ド・ラームコホモロジー

数学において、ド・ラーム・コホモロジー（ジョルジュ・ド・ラームにちなんで名付けられた）は、代数位相幾何学と微分位相幾何学の両方に属するツールであり、滑らかな多様体に関する基本的な位相情報を、特に計算に適した形式とコホモロジー類の具体的な表現で表現できます。これは、規定された特性を持つ 微分形式の存在に基づくコホモロジー理論です。

任意の滑らかな多様体では、すべての正確な形式は閉じていますが、その逆は成り立たない場合があります。大まかに言えば、この失敗は多様体内の「穴」の存在の可能性に関連しており、ド・ラーム・コホモロジー群は、この関係を正確に定量化する滑らかな多様体の位相不変量のセットを構成します。 ^[1]

形式上の積分の概念は、微分位相幾何学、幾何学、物理学において根本的に重要であり、また、コホモロジーの最も重要な例の 1 つであるド・ラーム・コホモロジーを生み出します。これは、（大まかに言えば）微積分学の基本定理が高次元および一般多様体でどの程度成り立たないかを正確に測定するものです。
— テレンス・タオ『微分形式と積分』^[2]

ド・ラーム複体は、外微分を微分とする 、ある滑らかな多様体M上の微分形式の共鎖複体である。

${\displaystyle 0\to \Omega ^{0}(M)\ {\stackrel {d}{\to }}\ \Omega ^{1}(M)\ {\stackrel {d}{\to }}\ \Omega ^{2}(M)\ {\stackrel {d}{\to }}\ \Omega ^{3}(M)\to \cdots ,}$

ここで、Ω ⁰ ( M )はM上の滑らかな関数の空間、Ω ¹ ( M )は1形式の空間、​​などとなります。外微分による他の形式の像にΩ ⁰ ( M )の定数0関数を加えた形式は完全形式と呼ばれ、外微分が0である形式は閉じている形式と呼ばれます(「閉じた微分形式と正確な微分形式」を参照)。d 2 = 0^の関係は、完全形式が閉じていることを意味します。

対照的に、閉じた形式は必ずしも正確ではありません。わかりやすい例としては、多様体としての円と、その中心の基準点からの角度の微分に対応する1 -形式があり、通常はdθと書きます(閉じた正確な微分形式で説明)。円全体に対してdθがその微分となるような関数θ は定義されていません。正の方向に円を一周すると2 π増加するため、多価関数θになります。円の 1 点を削除すると、多様体のトポロジーが同時に変更され、これを防ぐことができます。

すべての閉形式が正確である顕著な例の 1 つは、基礎となる空間が点に収縮可能である場合、またはより一般的には単連結である場合(無穴条件) です。この場合、閉形式に制限された外微分には、ホモトピー演算子と呼ばれる局所逆があります。^{[3] [4]これは}冪零でもあるため、^[3]矢印が de Rham 複体と比較して逆になっている^[5]双対鎖複体を形成します。これは、ポアンカレの補題で説明されている状況です。 ${\displaystyle d}$

ド・ラーム・コホモロジーの背後にある考え方は、多様体上の閉じた形式の同値類を定義することです。2 つの閉じた形式α、β ∈ Ω ^k ( M ) は、それらが正確な形式で異なる場合、つまりα − β が正確である場合に、コホモロジーであると分類されます。この分類により、 Ω ^k ( M )の閉じた形式の空間に同値関係が誘導されます。次に、k番目のド・ラーム・コホモロジー群を同値類の集合、つまり、正確な形式を法とした Ω k ( M ) の閉じた形式の集合^として定義します。 ${\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{k}(M)}$

それぞれの要素が連結しているm個の不連続な要素から成る任意 の多様体Mに対して、

${\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{0}(M)\cong \mathbb {R} ^{m}.}$

