倒錯した束

数学用語の倒錯層は、実多様体または複素多様体、あるいはより一般的な位相的に成層化された空間（おそらく特異）である位相空間に関連付けられた特定のアーベル圏の対象を指します。

この概念は、ジョセフ・バーンスタイン、アレクサンダー・ベイリンソン、ピエール・ドリーニュ(1982)の研究で、リーマン-ヒルベルト対応の結果として導入されました。リーマン-ヒルベルト対応は、導来カテゴリの正則ホロノミックD 加群と構成可能層との間の接続を確立します。倒錯層は、後者の個々の D 加群 (より一般的なそれらの複合体ではない) に対応するオブジェクトです。倒錯層は一般に層の複合体によって表されます。倒錯層の概念は、ホロノミック D 加群の解の構成可能性に関する 1975 年の柏原の論文にすでに暗黙的に含まれています。

重要な観察は、マーク・ゴレスキーとロバート・マクファーソンの交差ホモロジーが、実際には倒錯層である層複体を使用して記述できることでした。倒錯層が代数幾何学、位相幾何学、解析学、微分方程式の交差点にある基本的な数学的対象であることは最初から明らかでした。倒錯層は、数論、代数学、表現論でも重要な役割を果たします。

倒錯した層という名前は、フランス語の「faisceaux pervers」の大まかな翻訳に由来しています。^[1]倒錯した層は、層と共通するいくつかの特徴を持つ層の複合体であるという理由から、倒錯した層はアーベル圏を形成し、コホモロジーを持ち、それを構築するには、どこでも局所的に構築すれば十分です。形容詞「倒錯した」は、交差ホモロジー理論に由来しており、^[2]その起源は Goresky (2010) によって説明されました。

ベイリンソン-バーンスタイン-ドリーニュによる倒錯層の定義は、ホモロジー代数の三角形化カテゴリの仕組みを通じて進められ、非常に強い代数的特徴を持つ。ただし、ゴレスキー-マクファーソン理論から生じる主な例は、倒錯層のカテゴリ内の単純なオブジェクトが交差コホモロジー複合体であるため、本質的に位相的である。これがマクファーソンがモース理論に基づいて理論全体を幾何学的な用語で書き直す動機となった。表現論の多くの応用において、倒錯層は「ブラックボックス」、つまり特定の形式的特性を持つカテゴリとして扱うことができる。

倒錯層とは 、空間X上の構成可能なコホモロジーを持つ層の有界導来圏Cの対象であり、点xの集合が

${\displaystyle H^{-i}(j_{x}^{*}C)\neq 0}$または${\displaystyle H^{i}(j_{x}^{!}C)\neq 0}$

は、すべてのiに対して、実次元が最大で 2 iです。ここで、j _{x は}点xの包含写像です。

Xが滑らかな複素代数多様体であり、あらゆる点で次元がd である場合、

${\displaystyle {\mathcal {F}}[d]}$

は任意の局所システム に対して倒錯層である。^[3] Xがヘンゼル離散評価環上の平坦で局所完備な交差（例えば正則）スキームである場合、 によってシフトされた定数層はエタール倒錯層である。^[4]${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \dim X+1}$

X を成層上の原点の周りの円板とし、原点が唯一の特異層であるとする。すると、 X上の倒錯層のカテゴリは、およびが可逆であるベクトル空間の図のカテゴリと同値になる。^[5]より一般的には、倒錯層を記述するために箙を使うことができる。^[要出典]${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle V{\overset {u}{\underset {v}{\rightleftarrows }}}W}$${\displaystyle \operatorname {id} -u\circ v}$${\displaystyle \operatorname {id} -v\circ u}$

倒錯層のカテゴリは、層の（非可換な）導来カテゴリの可換サブカテゴリであり、適切なt 構造の核に等しく、ヴェルディエ双対性によって保存されます。

スキームX上の倒錯l進層の有界導来カテゴリは構成可能層の導来カテゴリと同値であり、スキームX / Cに関連付けられた複素解析空間上の層についても同様である。^[6]

倒錯層は特異空間の幾何学の基本的なツールである。したがって、さまざまな数学の分野で応用されている。リーマン-ヒルベルト対応では、倒錯層は正則ホロノミックD 加群に対応する。この応用により、倒錯層の概念が「自然界」で発生することが確立される。分解定理は、硬いレフシェッツ定理分解の広範囲にわたる拡張であり、倒錯層の使用を必要とする。ホッジ加群は、大まかに言えば、倒錯層のホッジ理論的改良である。幾何学的佐竹同値は、アフィン グラスマン 多様体上の同変倒錯層を、簡約群Gのラングランズ双対群の表現と同一視する - Mirković & Vilonen (2007) を参照。倒錯層を使用したWeil 予想の証明は、Kiehl & Weissauer (2001) に示されている。 ${\displaystyle Gr_{G}}$

