ローレンツ群の表現論

リー代数${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$は、${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )\times {\text{SL}}(2,\mathbb {C} ).}$これには、リー代数を持つコンパクト部分群SU(2) × SU(2)が含まれる。${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)\oplus {\mathfrak {su}}(2).}$後者はコンパクトな実数形式である${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ).}$したがって、ユニタリアントリックの最初の記述から、SU(2) × SU(2)の表現は、正則表現と 1 対 1 で対応します。${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )\times {\text{SL}}(2,\mathbb {C} ).}$

コンパクト性により、ピーター・ワイルの定理はSU(2) × SU(2)に適用され、^{[ 34 ]}したがって既約指標の正規直交性に訴えることができる。SU (2) × SU(2)の既約ユニタリ表現は、SU(2)の既約ユニタリ表現のテンソル積に正確に一致する。^{[ 35 ]}

単純な連結性に訴えることで、ユニタリアントリックの第二の主張が適用される。以下のリストにある対象は一対一対応している。

• 正則表現${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )\times {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$
• SU(2) × SU(2)の滑らかな表現
• 実線形表現${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)\oplus {\mathfrak {su}}(2)}$
• 複雑な線形表現${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$

表現のテンソル積は、リー代数レベルでは次のいずれかとして現れる^{[ nb 7 ]}

ここで、 Idは恒等演算子です。ここでは、 (G6)から導かれる後者の解釈が意図されています。${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$μ = 0, 1/2, 1, ...で添え字付けされる。(実際には最大の重みは2 μ = 0, 1, 2, ...だが、ここでは表記法を に合わせて変更している)${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3;1).}$) 2 つの複素線形因子のテンソル積は、次の既約複素線形表現を形成します。${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ).}$

最後に、${\displaystyle \mathbb {R} }$-極左の実際の形態の線形表現、${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3;1)}$そして極右は、${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ),}$^{[ nb 8 ]} (A1)は以下から得られる。${\displaystyle \mathbb {C} }$-線形表現${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$前の段落で述べたように。

複素化の複素線形表現${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ),{\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )_{\mathbb {C} },}$(A1)の同型写像によって得られたものは、実線形表現と一対一で対応している。${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ).}$^{[ 36 ]}すべての実線形既約表現の集合${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$したがって、 ( μ , ν )のペアでインデックス付けされます。複素線形は、実線形の複素化に正確に対応します。${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$表現は( μ , 0)の形であり、共役線形表現は(0, ν )である。^{[ 36 ]}その他はすべて実線形のみである。線形性の性質は、 (A1)の右端にある正準注入から導かれる。${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$その複素化へ。形式( ν , ν )または( μ , ν ) ⊕ ( ν , μ )の表現は実数行列で与えられる(後者は既約ではない)。具体的には、実数線形( μ , ν ) -表現は${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$は $${\displaystyle \varphi _{\mu ,\nu }(X)=\left(\varphi _{\mu }\otimes {\overline {\varphi _{\nu }}}\right)(X)=\varphi _{\mu }(X)\otimes \operatorname {Id} _{\nu +1}+\operatorname {Id} _{\mu +1}\otimes {\overline {\varphi _{\nu }(X)}},\qquad X\in {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$$ どこ${\textstyle \varphi _{\mu },\mu =0,{\tfrac {1}{2}},1,{\tfrac {3}{2}},\ldots }$は、${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$そして${\displaystyle {\overline {\varphi _{\nu }}},\nu =0,{\tfrac {1}{2}},1,{\tfrac {3}{2}},\ldots }$それらの複素共役表現。（数学文献では通常、ラベル付けは0、1、2、…ですが、ここでは半整数を選択して、${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3,1)}$（リー代数）ここで、テンソル積は（A0）の以前の意味で解釈される。これらの表現は以下で具体的に実現される。

(A1)に示された同型写像と複素線形既約表現の知識を介して${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$JとKを解くと、すべての既約表現は${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3;1)_{\mathbb {C} },}$そして制限により、${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3;1)}$得られる。${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3;1)}$このようにして得られたものは、共役に関して代数が閉じていないため、実線形（複素線形または共役線形ではない）であるが、それでも既約である。^{[ 33 ]}${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3;1)}$は半単純であり、^{[ 33 ]}そのすべての表現は既約表現の直接和として構築できる。

