バーグマン・ウィグナー方程式

相対論的量子力学および量子場理論において、バーグマン・ウィグナー方程式は、質量がゼロでない自由粒子と任意のスピンjを記述する。jはボソンの場合は整数( j = 1, 2, 3 ... )、フェルミオンの場合は半整数( j = 1/2 , 3/2 , 5/2 ... )である。方程式の解は波動関数であり、数学的には多成分スピノル場の形で表される。

それらはヴァレンタイン・バーグマンとユージン・ウィグナーにちなんで名付けられた。

ポール・ディラックは1928年にディラック方程式を初めて発表し、その後（1936年）、それを任意の半整数スピンの粒子に拡張した。これは、フィエルツとパウリが1939年に同じ方程式を発見する約10年前、そしてバーグマンとウィグナーが発見する約10年前のことだった。^{[ 1 ]}ユージン・ウィグナーは1937年に、非均質ローレンツ群、またはポアンカレ群のユニタリ表現に関する論文を書いた。^{[ 2 ]}ウィグナーは、エットーレ・マヨラナとディラックが関数に適用される無限小演算子を使用したと指摘している。ウィグナーは表現を既約、階乗、ユニタリに分類している。

1948年、ヴァレンタイン・バーグマンとウィグナーは、相対論的波動方程式の群論的議論に関する論文の中で、現在彼らの名にちなんで名付けられている方程式を発表した。^{[ 3 ]}

電荷を持たないスピンjの自由粒子の場合、BW 方程式は2 j個の連立線形偏微分方程式のセットであり、それぞれがディラック方程式と同様の数学形式を持ちます。方程式の完全なセットは次のとおりです。^{[注 1 ] [ 1 ] [ 4 ] [ 5 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left(-\gamma ^{\mu }{\hat {P}}_{\mu }+mc\right)_{\alpha _{1}\alpha _{1}'}\psi _{\alpha '_{1}\alpha _{2}\alpha _{3}\cdots \alpha _{2j}}=0\\&\left(-\gamma ^{\mu }{\hat {P}}_{\mu }+mc\right)_{\alpha _{2}\alpha _{2}'}\psi _{\alpha _{1}\alpha '_{2}\alpha _{3}\cdots \alpha _{2j}}=0\\&\qquad \vdots \\&\left(-\gamma ^{\mu }{\hat {P}}_{\mu }+mc\right)_{\alpha _{2j}\alpha '_{2j}}\psi _{\alpha _{1}\alpha _{2}\alpha _{3}\cdots \alpha '_{2j}}=0\\\end{aligned}}}$

パターンに従うもの。

r = 1, 2, ... 2jの場合。（Loide や Saar ^{[ 4 ]}など一部の著者は、2 の係数を取り除くためにn = 2jを使用しています。また、スピン量子数は量子力学では通常sで表されますが、この文脈ではj の方が文献では一般的です。）波動関数ψ = ψ ( r , t )全体は、以下の成分を持ちます。

${\displaystyle \psi _{\alpha _{1}\alpha _{2}\alpha _{3}\cdots \alpha _{2j}}(\mathbf {r} ,t)}$

はランク2 j 4成分スピノル場である。各添え字は1、2、3、または4の値をとるため、スピノル場ψ全体には4 ^{2 j}成分が存在するが、完全に対称な波動関数では独立成分の数は2(2 j + 1)に減少する。さらに、γ ^μ = (γ ⁰ , γ )はガンマ行列であり、

${\displaystyle {\hat {P}}_{\mu }=i\hbar \partial _{\mu }}$

は4元運動量演算子です。

各方程式を構成する演算子(−γ ^μ P _μ + mc ) = (− iħ γ ^μ ∂ _μ + mc )は、 γ ^μ行列のため4 × 4行列であり、mc項は4 × 4単位行列(通常は簡略化のために表記されない)をスカラー倍します。具体的には、ガンマ行列のディラック表現では次のようになります。^{[ 1 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}-\gamma ^{\mu }{\hat {P}}_{\mu }+mc&=-\gamma ^{0}{\frac {\hat {E}}{c}}-{\boldsymbol {\gamma }}\cdot (-{\hat {\mathbf {p} }})+mc\\[6pt]&=-{\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&-I_{2}\\\end{pmatrix}}{\frac {\hat {E}}{c}}+{\begin{pmatrix}0&{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}\\-{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}&0\\\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&I_{2}\\\end{pmatrix}}mc\\[8pt]&={\begin{pmatrix}-{\frac {\hat {E}}{c}}+mc&0&{\hat {p}}_{z}&{\hat {p}}_{x}-i{\hat {p}}_{y}\\0&-{\frac {\hat {E}}{c}}+mc&{\hat {p}}_{x}+i{\hat {p}}_{y}&-{\hat {p}}_{z}\\-{\hat {p}}_{z}&-({\hat {p}}_{x}-i{\hat {p}}_{y})&{\frac {\hat {E}}{c}}+mc&0\\-({\hat {p}}_{x}+i{\hat {p}}_{y})&{\hat {p}}_{z}&0&{\frac {\hat {E}}{c}}+mc\\\end{pmatrix}}\\\end{aligned}}}$

ここで、 σ = (σ ₁ , σ ₂ , σ ₃ ) = (σ _x , σ _y , σ _z )はパウリ行列のベクトル、Eはエネルギー演算子、p = ( p ₁ , p ₂ , p ₃ ) = ( p _x , p _y , p _z )は3 運動量演算子、I ₂は2 × 2単位行列を表し、ゼロ (2 行目) は実際には2 × 2のゼロ行列のブロックです。