超弦理論の コンパクト化における質量ゼロの場は、対象空間（すなわち、6次元カラビ・ヤウ（CY）多様体を持つ4次元ミンコフスキー空間）上のコホモロジー類と同一視されている。物質と相互作用の内容を決定するには、これらの空間の（コ）ホモロジーの詳細な分析が必要である。有効物理モデルにおける質量ゼロの場のほぼすべては、特定の（コ）ホモロジー要素によって表される。

しかし、ターゲット空間が特異な場合、厄介な結果が生じます。特異なターゲット空間とは、ミンコフスキー空間因子が滑らかであるため、CY 多様体部分のみが特異であることを意味します。このような特異CY 多様体は、円錐特異点を許容する CY 多様体であるため、円錐体と呼ばれます。

アンドリュー・ストロミンガーは、円錐体は質量のないブラックホールに対応することを観察しました (A. ストロミンガー、1995) 。円錐体は弦理論の重要なオブジェクトです。ブライアン・グリーンは、著書「エレガントな宇宙」の第 13 章で、円錐体の近くで空間が裂け、その位相が変化する可能性があるという事実を含め、円錐体の物理について説明しています。これらの特異なターゲット空間、つまり円錐体は、超弦理論を含む超対称理論の大規模なクラスに現れる代数多様体の特定の軽度の退化に対応します (E. ウィッテン、1982)。

本質的に、特異ターゲット空間上の異なるコホモロジー理論は異なる結果をもたらすため、どの理論が物理学に有利であるかを判断することは困難です。質量のない場に対応するコホモロジーのいくつかの重要な特性は、場の理論、具体的には (2,2) 超対称 2 次元世界面 場の理論の一般的な特性に基づいています。ケーラーパッケージ (T. Hubsch、1992)として知られるこれらの特性は、特異ターゲット空間と滑らかなターゲット空間に当てはまるはずです。ポール グリーンとトリスタン ハブシュ (P. Green & T. Hubsch、1988) は、特異 CY ターゲット空間間を移動するには、特異点の小さな解像度または変形(T. Hubsch、1992) のいずれかを介して移動する必要があることを決定し、これを「円錐遷移」と呼びました。

トリスタン・ハブシュ (T. ハブシュ、1997) は、このコホモロジー理論が特異ターゲット空間に対してどのようなものであるべきかを予想しました。トリスタン・ハブシュとアブドゥル・ラーマン (T. ハブシュと A. ラーマン、2005) は、孤立した円錐特異点の場合にこれらの代数多様体の層化(基底状態多様体と呼ばれる) を誘導するウィッテンのゲージ化線形シグマモデル (E. ウィッテン、1993)の非横断的なケースを解析することで、ハブシュ予想を解決しようと取り組みました。

ある条件下では、この基底状態多様体は円錐体(P. Green & T.Hubsch, 1988; T. Hubsch, 1992) であることが決定されました。この円錐体には、ある基底上の孤立した円錐特異点があり、各特異点には 1 次元の外層曲線 (外層と呼ばれる) が付属しています。T. Hubsch と A. Rahman は、この基底状態多様体の (コ) ホモロジーをすべての次元で決定し、ミラー対称性および弦理論と互換性があることを発見しましたが、中間の次元に障害があることを発見しました(T. Hubsch と A. Rahman, 2005)。この障害により、Hubsch の弦特異コホモロジーの予想を再検討する必要がありました (T. Hubsch, 1997)。 2002 年の冬、T. ハブシュと A. ラーマンは RM ゴレスキーと会ってこの障害について議論し、RM ゴレスキーとR. マクファーソンの議論の中で、R. マクファーソンは、ハブシュの予想を満たし障害を解決するコホモロジーを持つような倒錯層が存在するという観察を行った。RMゴレスキーと T. ハブシュは、マクファーソン-ヴィロネンのジグザグ構成 (R. マクファーソン & K. ヴィロネン、1986) を使用した自己双対倒錯層の構成 (A. ラーマン、2009) に関する A. ラーマンの博士論文を指導した。この倒錯層は孤立円錐特異点に対するヒュブシュ予想を証明し、ポアンカレ双対性を満たし、ケーラーパッケージのいくつかの特性と一致した。高次元層に対するこの Perverse 層による Kähler パッケージ全体の満足は、まだ未解決の問題です。Markus Banagl (M. Banagl、2010 年、M. Banagl 他、2014 年) は、Hubsch の研究 (T. Hubsch、1992 年、1997 年、P. Green と T. Hubsch、1988 年) と孤立した特異点に対する A. Rahman のオリジナルの仮説 (A. Rahman、2009 年) に触発されて、高次元 層に対する交差空間を通じてHubsch 予想に取り組みました。

• 混合ホッジモジュール
• 混ざり合った倒錯した束
• 交差ホモロジー
• L²コホモロジー
• コニフォールド
• 弦理論
• 超対称性

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