} ^{2}}} （ r 、 1 − r ） {\displaystyle (r,1-r)} r ≥ r 0 \displaystyle r\geq r_{0}}
d r p + r 、 q − r + 1 ∘ d r p 、 q = 0 \displaystyle d_{r}^{p+r,q-r+1}\circ d_{r}^{p,q}=0} E r + 1 ≅ H * （ E r 、 d r ） {\displaystyle E_{r+1}\cong H_{*}(E_{r},d_{r})} ここで使用されている表記法は 補次数 と呼ばれます。一部の著者は次のように書いています。 E r d 、 q {\displaystyle E_{r}^{d,q}} d = p + q {\displaystyle d=p+q} は総次数 です。スペクトル系列によっては、最初のシート上の境界マップの次数は、r = 0、r = 1、またはr = 2 に対応します。たとえば、以下で説明するフィルター付き複体のスペクトル系列ではr 0 = 0 ですが、グロタンディーク スペクトル系列ではr 0 = 2 です。通常、r 0 は 0、1、または 2 です。上記で説明した非次数化の状況では、r 0 は関係ありません。
スペクトル系列の構成 スペクトル系列は様々な方法で構成できる。代数トポロジーにおいては、完全対が最も一般的な構成手段である。代数幾何学においては、スペクトル系列は通常、コチェイン複体のフィルター処理によって構成される。
正確なペアのスペクトル系列 スペクトル系列を構成するもう一つの手法は、ウィリアム・マッセイ の完全対法である。完全対法は代数トポロジーにおいて特に一般的である。しかしながら、抽象代数学 においてはあまり用いられておらず、そこではほとんどのスペクトル系列はフィルター付き複体から得られる。
完全対を定義するために、再びアーベル圏から始めます。これまでと同様に、実際にはこれは通常、環上の二重次数付き加群の圏です。完全対は、対象 ( A 、C )のペアと、これらの対象間の 3 つの準同型写像f : A → A 、g : A → C 、h : C → A であり、特定の完全性条件を満たします。
画像 f =カーネル g 画像g = カーネルh 画像h = カーネルf このデータは（ A 、C 、f 、g 、h ）と略記します。正確なペアは通常、三角形で表されます。Cは スペクトル系列のE0 項 に対応し、 A は補助データであることがわかります。
スペクトル系列の次のシートに進むために、導出ペア を形成します。以下のように設定します。
d = g o h A ' = f ( A )C ' = Ker d / Im d f ' = f | A ' fを A ' h ' : C ' → A ' はh によって誘導される。hが このような写像を誘導することは容易にわかる。g ' : A ' → C ' は、要素上で次のように定義されます。A ' a に対して、a を 、 A のある要素bに対する f ( b )とします。g ' ( a ) は、 C ' g ( b )の像として定義されます。一般に、g ' は、 ここから、( A ' , C ' , f ' , g ' , h ' ) が完全なペアであることを簡単に確認できます。C ' は スペクトルシーケンスのE 1 項に対応します。この手順を繰り返すことで、完全なペア ( A ( n ) , C ( n ) , f ( n ) , g ( n ) , h ( n ) )を得ることができます。
スペクトル系列を構築するために、E n を C ( n ) とし、d n を g ( n ) o h ( n ) とする。
フィルター処理された複合体のスペクトルシーケンス 非常に一般的なスペクトルシーケンスのタイプは、フィルタリングされた コチェイン複合体から得られます。これは、自然に二段階オブジェクトを誘導するためです。コチェイン複合体を考えてみましょう。（ C ・ 、 d ） {\displaystyle (C^{\bullet },d)} 。 。 。 ⊃ F − 2 C ・ ⊃ F − 1 C ・ ⊃ F 0 C ・ ⊃ F 1 C ・ ⊃ F 2 C ・ ⊃ F 3 C ・ ⊃ 。 。 。 {\textstyle ...\supset \,F^{-2}C^{\bullet }\,\supset \,F^{-1}C^{\bullet }\supset F^{0}C^{\bullet }\,\supset \,F^{1}C^{\bullet }\,\supset \,F^{2}C^{\bullet }\,\supset \,F^{3}C^{\bullet }\,\supset ...\,} d （ F p C n ） ⊂ F p C n + 1 d(F^{p}C^{n})\subset F^{p}C^{n+1}} 網羅的で ある、つまり、すべての集合の和集合がF p C ・ {\textstyle F^{p}C^{\bullet }} C ・ {\textstyle C^{\bullet }} E 0 p 、 q = F p C p + q / F p + 1 C p + q {\textstyle E_{0}^{p,q}=F^{p}C^{p+q}/F^{p+1}C^{p+q}} E 1 p 、 q = H p + q （ F p C ・ / F p + 1 C ・ ） {\textstyle E_{1}^{p,q}=H^{p+q}(F^{p}C^{\bullet }/F^{p+1}C^{\bullet })} [ 5 ] ハウスドルフ または分離されている 、つまりすべての集合の共通部分がF p C ・ {\textstyle F^{p}C^{\bullet }}
フィルタリングは、ゼロへの近さの尺度を与えるため有用です。pが増加 すると、F p C ・ {\textstyle F^{p}C^{\bullet }} p と相補次数q = n − p
工事 C ・ {\displaystyle C^{\bullet }} E 1 {\displaystyle E_{1}}
Z − 1 p 、 q = Z 0 p 、 q = F p C p + q {\displaystyle Z_{-1}^{p,q}=Z_{0}^{p,q}=F^{p}C^{p+q}} B 0 p 、 q = 0 {\displaystyle B_{0}^{p,q}=0} E 0 p 、 q = Z 0 p 、 q B 0 p 、 q + Z − 1 p + 1 、 q − 1 = F p C p + q F p + 1 C p + q {\displaystyle E_{0}^{p,q}={\frac {Z_{0}^{p,q}}{B_{0}^{p,q}+Z_{-1}^{p+1,q-1}}}={\frac {F^{p}C^{p+q}}{F^{p+1}C^{p+q}}}} E 0 = ⨁ p 、 q ∈ Z E 0 p 、 q {\displaystyle E_{0}=\bigoplus _{p,q\in \mathbf {Z} }E_{0}^{p,q}} 境界マップがフィルタリングと互換性があると仮定したため、E 0 {\displaystyle E_{0}} d 0 d0 E 0 {\displaystyle E_{0}} E 1 {\displaystyle E_{1}} E 0 {\displaystyle E_{0}}
