ローカルシステム

数学において、位相空間X上の局所系（または局所係数系）は、固定されたアーベル群A内の係数を持つコホモロジーと、係数が点ごとに変化する一般層コホモロジーとの間を補間する代数位相幾何学のツールである。局所係数系は、 1943年にノーマン・スティーンロッドによって導入された。^[1]

ローカル システムは、コンストラクティブ シーブやパーバースシーブなどのより一般的なツールの構成要素です。

X を位相空間とする。X上の局所系(アーベル群/加群...) は、X上の局所定数層(アーベル群 /加群...)である。言い換えれば、すべての点に開近傍があり、制限層が何らかの定数前層の層化と同型である場合、層は局所系である。 ^{[説明が必要]}${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle {\mathcal {L}}|_{U}}$

Xが経路連結である場合、^{[説明が必要]}アーベル群の局所系はすべての点で同じ茎を持ちます。X上の局所系と群準同型 の間には全単射対応があります。${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle L}$

${\displaystyle \rho :\pi _{1}(X,x)\to {\text{Aut}}(L)}$

モジュールの局所システムについても同様です。局所システムを与える写像はのモノドロミー表現と呼ばれます。 ${\displaystyle \pi _{1}(X,x)\to {\text{Aut}}(L)}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

これは、（X がパス接続されている場合）ローカル システムが、Xの普遍被覆への引き戻しが定数層である層とまったく同じであることを示しています。

この対応は、 X上のアーベル群の局所系のカテゴリと（同値な、-加群）の作用を与えられたアーベル群のカテゴリとの間のカテゴリの同値性にまで昇格することができる。 ^[2]${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$${\displaystyle \mathbb {Z} [\pi _{1}(X,x)]}$

非連結Xに対して機能するより強い非同値な定義は次の通りである：局所システムは共変関数である

${\displaystyle {\mathcal {L}}\colon \Pi _{1}(X)\to {\textbf {Mod}}(R)}$

の基本群から可換環上の加群のカテゴリへ、ここで典型的には。これは、基点の変更および基本群上の誘導写像と互換性があるような群表現とともに、加群の各点への割り当てのデータと同等です。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R=\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C} }$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \rho _{x}:\pi _{1}(X,x)\to {\text{Aut}}_{R}(M)}$${\displaystyle \rho _{x}}$${\displaystyle x\to y}$${\displaystyle \pi _{1}(X,x)\to \pi _{1}(X,y)}$

• のような定数層。これはコホモロジーを計算するのに便利なツールです。なぜなら、適切な状況では、層コホモロジーと特異コホモロジーの間に同型性があるからです。${\displaystyle {\underline {\mathbb {Q} }}_{X}}$

$${\displaystyle H^{k}(X,{\underline {\mathbb {Q} }}_{X})\cong H_{\text{sing}}^{k}(X,\mathbb {Q} )}$$

• とします。 なので、 X上には写像に対応する局所系の族があります。${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}}$${\displaystyle \pi _{1}(\mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\})=\mathbb {Z} }$${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle n\mapsto e^{in\theta }}$

$${\displaystyle \rho _{\theta }:\pi _{1}(X;x_{0})\cong \mathbb {Z} \to {\text{Aut}}_{\mathbb {C} }(\mathbb {C} )}$$

• 平坦接続を持つベクトルバンドルの水平切断。 が平坦接続 を持つベクトルバンドルである場合、 によって与えられる局所システムが存在する。 たとえば、自明バンドルであると を取る。 Eの切断はX上の関数のn組であるため、X上の任意の 1 形式行列の場合と同様に、E上の平坦接続が定義される。水平切断は次のように表される。${\displaystyle E\to X}$${\displaystyle \nabla }$$${\displaystyle E_{U}^{\nabla }=\left\{{\text{sections }}s\in \Gamma (U,E){\text{ which are horizontal: }}\nabla s=0\right\}}$$${\displaystyle X=\mathbb {C} \setminus 0}$${\displaystyle E=X\times \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle \nabla _{0}(f_{1},\dots ,f_{n})=(df_{1},\dots ,df_{n})}$${\displaystyle \nabla (f_{1},\dots ,f_{n})=(df_{1},\dots ,df_{n})-\Theta (x)(f_{1},\dots ,f_{n})^{t}}$${\displaystyle \Theta }$
  $${\displaystyle E_{U}^{\nabla }=\left\{(f_{1},\dots ,f_{n})\in E_{U}:(df_{1},\dots ,df_{n})=\Theta (f_{1},\dots ,f_{n})^{t}\right\}}$$つまり、線形微分方程式の解です。${\displaystyle df_{i}=\sum \Theta _{ij}f_{j}}$

