Dモジュール

数学において、D加群とは微分作用素環D上の加群のことである。このようなD加群の主な関心は、線形偏微分方程式の理論へのアプローチとしてである。1970年頃から、D加群理論は主に佐藤幹雄の代数解析に関するアイデアへの応答として、また佐藤とジョセフ・バーンスタインによるバーンスタイン・佐藤多項式に関する研究を拡張する形で構築されてきた。

初期の重要な成果は柏原正樹による柏原構成可能性定理と柏原指数定理である。D加群理論の手法は常に層理論やその他の手法から引き出され、代数幾何学におけるアレクサンダー・グロタンディークの研究から着想を得ている。このアプローチはグローバルな性質を持ち、微分作用素の研究に伝統的に用いられてきた関数解析の手法とは異なる。最も強力な結果は過剰決定系（ホロノミック系）と、記号によって切り取られた特性多様体（良い場合、最大次元の余接束のラグランジュ部分多様体（対合系））で得られる。この手法はグロタンディーク学派からゾグマン・メブクートによって取り上げられ、彼はすべての次元でリーマン・ヒルベルト対応の一般的な導来圏バージョンを得た。

ワイル代数上の加群

代数的D加群の最初の例は、標数0の体K上のワイル代数A _n ( K ) 上の加群である。これは、次の変数に関する多項式からなる代数である。

x ₁、 ...、x _n、 ∂ ₁、 ...、 ∂ _n。

ここで、変数x _iと ∂ _{j は}それぞれ互いに可換であり、i ≠ jの場合もx _iと ∂ _jは可換であるが、交換子は次の関係を満たす。

[∂ _i , x _i ] = ∂ _i x _i − x _i ∂ _i = 1.

任意の多項式f ( x ₁ , ..., x _n ) に対して、これは次の関係を意味する。

[∂ _i , f ] = ∂ f / ∂ x _i、

これにより、ワイル代数と微分方程式が関連付けられる。

（代数的）D加群は、定義により、環A _n ( K )上の左加群である。D加群の例としては、ワイル代数自体（左乗法によって自身に作用する）、（可換）多項式環K [ x ₁ , ..., x _n ]（ここでx _{i は}乗法によって作用し、∂ _jはx _jに関して偏微分によって作用する）、そして同様の例として環 A n ( K ) が挙げられる。 ${\mathcal {O}}(\mathbf {C} ^{n})$ C ⁿ上の正則関数（n 個の複素変数の関数）について

微分作用素P = a _n ( x ) ∂ ⁿ + ... + a ₁ ( x ) ∂ ¹ + a ₀ ( x )が与えられたとき、ここでxは複素変数、a _i ( x ) は多項式である。商モジュールM = A ₁ ( C )/ A ₁ ( C ) Pは微分方程式の解の空間と密接に関連している。

P f = 0、

ここで、 fはCにおける何らかの正則関数である。この方程式の解からなるベクトル空間は、 D加群の準同型写像の空間によって与えられる。 $\mathrm {Hom} (M,{\mathcal {O}}(\mathbf {C} ))$ 。

代数多様体上のD加群

D加群の一般理論は、標数ゼロの代数的閉体K（例えばK = C）上で定義された滑らかな代数多様体X上で展開される。微分作用素の層D _Xは、 X上のベクトル場によって生成されるO _X代数として定義され、微分として解釈される。（左）D _X加群Mは、 D _Xの左作用を持つO _X加群である。このような作用を与えることは、 K線形写像を指定することと同等である。

\nabla :D_{X}\rightarrow \operatorname {End} _{K}(M),v\mapsto \nabla _{v}

満足

\nabla _{fv}(m)=f\,\nabla _{v}(m)

\nabla _{v}(fm)=v(f)m+f\,\nabla _{v}(m)

（ライプニッツの法則）

\nabla _{[v,w]}(m)=[\nabla _{v},\nabla _{w}](m)

ここで、fはX上の正則関数であり、vとwはベクトル場である。 $m\in M$ 、そして [ −、− ] は交換子を表します。したがって、Mがさらに局所的に自由なO _X加群である場合、M にD加群構造を与えることは、 Mに関連付けられたベクトル束に平坦な (または積分可能な)接続を装備することに他なりません。^[¹^]