Z ¯ 1 p 、 q = カー d 0 p 、 q : E 0 p 、 q → E 0 p 、 q + 1 = カー d 0 p 、 q : F p C p + q / F p + 1 C p + q → F p C p + q + 1 / F p + 1 C p + q + 1 {\displaystyle {\bar {Z}}_{1}^{p,q}=\ker d_{0}^{p,q}:E_{0}^{p,q}\rightarrow E_{0}^{p,q+1}=\ker d_{0}^{p,q}:F^{p}C^{p+q}/F^{p+1}C^{p+q}\rightarrow F^{p}C^{p+q+1}/F^{p+1}C^{p+q+1}} B ¯ 1 p 、 q = 私は d 0 p 、 q − 1 : E 0 p 、 q − 1 → E 0 p 、 q = 私は d 0 p 、 q − 1 : F p C p + q − 1 / F p + 1 C p + q − 1 → F p C p + q / F p + 1 C p + q {\displaystyle {\bar {B}}_{1}^{p,q}={\mbox{im }}d_{0}^{p,q-1}:E_{0}^{p,q-1}\rightarrow E_{0}^{p,q}={\mbox{im }}d_{0}^{p,q-1}:F^{p}C^{p+q-1}/F^{p+1}C^{p+q-1}\rightarrow F^{p}C^{p+q}/F^{p+1}C^{p+q}} E 1 p 、 q = Z ¯ 1 p 、 q B ¯ 1 p 、 q = カー d 0 p 、 q : E 0 p 、 q → E 0 p 、 q + 1 私は d 0 p 、 q − 1 : E 0 p 、 q − 1 → E 0 p 、 q {\displaystyle E_{1}^{p,q}={\frac {{\bar {Z}}_{1}^{p,q}}{{\bar {B}}_{1}^{p,q}}}={\frac {\ker d_{0}^{p,q}:E_{0}^{p,q}\rightarrow E_{0}^{p,q+1}}{{\mbox{im }}d_{0}^{p,q-1}:E_{0}^{p,q-1}\rightarrow E_{0}^{p,q}}}} E 1 = ⨁ p 、 q ∈ Z E 1 p 、 q = ⨁ p 、 q ∈ Z Z ¯ 1 p 、 q B ¯ 1 p 、 q {\displaystyle E_{1}=\bigoplus _{p,q\in \mathbf {Z} }E_{1}^{p,q}=\bigoplus _{p,q\in \mathbf {Z} }{\frac {{\bar {Z}}_{1}^{p,q}}{{\bar {B}}_{1}^{p,q}}}} 注目してくださいZ ¯ 1 p 、 q {\displaystyle {\bar {Z}}_{1}^{p,q}} B ¯ 1 p 、 q {\displaystyle {\bar {B}}_{1}^{p,q}} E 0 p 、 q {\displaystyle E_{0}^{p,q}}
Z 1 p 、 q = カー d 0 p 、 q : F p C p + q → C p + q + 1 / F p + 1 C p + q + 1 {\displaystyle Z_{1}^{p,q}=\ker d_{0}^{p,q}:F^{p}C^{p+q}\rightarrow C^{p+q+1}/F^{p+1}C^{p+q+1}} B 1 p 、 q = （ 私は d 0 p 、 q − 1 : F p C p + q − 1 → C p + q ） ∩ F p C p + q {\displaystyle B_{1}^{p,q}=({\mbox{im }}d_{0}^{p,q-1}:F^{p}C^{p+q-1}\rightarrow C^{p+q})\cap F^{p}C^{p+q}} そして私たちは
E 1 p 、 q = Z 1 p 、 q B 1 p 、 q + Z 0 p + 1 、 q − 1 。 {\displaystyle E_{1}^{p,q}={\frac {Z_{1}^{p,q}}{B_{1}^{p,q}+Z_{0}^{p+1,q-1}}}.} Z 1 p 、 q {\displaystyle Z_{1}^{p,q}} B 1 p 、 q {\displaystyle B_{1}^{p,q}} Z r p 、 q {\displaystyle Z_{r}^{p,q}} r レベルまで押し上げる要素であり、B r p 、 q {\displaystyle B_{r}^{p,q}} 微分によって濾過でr-1 レベルまで押し上げられる要素の画像である。言い換えれば、スペクトルシーケンスは以下を満たす必要がある。
Z r p 、 q = カー d 0 p 、 q : F p C p + q → C p + q + 1 / F p + r C p + q + 1 {\displaystyle Z_{r}^{p,q}=\ker d_{0}^{p,q}:F^{p}C^{p+q}\rightarrow C^{p+q+1}/F^{p+r}C^{p+q+1}} B r p 、 q = （ 私は d 0 p − r + 1 、 q + r − 2 : F p − r + 1 C p + q − 1 → C p + q ） ∩ F p C p + q {\displaystyle B_{r}^{p,q}=({\mbox{im }}d_{0}^{p-r+1,q+r-2}:F^{p-r+1}C^{p+q-1}\rightarrow C^{p+q})\cap F^{p}C^{p+q}} E r p 、 q = Z r p 、 q B r p 、 q + Z r − 1 p + 1 、 q − 1 {\displaystyle E_{r}^{p,q}={\frac {Z_{r}^{p,q}}{B_{r}^{p,q}+Z_{r-1}^{p+1,q-1}}}} そして私たちは関係を持つべきだ
B r p 、 q = d 0 p 、 q （ Z r − 1 p − r + 1 、 q + r − 2 ） 。 {\displaystyle B_{r}^{p,q}=d_{0}^{p,q}(Z_{r-1}^{p-r+1,q+r-2}).} これが意味を成すためには、微分を見つける必要があるd r {\displaystyle d_{r}} E r {\displaystyle E_{r}} E r + 1 {\displaystyle E_{r+1}}
d r p 、 q : E r p 、 q → E r p + r 、 q − r + 1 {\displaystyle d_{r}^{p,q}:E_{r}^{p,q}\rightarrow E_{r}^{p+r,q-r+1}} は、元の微分を制限することによって定義されます。d {\displaystyle d} C p + q {\displaystyle C^{p+q}} Z r p 、 q {\displaystyle Z_{r}^{p,q}} E r {\displaystyle E_{r}} E r + 1 {\displaystyle E_{r+1}}
二重複合体のスペクトル系列 もう一つの一般的なスペクトル系列は、二重複体のスペクトル系列です。二重複体 は、すべての整数i とjに対するオブジェクト C i,j の集合と、2 つの微分d I d II I は i を 減少させ、d II はj を減少させると仮定します。さらに、微分は反可換である と仮定し、d I d II d II d I H 私 私 （ H j II （ C ・ 、 ・ ） ） {\displaystyle H_{i}^{\textrm {I}}(H_{j}^{\textrm {II}}(C_{\bullet ,\bullet }))} H j II （ H 私 私 （ C ・ 、 ・ ） ） {\displaystyle H_{j}^{\textrm {II}}(H_{i}^{\textrm {I}}(C_{\bullet ,\bullet }))}