これは、 M上のどこでも導関数がゼロである滑らかな関数は、 Mの各連結成分上で個別に一定であるという事実から導かれます。

ゼロコホモロジーとマイヤー・ヴィエトリス列に関する上記の事実を使って、多様体の一般的なド・ラーム・コホモロジーを見つけることがよくあります。もう 1 つの便利な事実は、ド・ラーム・コホモロジーはホモトピー不変量であるということです。計算は示されていませんが、一般的な位相オブジェクトに対する計算されたド・ラーム・コホモロジーは次のとおりです。

n球面、、および開区間の積と組み合わせると、次の式が得られます。n > 0、m ≥ 0、Iを実開区間とします。すると、 ${\displaystyle S^{n}}$

${\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{k}(S^{n}\times I^{m})\simeq {\begin{cases}\mathbb {R} &k=0{\text{ または }}k=n,\\0&k\neq 0{\text{ かつ }}k\neq n.\end{cases}}}$

-トーラスは直積である。同様に、ここでを許容すると、次式が得られる。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle T^{n}=\underbrace {S^{1}\times \cdots \times S^{1}} _{n}}$${\displaystyle n\geq 1}$

${\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{k}(T^{n})\simeq \mathbb {R} ^{n \choose k}.}$

微分形式を使って直接トーラスの de Rham コホモロジーの明示的な生成元を見つけることもできます。商多様体と微分形式が与えられれば、によって誘導される任意の微分同相写像が与えられた場合、は-不変であると言えます。特に、 上の任意の形式の引き戻しは-不変です。また、引き戻しは単射です。 の場合、 であるため、微分形式は-不変です。ただし、については が不変 -形式ではないことに注意してください。これは単射性とともに次のことを意味します。 ${\displaystyle \pi :X\to X/G}$${\displaystyle \omega \in \Omega ^{k}(X)}$${\displaystyle \omega}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \cdot g:X\to X}$${\displaystyle (\cdot g)^{*}(\omega )=\omega }$${\displaystyle X/G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}/\mathbb {Z} ^{n}}$${\displaystyle dx_{i}}$${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$${\displaystyle d(x_{i}+k)=dx_{i}}$${\displaystyle x_{i}+\alpha }$${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$${\displaystyle 0}$

${\displaystyle [dx_{i}]\in H_{dR}^{1}(T^{n})}$

トーラスのコホモロジー環は によって生成されるので、これらの形式の外積を取ると、トーラスの de Rham コホモロジーの 明示的な代表がすべて得られます。${\displaystyle H^{1}}$

穴あきユークリッド空間は、単純に原点が除去された空間です。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle H_{\text{dR}}^{k}(\mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\})\cong {\begin{cases}\mathbb {R} ^{2}&n=1,k=0\\\mathbb {R} &n>1,k=0,n-1\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}.}$

メビウスの帯Mが1球面（つまり実単位円） に変形収縮できるという事実から、次のことが推測できます。

${\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{k}(M)\simeq H_{\mathrm {dR} }^{k}(S^{1}).}$

ストークスの定理は、ド・ラーム・コホモロジー と鎖のホモロジーの双対性を表現したものです。微分形式と鎖を積分により組み合わせると、ド・ラーム・コホモロジーから特異コホモロジー群への準同型性が得られます。1931 年にジョルジュ・ド・ラームによって証明されたド・ラームの定理は、滑らかな多様体Mに対して、この写像は実際には同型であると述べています。 ${\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{k}(M)}$ ${\displaystyle H^{k}(M;\mathbb {R} ).}$

より正確には、地図を考えてみましょう

${\displaystyle I:H_{\mathrm {dR} }^{p}(M)\to H^{p}(M;\mathbb {R} ),}$

次のように定義されます。任意の に対して、I ( ω ) を次のように作用するの元とします。 ${\displaystyle [\omega ]\in H_{\mathrm {dR} }^{p}(M)}$${\displaystyle {\text{Hom}}(H_{p}(M),\mathbb {R} )\simeq H^{p}(M;\mathbb {R} )}$