環D _Xは非可換であるため、左 D 加群と右D加群を区別する必要がある。しかし、両タイプの加群の間には圏の同値性があり、左加群Mをテンソル積M ⊗ Ω _Xに写像することで、この 2 つの概念は交換可能である。ここで、Ω _XはX上の微分 1 形式の最高外套積によって与えられる線束である。この線束は、次のように決定される自然な右作用を持つ。

ω ⋅ v := − Lie _v ( ω ) 、

ここで、vは 1 階微分演算子、すなわちベクトル場であり、ω はn形式 ( n = dim X ) であり、Lie はリー微分を表す。^{[ 2 ]}

局所的に、 X上の座標系x ₁ , ..., x _n ( n = dim X )を選択し、 Xの接空間の基底 ∂ ₁ , ..., ∂ _nを決定すると、D _Xのセクションは一意に式として表現できます。

\sum f_{i_{1},\dots ,i_{n}}\partial _{1}^{i_{1}}\cdots \partial _{n}^{i_{n}}

、

f_{i_{1},\dots ,i_{n}}

これらはX上の正規関数である。

特に、X がn次元アフィン空間である場合、このD _Xはn変数のワイル代数である。

D加群の多くの基本的な性質は局所的であり、連接層の状況と類似している。これは、上述のO _X基底が示すように、 D _Xが無限階数ではあるもののO _X加群の局所自由層であるという事実に基づいている。O _X加群として連接なD _X加群は、必然的に局所自由（有限階数）であることが示される。

機能性

異なる代数多様体上のD加群は、連接層の場合と同様の引き戻し関手と押し出し関手によって接続されます。滑らかな多様体の写像f : X → Yについては、以下の定義が適用されます。

D _{X → Y} := O _X ⊗ _{f ^{− 1} ( O _Y )}f ^{− 1} ( D _Y )

これは連鎖律を模倣する形で左方向のD _X作用と、自然な右方向の作用f ⁻¹ ( D _Y ) を備えています。引き戻しは次のように定義されます。

f ^∗ ( M ) := D _{X → Y} ⊗ _{f ^{− 1} ( D _Y )}f ^{− 1} ( M ).

ここで、Mは左D _Y加群であり、その引き戻しはX上の左加群である。この関手は右完全であり、その左導来関手は L f ^{∗と表記される。逆に、右}D _X加群Nの場合、

f _∗ ( N ) := f _∗ ( N ⊗ _{D _X} D _{X → Y} )

これは右D _Yモジュールです。これは右完全テンソル積と左完全プッシュフォワードを混合するため、代わりにを設定するのが一般的です。

f _∗ ( N ) := R f _∗ ( N ⊗ ^L_{D _X} D _{X → Y} ).

このため、 D加群の理論の多くは、ホモロジー代数、特に導来圏の力を最大限に活用して展開されている。

ホロノミックモジュール

ワイル代数上のホロノミックモジュール

ワイル代数は（左および右）ネーター環であることが示せる。さらに、それは単純である。つまり、その両側イデアルは零イデアルと環全体のみである。これらの性質により、 D加群の研究は扱いやすくなる。特に、ヒルベルト多項式、多重度、加群の長さといった可換代数の標準的な概念は、 D加群にも引き継がれる。より正確には、D _Xはベルンシュタイン濾過を備えている。すなわち、F ^p A _n ( K )は、 | α | + | β | ≤ pを満たす微分作用素x ^α ∂ ^βのK線形結合からなる濾過である（多重添え字表記を使用）。関連する次数付き環は、 2 n 個の不定元に関する多項式環と同型であることがわかる。特に、それは可換である。

有限生成D加群Mには、いわゆる「良い」フィルターF ^∗Mが備わっており、これはF ^∗A _n ( K )と互換性があり、本質的にはArtin–Reesの補題の状況と並行している。ヒルベルト多項式は、関数と一致する数値多項式として定義される。

n ↦ dim _K F ⁿ M

nが大きい場合。A n ( K )加群Mの次元d ( M )は_、ヒルベルト多項式の次数として定義される。これはベルンシュタインの不等式によって制限される。

n ≤ d ( M ) ≤ 2 n。

次元が最小値nに達するモジュールは、ホロノミックモジュールと呼ばれます。

A 1 ( K )-加群M = A ₁ ( K )/ A ₁ ( K ) P (上記参照) は任意の非零微分作用素 P に対してホロノミックである_が、高次元ワイル代数については同様の主張は成り立たない。