（ C 私 、 j 私 ） p = { 0 もし 私 < p C 私 、 j もし 私 ≥ p {\displaystyle (C_{i,j}^{\textrm {I}})_{p}={\begin{cases}0&{\text{if }}i<p\\C_{i,j}&{\text{if }}i\geq p\end{cases}}} （ C 私 、 j II ） p = { 0 もし j < p C 私 、 j もし j ≥ p {\displaystyle (C_{i,j}^{\textrm {II}})_{p}={\begin{cases}0&{\text{if }}j<p\\C_{i,j}&{\text{if }}j\geq p\end{cases}}} スペクトル系列を得るために、前の例に還元します。全複素数 T ( C •,• ) を、 n ′ 番目の項が次のようになる複素数と定義します。⨁ 私 + j = n C 私 、 j {\displaystyle \bigoplus _{i+j=n}C_{i,j}} d I d II である。d I とd II は i ,j
T n （ C ・ 、 ・ ） p 私 = ⨁ 私 + j = n 私 > p − 1 C 私 、 j {\displaystyle T_{n}(C_{\bullet ,\bullet })_{p}^{\textrm {I}}=\bigoplus _{i+j=n \atop i>p-1}C_{i,j}} T n （ C ・ 、 ・ ） p II = ⨁ 私 + j = n j > p − 1 C 私 、 j {\displaystyle T_{n}(C_{\bullet ,\bullet })_{p}^{\textrm {II}}=\bigoplus _{i+j=n \atop j>p-1}C_{i,j}} これらのスペクトル系列が反復ホモロジーに関する情報を与えることを示すために、 T ( C •,• )上のI フィルタリングのE 0 E 1 E 2 0項 は
私 E p 、 q 0 = T n （ C ・ 、 ・ ） p 私 / T n （ C ・ 、 ・ ） p + 1 私 = ⨁ 私 + j = n 私 > p − 1 C 私 、 j / ⨁ 私 + j = n 私 > p C 私 、 j = C p 、 q 、 {\displaystyle {}^{\textrm {I}}E_{p,q}^{0}=T_{n}(C_{\bullet ,\bullet })_{p}^{\textrm {I}}/T_{n}(C_{\bullet ,\bullet })_{p+1}^{\textrm {I}}=\bigoplus _{i+j=n \atop i>p-1}C_{i,j}{\Big /}\bigoplus _{i+j=n \atop i>p}C_{i,j}=C_{p,q},} ここでn = p + q
E 1 E 0 d I d II n に関して− 1 の次数を持つ必要があることに注意してください。したがって、写像が得られます。
d p 、 q 私 + d p 、 q II : T n （ C ・ 、 ・ ） p 私 / T n （ C ・ 、 ・ ） p + 1 私 = C p 、 q → T n − 1 （ C ・ 、 ・ ） p 私 / T n − 1 （ C ・ 、 ・ ） p + 1 私 = C p 、 q − 1 {\displaystyle d_{p,q}^{\textrm {I}}+d_{p,q}^{\textrm {II}}:T_{n}(C_{\bullet ,\bullet })_{p}^{\textrm {I}}/T_{n}(C_{\bullet ,\bullet })_{p+1}^{\textrm {I}}=C_{p,q}\rightarrow T_{n-1}(C_{\bullet ,\bullet })_{p}^{\textrm {I}}/T_{n-1}(C_{\bullet ,\bullet })_{p+1}^{\textrm {I}}=C_{p,q-1}} したがって、 E 0 d I d II C p , q C p , q − 1d I d I は E 0 d II
私 E p 、 q 1 = H q II （ C p 、 ・ ） 。 {\displaystyle {}^{\textrm {I}}E_{p,q}^{1}=H_{q}^{\textrm {II}}(C_{p,\bullet }).} E 2
d p 、 q 私 + d p 、 q II : H q II （ C p 、 ・ ） → H q II （ C p + 1 、 ・ ） {\displaystyle d_{p,q}^{\textrm {I}}+d_{p,q}^{\textrm {II}}:H_{q}^{\textrm {II}}(C_{p,\bullet })\rightarrow H_{q}^{\textrm {II}}(C_{p+1,\bullet })} E 1 は d II d II はE 1
私 E p 、 q 2 = H p 私 （ H q II （ C ・ 、 ・ ） ） 。 {\displaystyle {}^{\textrm {I}}E_{p,q}^{2}=H_{p}^{\textrm {I}}(H_{q}^{\textrm {II}}(C_{\bullet ,\bullet })).} 別のフィルタリングを用いると、 E 2
II E p 、 q 2 = H q II （ H p 私 （ C ・ 、 ・ ） ） 。 {\displaystyle {}^{\textrm {II}}E_{p,q}^{2}=H_{q}^{\textrm {II}}(H_{p}^{I}(C_{\bullet ,\bullet })).} 残る課題は、これら2つのスペクトル系列間の関係性を見出すことである。rの 値が増加するにつれて、2つの系列は十分に類似し、有用な比較が可能になることがわかるだろう。
収束条件 スペクトル系列が弱収束する とは、次数付きオブジェクトが存在する場合をいう。H ・ {\displaystyle H^{\bullet }} F ・ H n {\displaystyle F^{\bullet }H^{n}} n {\displaystyle n} p {\displaystyle p} E ∞ p 、 q ≅ F p H p + q / F p + 1 H p + q {\displaystyle E_{\infty }^{p,q}\cong F^{p}H^{p+q}/F^{p+1}H^{p+q}} 収束 するH ・ {\displaystyle H^{\bullet }} F ・ H n {\displaystyle F^{\bullet }H^{n}} ⋂ p F p H ・ = 0 {\displaystyle \textstyle \bigcap _{p}F^{p}H^{\bullet }=0}