${\displaystyle H_{p}(M)\ni [c]\longmapsto \int _{c}\omega .}$

ド・ラームの定理は、これがド・ラームコホモロジーおよび特異コホモロジー間の同型であることを主張します。

外積は、これらの群の直和に環構造を与えます。定理のさらなる結果は、2 つのコホモロジー環が同型 (次数付き環) であり、特異コホモロジー上の類似の積はカップ積であるということです。

任意の滑らかな多様体Mに対して、をアーベル群 に付随するM上の定数層とします。言い換えると、はM上の局所定数実数値関数の層です。このとき、自然同型${\textstyle {\underline {\mathbb {R} }}}$${\textstyle \mathbb {R} }$${\textstyle {\underline {\mathbb {R} }}}$

${\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{*}(M)\cong H^{*}(M,{\underline {\mathbb {R} }})}$

の de Rham コホモロジーと層コホモロジーの間です。(これは、de Rham コホモロジーがČech コホモロジーによっても計算できることを示していることに注意してください。実際、すべての滑らかな多様体はパラコンパクト ハウスドルフなので、層コホモロジーはMの任意の良好な被覆に対してČech コホモロジーに同型です。) ${\textstyle {\underline {\mathbb {R} }}}$${\textstyle {\check {H}}^{*}({\mathcal {U}},{\underline {\mathbb {R} }})}$ ${\textstyle {\mathcal {U}}}$

標準的な証明は、ド・ラーム複体を層の複体として見たとき、の非巡回的な解決であることを示すことによって進められます。より詳しくは、m をMの次元とし、 をM上の -形式の芽の層（M上の関数の層を含む）とします。ポアンカレの補題により、次の層のシーケンスは正確です（層のアーベルカテゴリ内）。 ${\textstyle {\underline {\mathbb {R} }}}$${\textstyle \Omega ^{k}}$${\displaystyle k}$${\textstyle \Omega ^{0}}$${\textstyle C^{\infty }}$

${\displaystyle 0\to {\underline {\mathbb {R} }}\to \Omega ^{0}\,\xrightarrow {d_{0}} \,\Omega ^{1}\,\xrightarrow {d_{1}} \,\Omega ^{2}\,\xrightarrow {d_{2}} \dots \xrightarrow {d_{m-1}} \,\Omega ^{m}\to 0.}$

この長い完全列は、層の 短い完全列に分割されます。

${\displaystyle 0\to \mathrm {im} \,d_{k-1}\,\xrightarrow {\subset } \,\Omega ^{k}\,\xrightarrow {d_{k}} \,\mathrm {im} \,d_{k}\to 0,}$

ここで、正確さにより、すべてのkに対して同型が成り立ちます。これらはそれぞれ、コホモロジーにおける長完全列を誘導します。M上の関数の層は1の分割を許容するため、任意の-モジュールは細かい層です。特に、層はすべて細かいです。したがって、パラコンパクト空間上のすべての細かい層は非巡回であるため、 の層コホモロジー群は消えます。そのため、長完全コホモロジー列自体は、最終的に同型の連鎖に分離します。連鎖の一方の端には の層コホモロジーがあり、もう一方の端には de Rham コホモロジーがあります。 ${\textstyle \mathrm {im} \,d_{k-1}\cong \mathrm {ker} \,d_{k}}$${\textstyle \Omega ^{0}}$${\textstyle C^{\infty }}$${\textstyle \Omega ^{0}}$${\textstyle \Omega ^{k}}$${\textstyle H^{i}(M,\Omega ^{k})}$${\textstyle i>0}$${\textstyle {\underline {\mathbb {R} }}}$

ド・ラーム・コホモロジーは、ドルボー・コホモロジー、ホッジ理論、アティヤ・シンガー指数定理など、多くの数学的アイデアに影響を与えてきました。しかし、より古典的な文脈においても、この定理は多くの発展に影響を与えてきました。まず、ホッジ理論は、調和形式からなるコホモロジーと、完全形式を法とする閉形式からなるド・ラーム・コホモロジーの間に同型性があることを証明しています。これは、調和形式とホッジ定理の適切な定義に依存しています。詳細については、ホッジ理論を参照してください。

