複数の複雑な変数の関数

定義域上で定義された関数f$${\displaystyle D\subset \mathbb {C} ^{n}}$$そして値は${\displaystyle \mathbb {C} }$ある点において正則であると言われている${\displaystyle z\in D}$この時点で複素微分可能であれば、つまり複素線形写像が存在するならば${\displaystyle L:\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} }$そのため

${\displaystyle f(z+h)=f(z)+L(h)+o(\lVert h\rVert )}$

関数fは、定義域Dのすべての点で正則である場合、正則であると言われます。

fが正則である場合、すべての部分写像は次のようになります 。

${\displaystyle z\mapsto f(z_{1},\dots ,z_{i-1},z,z_{i+1},\dots ,z_{n})}$

fは、1 つの複素変数の関数として正則です。つまり、 fは各変数に関して個別に正則である と言います。逆に、 f が各変数に関して個別に正則であれば、fは実際に正則です。これは、ハートッグの定理、またはfが連続であるという追加の仮定の下でのオスグッドの補題として知られています。 

1 つの複素変数では、関数${\displaystyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$平面上で定義された関数は、ある点で正則である。${\displaystyle p\in \mathbb {C} }$もしそれが本物の部品なら${\displaystyle u}$そしてその想像上の部分${\displaystyle v}$いわゆるコーシー・リーマン方程式を満たす${\displaystyle p,}$すなわち

$$\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}(p)={\frac {\partial v}{\partial y}}(p)\quad {\text{ および }}\quad {\frac {\partial u}{\partial y}}(p)=-{\frac {\partial v}{\partial x}}(p).}$$

複数の変数において、関数${\displaystyle f:\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} }$各変数ごとに正則であれば正則であり、したがって実部が${\displaystyle u}$そして想像上の部分${\displaystyle v}$の${\displaystyle f}$コーシー・リーマン方程式を満たす

$${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x_{j}}}={\frac {\partial v}{\partial y_{j}}}\quad {\text{ および }}\quad {\frac {\partial u}{\partial y_{j}}}=-{\frac {\partial v}{\partial x_{j}}},\quad j=1,\dots ,n.}$$

Wirtinger微分の形式を用いると、これは次のように再定式化できる。

$${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\overline {z_{j}}}}}=0,\quad j=1,\dots ,n}$$

あるいは、複素微分形式の形式論を用いてさらに簡潔に表すと、${\displaystyle {\bar {\partial }}f=0.}$

2つの条件(A)と(B)の十分性を証明せよ。関数fは、領域D上で連続かつ個別に準同型であるという条件を満たすとする。各円盤は可測曲線を持つ。${\displaystyle \gamma }$、${\displaystyle \gamma _{\nu }}$区分的滑らかさ、クラス$\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}}$ジョーダン・クローズド・カーブ。（${\displaystyle \nu =1,2,\ldots ,n}$） させて${\displaystyle D_{\nu }}$それぞれに囲まれた領域である${\displaystyle \gamma _{\nu }}$・デカルト積閉包${\displaystyle {\overline {D_{1}\times D_{2}\times \cdots \times D_{n}}}}$は${\displaystyle {\overline {D_{1}}}\times {\overline {D_{2}}}\times \cdots \times {\overline {D_{n}}}\in D}$また、閉じたポリディスクを取ります${\displaystyle {\overline {\Delta }}}$そうすれば${\displaystyle {\overline {\Delta }}\subset {D_{1}\times D_{2}\times \cdots \times D_{n}}}$。${\displaystyle {\overline {\Delta }}(z,r)=\left\{\zeta =(\zeta _{1},\zeta _{2},\dots ,\zeta _{n})\in \mathbb {C} ^{n};\left|\zeta _{\nu }-z_{\nu }\right|\leq r_{\nu }{\text{ for all }}\nu =1,\dots ,n\right\}}$そして${\displaystyle \{z_{\nu }\}_{\nu =1}^{n}}$（各ディスクの中心とする。）1変数のコーシーの積分公式を繰り返し使用して、

${\displaystyle {\begin{aligned}f(z_{1},\ldots ,z_{n})&={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial D_{1}}{\frac {f(\zeta _{1},z_{2},\ldots ,z_{n})}{\zeta _{1}-z_{1}}}\,d\zeta _{1}\\[6pt]&={\frac {1}{(2\pi i)^{2}}}\int _{\partial D_{2}}\,d\zeta _{2}\int _{\partial D_{1}}{\frac {f(\zeta _{1},\zeta _{2},z_{3},\ldots ,z_{n})}{(\zeta _{1}-z_{1})(\zeta _{2}-z_{2})}}\,d\zeta _{1}\\[6pt]&={\frac {1}{(2\pi i)^{n}}}\int _{\partial D_{n}}\,d\zeta _{n}\cdots \int _{\partial D_{2}}\,d\zeta _{2}\int _{\partial D_{1}}{\frac {f(\zeta _{1},\zeta _{2},\ldots ,\zeta _{n})}{(\zeta _{1}-z_{1})(\zeta _{2}-z_{2})\cdots (\zeta _{n}-z_{n})}}\,d\zeta _{1}.\end{aligned}}}$