  が 上の 1 形式に拡張される場合、上の局所システムも定義されます。なので は自明です。興味深い例として、0に極を持つものを選択します。${\displaystyle \Theta }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \pi _{1}(\mathbb {C} )=0}$

  $${\displaystyle \Theta ={\begin{pmatrix}0&dx/x\\dx&e^{x}dx\end{pmatrix}}}$$この場合、${\displaystyle \nabla =d+\Theta }$$${\displaystyle E_{U}^{\nabla }=\left\{f_{1},f_{2}:U\to \mathbb {C} \ \ {\text{ with }}f'_{1}=f_{2}/x\ \ f_{2}'=f_{1}+e^{x}f_{2}\right\}}$$

• nシート被覆写像は、集合 によって与えられたファイバーを持つ局所システムです。同様に、離散ファイバーを持つファイバーバンドルは、各パスがそのベースポイントの指定されたリフトまで一意にリフトするため、局所システムです。（定義は、明らかに集合値の局所システムを含めるように調整されます）。${\displaystyle X\to Y}$${\displaystyle \{1,\dots ,n\}}$

• X上のkベクトル空間の局所系は、のk線型表現と同等です。${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$

• X が多様体である場合、局所システムは、さらに一貫性のあるO_XモジュールであるD モジュールと同じものです( O モジュールを参照)。

• 接続が平坦でない場合（つまり、曲率がゼロでない場合）、 x _0を基準とする収縮可能なループの周りのx上のファイバーF_xの平行移動により、 F_xの非自明な自己同型が得られる可能性があるため、平坦でない接続に対して局所的に定数な層を必ずしも定義できるとは限りません。

• ガウス・マニン接続は、ホッジ構造の変化に関連して水平断面が研究される接続の代表的な例です。

局所系のコホモロジーを定義する方法はいくつかあり、局所係数を持つコホモロジーと呼ばれ、Xに関する軽い仮定の下では同値になります。

• X上のアーベル群の局所定数層が与えられると、に係数を持つ層コホモロジー群が得られます。${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle H^{j}(X,{\mathcal {L}})}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

• X上のアーベル群の局所定数層が与えられたとき、各特異n単体を逆像層の大域セクションに写すすべての関数fの群を とします。これらの群は、通常の特異コホモロジーのように微分が構築されたコチェーン複体にすることができます。をこの複体のコホモロジーとして定義します。${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle C^{n}(X;{\mathcal {L}})}$ ${\displaystyle \sigma \colon \Delta ^{n}\to X}$${\displaystyle f(\sigma )}$ ${\displaystyle \sigma ^{-1}{\mathcal {L}}}$${\displaystyle H_{\mathrm {sing} }^{j}(X;{\mathcal {L}})}$

• Xの普遍被覆上の特異n鎖群は、デッキ変換によるの作用を持ちます。明示的に、デッキ変換は、特異n単体を に変換します。次に、の作用を備えたアーベル群L が与えられれば、上記のように -同変準同型群からコチェーン複体を形成できます。 をこの複体のコホモロジーとして定義します。${\displaystyle C_{n}({\widetilde {X}})}$${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$${\displaystyle \gamma \colon {\widetilde {X}}\to {\widetilde {X}}}$${\displaystyle \sigma \colon \Delta ^{n}\to {\widetilde {X}}}$${\displaystyle \gamma \circ \sigma }$${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\pi _{1}(X,x)}(C_{n}({\widetilde {X}}),L)}$${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$${\displaystyle H_{\mathrm {sing} }^{j}(X;L)}$

X がパラコンパクトかつ局所的に縮約可能な場合、 となります。^{[3] が}Lに対応する局所システムである場合、微分と互換性のある同一視が存在するため、 ^[4]となります。 ${\displaystyle H^{j}(X,{\mathcal {L}})\cong H_{\mathrm {sing} }^{j}(X;{\mathcal {L}})}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle C^{n}(X;{\mathcal {L}})\cong \operatorname {Hom} _{\pi _{1}(X,x)}(C_{n}({\widetilde {X}}),L)}$${\displaystyle H_{\mathrm {sing} }^{j}(X;{\mathcal {L}})\cong H_{\mathrm {sing} }^{j}(X;L)}$