E r p 、 q ⇒ p E ∞ n {\displaystyle E_{r}^{p,q}\Rightarrow _{p}E_{\infty }^{n}} p + q = n の とき、E r p 、 q {\displaystyle E_{r}^{p,q}} E ∞ p 、 q {\displaystyle E_{\infty }^{p,q}} E r p 、 q {\displaystyle E_{r}^{p,q}} 隣接する E ∞ p 、 q {\displaystyle E_{\infty }^{p,q}} スペクトルシーケンスの隣接） p 、 q {\displaystyle p,q} r （ p 、 q ） {\displaystyle r(p,q)} r ≥ r （ p 、 q ） {\displaystyle r\geq r(p,q)} E r p 、 q = E r （ p 、 q ） p 、 q {\displaystyle E_{r}^{p,q}=E_{r(p,q)}^{p,q}} E r （ p 、 q ） p 、 q = E ∞ p 、 q {\displaystyle E_{r(p,q)}^{p,q}=E_{\infty }^{p,q}} 正則で あるか、またはで縮退する。r 0 {\displaystyle r_{0}} 差分がd r p 、 q {\displaystyle d_{r}^{p,q}} r ≥ r 0 {\displaystyle r\geq r_{0}} r 0 ≥ 2 {\displaystyle r_{0}\geq 2} r 0 t h {\displaystyle r_{0}^{th}} 「縮退」している と言います。記号では次のように書きます。
E r p 、 q ⇒ p E ∞ p 、 q {\displaystyle E_{r}^{p,q}\Rightarrow _{p}E_{\infty }^{p,q}} p は濾過 指数を表します。E 2 p 、 q {\displaystyle E_{2}^{p,q}} E ∞ {\displaystyle E_{\infty }} E 1 {\displaystyle E_{1}}
スペクトル系列の5項完全系列は、 特定 の低次項とE∞ 項を関連付ける。
退化の例
ここに、包含関係の連鎖があることに注目してください。
Z 0 p 、 q ⊇ Z 1 p 、 q ⊇ Z 2 p 、 q ⊇ ⋯ ⊇ B 2 p 、 q ⊇ B 1 p 、 q ⊇ B 0 p 、 q {\displaystyle Z_{0}^{p,q}\supseteq Z_{1}^{p,q}\supseteq Z_{2}^{p,q}\supseteq \cdots \supseteq B_{2}^{p,q}\supseteq B_{1}^{p,q}\supseteq B_{0}^{p,q}} 定義するとどうなるか尋ねることができます
Z ∞ p 、 q = ⋂ r = 0 ∞ Z r p 、 q 、 {\displaystyle Z_{\infty }^{p,q}=\bigcap _{r=0}^{\infty }Z_{r}^{p,q},} B ∞ p 、 q = ⋃ r = 0 ∞ B r p 、 q 、 {\displaystyle B_{\infty }^{p,q}=\bigcup _{r=0}^{\infty }B_{r}^{p,q},} E ∞ p 、 q = Z ∞ p 、 q B ∞ p 、 q + Z ∞ p + 1 、 q − 1 。 {\displaystyle E_{\infty }^{p,q}={\frac {Z_{\infty }^{p,q}}{B_{\infty }^{p,q}+Z_{\infty }^{p+1,q-1}}}.} E ∞ p 、 q {\displaystyle E_{\infty }^{p,q}} r 個の 非自明なステップから構成されている場合、スペクトル系列はr 番目のシート以降で退化します。また、複素数とフィルタリングの両方が下限を持つか、または両方が上限を持つ場合にも収束が発生します。
スペクトル系列の隣接関係をより詳細に説明すると、次の式が得られます。
Z ∞ p 、 q = ⋂ r = 0 ∞ Z r p 、 q = ⋂ r = 0 ∞ カー （ F p C p + q → C p + q + 1 / F p + r C p + q + 1 ） {\displaystyle Z_{\infty }^{p,q}=\bigcap _{r=0}^{\infty }Z_{r}^{p,q}=\bigcap _{r=0}^{\infty }\ker(F^{p}C^{p+q}\rightarrow C^{p+q+1}/F^{p+r}C^{p+q+1})} B ∞ p 、 q = ⋃ r = 0 ∞ B r p 、 q = ⋃ r = 0 ∞ （ 私は d p 、 q − r : F p − r C p + q − 1 → C p + q ） ∩ F p C p + q {\displaystyle B_{\infty }^{p,q}=\bigcup _{r=0}^{\infty }B_{r}^{p,q}=\bigcup _{r=0}^{\infty }({\mbox{im }}d^{p,q-r}:F^{p-r}C^{p+q-1}\rightarrow C^{p+q})\cap F^{p}C^{p+q}} これが何を意味するのかを見るためにZ ∞ p 、 q {\displaystyle Z_{\infty }^{p,q}} r が 増加するにつれてカーネルが縮小し、最終的に次のようになることを意味します。Z ∞ p 、 q = カー （ F p C p + q → C p + q + 1 ） {\displaystyle Z_{\infty }^{p,q}=\ker(F^{p}C^{p+q}\rightarrow C^{p+q+1})} B ∞ p 、 q {\displaystyle B_{\infty }^{p,q}} r が増加するにつれて画像が大きくなり、最終的に次の値に達することを意味します。B ∞ p 、 q = 私は （ C p + q − 1 → C p + q ） ∩ F p C p + q {\displaystyle B_{\infty }^{p,q}={\text{im }}(C^{p+q-1}\rightarrow C^{p+q})\cap F^{p}C^{p+q}}
E ∞ p 、 q = gr p H p + q （ C ・ ） {\displaystyle E_{\infty }^{p,q}={\mbox{gr}}_{p}H^{p+q}(C^{\bullet })} すなわち、スペクトル系列の隣接点は、Cの (p+q) 番目のホモロジーのp 番目の次数付き部分である。スペクトル系列が収束する場合、次のことが結論付けられる。
E r p 、 q ⇒ p H p + q （ C ・ ） {\displaystyle E_{r}^{p,q}\Rightarrow _{p}H^{p+q}(C^{\bullet })}
長鎖完全配列 フィルタリングされた複体のスペクトル系列を使用すると、長い完全系列 の存在を導出できます。コチェイン複体の短い完全系列 0 → A • B • C • f • : A • B • と呼びます。ホモロジーオブジェクトの自然な写像H n ( A • H n ( B • H n ( C • B •
F 0 B n = B n {\displaystyle F^{0}B^{n}=B^{n}} F 1 B n = A n {\displaystyle F^{1}B^{n}=A^{n}} F 2 B n = 0 {\displaystyle F^{2}B^{n}=0} これにより、以下が得られます。