したがって、ローレンツ代数の有限次元既約表現は、半整数の順序対m = μおよびn = νによって分類され、慣習的に次のように記述され ます。$${\displaystyle (m,n)\equiv \pi _{(m,n)}:{\mathfrak {so}}(3;1)\to {\mathfrak {gl}}(V),}$$ ここで、Vは有限次元ベクトル空間である。これらは、相似変換を除いて、 ^{[ nb 9 ]}によって一意に与えられる。

ここで、1 _nはn次元単位行列で あり、$${\displaystyle \mathbf {J} ^{(n)}=\left(J_{1}^{(n)},J_{2}^{(n)},J_{3}^{(n)}\right)}$$は(2 n + 1)次元の既約表現 である。${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)\cong {\mathfrak {su}}(2)}$スピン行列または角運動量行列とも呼ばれる。これらは明示的に^{[ 37 ]のように与えられる。}$${\displaystyle {\begin{aligned}\left(J_{1}^{(j)}\right)_{a'a}&={\frac {1}{2}}\left({\sqrt {(j-a)(j+a+1)}}\delta _{a',a+1}+{\sqrt {(j+a)(j-a+1)}}\delta _{a',a-1}\right)\\\left(J_{2}^{(j)}\right)_{a'a}&={\frac {1}{2i}}\left({\sqrt {(j-a)(j+a+1)}}\delta _{a',a+1}-{\sqrt {(j+a)(j-a+1)}}\delta _{a',a-1}\right)\\\left(J_{3}^{(j)}\right)_{a'a}&=a\delta _{a',a}\end{aligned}}}$$ ここでδ はクロネッカーのデルタを表す。− m ≤ a、a′ ≤ m、− n ≤ b、b′ ≤ nの成分では、表現は^{[ 38 ]}で与えられる。$${\displaystyle {\begin{aligned}\left(\pi _{(m,n)}\left(J_{i}\right)\right)_{a'b',ab}&=\delta _{b'b}\left(J_{i}^{(m)}\right)_{a'a}+\delta _{a'a}\left(J_{i}^{(n)}\right)_{b'b}\\\left(\pi _{(m,n)}\left(K_{i}\right)\right)_{a'b',ab}&=-i\left(\delta _{b'b}\left(J_{i}^{(m)}\right)_{a'a}-\delta _{a'a}\left(J_{i}^{(n)}\right)_{b'b}\right)\end{aligned}}}$$

このリー代数の表現は物理学で用いられており、関心のある様々な物理量は、適切な次元の表現の下で一緒に変換される時空上で定義された関数、または関数の集合である。^{[ 39 ]}

• (0, 0)表現は1次元の自明な表現であり、相対論的スカラー場理論によって扱われる。^{[ 40 ]}
• フェルミオン超対称性生成子は、 (0, 1/2 )または( 1/2 , 0 )^表現 （ワイルスピノル）のいずれかの下で変換する。^{[ 41} ]
• 粒子（質量がゼロまたは質量がある）の4元運動量は、（ 1 / 2 , 1 / 2 ）表現の下で4元ベクトルに 変換される。^{[ 42 ]}
• (1,1)トレースレス対称テンソル場の物理的な例としては、エネルギー運動量テンソルT ^μνのトレースレス部分^{[ nb 10 ]}が挙げられる。^{[ 43 ] [ nb 11 ]}

複素共役は( m , n )と( n , m )を交換するので、表現( m , n )と( n , m )の直和は 実数行列表現を許容し、したがって物理学に特に関連がある。^{[ 44 ] [ 45 ]}

• ( 1 / 2 , 0 ) ⊕ (0, 1 / 2 )はディラック・スピノル表現です。下記のワイル・スピノルも参照してください。
• (1, ⁠ 1 / 2 ⁠ ) ⊕ ( ⁠ 1 / 2 ⁠ , 1)は、Rarita–Schwingerフィールド表現です。
• ( 3 / 2 , 0 ) ⊕ (0, 3 / 2 )は、仮説上のグラビティーノの対称性となる。^{[注12 ]これ}は、(1, 1 / 2 ) ⊕ ( 1 / 2 , 1 )表現から得られる。
• (1, 0) ⊕ (0, 1)はパリティ不変な2 形式場 (曲率形式とも呼ばれる)の表現です。電磁場テンソルはこの表現の下で変換されます。