M がコンパクトな リーマン多様体である場合、 の各同値類にはちょうど 1 つの調和形式が含まれます。つまり、与えられた閉形式の同値類のすべての要素は次のように記述できます 。${\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{k}(M)}$${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \omega =\alpha +\gamma }$

ここで は正確であり、 は調和です。 ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \Delta \gamma =0}$

コンパクト連結リーマン多様体上の任意の調和関数は定数です。したがって、この特定の代表的要素は、多様体上のすべてのコホモロジー的に同値な形式の極値（最小値）であると理解できます。たとえば、2 -トーラスでは、定数1 -形式は、すべての「毛」が同じ方向にきちんと梳かされている（そしてすべての「毛」が同じ長さである）形式であると想定できます。この場合、コホモロジー的に異なる 2 つのコーミングがあり、その他はすべて線形結合です。特に、これは2 -トーラスの1 番目のベッティ数が 2 であることを意味します。より一般的には、次元トーラスでは、トーラス上の -形式のさまざまなコーミングを検討できます。 の基底ベクトルを形成するために使用できるコーミングは個あります。したがって、 -トーラスの de Rham コホモロジー群の - 番目のベッティ数は個です。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle T^{n}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$${\displaystyle k}$${\displaystyle H_{\text{dR}}^{k}(T^{n})}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle k}$

より正確には、微分多様体 Mに対して、補助的なリーマン計量を与えることができる。その場合、ラプラシアンは 次のように定義される。 ${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle \Delta =d\delta +\delta d}$

外微分と共微分で表されます。ラプラシアンは、微分形式の外代数に作用する同次（次数において）線型微分演算子です。次数 の各要素に対するその作用を個別に見ることができます。 ${\displaystyle d}$${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle k}$

がコンパクトで向きがついている場合、k形式の空間に作用するラプラシアン核の次元は、次数 のド・ラーム・コホモロジー群の次元と等しくなります (ホッジ理論により)。つまり、ラプラシアンは、閉形式の各コホモロジークラスで一意の調和形式を選択します。特に、上のすべての調和 -形式の空間はと同型です。このような各空間の次元は有限であり、次のベッティ数によって与えられます。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$${\displaystyle M}$${\displaystyle H^{k}(M;\mathbb {R} ).}$${\displaystyle k}$

をコンパクトな有向リーマン多様体とする。ホッジ分解は、上の任意の -形式が3 つのL ²成分の和に一意に分割されることを示している。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle k}$${\displaystyle M}$

${\displaystyle \omega =\alpha +\beta +\gamma ,}$

ここで、は正確、は共正確、は調和です。 ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \gamma }$

ある形式 に対してかつ である場合、形式は共閉であるといい、ラプラシアン が 0 である場合、形式は調和的であるといいます。これは、正確な形式と共正確な形式が直交していることに留意することで従います。すると、直交補形式は、閉形式かつ共閉形式である形式、つまり調和形式で構成されます。ここで、直交性は のL ²内積に関して定義されます。 ${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \delta \beta =0}$${\displaystyle \beta =\delta \eta }$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \Delta \gamma =0}$${\displaystyle \Omega ^{k}(M)}$

${\displaystyle (\alpha ,\beta )=\int _{M}\alpha \wedge {\star \beta }.}$

ソボレフ空間やソボレフ超関数を用いることで、例えば完全な（有向あるいは無向の）リーマン多様体まで分解を拡張することができる。^[6]

• ホッジ理論
• ファイバーに沿った積分（ド・ラーム・コホモロジーの場合、プッシュフォワードは積分によって与えられる）
• 束理論
• ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$コンパクトケーラー多様体の場合の正確な微分形式の改良のための補題。

• Mathifold プロジェクトにおけるDe Rham コホモロジーのアイデア
• 「デ・ラーム・コホモロジー」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]