なぜなら${\displaystyle \partial D}$は可測なヨルダン閉曲線^{[注3 ]}であり、fは連続であるため、積と和の順序を入れ替えることができ、反復積分を多重積分として計算できます。したがって、

複数の複素変数を持つ正則関数は、1変数の場合と同様に恒等定理を満たす。同じ定義域で定義された2つの正則関数${\displaystyle D\subset \mathbb {C} ^{n}}$Dの開部分集合N上で一致するものは、集合D全体で等しい。この結果は、正則関数が冪級数展開を持つという事実から証明できる。また、1 変数の場合からも推論できる。1 変数の場合とは異なり、集積点を持つ集合上で 2 つの異なる正則関数が一致する可能性がある。例えば、写像などである。${\displaystyle f(z_{1},z_{2})=0}$そして${\displaystyle g(z_{1},z_{2})=z_{1}}$複雑な線全体で一致する${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$方程式で定義される${\displaystyle z_{1}=0}$。

最大値原理、逆関数定理、陰関数定理も成り立つ。ワイエルシュトラスの準備定理は、複素変数に対する陰関数定理として機能する。

逆関数定理の確立から、以下の写像を定義することができる。

n次元複素空間の領域U、Vについて${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$全単射正則関数${\displaystyle \phi :U\to V}$そして逆写像${\displaystyle \phi ^{-1}:V\to U}$も正則です。現時点では、${\displaystyle \phi }$これはUとV の双正則写像とも呼ばれ、また、 UとVは双正則的に同値である、または双正則であると言います。

いつ${\displaystyle n>1}$開球と開多円盤は双正則同値ではない^{[ 11 ]。}これは、リーマン写像定理がある1変数の場合とは対照的である。これは、ポアンカレが1907年に、それらの自己同型群がリー群とは異なる次元を持つことを示すことによって証明した。^{[ 4 ] [ 12 ]}しかし、複数の複素変数の場合でも、1つの複素変数の一様化理論の結果に類似した結果がいくつかある。^{[ 13 ]}

U、V をの定義域とする。${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$、したがって${\displaystyle f\in {\mathcal {O}}(U)}$そして${\displaystyle g\in {\mathcal {O}}(V)}$、（${\displaystyle {\mathcal {O}}(U)}$はU上の正則関数の集合/環である。）と仮定する。${\displaystyle U,\ V,\ U\cap V\neq \varnothing }$そして${\displaystyle W}$は連結成分です${\displaystyle U\cap V}$。 もし${\displaystyle f|_{W}=g|_{W}}$このとき、fはVに接続されていると言われ、gはfの解析接続であると言われる。恒等定理によれば、gが存在する場合、 Wの選択方法ごとにgは一意である。n > 2の場合、境界の形状に応じて次の現象が発生する。${\displaystyle \partial U}$: 領域U、Vが存在し、すべての正則関数が${\displaystyle f}$領域U上で解析接続を持つ${\displaystyle g\in {\mathcal {O}}(V)}$言い換えれば、関数が存在しない可能性がある。${\displaystyle f\in {\mathcal {O}}(U)}$そのため${\displaystyle \partial U}$自然境界として。これはハルトッグス現象と呼ばれています。したがって、ドメイン境界が自然境界になるタイミングを調査することは、いくつかの複雑な変数の主要な研究テーマの1つとなっています。さらに、${\displaystyle n\geq 2}$つまり、上記のVはW以外のUとの共通部分を持つということである。これは層コホモロジーの概念の発展に貢献した。

ある完全ラインハルト領域がべき級数の収束領域となるためには、対数凸性と呼ばれる追加条件が必要となる。

ラインハルト領域Dは、画像が${\displaystyle \lambda (D^{*})}$セットの

${\displaystyle D^{*}=\{z=(z_{1},\dots ,z_{n})\in D;z_{1},\dots ,z_{n}\neq 0\}}$

マッピングの下で

${\displaystyle \lambda ;z\rightarrow \lambda (z)=(\ln |z_{1}|,\dots ,\ln |z_{n}|)}$