実用的な観点から、(G2)の最初の式がグループのすべての要素に使用できるかどうかが重要です。これはすべての要素に当てはまります。${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$しかし、一般的には、例えば${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$、すべてのg ∈ Gがexpの像に含まれるわけではありません。

しかし${\displaystyle \exp$ :{\mathfrak {so}}(3;1)\to {\text{SO}}(3;1)^{+}} は全射である。これを示す一つの方法は、同型性を利用することである。${\displaystyle {\text{SO}}(3;1)^{+}\cong {\text{PGL}}(2,\mathbb {C} ),}$後者はメビウス群である。これは、${\displaystyle {\text{GL}}(n,\mathbb {C} )}$（リンク先の記事を参照）。商写像は次のように表される。${\displaystyle p:{\text{GL}}(n,\mathbb {C} )\to {\text{PGL}}(2,\mathbb {C} ).}$地図${\displaystyle \exp$ :{\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {C} )\to {\text{GL}}(n,\mathbb {C} )} は全射である。 ^{[ 48 ]} πを恒等写像におけるpの微分として( Lie)を適用する

$${\displaystyle \forall X\in {\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {C} ):\quad p(\exp(iX))=\exp(i\pi (X)).}$$

左辺は全射であるため（expとpの両方が全射である）、右辺も全射であり、したがって${\displaystyle \exp$ :{\mathfrak {pgl}}(2,\mathbb {C} )\to {\text{PGL}}(2,\mathbb {C} )} は全射である。 ^{[ 49 ]}最後に、議論をもう一度繰り返すが、今度はSO(3; 1) ⁺と${\displaystyle {\text{PGL}}(2,\mathbb {C} )}$ローレンツ群の連結成分に対してexpが全射であることを発見する。

ローレンツ群は二重連結であり、すなわち π ₁ (SO(3; 1))はループの同値類を2つ持つ群である。

π ₁ (SO(3; 1) ⁺ )は 2 つの要素を持つため、リー代数の表現の中には射影表現が得られるものがあります。^{[ 52 ] [ nb 13 ]}表現が射影的かどうかがわかれば、式(G2)は、射影表現を含むすべての群要素とすべての表現に適用されます。ただし、群要素の代表元は、標準表現で群要素を表すためにリー代数のどの要素 ( (G​​2)のX ) が使用されるかによって決まるという理解が必要です。

ローレンツ群の場合、m + nが半整数のとき、( m , n )表現は射影的になります。§スピノルを参照してください。 

SO(3; 1) ⁺の射影表現Πについては、 ^{[ 51 ]}が成り立つ。

SO(3; 1) ⁺内の任意のループは、二重連結性により、2 回走査すると一点に縮約されるため、そのホモトピー類は定数写像のホモトピー類になります。したがって、Πは二値関数です。SO (3; 1) ⁺全体の連続表現を得るために符号を一貫して選択することはできませんが、任意の点の周囲では局所的に可能です。 ^{[ 5 ]}

指数写像${\displaystyle \exp$ :{\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\to {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )} は 全射ではない。 ^{[ 55 ]}行列

は${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} ),}$しかし、${\displaystyle Q\in {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$q = exp( Q )となるように。^{[ nb 17 ]}

一般に、gが連結リー群Gの要素であり、リー代数が${\displaystyle {\mathfrak {g}},}$そして、 （嘘）によって、

行列qは次のように書ける

既約正則（n +1）次元表現 ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} ),n\geqslant 2,}$2変数n次同次多項式の空間上で実現可能${\displaystyle \mathbf {P} _{n}^{2},}$^{[ 57 ] [ 58 ]}その要素は

$${\displaystyle P{\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\\\end{pmatrix}}=c_{n}z_{1}^{n}+c_{n-1}z_{1}^{n-1}z_{2}+\cdots +c_{0}z_{2}^{n},\quad c_{0},c_{1},\ldots ,c_{n}\in \mathbb {Z} .}$$

の行動${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$^{[ 59 ] [ 60 ]}によって与えられる。

関連する${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$-アクションは、（G6）と上記の定義を使用して、${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ),}$^{[ 61 ]}

