直接像関数

数学において、直接像関手は、大域切断関手を相対的なケースに一般化する層理論の構成である。これは位相幾何学と代数幾何学において根本的に重要である。位相空間X上に定義された層Fと連続写像f : X → Yが与えられたとき、 Y上の新しい層f _∗ Fを定義できる。これは直接像層またはfに沿ったFのプッシュフォワード層と呼ばれ、 f _∗ Fの大域切断はFの大域切断によって与えられる。この割り当てにより、X上の層のカテゴリからY上の層のカテゴリへの関手f _{∗が生成され、これは直接像関手と呼ばれる。同様の構成は、}スキーム上の準連接層やエタール層など、他の多くの代数的および幾何学的なコンテキストにも存在する。

f : X → Y を位相空間の連続写像とし、Sh(–) を位相空間上のアーベル群の層のカテゴリとする。直接像関数

${\displaystyle f_{*}:\operatorname {Sh} (X)\to \operatorname {Sh} (Y)}$

X上の層F をY上のその直接の像である前層f _∗ Fに送る。これはYの開集合U上で次のように 定義される。

${\displaystyle f_{*}F(U):=F(f^{-1}(U)).}$

これはY上の層であることが判明し、fに沿ったFの直接像層またはプッシュフォワード層と呼ばれます。

X上の層の射φ: F → Gは、 Y上の層の射f _∗ (φ): f _∗ ( F ) → f _∗ ( G )を明らかに生成するので、 f _∗は確かに関手であることがわかります。

Yが点であり、f : X → Y が唯一の連続写像である場合、 Sh( Y ) はアーベル群のカテゴリAbであり、直接像関数f _∗ : Sh( X ) → Ab は大域切断関数に等しくなります。

アーベル群の層の代わりに集合の層を扱う場合も、同じ定義が適用されます。同様に、f : ( X , O _X ) → ( Y , O _Y ) が環空間の射である場合、 O _X加群の層のカテゴリからO _Y加群の層のカテゴリへの直接像関手f _∗ : Sh( X , O _X ) → Sh( Y , O _Y ) が得られます。さらに、fが準コンパクトおよび準分離スキームの射である場合、 f _{∗ は}準コヒーレントであるという性質を保存するため、準コヒーレント層のカテゴリ間の直接像関手が得られます。^[1]

同様の定義が、エタール層などのトポイ上の層にも適用されます。そこでは、上記の逆像f ⁻¹ ( U )の代わりに、 UとXのY上のファイバー積を使用します。

• 層カテゴリと直接像関手を形成すること自体が、位相空間のカテゴリからカテゴリのカテゴリへの関手を定義します。連続写像f : X → Yとg : Y → Zが与えられた場合、 ( gf ) _∗ = g _∗ f _∗が成り立ちます。
• 直像関数は逆像関数の右随伴関数であり、これはX、Y上の任意の連続層と層に対して自然同型が存在することを意味します。${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle {\mathcal {F}},{\mathcal {G}}}$

${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathbf {Sh} (X)}(f^{-1}{\mathcal {G}},{\mathcal {F}})=\mathrm {Hom} _{\mathbf {Sh} (Y)}({\mathcal {G}},f_{*}{\mathcal {F}})}$。

• f が閉部分空間X ⊆ Yの包含である場合、f _{∗ は}正確です。実際、この場合、f _{∗ は、} X上の層のカテゴリとXでサポートされているY上の層のカテゴリとの間の同値です。これは、の場合の の茎がであり、それ以外の場合は 0 であるという事実から導かれます (ここでは、 YにおけるXの閉性が使用されています)。${\displaystyle (f_{*}{\mathcal {F}})_{y}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{y}}$${\displaystyle y\in X}$
• f が環準同型によって決定されるアフィンスキームの射である場合、準連接層上の直接像関数f _{∗ はφ に沿った}スカラー関数の制限と同一視されます。${\displaystyle \mathrm {Spec} \,S\to \mathrm {Spec} \,R}$${\displaystyle \phi :R\to S}$

直接像の関手は左正確ですが、通常右正確ではありません。したがって、直接像の右導来関手を考えることができます。これらは高次直接像と呼ばれ、R ^q f _∗と表記されます。

より高次の直接像に対しても同様の表現が成り立つことが示せる。X上の層Fに対して、層R ^q f _∗ ( F )は前層

${\displaystyle U\mapsto H^{q}(f^{-1}(U),F)}$、

ここでH ^{q は}層コホモロジーを表す。

代数幾何学と準コンパクトおよび準分離スキームの射の文脈では、同様に右導来関手が存在する。 ${\displaystyle f:X\to Y}$

${\displaystyle Rf_{*}:D_{qcoh}(X)\to D_{qcoh}(Y)}$

を準連接層の（非有界）導来圏の間の関手として定義します。この状況では、は常に右随伴 を許容します。^[2]これは、も適切でない限り、例外的な逆像関手と密接に関連していますが、一般には同等ではありません。 ${\displaystyle Rf_{*}}$${\displaystyle f^{\times }}$ ${\displaystyle f^{!}}$${\displaystyle f}$

• 適切な基底変換定理

• Iversen、Birger (1986)、層のコホモロジー、Universitext、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 978-3-540-16389-3、MR  0842190、特にセクション II.4