ハイパー関数に対する操作 させてU ⊆ R {\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} }
定義によりB （ U ） {\displaystyle {\mathcal {B}}(U)} ベクトル空間 である。具体的には：1 （ f + 、 f − ） + b （ g + 、 g − ） := （ 1 f + + b g + 、 1 f − + b g − ） {\displaystyle a(f_{+},f_{-})+b(g_{+},g_{-}):=(af_{+}+bg_{+},af_{-}+bg_{-})} 明らかな制限マップはB \displaystyle {\mathcal {B}}} 束 （実際にはたるんだ束 ）に。 実解析関数による乗算h ∈ O （ U ） {\displaystyle h\in {\mathcal {O}}(U)} h （ f + 、 f − ） := （ h f + 、 h f − ） d d z （ f + 、 f − ） := （ d f + d z 、 d f − d z ） {\displaystyle {\begin{aligned}h(f_{+},f_{-})&:=(hf_{+},hf_{-})\\[6pt]{\frac {d}{dz}}(f_{+},f_{-})&:=\left({\frac {df_{+}}{dz}},{\frac {df_{-}}{dz}}\right)\end{aligned}}} B （ U ） {\displaystyle {\mathcal {B}}(U)} Dモジュール となり、埋め込みD ′ ↪ B {\displaystyle {\mathcal {D}}'\hookrightarrow {\mathcal {B}}} ある点1 ∈ U {\displaystyle a\in U} は正則点 と呼ばれますf ∈ B （ U ） {\displaystyle f\in {\mathcal {B}}(U)} f {\displaystyle f} 1 。 {\displaystyle a.} 1 ⩽ b {\displaystyle a\leqslant b} ∫ 1 b f := − ∫ γ + f + （ z ） d z + ∫ γ − f − （ z ） d z {\displaystyle \int _{a}^{b}f:=-\int _{\gamma _{+}}f_{+}(z)\,dz+\int _{\gamma _{-}}f_{-}(z)\,dz} γ ± : [ 0 、 1 ] → C ± {\displaystyle \gamma _{\pm }:[0,1]\to \mathbb {C} ^{\pm }} γ ± （ 0 ） = 1 、 γ ± （ 1 ） = b 。 {\displaystyle \gamma _{\pm }(0)=a,\gamma _{\pm }(1)=b.} 上半平面と下半平面は単純に連結されて いるため、積分はこれらの曲線の選択に依存しません。 させてB c （ U ） {\displaystyle {\mathcal {B}}_{\text{c}}(U)} 双線形形式を介して { B c （ U ） × O （ U ） → C （ f 、 φ ） ↦ ∫ f ⋅ φ {\displaystyle {\begin{cases}{\mathcal {B}}_{\text{c}}(U)\times {\mathcal {O}}(U)\to \mathbb {C} \\(f,\varphi )\mapsto \int f\cdot \varphi \end{cases}}} O （ U ） 。 {\displaystyle {\mathcal {O}}(U).} これにより双対空間 の同一視が誘導される。O ′ （ U ） 、 {\displaystyle {\mathcal {O}}'(U),} B c （ U ） 。 {\displaystyle {\mathcal {B}}_{\text{c}}(U).} C c 0 （ U ） {\displaystyle C_{\text{c}}^{0}(U)} E ′ （ U ） {\displaystyle {\mathcal {E}}'(U)} B （ U ） {\displaystyle {\mathcal {B}}(U)} u ∈ E ′ （ U ） {\displaystyle u\in {\mathcal {E}}'(U)} φ ∈ O （ U ） {\displaystyle \varphi \in {\mathcal {O}}(U)} 補足 （ u ） ⊂ （ 1 、 b ） {\displaystyle \operatorname {supp} (u)\subset (a,b)} ∫ 1 b u ⋅ φ = ⟨ u 、 φ ⟩ 。 {\displaystyle \int _{a}^{b}u\cdot \varphi =\langle u,\varphi \rangle .} ∫ 1 b δ （ x ） d x {\displaystyle \int _{a}^{b}\delta (x)\,dx} E （ U ） 、 E ′ （ U ） {\displaystyle {\mathcal {E}}(U),{\mathcal {E}}'(U)} O ′ （ U ） {\displaystyle {\mathcal {O}}'(U)} E ′ ↪ B {\displaystyle {\mathcal {E}}'\hookrightarrow {\mathcal {B}}} もしΦ : U → V {\displaystyle \Phi :U\to V} R {\displaystyle \mathbb {R} } Φ {\displaystyle \Phi } B （ V ） {\displaystyle {\mathcal {B}}(V)} B （ U ） {\displaystyle {\mathcal {B}}(U)} f ∘ Φ := （ f + ∘ Φ 、 f − ∘ Φ ） {\displaystyle f\circ \Phi :=(f_{+}\circ \Phi ,f_{-}\circ \Phi )}