基礎の選択肢として${\displaystyle P\in \mathbf {P} _{n}^{2}}$これらの表現は行列リー代数となる。

( μ , ν )表現は多項式の空間上で実現される${\displaystyle \mathbf {P} _{\mu ,\nu }^{2}}$で${\displaystyle z_{1},{\overline {z_{1}}},z_{2},{\overline {z_{2}}},}$次数μの同次${\displaystyle z_{1},z_{2}}$次数νの同次${\displaystyle {\overline {z_{1}}},{\overline {z_{2}}}.}$^{[ 58 ]}表現は^{[ 62 ]によって与えられる。}

（G6）を再度用いると、

特に基本要素については、

ローレンツ・リー代数では、カシミール作用素は普遍包絡代数の中心要素であり、したがってシューアの補題により、各既約表現にスカラー作用する。^{[ 65 ] [ 66 ]}有限次元理論では、複素化に移行して分解を用いるのが便利である。 $${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3,1)_{\mathbb {C} }\cong \mathbf {A} _{\mathbb {C} }\oplus \mathbf {B} _{\mathbb {C} },}$$ それぞれの${\displaystyle \mathbf {A} _{\mathbb {C} }}$そして${\displaystyle \mathbf {B} _{\mathbb {C} }}$はコピーです${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$（ここでは次のように扱われる）${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)_{\mathbb {C} }}$上記のように、ジェネレーターと共に${\displaystyle A_{i}}$そして${\displaystyle B_{i}}$（それぞれ）^{[ 67 ]}

この正規化により、2 つの因子に対する二次カシミールは次のように表すことができます。 $${\displaystyle \Omega _{A}=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+A_{3}^{2},\qquad \Omega _{B}=B_{1}^{2}+B_{2}^{2}+B_{3}^{2}.}$$ 同様に、${\displaystyle A_{\pm }=A_{1}\pm iA_{2}}$そして${\displaystyle B_{\pm }=B_{1}\pm iB_{2}}$、 それから $${\displaystyle \Omega _{A}=A_{3}^{2}+{\frac {1}{2}}(A_{+}A_{-}+A_{-}A_{+}),\qquad \Omega _{B}=B_{3}^{2}+{\frac {1}{2}}(B_{+}B_{-}+B_{-}B_{+}).}$$ 2つの因子は可換なので、${\displaystyle \Omega _{A}}$そして${\displaystyle \Omega _{B}}$普遍包絡代数の中心となるのは${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3,1)_{\mathbb {C} }}$代数的に独立な二次カシミール演算子のローレンツ代数に対する便利な正規化された選択は、 $${\displaystyle C_{1}=2(\Omega _{A}+\Omega _{B}),\qquad C_{2}=\Omega _{A}-\Omega _{B}.}$$

回転およびブーストジェネレーターに関して言えば、これは $${\displaystyle C_{1}=\mathbf {J} ^{2}-\mathbf {K} ^{2},\qquad C_{2}=i\,\mathbf {J} \cdot \mathbf {K} .}$$(m,n) がスピンm表現から得られる既約表現を表す 場合${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$そしてスピンn表現${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$、 それから $${\displaystyle \Omega _{A}\mapsto m(m+1),\qquad \Omega _{B}\mapsto n(n+1),}$$ そしてそれゆえに $${\displaystyle C_{1}\mapsto 2{\bigl (}m(m+1)+n(n+1){\bigr )},\qquad C_{2}\mapsto m(m+1)-n(n+1).}$$ 特に、共役対(m,n)と(n,m)は同じ値を持つ。${\displaystyle C_{1}}$しかし反対の値は${\displaystyle C_{2}}$; m=nの場合、2 番目のカシミールは消滅する。^{[ 67 ]}

( m , n )表現は( 2m +1)( 2n +1)次元である。^{[ 68 ]}これは、例えば表現で与えられたような具体的な実現における次元を数えることから最も容易に導かれる。${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$そして${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$リーの一般代数${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ワイル次元公式、^{[ 69 ]}$${\displaystyle \dim \pi _{\rho }={\frac {\Pi _{\alpha \in R^{+}}\langle \alpha ,\rho +\delta \rangle }{\Pi _{\alpha \in R^{+}}\langle \alpha ,\delta \rangle }},}$$ ここで、R ⁺は正の根の集合、ρは最大の重み、δは正の根の合計の半分である。内積${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$リー代数の${\displaystyle {\mathfrak {g}},}$ワイル群の作用の下で不変${\displaystyle {\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}},}$カルタン部分代数。根（実際には要素）${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}}$）は、この内積によって、の要素と同一視される。${\displaystyle {\mathfrak {h}}.}$のために${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ),}$この式はdim π _μ = 2 μ + 1 = 2 m + 1に簡略化され、現在の表記法を考慮に入れる必要がある。最大の重みは2 μである。^{[ 70 ]}テンソル積を取ると、結果が導かれる。