局所システムは構成可能層に緩やかな一般化を持っている。局所的にパス連結な位相空間上の構成可能層とは、次のような層が存在する層のことで ある。${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

${\displaystyle X=\coprod X_{\lambda }}$

ここで、は局所系である。これらは典型的には、導出されたプッシュフォワードのコホモロジーを何らかの連続写像に対して取ることによって見つけられる。例えば、射の複素点を見ると、 ${\displaystyle {\mathcal {L}}|_{X_{\lambda }}}$${\displaystyle f:X\to Y}$

${\displaystyle f:X={\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [s,t][x,y,z]}{(st\cdot h(x,y,z))}}\right)\to {\text{Spec}}(\mathbb {C} [s,t])}$

そして繊維が

${\displaystyle \mathbb {A} _{s,t}^{2}-\mathbb {V} (st)}$

は で与えられる平面曲線ですが、 上のファイバーはです。導出されたプッシュフォワードを取ると、構成可能な層が得られます。 上 では、局所システム ${\displaystyle h}$${\displaystyle \mathbb {V} =\mathbb {V} (st)}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$${\displaystyle \mathbf {R} f_{!}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})}$${\displaystyle \mathbb {V} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {R} ^{0}f_{!}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})|_{\mathbb {V} (st)}&={\underline {\mathbb {Q} }}_{\mathbb {V} (st)}\\\mathbf {R} ^{2}f_{!}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})|_{\mathbb {V} (st)}&={\underline {\mathbb {Q} }}_{\mathbb {V} (st)}\\\mathbf {R} ^{4}f_{!}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})|_{\mathbb {V} (st)}&={\underline {\mathbb {Q} }}_{\mathbb {V} (st)}\\\mathbf {R} ^{k}f_{!}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})|_{\mathbb {V} (st)}&={\underline {0}}_{\mathbb {V} (st)}{\text{ otherwise}}\end{aligned}}}$

一方で、ローカルシステムもあります ${\displaystyle \mathbb {A} _{s,t}^{2}-\mathbb {V} (st)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {R} ^{0}f_{!}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})|_{\mathbb {A} _{s,t}^{2}-\mathbb {V} (st)}&={\underline {\mathbb {Q} }}_{\mathbb {A} _{s,t}^{2}-\mathbb {V} (st)}\\\mathbf {R} ^{1}f_{!}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})|_{\mathbb {A} _{s,t}^{2}-\mathbb {V} (st)}&={\underline {\mathbb {Q} }}_{\mathbb {A} _{s,t}^{2}-\mathbb {V} (st)}^{\oplus 2g}\\\mathbf {R} ^{2}f_{!}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})|_{\mathbb {A} _{s,t}^{2}-\mathbb {V} (st)}&={\underline {\mathbb {Q} }}_{\mathbb {A} _{s,t}^{2}-\mathbb {V} (st)}\\\mathbf {R} ^{k}f_{!}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})|_{\mathbb {A} _{s,t}^{2}-\mathbb {V} (st)}&={\underline {0}}_{\mathbb {A} _{s,t}^{2}-\mathbb {V} (st)}{\text{ otherwise}}\end{aligned}}}$

ここで は平面曲線の種数です ( )。 ${\displaystyle g}$${\displaystyle g=(\deg(f)-1)(\deg(f)-2)/2}$

方向被覆に対応するモジュール内の局所係数を持つコホモロジーは、非方向性多様体のポアンカレ双対性を定式化するために使用できます。ツイストポアンカレ双対性を参照してください。

• ルレイスペクトル列
• ガウス・マナン接続
• Dモジュール
• 交差ホモロジー
• 倒錯した束

• 「ローカル システムとは実際何なのか」。Stack Exchange。
• Schnell, Christian. 「局所システムのコホモロジー計算」(PDF)。ツイスト・ド・ラーム複体を使用して、ローカル システム内の係数を持つコホモロジーを計算する方法について説明します。
• ウィリアムソン、ジョーディ。「倒錯した束への図解ガイド」（PDF）。
• マクファーソン、ロバート(1990 年 12 月 15 日)。「交差ホモロジーおよび倒錯層」(PDF)。
• El Zein, Fouad; Snoussi, Jawad. 「ローカル システムと構築可能な層」(PDF)。