E 0 p 、 q = F p B p + q F p + 1 B p + q = { 0 もし p < 0 または p > 1 C q もし p = 0 A q + 1 もし p = 1 {\displaystyle E_{0}^{p,q}={\frac {F^{p}B^{p+q}}{F^{p+1}B^{p+q}}}={\begin{cases}0&{\text{if }}p<0{\text{ or }}p>1\\C^{q}&{\text{if }}p=0\\A^{q+1}&{\text{if }}p=1\end{cases}}} E 1 p 、 q = { 0 もし p < 0 または p > 1 H q （ C ・ ） もし p = 0 H q + 1 （ A ・ ） もし p = 1 {\displaystyle E_{1}^{p,q}={\begin{cases}0&{\text{if }}p<0{\text{ or }}p>1\\H^{q}(C^{\bullet })&{\text{if }}p=0\\H^{q+1}(A^{\bullet })&{\text{if }}p=1\end{cases}}} 微分は双次数 (1, 0) を持つので、d 0, q : H q ( C • H q +1A • ) となります。これらはスネーク補題 からの接続準同型写像であり、写像A • B • C •
⋯ → H q （ B ・ ） → H q （ C ・ ） → H q + 1 （ A ・ ） → H q + 1 （ B ・ ） → ⋯ {\displaystyle \cdots \rightarrow H^{q}(B^{\bullet })\rightarrow H^{q}(C^{\bullet })\rightarrow H^{q+1}(A^{\bullet })\rightarrow H^{q+1}(B^{\bullet })\rightarrow \cdots } この数列がA点 とC 点で完全であることを示す必要がある。微分が双次数(2, − 1)を持つため、このスペクトル数列は E 2 項で縮退することに注意する。したがって、E 2項は E ∞ 項と同じである。
E 2 p 、 q ≅ gr p H p + q （ B ・ ） = { 0 もし p < 0 または p > 1 H q （ B ・ ） / H q （ A ・ ） もし p = 0 私は H q + 1 f ・ : H q + 1 （ A ・ ） → H q + 1 （ B ・ ） もし p = 1 {\displaystyle E_{2}^{p,q}\cong {\text{gr}}_{p}H^{p+q}(B^{\bullet })={\begin{cases}0&{\text{if }}p<0{\text{ or }}p>1\\H^{q}(B^{\bullet })/H^{q}(A^{\bullet })&{\text{if }}p=0\\{\text{im }}H^{q+1}f^{\bullet }:H^{q+1}(A^{\bullet })\rightarrow H^{q+1}(B^{\bullet })&{\text{if }}p=1\end{cases}}} しかし、 E 2項を E 1 項の相同性として直接記述することもできます。これら 2 つの記述は同型でなければなりません。
H q （ B ・ ） / H q （ A ・ ） ≅ カー d 0 、 q 1 : H q （ C ・ ） → H q + 1 （ A ・ ） {\displaystyle H^{q}(B^{\bullet })/H^{q}(A^{\bullet })\cong \ker d_{0,q}^{1}:H^{q}(C^{\bullet })\rightarrow H^{q+1}(A^{\bullet })} 私は H q + 1 f ・ : H q + 1 （ A ・ ） → H q + 1 （ B ・ ） ≅ H q + 1 （ A ・ ） / （ 私は d 0 、 q 1 : H q （ C ・ ） → H q + 1 （ A ・ ） ） {\displaystyle {\text{im }}H^{q+1}f^{\bullet }:H^{q+1}(A^{\bullet })\rightarrow H^{q+1}(B^{\bullet })\cong H^{q+1}(A^{\bullet })/({\mbox{im }}d_{0,q}^{1}:H^{q}(C^{\bullet })\rightarrow H^{q+1}(A^{\bullet }))} 前者はC スポットでの精度が高く、後者はA スポットでの精度が高い。
フィルター付き複合材のアバットメントを使用すると、次のことがわかります。
H p 私 （ H q II （ C ・ 、 ・ ） ） ⇒ p H p + q （ T （ C ・ 、 ・ ） ） {\displaystyle H_{p}^{\textrm {I}}(H_{q}^{\textrm {II}}(C_{\bullet ,\bullet }))\Rightarrow _{p}H^{p+q}(T(C_{\bullet ,\bullet }))} H q II （ H p 私 （ C ・ 、 ・ ） ） ⇒ q H p + q （ T （ C ・ 、 ・ ） ） {\displaystyle H_{q}^{\textrm {II}}(H_{p}^{\textrm {I}}(C_{\bullet ,\bullet }))\Rightarrow _{q}H^{p+q}(T(C_{\bullet ,\bullet }))} 一般的に、2 つの評価は H p + q （ T （ C ・ 、 ・ ） ） {\displaystyle H^{p+q}(T(C_{\bullet ,\bullet }))} これら 。しかしながら、これら2つのスペクトル系列から有用な情報を得ることは依然として可能である。
Torの可換性 R を環、M を 右R 加群、N を左R 加群とする。テンソル積の導来関手をTorと表記することを思い出そう。Tor は、その第一引数の 射影分解 を用いて定義される。しかし、実際には、トー 私 （ M 、 N ） = トー 私 （ N 、 M ） {\displaystyle \operatorname {Tor} _{i}(M,N)=\operatorname {Tor} _{i}(N,M)}
投影解像度を選択するP ・ {\displaystyle P_{\bullet }} Q ・ {\displaystyle Q_{\bullet }} それぞれM とN のものである。これらを、それぞれ微分d とe を持つ負の次数で消滅する複体と考える。項が次のようになる二重複体を構成できる。C 私 、 j = P 私 ⊗ Q j {\displaystyle C_{i,j}=P_{i}\otimes Q_{j}} d ⊗ 1 {\displaystyle d\otimes 1} （ − 1 ） 私 （ 1 ⊗ e ） {\displaystyle (-1)^{\textrm {I}}(1\otimes e)} （ −1 という係数は、微分が反可換になるようにするためのものです。）射影加群は平坦なので、射影加群 とのテンソル積を取ることはホモロジーを取ることと可換です。したがって、次のようになります。
H p 私 （ H q II （ P ・ ⊗ Q ・ ） ） = H p 私 （ P ・ ⊗ H q II （ Q ・ ） ） {\displaystyle H_{p}^{\textrm {I}}(H_{q}^{\textrm {II}}(P_{\bullet }\otimes Q_{\bullet }))=H_{p}^{\textrm {I}}(P_{\bullet }\otimes H_{q}^{\textrm {II}}(Q_{\bullet }))} H q II （ H p 私 （ P ・ ⊗ Q ・ ） ） = H q II （ H p 私 （ P ・ ） ⊗ Q ・ ） {\displaystyle H_{q}^{\textrm {II}}(H_{p}^{\textrm {I}}(P_{\bullet }\otimes Q_{\bullet }))=H_{q}^{\textrm {II}}(H_{p}^{\textrm {I}}(P_{\bullet })\otimes Q_{\bullet })} 2つの複合体は分解であるため、次数0以外では相同性は消滅します。次数0では、次のようになります。