リー群Gの(非自明な) 表現Π が忠実でない場合、N = ker Πは非自明な正規部分群である。^{[ 71 ]}関連するケースは 3 つある。

1. Nは非離散かつアーベル群である。
2. Nは非離散的かつ非可換である。
3. Nは離散的である。この場合、 N ⊂ Zとなる。ここでZはGの中心である。 ^{[ nb 19 ]}

SO(3; 1) ⁺の場合、 SO(3; 1) ^{+ は}半単純であるため、最初のケースは除外されます。 ^{[ nb 20 ]} 2番目のケース（および最初のケース）は、SO(3; 1) ⁺が単純であるため除外されます。^{[ nb 21 ]} 3番目のケースでは、SO(3; 1) ⁺は商と同型です${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )/\{\pm I\}.}$しかし${\displaystyle \{\pm I\}}$は中心です${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} ).}$したがって、SO(3; 1) ⁺の中心は自明であり、これにより 3 番目のケースは除外されます。結論として、V、Wは有限次元ベクトル空間であり、すべての表現Π  : SO(3; 1) ⁺ → GL( V )およびすべての射影表現Π  : SO(3; 1) ⁺ → PGL( W )は忠実です。

基本的なリー対応を用いることで、上記の記述と推論は、(アーベル) 非自明な非離散正規部分群がリー代数内の (1 次元) 非自明なイデアルに置き換えられたリー代数に直接翻訳され、^{[ 72 ]} SO(3; 1) ⁺の中心が中心に置き換えられます。${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(3;1)^{+}}$任意の半単純リー代数の中心は自明である^{[ 73 ]}。${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3;1)}$は半単純かつ単純であり、したがって非自明なイデアルを持たない。

関連する事実として、対応する表現が${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$が忠実であれば、表現は射影的である。逆に、表現が非射影的であれば、対応する${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$表現は忠実ではなく、2:1です。

( m , n )リー代数表現はエルミートではありません。したがって、群の対応する (射影) 表現は決してユニタリではありません。^{[ nb 22 ]}これは、ローレンツ群の非コンパクト性によるものです。実際、連結単純非コンパクト リー群は、非自明なユニタリ有限次元表現を持つことはできません。 [ 5] これには位相的な証明があります。[74] u ^{: G →} GL ^{( V )}、ただしVは有限次元であり、非コンパクト連結単純リー群Gの連続ユニタリ表現とします。このとき、u ( G ) ⊂ U( V ) ⊂ GL( V )となります。ここで、U( V )はVのユニタリ変換からなるGL( V )のコンパクト部分群です。uの核はGの正規部分群です。Gは単純であるため、ker uはG全体である場合、uは自明であるか、ker uが自明である場合、uは忠実である。後者の場合、 u はその像への微分同相写像であり、 ^{[ 75 ]} u ( G ) ≅ Gであり、u ( G )はリー群である。これは、u ( G )がコンパクト群U( V )の埋め込み非コンパクトリー部分群であることを意味する。これは、 u ( G ) ⊂ U( V )上の部分空間位相では不可能である。なぜなら、リー群のすべての埋め込みリー部分群は閉じているからである^{[ 76 ] 。}もしu ( G )が閉じていれば、コンパクトになり、^{[ nb 23 ]}、Gもコンパクトになるが、^{[ nb 24 ]}仮定に反する^{。 注25 ]}

ローレンツ群の場合、これは定義から直接確認することもできます。構成で使用されるAとBの表現はエルミートです。これは、 Jはエルミートですが、Kは反エルミートであることを意味します。^{[ 77 ]}量子場理論では、対象となるオブジェクトがローレンツ不変な正定値ノルムを持つ必要がないため、非ユニタリ性は問題になりません。^{[ 78 ]}