は実座標空間における凸集合である。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$。

すべてのドメイン${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$は、あるべき級数の絶対収束点の集合の内部である。${\textstyle \sum _{k_{1},\dots ,k_{n}=0}^{\infty }c_{k_{1},\dots ,k_{n}}(z_{1}-a_{1})^{k_{1}}\cdots (z_{n}-a_{n})^{k_{n}}\ }$、そして逆に、すべてのべき級数の収束領域は${\displaystyle z_{1},\dots ,z_{n}}$は、中心が である対数凸ラインハルト領域である。${\displaystyle a=0}$^{[注5 ]}しかし 、対数凸ではない完全なラインハルト領域Dの例がある。^{[ 16 ]}

関数fが定義域で正則である場合${\displaystyle D\subset \mathbb {C} ^{n}}$また、領域Dの境界点を含め、領域Dの外部領域に直接接続することはできません。${\displaystyle \partial D}$領域Dはfの正則領域と呼ばれ、境界はfの自然境界と呼ばれます。言い換えれば、正則領域Dは、正則関数fが正則である領域の上限であり、正則である領域Dはそれ以上拡張できません。複数の複素変数、すなわち領域の場合${\displaystyle D\subset \mathbb {C} ^{n}\ (n\geq 2)}$境界は自然な境界ではないかもしれない。ハルトッグスの拡張定理は、境界が自然な境界ではない領域の例を示している。^{[ 40 ]}

形式的には、 n次元複素座標空間における領域D は${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$空でない領域が存在しない場合、それは正則領域と呼ばれます。${\displaystyle U\subset D}$そして${\displaystyle V\subset \mathbb {C} ^{n}}$、${\displaystyle V\not \subset D}$そして${\displaystyle U\subset D\cap V}$D上のすべての正則関数fに対して、 V上に正則関数gが存在し、${\displaystyle f=g}$Uについて。

のために${\displaystyle n=1}$この場合、すべてのドメイン (${\displaystyle D\subset \mathbb {C} }$) は正則領域です。恒等的に 0 ではないが、その零点が領域の境界上にすべて集中する正則関数を見つけることができます。その場合、その境界は、その逆数の定義領域の自然な境界でなければなりません。

させて${\displaystyle G\subset \mathbb {C} ^{n}}$ドメインとする、あるいはより一般的な定義として、${\displaystyle G}$になる${\displaystyle n}$次元複素解析多様体。さらに、${\displaystyle {\mathcal {O}}(G)}$は、 G上の正則関数の集合を表します。コンパクト集合の場合${\displaystyle K\subset G}$Kの正則凸包は

${\displaystyle {\hat {K}}_{G}=\left\{z\in G;|f(z)|\leq \sup _{w\in K}|f(w)|{\text{ for all }}f\in {\mathcal {O}}(G)\right\}.}$

多項式凸包のより狭義の概念は、${\displaystyle {\mathcal {O}}(G)}$代わりに、 G上の複素数値多項式関数の集合とする。多項式凸包は正則凸包を含む。

ドメイン${\displaystyle G}$は、任意のコンパクト部分集合に対して、正則凸であると呼ばれる。${\displaystyle K,{\hat {K}}_{G}}$はGにおいてもコンパクトである。これは単に正則凸と略されることもある。

いつ${\displaystyle n=1}$あらゆるドメイン${\displaystyle G}$それ以来、正則凸である${\displaystyle {\hat {K}}_{G}}$Kと比較的コンパクトなコンポーネントの和集合である。${\displaystyle G\setminus K\subset G}$。

いつ${\displaystyle n\geq 1}$fがD上で上記の正則凸性を満たす場合、以下の性質を持つ。${\displaystyle {\text{dist}}(K,D^{c})={\text{dist}}({\hat {K}}_{D},D^{c})}$D内の任意のコンパクト部分集合Kに対して、 ${\displaystyle {\text{dist}}(K,D^{c})}$Kと${\displaystyle D^{c}=\mathbb {C} ^{n}\setminus D}$また、このとき、D は正則領域である。したがって、すべての凸領域は${\displaystyle (D\subset \mathbb {C} ^{n})}$は正則性の定義域である。^{[ 4 ]}

ハートッグスは、

Hartogs: ^{[ 18 ]} D をHartogs の定義域とする${\displaystyle \mathbb {C} }$また、RはD上の正の関数であり、集合は${\displaystyle \Omega }$で${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$定義される${\displaystyle z_{1}\in D}$そして${\displaystyle |z_{2}|<R(z_{1})}$は正則領域である。${\displaystyle -\log {R}(z_{1})}$D上の劣調和関数である。^{[ 3 ]}

