ゴドメント決議

層のゴデメント分解は、ホモロジー代数における構成であり、層の大域的コホモロジー情報を、その茎から得られる局所的情報の観点から見ることができる。これは、層のコホモロジーを計算するのに役立つ。これは、ロジャー・ゴデメントによって発見された。

位相空間X (より一般的には、十分な点を持つトポスX) と X 上の層Fが与えられた場合、 Fの Godement 構成は次のように構成された層を与える。各点 に対して、xにおけるFの茎を表すものとする。開集合 が与えられた場合、定義する。 ${\displaystyle \operatorname {Gode} (F)}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle F_{x}}$${\displaystyle U\subseteq X}$

${\displaystyle \operatorname {Gode} (F)(U):=\prod _{x\in U}F_{x}.}$

開集合は明らかに制限写像 を誘導し、前層も同様です。層公理は簡単に確認できます。また、 がflabby であることも簡単に証明できます。つまり、各制限写像は射影的です。2 つの層間の写像はそれらの茎間の写像を誘導するため、写像は関数に変換できます。最後に、各セクションをその芽の「積」に送る層の標準写像があります。この標準写像は、恒等関数と の間の自然な変換です。 ${\displaystyle U\subseteq V}$${\displaystyle \operatorname {Gode} (F)(V)\rightarrow \operatorname {Gode} (F)(U)}$${\displaystyle \operatorname {Gode} (F)}$${\displaystyle \operatorname {Gode} (F)}$${\displaystyle \operatorname {ゴデ} }$${\displaystyle F\to \operatorname {Gode} (F)}$${\displaystyle \operatorname {ゴデ} }$

別の見方をすると、次のようになります。を離散位相を持つ集合Xとします。を恒等写像によって誘導される連続写像とします。 これにより、随伴する直像関数と逆像関数が誘導されます。このとき、 となり、この随伴の単位元は上で説明した自然変換です。 ${\displaystyle \operatorname {ゴデ} }$${\displaystyle X_{\text{ディスク}}}$${\displaystyle p\colon X_{\text{disc}}\to X}$${\displaystyle p_{*}}$${\displaystyle p^{-1}}$${\displaystyle \operatorname {Gode} =p_{*}\circ p^{-1}}$

この付加により、 X上の層のカテゴリには関連するモナドが存在します。このモナドを使用すると、層F を共増余単体層に変換する方法があります。この共増余単体層は、 Fの Godement 解決として定義される増補コチェーン複合体を生み出します。

もっと現実的な言葉で言えば、、および が正準写像を表すものとします。各 に対して、、および が正準写像を表すものとします。結果として得られる解決はFの flabby 解決であり、そのコホモロジーはFの層コホモロジーです。 ${\displaystyle G_{0}(F)=\operatorname {Gode} (F)}$${\displaystyle d_{0}\colon F\rightarrow G_{0}(F)}$${\displaystyle i>0}$${\displaystyle G_{i}(F)}$${\displaystyle \operatorname {Gode} (\operatorname {coker} (d_{i-1}))}$${\displaystyle d_{i}\colon G_{i-1}\rightarrow G_{i}}$

• Godement、Roger (1973)、Topologie algébrique et théorie des faisceaux、パリ: Hermann、ISBN 9782705612528、MR  0345092
• ワイベル、チャールズ A. (1994)、ホモロジー代数入門、ケンブリッジ大学出版局、doi :10.1017/CBO9781139644136、ISBN 978-0-521-55987-4、MR  1269324

• Stacks Project の著者。「20.30 Godement の解像度」。
• Goresky, Mark. 「Perverse Sheaves の紹介 §.4.1. Godement の解決」(PDF)。高等研究所。