一般的な定義

前述のように、ワイル代数上の加群はアフィン空間上のD加群に対応します。一般の多様体Xに対してD _X上でベルンシュタイン濾過が利用できないため、微分作用素の位数によって定義されるD _X上の位数濾過によって、定義は任意の滑らかなアフィン多様体Xに一般化されます。関連する次数付き環 gr D _Xは、余接束T ^∗X上の正則関数によって与えられます。

特性多様体は、 gr Mの消滅基底によって切り取られた余接束の部分多様体として定義される。ここでも、M は( D _X上の順序フィルターに関して) 適切なフィルターを備えている。通常どおり、アフィン構成は任意の多様体に貼り付けられる。

ベルンシュタインの不等式は、任意の（滑らかな）多様体Xに対して引き続き成り立ちます。上限は、gr D _Xを余接束で解釈した上記の結果から直接導かれますが、下限はより微妙です。

特性と特徴

ホロノミックモジュールは、有限次元ベクトル空間のように振る舞う傾向があります。たとえば、その長さは有限です。また、Mがホロノミックであるのは、複体 L i ^∗ ( M ) のすべてのコホモロジー群が有限次元K -ベクトル空間である場合のみです。ここで、 iはXの任意の点の閉じた埋め込みです。

任意のD加群Mに対して、双対加群は次のように定義される。

\mathrm {D} (M):={\mathcal {R}}\operatorname {Hom} (M,D_{X})\otimes \Omega _{X}^{-1}[\dim X].

ホロノミック加群は、ホモロジー条件によっても特徴づけられます。Mがホロノミックであるのは、D( M ) が次数 0 に集中している場合（ D加群の導来圏の対象として見た場合）に限ります。この事実は、ヴェルディエ双対性とリーマン・ヒルベルト対応の最初の兆候です。これは、正則環のホモロジー研究（特に大域ホモロジー次元に関連するもの）をフィルター付き環D _Xに拡張することによって証明されます。

ホロノミック加群のもう一つの特徴付けは、シンプレクティック幾何学によるものです。任意のD加群Mの特性多様体 Ch( M )は、 Xの余接束 T ^∗Xの部分多様体とみなすと、対合多様体となります。加群がホロノミックであるのは、Ch( M ) がラグランジュ的である場合のみです。

アプリケーション

ホロノミックD加群の初期の応用例の 1 つは、ベルンシュタイン-佐藤多項式であった。

カジュダン・ルスティグ予想

カジュダン・ルスティグ予想はD加群を用いて証明された。

リーマン・ヒルベルト対応

リーマン・ヒルベルト対応は、特定のD加群と構成可能層との間の関係を確立する。そのため、それは偏屈層を導入する動機となった。

幾何学的表現理論

D加群は幾何学的表現論にも応用されている。この分野における主要な成果の一つは、ベイリンソン・バーンシュタイン局所化である。これは、旗多様体G / B上のD加群をリー代数の表現と関連付けるものである。 ${\mathfrak {g}}$ 還元群GのD加群も幾何学的ラングランズプログラムの定式化において重要である。

注記

↑堀田・竹内・谷崎 2008、p. 18.
↑堀田、竹内、谷崎 2008、18–21 ページ。

参考文献

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MGM van Doorn (2001) [1994]、「Dモジュール」、数学百科事典、EMS Press
堀田良史竹内清谷崎俊之 (2008)、D加群、偏屈層、表現論（PDF）、Progress in Mathematics、第236巻、ボストン、マサチューセッツ州：Birkhäuser Boston、ISBN 978-0-8176-4363-8MR 2357361、2016年3月3日にオリジナル（PDF）からアーカイブ、2009年12月10日に取得

外部リンク

バーンスタイン、ジョセフ、「D加群の代数理論」（PDF）
デニス・ゲイツゴリー著、「幾何学的表現理論に関する講義」（PDF）、 2015年3月26日にオリジナル（PDF）からアーカイブ、 2011年12月14日に取得
ミリチッチ、ドラガン、『D加群の代数理論に関する講義』

[FOOTNOTEHottaTakeuchiTanisaki200818-1] 堀田・竹内・谷崎 2008、p. 18.

[FOOTNOTEHottaTakeuchiTanisaki200818–21-2] 堀田、竹内、谷崎 2008、18–21 ページ。

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