H p 私 （ P ・ ⊗ N ） = トー p （ M 、 N ） {\displaystyle H_{p}^{\textrm {I}}(P_{\bullet }\otimes N)=\operatorname {Tor} _{p}(M,N)} H q II （ M ⊗ Q ・ ） = トー q （ N 、 M ） {\displaystyle H_{q}^{\textrm {II}}(M\otimes Q_{\bullet })=\operatorname {Tor} _{q}(N,M)} 特に、E p 、 q 2 {\displaystyle E_{p,q}^{2}} q = 0 ( I スペクトル系列の場合) およびp = 0 ( II スペクトル系列の場合)の線に沿ってのみ、項は消滅します。これは、スペクトル系列が第 2 シートで退化することを意味し、したがってE ∞項は E 2 項と同型になります。
トー p （ M 、 N ） ≅ E p ∞ = H p （ T （ C ・ 、 ・ ） ） {\displaystyle \operatorname {Tor} _{p}(M,N)\cong E_{p}^{\infty }=H_{p}(T(C_{\bullet ,\bullet }))} トー q （ N 、 M ） ≅ E q ∞ = H q （ T （ C ・ 、 ・ ） ） {\displaystyle \operatorname {Tor} _{q}(N,M)\cong E_{q}^{\infty }=H_{q}(T(C_{\bullet ,\bullet }))} 最後に、p とq が等しい場合、右辺の2つが等しくなり、Torの可換性が成り立つ。
具体的な例題
隣接する2つの非ゼロ列 させてE p 、 q r {\displaystyle E_{p,q}^{r}} E p 、 q 2 = 0 {\displaystyle E_{p,q}^{2}=0} pについて。視覚的には、これはスペクトルシーケンスであり、 E 2 {\displaystyle E^{2}}
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ 0 E 0 、 2 2 E 1 、 2 2 0 ⋯ ⋯ 0 E 0 、 1 2 E 1 、 1 2 0 ⋯ ⋯ 0 E 0 、 0 2 E 1 、 0 2 0 ⋯ ⋯ 0 E 0 、 − 1 2 E 1 、 − 1 2 0 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ {\displaystyle {\begin{matrix}&\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\\\cdots &0&E_{0,2}^{2}&E_{1,2}^{2}&0&\cdots \\\cdots &0&E_{0,1}^{2}&E_{1,1}^{2}&0&\cdots \\\cdots &0&E_{0,0}^{2}&E_{1,0}^{2}&0&\cdots \\\cdots &0&E_{0,-1}^{2}&E_{1,-1}^{2}&0&\cdots \\&\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\end{matrix}}} 2ページ目の微分は次数が(-2, 1)なので、次の形式になります。
d p 、 q 2 : E p 、 q 2 → E p − 2 、 q + 1 2 {\displaystyle d_{p,q}^{2}:E_{p,q}^{2}\to E_{p-2,q+1}^{2}} これらのマップはすべてゼロです。
d 0 、 q 2 : E 0 、 q 2 → 0 {\displaystyle d_{0,q}^{2}:E_{0,q}^{2}\to 0} d 1 、 q 2 : E 1 、 q 2 → 0 {\displaystyle d_{1,q}^{2}:E_{1,q}^{2}\to 0} したがって、スペクトル系列は退化する。E ∞ = E 2 {\displaystyle E^{\infty }=E^{2}} H * {\displaystyle H_{*}}
0 = F − 1 H n ⊂ F 0 H n ⊂ ⋯ ⊂ F n H n = H n {\displaystyle 0=F_{-1}H_{n}\subset F_{0}H_{n}\subset \dots \subset F_{n}H_{n}=H_{n}} そのためE p 、 q ∞ = F p H p + q / F p − 1 H p + q {\displaystyle E_{p,q}^{\infty }=F_{p}H_{p+q}/F_{p-1}H_{p+q}} F 0 H n = E 0 、 n 2 {\displaystyle F_{0}H_{n}=E_{0,n}^{2}} F 1 H n / F 0 H n = E 1 、 n − 1 2 {\displaystyle F_{1}H_{n}/F_{0}H_{n}=E_{1,n-1}^{2}} F 2 H n / F 1 H n = 0 {\displaystyle F_{2}H_{n}/F_{1}H_{n}=0} F 3 H n / F 2 H n = 0 {\displaystyle F_{3}H_{n}/F_{2}H_{n}=0} [ 7 ]
0 → E 0 、 n 2 → H n → E 1 、 n − 1 2 → 0 {\displaystyle 0\to E_{0,n}^{2}\to H_{n}\to E_{1,n-1}^{2}\to 0} 次にE p 、 q r {\displaystyle E_{p,q}^{r}} これは、2ページ目が2行q = 0, 1のみで構成されるスペクトル系列である。2ページ目では必ずしも縮退する必要はないが、3ページ目では微分次数が(-3, 2)であるため、やはり縮退する。注E p 、 0 3 = カー （ d : E p 、 0 2 → E p − 2 、 1 2 ） {\displaystyle E_{p,0}^{3}=\operatorname {ker} (d:E_{p,0}^{2}\to E_{p-2,1}^{2})} E p 、 1 3 = コーカー （ d : E p + 2 、 0 2 → E p 、 1 2 ） {\displaystyle E_{p,1}^{3}=\operatorname {coker} (d:E_{p+2,0}^{2}\to E_{p,1}^{2})}
0 → E p 、 0 ∞ → E p 、 0 2 → d E p − 2 、 1 2 → E p − 2 、 1 ∞ → 0 {\displaystyle 0\to E_{p,0}^{\infty }\to E_{p,0}^{2}{\overset {d}{\to }}E_{p-2,1}^{2}\to E_{p-2,1}^{\infty }\to 0} さて、スペクトル系列が前の例のようにフィルタリングFで Hに収束するとしましょう。 F p − 2 H p / F p − 3 H p = E p − 2 、 2 ∞ = 0 {\displaystyle F_{p-2}H_{p}/F_{p-3}H_{p}=E_{p-2,2}^{\infty }=0} F p − 3 H p / F p − 4 H p = 0 {\displaystyle F_{p-3}H_{p}/F_{p-4}H_{p}=0} 0 → E p − 1 、 1 ∞ → H p → E p 、 0 ∞ → 0 {\displaystyle 0\to E_{p-1,1}^{\infty }\to H_{p}\to E_{p,0}^{\infty }\to 0} [ 8 ]