ただし、 ( m , n )表現は回転部分群SO(3)に制限するとユニタリになりますが、これらの表現はSO(3)の表現として既約ではありません。クレブシュ・ゴルダン分解を適用すると、( m , n )表現は最高重み(スピン) m + n、m + n − 1、...、| m − n |のSO(3)不変部分空間を持ち、^{[ 79 ]}各可能な最高重み(スピン)はちょうど1回出現します。最高重み(スピン) jの重み部分空間は( 2j + 1)次元です。したがって、たとえば、( 1/2 , 1/2 )表現は、それぞれ次元3と1のスピン1とスピン0の部分空間を持ちます。  

角運動量演算子はJ = A + Bで与えられるので、回転部分表現の量子力学における最高スピンは( m + n )ℏとなり、角運動量の加算の「通常の」規則と3-j 記号、6-j 記号などの形式が適用されます。^{[ 80 ]}

表現がスピンを持つかどうかは、既約表現のSO(3)不変部分空間によって決まります。上記の段落から、 m + nが半整数の場合、(m, n) 表現はスピンを持つことがわかります 。最も単純なのは、次元 2 のワイル スピノルである (1/2, 0) と (0, 1/2)です。すると、例えば、( 0 , 3/2 )と ( 1 , 1/2 ) は、それぞれ次元2⋅3 / 2 + 1 = 4と( 2 + 1 ) ( 2⋅1 /2 + 1 ) = 6のスピン表現になります。上記の段落によれば、最後の 2 つのケースではスピンが 3/2 と 1/2 の両方を持つ部分空間が存在するため、これらの表現は SO(3) の下で適切に振る舞う必要がある単一の物理粒子を表すことはまずない。しかし、一般的には、異なるスピンを持つ複数のSO (3)部分表現を持つ表現が、明確に定義されたスピンを持つ物理粒子を表すことは否定できない。非物理的な成分を射影して単一のスピンだけを残す適切な相対論的波動方程式が存在する可能性がある。^{[ 81 ]}

既約表現から任意のn ( SO(3)の下で) に対する純粋スピン⁠ n / 2 ⁠表現を構築するには、ディラック表現と非スピン表現のテンソル積を取り、適切な部分空間を抽出し、最後に微分制約を課す必要がある。^{[ 82 ]}

既約表現の双対表現が元の表現と同型であるかどうかを検証するために、以下の定理が適用される。

1. 半単純リー代数の既約表現の双対表現の重みの集合は、重複度を含めて、元の表現の重みの集合の負の値である。^{[ 83 ]}
2. 2 つの既約表現が同型であるのは、それらが同じ最高ウェイトを持つ場合に限る。^{[注 26 ]}
3. 各半単純リー代数に対して、 μが優位整数重みである場合、w ₀ ⋅ (− μ )もまた優位整数重みとなるようなワイル群の一意の要素w _{0が存在する。} ^{[ 84 ]}
4. もし${\displaystyle \pi _{\mu _{0}}}$は最大重みμ₀_を持つ既約表現である。${\displaystyle \pi _{\mu _{0}}^{*}}$最も高い重みw ₀ ⋅ (− μ )を持つ。^{[ 84 ]}

ここでは、ワイル群の要素は、行列乗算によって作用する、根の実ベクトル空間に対する直交変換とみなされます。− I が半単純リー代数のワイル群の要素である場合、 w ₀ = − Iとなります。${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ),}$ワイル群はW = { I , − I }である。^{[ 85 ]}したがって、各π _μ、μ = 0, 1, ...は、その双対と同型である。${\displaystyle \pi _{\mu }^{*}.}$根系${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$右の図に示されている。^{[注27 ]}ワイル群は以下によって生成される。${\displaystyle \{w_{\gamma }\}}$どこ${\displaystyle w_{\gamma }}$γがすべての根を移動するときのγに直交する平面での反射である。^{[ nb 28 ]}調査すると、w _α ⋅ w _β = − Iであることがわかるので、− I ∈ Wである。π、σがリー代数表現であり、π ≅ σならば、Π ≅ Σ であるという事実を用いると、^{[ 86 ]} SO(3; 1) ⁺の結論は次のようになる。 $${\displaystyle \pi _{m,n}^{*}\cong \pi _{m,n},\quad \Pi _{m,n}^{*}\cong \Pi _{m,n},\quad 2m,2n\in \mathbf {N} .}$$