参考文献 今井功 （2012）[1992]、『応用ハイパー関数理論』 、数学とその応用（第8巻）、シュプリンガー、ISBN 978-94-010-5125-5 金子明（1988）「超関数理論入門」 、数学とその応用（日本語シリーズ、第3巻）、シュプリンガー、ISBN 978-90-277-2837-1 柏原正樹、河合 貴弘、木村達夫（2017）[1986] 『代数解析の基礎』 、プリンストン・レガシー・ライブラリー（書籍5158）、第 PMS-37巻、加藤五郎訳（復刻 版）、プリンストン大学出版局、ISBN 978-0-691-62832-5 小松彦三郎編 (1973)、「ハイパー関数と擬微分方程式、1971年片田会議議事録」 、数学講義ノート287、シュプリンガー、ISBN 978-3-540-06218-9 小松彦三郎、「微分方程式の解の層の相対コホモロジー」 、 192-261 頁 佐藤幹雄；河合 貴裕;柏原正樹、微関数と擬微分方程式 、pp. 265–529 マルティノー、アンドレ (1960–1961)、Les hyperfonctions de M.Sato 、Séminaire Bourbaki、第 6 巻 (1960–1961)、Exposé no. 214、MR 1611794、Zbl 0122.34902 森本光雄（1993）『佐藤のハイパー関数入門 ISBN 978-0-82184571-4 Pham, FL 編 (1975)、「ハイパー関数と理論物理学、ニース国際会議、1973 年 5 月 21-30 日」 、Lecture Notes in Mathematics 449、Springer、ISBN 978-3-540-37454-1 セレッソ、A.ピリオウ、A. Chazarain, J.、「超関数入門」 、1 ～ 53ページ 佐藤幹夫 （1958）「超関数の理論」『数学』 10 （1）『日本数学会』1-27 、 doi ： 10.11429 /sugaku1947.10.1、ISSN 0039-470X 佐藤幹夫（1959）「超関数論 I」、東京大学理学部紀要 第1部 数学・天文学・物理学・化学 、8 （1）：139–193 、hdl ：2261/6027、MR 0114124 佐藤幹夫（1960）「超関数論 II」、東京大学理学部紀要 第1部 数学・天文学・物理学・化学 、8 （2）：387–437 、hdl ：2261/6031、MR 0132392 シャピラ、ピエール （1970）、『ハイパー関数の理論 』、数学講義ノート126、シュプリンガー、ISBN 978-3-540-04915-9 Schlichtkrull, Henrik (2013) [1984]、「対称空間上のハイパー関数と調和解析」 、Progress in Mathematics（初版のソフトカバー復刻版 ）、Springer、ISBN 978-1-4612-9775-8
外部リンク ジェイコブス、ブライアン。「ハイパー関数」 金子明（2001）[1994] 「ハイパー関数」、数学百科事典
![${\displaystyle H_{\mathbb {R} }^{1}(\mathbb {C} ,{\mathcal {O}})=\left[H^{0}(\mathbb {C} ^{+},{\mathcal {O}})\oplus H^{0}(\mathbb {C} ^{-},{\mathcal {O}})\right]/H^{0}(\mathbb {C} ,{\mathcal {O}}).}$](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/973e93046c1d3bda18b6090c96598cde598a26a1)
![{\displaystyle {\begin{aligned}h(f_{+},f_{-})&:=(hf_{+},hf_{-})\\[6pt]{\frac {d}{dz}}(f_{+},f_{-})&:=\left({\frac {df_{+}}{dz}},{\frac {df_{-}}{dz}}\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a14e67df7ebbd7d256cacbc70f335d997da735c)
![\displaystyle \gamma _{\pm }:[0,1]\to \mathbb {C} ^{\pm }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca92246a71a816e569d9ea95e296d36ec391639d)
