コシェーフ

数学の一分野である位相幾何学において、余層は層と双対な概念であり、ボレル・ムーアホモロジーの研究に役立つ。^{[さらに説明が必要]}

位相空間 に、の開集合を対象とする開集合のカテゴリを、 のときはいつでもからへの（一意の）射と関連付けます。カテゴリ を固定します。すると、 （ に値を持つ）前余層は共変関手、つまりで構成されます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {Op} (X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$${\displaystyle U\subset V}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle F:\operatorname {Op} X\to {\mathcal {C}}}$${\displaystyle F}$

• の各開集合に対して、内のオブジェクト、および${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$${\displaystyle F(U)}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$
• 開集合の各包含に対して、における射があり、 ${\displaystyle U\subset V}$${\displaystyle \iota _{U,V}:F(U)\to F(V)}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$
  • ${\displaystyle \iota _{U,U}=\mathrm {id} _{F(U)}}$すべての人のために${\displaystyle U}$
  • ${\displaystyle \iota _{U,V}\circ \iota _{V,W}=\iota _{U,W}}$いつでも。${\displaystyle U\subset V\subset W}$

が小さな余極限を許容するアーベル圏であると仮定する。すると、余層とは、次の数列を満たす 前余層である。${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle F}$

$${\displaystyle \bigoplus _{(\alpha ,\beta )}F(U_{\alpha ,\beta })\xrightarrow {\sum _{(\alpha ,\beta )}(\iota _{U_{\alpha ,\beta },U_{\alpha }}-\iota _{U_{\alpha ,\beta },U_{\beta }})} \bigoplus _{\alpha }F(U_{\alpha })\xrightarrow {\sum _{\alpha }\iota _{U_{\alpha },U}} F( U)\to 0}$$

は、およびであるすべての開集合の集合に対して正確です。(これは層条件の双対であることに注意してください。) 近似的に、 における正確性は、上のすべての元がより小さな開集合上にある元の有限和として表現できることを意味し、 における正確性は、同じ元の 2 つのそのような表現を比較する場合、その差が交差点上にある元の有限集合によって表現される必要があることを意味します。 ${\displaystyle \{U_{\alpha}\}_{\alpha}}$${\displaystyle U:=\bigcup _{\alpha }U_{\alpha }}$${\displaystyle U_{\alpha ,\beta }:=U_{\alpha }\cap U_{\beta }}$${\displaystyle F(U)}$${\displaystyle U}$${\displaystyle U_{\alpha}}$${\displaystyle \bigoplus _{\alpha }F(U_{\alpha })}$${\displaystyle U_{\alpha ,\beta }}$

同様に、は余層である。 ${\displaystyle F}$

• 全ての開集合およびに対して、はおよびの押し出しであり、${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$${\displaystyle F(U\cup V)}$${\displaystyle F(U\cap V)\to F(U)}$${\displaystyle F(U\cap V)\to F(V)}$
• 任意の上向き開集合族に対して、標準射は同型である。この定義が前の定義と一致することを示すことができる。^[1]ただし、この定義には、がアーベル圏でない 場合でも意味をなすという利点があります。${\displaystyle \{U_{\alpha}\}_{\alpha}}$${\displaystyle \varinjlim F(U_{\alpha })\to F\left(\bigcup _{\alpha }U_{\alpha }\right)}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

アーベル群の前余層の例としては、特異な前余層があり、これは 上の特異-鎖の自由アーベル群である に開集合を送ります。特に、のときはいつでも自然な包含関係があります。しかし、特異単体はより小さな部分に分割できないため、これは余層ではありません。これを修正するために、 を重心分割準同型とし、 を図式の余極限 と 定義します。${\displaystyle U}$${\displaystyle C_{k}(U;\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle k}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \iota _{U,V}:C_{k}(U;\mathbb {Z} )\to C_{k}(V;\mathbb {Z} )}$${\displaystyle U\subset V}$${\displaystyle s:C_{k}(U;\mathbb {Z} )\to C_{k}(U;\mathbb {Z} )}$${\displaystyle {\overline {C}}_{k}(U;\mathbb {Z} )}$

$${\displaystyle C_{k}(U;\mathbb {Z} )\xrightarrow {s} C_{k}(U;\mathbb {Z} )\xrightarrow {s} C_{k}(U;\mathbb {Z} )\xrightarrow {s} \ldots .}$$

余極限では、単体はそのすべての重心分割と同一視されます。ルベーグ数の補題を使用して、を に送る前余層が実際には余層であることを示すことができます。 ${\displaystyle U}$${\displaystyle {\overline {C}}_{k}(U;\mathbb {Z} )}$

位相空間の連続写像を固定する。すると、をとする位相空間の前余層 ( 上) は余層となる。^[2]${\displaystyle f:Y\to X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle U}$${\displaystyle f^{-1}(U)}$