上記の行列演算子は、ψのディラック・スピノル指数と一度に1つずつ縮約するため（行列乗算を参照）、ディラック方程式のいくつかの性質はBW方程式にも適用されます。

• これらの方程式はローレンツ共変であり、
• 解ψのすべての成分はクライン・ゴルドン方程式も満たし、したがって相対論的エネルギー・運動量関係を満たす。

${\displaystyle E^{2}=(pc)^{2}+(mc^{2})^{2}}$

• 第二量子化は依然として可能である。

最小結合によって電磁場を取り込むことができるディラック方程式とは異なり、B-W形式は、電磁場の相互作用を取り込む際に本質的な矛盾と困難を伴います。言い換えれば、eが粒子の電荷、Aμ = (A0, A)が電磁四元電位であるPμ → Pμ − eAμへの変更は不可能です。_[ 6 ] [ _{7 ]}粒子の_電磁気的影響を調査する間接的なアプローチは、_波動方程式自体^{に相互作用を含めるの}ではなく、粒子の電磁四元電流と多重極モーメントを導出することです。 ^{[ 8 ] [ 9 ]}

BW方程式のローレンツ群の表現は[ ^{6 ]である。}

${\displaystyle D^{\mathrm {BW} }=\bigotimes _{r=1}^{2j}\left[D_{r}^{(1/2,0)}\oplus D_{r}^{(0,1/2)}\right]\,.}$

ここで、各D _rは既約表現です。この表現は、j が1/2 または 0 に等しい場合を除き、確定スピンを持ちません。クレブシュ・ゴルダン分解を実行することで、既約( A , B )項、ひいてはスピン内容を求めることができます。この冗長性により、 D ^BW表現の下で変換する確定スピンjの粒子は場の方程式を満たす必要があります。

表現D ^{( j , 0)}とD ^{(0, j )}はそれぞれスピンjの粒子を個別に表現することができる。このような表現における状態または量子場は、クライン・ゴルドン方程式以外の場の方程式を満たさない。

M. Kenmoku ^{[ 10 ]}によると、局所ミンコフスキー空間では、ガンマ行列は反交換関係を満たす。

${\displaystyle [\gamma ^{i},\gamma ^{j}]_{+}=2\eta ^{ij}I_{4}}$

ここで、 η ^ij = diag(−1, 1, 1, 1)はミンコフスキー計量である。ここでのラテン添え字はi, j = 0, 1, 2, 3である。曲がった時空では、これらは同様である。

${\displaystyle [\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }]_{+}=2g^{\mu \nu }}$

ここで、空間ガンマ行列は四脚b _i ^μで縮約され、 γ ^μ = b _i ^μ γ ⁱとなり、g ^μν = b ^{i μ} b _i ^νは計量テンソルです。ギリシャ文字の添え字の場合、μ、ν = 0、1、2、3です。

スピノルの共変微分は次のように与えられる。

${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\mu }=\partial _{\mu }+\Omega _{\mu }}$

接続Ωは、スピン接続ωを用いて次のように表される。

${\displaystyle \Omega _{\mu }={\frac {1}{4}}\partial _{\mu }\omega ^{ij}(\gamma _{i}\gamma _{j}-\gamma _{j}\gamma _{i})}$

共変微分はψのように変換する。

${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\mu }\psi \rightarrow D(\Lambda ){\mathcal {D}}_{\mu }\psi }$

この設定では、式（１）は次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}&(-i\hbar \gamma ^{\mu }{\mathcal {D}}_{\mu }+mc)_{\alpha _{1}\alpha _{1}'}\psi _{\alpha '_{1}\alpha _{2}\alpha _{3}\cdots \alpha _{2j}}=0\\&(-i\hbar \gamma ^{\mu }{\mathcal {D}}_{\mu }+mc)_{\alpha _{2}\alpha _{2}'}\psi _{\alpha _{1}\alpha '_{2}\alpha _{3}\cdots \alpha _{2j}}=0\\&\qquad \vdots \\&(-i\hbar \gamma ^{\mu }{\mathcal {D}}_{\mu }+mc)_{\alpha _{2j}\alpha '_{2j}}\psi _{\alpha _{1}\alpha _{2}\alpha _{3}\cdots \alpha '_{2j}}=0\,.\\\end{aligned}}}$

• 2体ディラック方程式
• パウリ行列の一般化
• ウィグナーD行列
• ワイル・ブラウアー行列
• 高次元ガンマ行列
• Joos–Weinberg方程式、任意のスピンを持つ自由粒子を記述する代替方程式
• 高スピン理論

相対論的波動方程式：

• 高次元におけるディラック行列、Wolfram Demonstrations Project
• スピン1場について学ぶ、P. ケイヒル、K. ケイヒル、ニューメキシコ大学
• ディラック・ワインバーグ形式による質量ゼロのボソンの場の方程式、RW Davies、KTR Davies、P. Zory、DS Nydick、American Journal of Physics
• 量子場理論 I、Martin Mojžiš著、Wayback Machineに 2016 年 3 月 3 日にアーカイブ済み
• バーグマン・ウィグナー方程式：任意のスピンに対する場の方程式、FarzadQassemi、IPM宇宙論スクールおよびワークショップ、IPM、テヘラン、イラン

相対論的量子物理学におけるローレンツ群：

• ローレンツグループの表現、indiana.edu
• 付録C：ローレンツ群とディラック代数、mcgill.ca
• ローレンツ群、相対論的粒子、および量子力学、DE・ソーパー著、オレゴン大学、2011年
• ローレンツ群とポアンカレ群の表現、J. マチェイコ、スタンフォード大学
• 時空の対称群の表現、K. ドレイク、M. ファインバーグ、D. ギルド、E. トゥレツキー、2009年