⋯ → H p + 1 → E p + 1 、 0 2 → d E p − 1 、 1 2 → H p → E p 、 0 2 → d E p − 2 、 1 2 → H p − 1 → … 。 {\displaystyle \cdots \to H_{p+1}\to E_{p+1,0}^{2}{\overset {d}{\to }}E_{p-1,1}^{2}\to H_{p}\to E_{p,0}^{2}{\overset {d}{\to }}E_{p-2,1}^{2}\to H_{p-1}\to \dots .}
王シーケンス 前節の計算は、ごく簡単に一般化できる。球面上のファイブレーションを考えてみよう。
F → 私 E → p S n {\displaystyle F{\overset {i}{\to }}E{\overset {p}{\to }}S^{n}} n は少なくとも2である。セルスペクトル系列 が存在する。
E p 、 q 2 = H p （ S n ; H q （ F ） ） ⇒ H p + q （ E ） {\displaystyle E_{p,q}^{2}=H_{p}(S^{n};H_{q}(F))\Rightarrow H_{p+q}(E)} つまり、E p 、 q ∞ = F p H p + q （ E ） / F p − 1 H p + q （ E ） {\displaystyle E_{p,q}^{\infty }=F_{p}H_{p+q}(E)/F_{p-1}H_{p+q}(E)} F ・ {\displaystyle F_{\bullet }}
以来H p （ S n ） {\displaystyle H_{p}(S^{n})} p がゼロまたはnで Z に等しい場合にのみ非ゼロになります。E p 、 q 2 {\displaystyle E_{p,q}^{2}} p = 0 、 n {\displaystyle p=0,n} E 2 {\displaystyle E^{2}}
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ 0 E 0 、 2 2 0 ⋯ 0 E n 、 2 2 0 ⋯ ⋯ 0 E 0 、 1 2 0 ⋯ 0 E n 、 1 2 0 ⋯ ⋯ 0 E 0 、 0 2 0 ⋯ 0 E n 、 0 2 0 ⋯ {\displaystyle {\begin{matrix}&\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots &\vdots &\\\cdots &0&E_{0,2}^{2}&0&\cdots &0&E_{n,2}^{2}&0&\cdots \\\cdots &0&E_{0,1}^{2}&0&\cdots &0&E_{n,1}^{2}&0&\cdots \\\cdots &0&E_{0,0}^{2}&0&\cdots &0&E_{n,0}^{2}&0&\cdots \\\end{matrix}}} さらに、
E p 、 q 2 = H p （ S n ; H q （ F ） ） = H q （ F ） {\displaystyle E_{p,q}^{2}=H_{p}(S^{n};H_{q}(F))=H_{q}(F)} のためにp = 0 、 n {\displaystyle p=0,n} 普遍係数定理 により、E 2 {\displaystyle E^{2}}
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ 0 H 2 （ F ） 0 ⋯ 0 H 2 （ F ） 0 ⋯ ⋯ 0 H 1 （ F ） 0 ⋯ 0 H 1 （ F ） 0 ⋯ ⋯ 0 H 0 （ F ） 0 ⋯ 0 H 0 （ F ） 0 ⋯ {\displaystyle {\begin{matrix}&\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots &\vdots &\\\cdots &0&H_{2}(F)&0&\cdots &0&H_{2}(F)&0&\cdots \\\cdots &0&H_{1}(F)&0&\cdots &0&H_{1}(F)&0&\cdots \\\cdots &0&H_{0}(F)&0&\cdots &0&H_{0}(F)&0&\cdots \\\end{matrix}}} ゼロでない微分はE n {\displaystyle E^{n}}
d n 、 q n : E n 、 q n → E 0 、 q + n − 1 n {\displaystyle d_{n,q}^{n}:E_{n,q}^{n}\to E_{0,q+n-1}^{n}} それは
d n 、 q n : H q （ F ） → H q + n − 1 （ F ） {\displaystyle d_{n,q}^{n}:H_{q}(F)\to H_{q+n-1}(F)} スペクトル系列は収束するE n + 1 = E ∞ {\displaystyle E^{n+1}=E^{\infty }} E n + 1 {\displaystyle E^{n+1}}
0 → E n 、 q − n ∞ → E n 、 q − n n → d E 0 、 q − 1 n → E 0 、 q − 1 ∞ → 0. {\displaystyle 0\to E_{n,q-n}^{\infty }\to E_{n,q-n}^{n}{\overset {d}{\to }}E_{0,q-1}^{n}\to E_{0,q-1}^{\infty }\to 0.} そして相同群を用いて書き出すと、これは
0 → E n 、 q − n ∞ → H q − n （ F ） → d H q − 1 （ F ） → E 0 、 q − 1 ∞ → 0. {\displaystyle 0\to E_{n,q-n}^{\infty }\to H_{q-n}(F){\overset {d}{\to }}H_{q-1}(F)\to E_{0,q-1}^{\infty }\to 0.} 2つのE ∞ {\displaystyle E^{\infty }} H = H （ E ） {\displaystyle H=H(E)} F 1 H q / F 0 H q = E 1 、 q − 1 ∞ = 0 {\displaystyle F_{1}H_{q}/F_{0}H_{q}=E_{1,q-1}^{\infty }=0} E n 、 q − n ∞ = F n H q / F 0 H q {\displaystyle E_{n,q-n}^{\infty }=F_{n}H_{q}/F_{0}H_{q}} F 0 H q = E 0 、 q ∞ {\displaystyle F_{0}H_{q}=E_{0,q}^{\infty }} F n H q = H q {\displaystyle F_{n}H_{q}=H_{q}}
0 → E 0 、 q ∞ → H q → E n 、 q − n ∞ → 0. {\displaystyle 0\to E_{0,q}^{\infty }\to H_{q}\to E_{n,q-n}^{\infty }\to 0.} これは正確なシーケンスです
0 → H q （ F ） → H q （ E ） → H q − n （ F ） → 0. {\displaystyle 0\to H_{q}(F)\to H_{q}(E)\to H_{q-n}(F)\to 0.} すべての計算をまとめると、次のようになります。[ 9 ]
