過剰被覆

数学、特にホモトピー理論において、ハイパーカバリング（またはハイパーカバー）は、カバーのチェフ神経を一般化した単体オブジェクトである。開カバーのチェフ神経については、$\displaystyle {\mathcal {U}}\to X}$空間が${\displaystyle X}$はコンパクトであり、被覆内の開集合のすべての交点が縮約可能であれば、これらの集合を縮約して、弱同値な単体集合を得ることができます。${\displaystyle X}$自然な方法で。エタールトポロジーや他のサイトでは、これらの条件は満たされません。ハイパーカバーのアイデアは、単に作業するのではなく、${\displaystyle n}$与えられた開被覆の集合の交差部分を折り畳む${\displaystyle {\mathcal {U}}}$集合のペアワイズ交差を可能にするために${\displaystyle {\mathcal {U}}={\mathcal {U}}_{0}}$開いたカバーで覆われる${\displaystyle {\mathcal {U}}_{1}}$そして、このカバーの三重交差部を別の開いたカバーで覆うようにする。${\displaystyle {\mathcal {U}}_{2}}$など、繰り返し行われます。ハイパーカバリングは、エタールホモトピーや、モチーフホモトピー理論など、ホモトピー理論が代数幾何学に適用される他の分野で中心的な役割を果たします。

ジャン＝ルイ・ヴェルディエがSGA4 、Expose V、Sec. 7、Thm. 7.4.1でエタールコホモロジーに与えた元の定義は、任意のグロタンディーク位相における層コホモロジーを計算するためのものです。エタールサイトの場合、定義は次のとおりです。

させて${\displaystyle X}$スキームであり、エタールのスキームのカテゴリを考慮する${\displaystyle X}$ハイパーカバーは半単体オブジェクトである。${\displaystyle U_{\bullet }}$このカテゴリーに属する${\displaystyle U_{0}\to X}$エタールカバーであり、${\displaystyle U_{n+1}\to \left(\left(\operatorname {\mathbf {cosk} } _{n}:=\operatorname {cosk} _{n}\circ \operatorname {tr} _{n}\right)U_{\bullet }\right)_{n+1}}$すべてのエタールカバー${\displaystyle n\geq 0}$。

ここ、$\displaystyle U_{n+1}\to \left(\operatorname {\mathbf {cosk} } _{n}U_{\bullet }\right)_{n+1}}$は、1 つのコピーを持つ図の限界です。${\displaystyle U_{i}}$各${\displaystyle i}$標準の次元面${\displaystyle n+1}$-シンプレックス（${\displaystyle 0\leq i\leq n}$）、各面の包含関係に対応する射、および拡張マップ${\displaystyle U_{0}\to X}$最後に、射は半単体オブジェクトの境界写像によって与えられる。${\displaystyle U_{\bullet }}$。

ヴェルディエのハイパーカバリング定理は、エタール層のアーベル層コホモロジーは、すべてのハイパーカバー上のコチェインコホモロジーの余極限として計算できると述べている。

局所的にネーター的なスキームの場合${\displaystyle X}$カテゴリー${\displaystyle HR(X)}$単体ホモトピーを法とするハイパーカバリングはコフィルタリングであり、したがって単体集合のホモトピー圏にプロオブジェクトを与える。この幾何学的実現はアルティン＝マズールホモトピー型である。単体スキームの双単体ハイパーカバリングを用いたE.フリードランダーの一般化は、エタール位相型と呼ばれる。

• Artin, Michael ; Mazur, Barry (1969).エタールホモトピー. Springer.
• フリードランダー、エリック（1982）。単体スキームのエタールホモトピー。数学研究年報、PUP。
• G. クイックによる講義ノート「エタール ホモトピー講義 2」。
• n LabのHypercover