このような関係が複数の複素変数の正則領域で成り立つ場合、正則凸よりも扱いやすい条件のように見える。^{[注8 ]}劣調和関数は一種の凸関数のように見えるため、レヴィは擬凸領域（ハートッグスの擬凸性）と名付けた。擬凸領域（擬凸性の境界）は、正則領域の分類を可能にするため重要である。正則領域はグローバルな性質であるのに対し、擬凸性は領域の境界の局所的な解析的または局所的な幾何学的性質である。^{[ 43 ]}

ドメインの場合${\displaystyle D\subset \mathbb {C} ^{n}}$以下の条件は同等である：^{[注11 ]}

1. Dは正則領域である。
2. Dは正則凸関数である。
3. Dは、 D内の解析的多面体の増加列の和集合である。
4. Dは擬凸である。
5. Dは局所的に擬凸である。

その意味するところは${\displaystyle 1\Leftrightarrow 2\Leftrightarrow 3}$[^{注12 ]}${\displaystyle 1\Rightarrow 4}$[^{注13 ]}および${\displaystyle 4\Rightarrow 5}$標準的な結果です。${\displaystyle 5\Rightarrow 1}$すなわち、局所的にのみ定義された非拡張可能な関数から拡張できないグローバルな正則関数を構成することは、レヴィ問題（EE レヴィにちなんで）と呼ばれ、分岐のないリーマン領域上で解決された。${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$岡清氏による^{[注14 ]}が、分岐リーマン領域の場合、擬凸性は正則凸性を特徴づけない^{[ 63 ]。}その後、関数解析と偏微分方程式の方法を用いてLars Hörmanderによって(${\displaystyle {\bar {\partial }}}$-L ²メソッドを使用した問題 (方程式)。^{[ 64 ] [ 40 ] [ 2 ] [ 65 ]}

岡は「不確定領域のイデアル」という概念を導入した。^{[ 31 ] [ 32 ]}具体的には、それは集合である。${\displaystyle (I)}$ペアの${\displaystyle (f,\delta )}$、${\displaystyle f}$空でない開集合上で正則${\displaystyle \delta }$、したがって

1. もし${\displaystyle (f,\delta )\in (I)}$そして${\displaystyle (a,\delta ')}$任意であれば、${\displaystyle (af,\delta \cap \delta ')\in (I)}$。
2. 各${\displaystyle (f,\delta ),(f',\delta ')\in (I)}$、 それから${\displaystyle (f+f',\delta \cap \delta ')\in (I).}$

不確定ドメインの起源は、ドメインがペアに応じて変化するという事実から来ている。${\displaystyle (f,\delta )}$カルタン^{[ 33 ] [ 34 ]}はこの概念を層コホモロジーにおけるコヒーレント（層）（特に、コヒーレント解析層）の概念に翻訳した。 ^{[ 65 ] [ 66 ]}この名前はH.カルタンに由来する。^{[ 67 ]}また、セール（1955）はコヒーレント層の概念を代数幾何学に導入した。すなわち、コヒーレント代数層の概念である。^{[ 68 ]}コヒーレント（コヒーレント層コホモロジー）の概念は、複数の複素変数における問題を解決するのに役立った。^{[ 36 ]}

1 変数複素関数の場合、ミッタッグ＝レフラーの定理は、与えられた主部分から大域的な有理型関数を作成することができました (Cousin I 問題)。また、ワイエルシュトラスの因数分解定理は、与えられた零点または零点軌跡から大域的な有理型関数を作成することができました (Cousin II 問題)。しかし、これらの定理は、多変数複素関数の解析関数の特異点が孤立点ではないため、多変数複素関数では成り立ちません。これらの問題は Cousin 問題と呼ばれ、層コホモロジーの観点から定式化されます。これらは、1895 年にピエール・クーザンによって特殊なケースで初めて導入されました。^{[ 77 ]}複素座標空間上の正則領域に対する第一 Cousin 問題を解く条件を示したのは Oka であり^{[注 15 ]} 、追加の位相的仮定で第二 Cousin 問題も解いています。^{[ 80 ] [ 81 ] [ 78 ] [注 16 ]}いとこ問題は複素多様体の解析的性質に関連する問題ですが、複素解析的性質の問題を解決する際の唯一の障害は純粋に位相的なものです。^{[ 78 ] [ 36 ] [ 28 ]}セールはこれを岡原理と呼びました。^{[ 82 ]}これらは現在、任意の複素多様体Mに対して、 Mの条件の観点から定式化され、解決されています。これらの条件を満たすMは、シュタイン多様体を定義する 1 つの方法です。いとこ問題の研究により、複数の複素変数の研究において、局所データのパッチングから大域的性質を研究することが可能であることが分かりました。^{[ 33 ]}つまり、層コホモロジーの理論が発展しました。(例：カルタンセミナー。^{[ 39 ]} ) ^{[ 36 ]}