⋯ → H q （ F ） → 私 * H q （ E ） → H q − n （ F ） → d H q − 1 （ F ） → 私 * H q − 1 （ E ） → H q − n − 1 （ F ） → … {\displaystyle \dots \to H_{q}(F){\overset {i_{*}}{\to }}H_{q}(E)\to H_{q-n}(F){\overset {d}{\to }}H_{q-1}(F){\overset {i_{*}}{\to }}H_{q-1}(E)\to H_{q-n-1}(F)\to \dots } （ギシン配列も 同様の方法で取得される。）
低位の用語 明らかな表記変更により、前の例の計算タイプはコホモロジースペクトル系列に対しても実行できる。E r p 、 q {\displaystyle E_{r}^{p,q}} H に収束する第1象限スペクトル系列である
0 = F n + 1 H n ⊂ F n H n ⊂ ⋯ ⊂ F 0 H n = H n {\displaystyle 0=F^{n+1}H^{n}\subset F^{n}H^{n}\subset \dots \subset F^{0}H^{n}=H^{n}} となることによってE ∞ p 、 q = F p H p + q / F p + 1 H p + q 。 {\displaystyle E_{\infty }^{p,q}=F^{p}H^{p+q}/F^{p+1}H^{p+q}.} E 2 p 、 q {\displaystyle E_{2}^{p,q}} p またはq が負の場合、ゼロとなる。
0 → E ∞ 0 、 1 → E 2 0 、 1 → d E 2 2 、 0 → E ∞ 2 、 0 → 0. {\displaystyle 0\to E_{\infty }^{0,1}\to E_{2}^{0,1}{\overset {d}{\to }}E_{2}^{2,0}\to E_{\infty }^{2,0}\to 0.} 以来E ∞ 1 、 0 = E 2 1 、 0 {\displaystyle E_{\infty }^{1,0}=E_{2}^{1,0}} F 2 H 1 = 0 、 {\displaystyle F^{2}H^{1}=0,}
0 → E 2 1 、 0 → H 1 → E ∞ 0 、 1 → 0 {\displaystyle 0\to E_{2}^{1,0}\to H^{1}\to E_{\infty }^{0,1}\to 0} 以来F 3 H 2 = 0 {\displaystyle F^{3}H^{2}=0} E ∞ 2 、 0 ⊂ H 2 {\displaystyle E_{\infty }^{2,0}\subset H^{2}} 5項完全数列 が得られます。
0 → E 2 1 、 0 → H 1 → E 2 0 、 1 → d E 2 2 、 0 → H 2 。 {\displaystyle 0\to E_{2}^{1,0}\to H^{1}\to E_{2}^{0,1}{\overset {d}{\to }}E_{2}^{2,0}\to H^{2}.}
エッジマップと逸脱
相同スペクトル系列 させてE p 、 q r {\displaystyle E_{p,q}^{r}} E p 、 q r = 0 {\displaystyle E_{p,q}^{r}=0} すべてのq < 0に対して、次のことが成り立つ必要があります: r ≥ 2 の場合、
E p 、 0 r + 1 = カー （ d : E p 、 0 r → E p − r 、 r − 1 r ） {\displaystyle E_{p,0}^{r+1}=\operatorname {ker} (d:E_{p,0}^{r}\to E_{p-r,r-1}^{r})} 分母がゼロであるため、単射写像の列が存在する。
E p 、 0 r → E p 、 0 r − 1 → ⋯ → E p 、 0 3 → E p 、 0 2 {\displaystyle E_{p,0}^{r}\to E_{p,0}^{r-1}\to \dots \to E_{p,0}^{3}\to E_{p,0}^{2}} これらはエッジマップと呼ばれます。同様に、E p 、 q r = 0 {\displaystyle E_{p,q}^{r}=0} p < 0の場合、次の全射準同型写像（エッジマップとも呼ばれる）の列が存在する。
E 0 、 q 2 → E 0 、 q 3 → ⋯ → E 0 、 q r − 1 → E 0 、 q r {\displaystyle E_{0,q}^{2}\to E_{0,q}^{3}\to \dots \to E_{0,q}^{r-1}\to E_{0,q}^{r}} 違反と は、部分的に定義されたマップ（より正確には、部分オブジェクトから商へのマップ ）である。
τ : E p 、 0 2 → E 0 、 p − 1 2 {\displaystyle \tau :E_{p,0}^{2}\to E_{0,p-1}^{2}} 構成として与えられたE p 、 0 2 → E p 、 0 p → d E 0 、 p − 1 p → E 0 、 p − 1 2 {\displaystyle E_{p,0}^{2}\to E_{p,0}^{p}{\overset {d}{\to }}E_{0,p-1}^{p}\to E_{0,p-1}^{2}}
コホモロジースペクトル系列 スペクトル系列の場合E r p 、 q {\displaystyle E_{r}^{p,q}} E r p 、 q = 0 {\displaystyle E_{r}^{p,q}=0} 任意のq < 0に対して、全射準同型の列が存在する。
E 2 p 、 0 → E 3 p 、 0 → ⋯ → E r − 1 p 、 0 → E r p 、 0 {\displaystyle E_{2}^{p,0}\to E_{3}^{p,0}\to \dots \to E_{r-1}^{p,0}\to E_{r}^{p,0}} そしてもしE r p 、 q = 0 {\displaystyle E_{r}^{p,q}=0} p < 0 に対して、単射写像の列が存在する。
E r 0 、 q → E r − 1 0 、 q → ⋯ → E 3 0 、 q → E 2 0 、 q {\displaystyle E_{r}^{0,q}\to E_{r-1}^{0,q}\to \dots \to E_{3}^{0,q}\to E_{2}^{0,q}} 違反行為は必ずしも明確に定義された地図ではない。
τ : E 2 0 、 q − 1 → E 2 q 、 0 {\displaystyle \tau :E_{2}^{0,q-1}\to E_{2}^{q,0}} 誘発されるd : E q 0 、 q − 1 → E q q 、 0 {\displaystyle d:E_{q}^{0,q-1}\to E_{q}^{q,0}}
応用 これらのマップを決定することは、Serreスペクトル系列 の多くの微分を計算する上で基本となる。たとえば、侵食マップは微分
d n : E n 、 0 n → E 0 、 n − 1 n {\displaystyle d_{n}:E_{n,0}^{n}\to E_{0,n-1}^{n}} 相同スペクトル系列の場合、したがってファイブレーションのSerreスペクトル系列の場合F → E → B {\displaystyle F\to E\to B}
d n : H n （ B ） → H n − 1 （ F ） {\displaystyle d_{n}:H_{n}(B)\to H_{n-1}(F)} 
