テンソル演算子

純粋数学と応用数学、量子力学、コンピュータグラフィックスにおいて、テンソル演算子はスカラーとベクトルの演算子の概念を一般化します。これらの特別なクラスは、球面基底と球面調和関数の概念を適用する球面テンソル演算子です。球面基底は、量子力学における角運動量の記述と球面調和関数に密接に関係しています。テンソル演算子の座標フリーの一般化は、表現演算子として知られています。^[1]

量子力学では、スカラー、ベクトル、テンソルである物理的観測量は、それぞれスカラー、ベクトル、テンソル演算子で表す必要があります。何かがスカラー、ベクトル、テンソルのいずれであるかは、座標系が回転によって互いに関連している 2 人の観測者からどのように見えるかによって決まります。あるいは、システムの状態が回転した場合に、1 人の観測者にとって物理量がどのように変化するかを尋ねることもできます。たとえば、質量 の分子が、一定の質量中心運動量 で方向に運動するシステムを考えます。システムを 軸を中心に 回転させると、運動量は に変わり、方向は になります。ただし、分子の質量中心の運動エネルギーは では変化しません。運動エネルギーはスカラーで、運動量はベクトルであり、これら 2 つの量はそれぞれスカラー演算子とベクトル演算子で表す必要があります。特に後者は、初期状態と回転後の状態での期待値がと である演算子を意味します。一方、運動エネルギーはスカラー演算子で表す必要があり、その期待値は初期状態と回転後の状態で同じでなければなりません。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle p{\mathbf {\hat {z}} }}$${\displaystyle z}$${\displaystyle 90^{\circ}}$${\displaystyle y}$${\displaystyle p{\mathbf {\hat {x}} }}$${\displaystyle x}$${\displaystyle p^{2}/2M}$${\displaystyle p{\mathbf {\hat {z}} }}$${\displaystyle p{\mathbf {\hat {x}} }}$

同様に、テンソル量はテンソル演算子で表す必要があります。テンソル量 (ランク 2) の例としては、上記の分子の電気四重極モーメントがあります。同様に、八重極モーメントと十六重極モーメントは、それぞれランク 3 と 4 のテンソルになります。

スカラー演算子の他の例としては、全エネルギー演算子（より一般的にはハミルトニアンと呼ばれる）、位置エネルギー、および 2 つの原子の双極子間相互作用エネルギーがあります。ベクトル演算子の例としては、運動量、位置、軌道角運動量 、およびスピン角運動量があります。（細字部分：角運動量は回転に関する限りベクトルですが、位置や運動量とは異なり、空間反転で符号が変化せず、この情報を提供したい場合、擬似ベクトルと呼ばれます。） ${\displaystyle {\mathbf {L}}}$${\displaystyle {\mathbf {S}}}$

スカラー、ベクトル、テンソル演算子は、演算子の積によっても形成されます。たとえば、2 つのベクトル演算子のスカラー積、およびはスカラー演算子であり、スピン軌道相互作用の議論で重要な役割を果たします。同様に、例の分子の四重極モーメントテンソルには、次の 9 つの要素があります。 ${\displaystyle {\mathbf {L} }\cdot {\mathbf {S} }}$${\displaystyle {\mathbf {L}}}$${\displaystyle {\mathbf {S}}}$

$${\displaystyle Q_{ij}=\sum _{\alpha }q_{\alpha }\left(3r_{\alpha ,i}r_{\alpha ,j}-r_{\alpha }^{2}\delta _ {ij}\右)。}$$ここで、インデックスと は、3 つの直交座標軸に対応する値 1、2、3 (または、、 ) を独立にとることができ、インデックスは分子内のすべての粒子 (電子と原子核) にまたがり、は粒子 の電荷、 はこの粒子の位置の 番目の要素です。 合計の各項はテンソル演算子です。特に、9 つの積は、ベクトル演算子とそれ自体の外積をとることで形成される 2 階テンソルを形成します。 ${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle q_{\alpha}}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle r_{\alpha ,i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle r_{\alpha,i}r_{\alpha,j}}$${\displaystyle {\mathbf {r} }_{\alpha }}$

単位ベクトルn（回転軸を定義）の周りの角度θの回転演算子は、

$${\displaystyle U[R(\theta ,{\hat {\mathbf {n} }})]=\exp \left(-{\frac {i\theta }{\hbar }}{\hat {\mathbf { n} }}\cdot \mathbf {J} \right)}$$

ここで、J = ( J _x、J _y、J _z )は回転生成子（角運動量行列でもある）です。

$${\displaystyle J_{x}={\frac {\hbar }{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}\,\quad J_{y}={\frac {\hbar }{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}0&i&0\\-i&0&i\\0&-i&0\end{pmatrix}}\,\quad J_{z}=\hbar {\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}}}$$

を回転行列とする。ロドリゲスの回転公式によれば、回転演算子は次のようになる。 ${\displaystyle {\widehat {R}}={\widehat {R}}(\theta ,{\hat {\mathbf {n} }})}$$${\displaystyle U[R(\theta ,{\hat {\mathbf {n} }})]=1\!\!1-{\frac {i\sin \theta }{\hbar }}{\hat { \mathbf {n} }}\cdot \mathbf {J} -{\frac {1-\cos \theta }{\hbar ^{2}}}({\hat {\mathbf {n} }}\cdot \mathbf {J} )^{2}.}$$

回転に対して、演算子がユニタリ変換Uに対して不変である場合 、 ${\displaystyle {\ワイドハット {\オメガ }}}$$${\displaystyle {\widehat {\Omega }}={U}^{\dagger }{\widehat {\Omega }}U;}$$${\displaystyle {\widehat {U}}(R)}$$${\displaystyle {\widehat {\Omega }}={U(R)}^{\dagger }{\widehat {\Omega }}U(R)=\exp \left({\frac {i\theta }{ \hbar }}{\hat {\mathbf {n} }}\cdot \mathbf {J} \right){\widehat {\Omega }}\exp \left(-{\frac {i\theta }{\hbar }}{\hat {\mathbf {n} }}\cdot \mathbf {J} \right).}$$

全角運動量の正規直交基底関数は であり、ここでjは全角運動量量子数、mは磁気角運動量量子数であり、値は − j、 − j + 1、...、j − 1、jである。jサブスペース 内の一般的な状態${\displaystyle |j,m\rangle }$

$${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{m}c_{jm}|j,m\rangle }$$

次の方法で新しい状態に回転します。

$${\displaystyle |{\bar {\psi }}\rangle =U(R)|\psi \rangle =\sum _{m}c_{jm}U(R)|j,m\rangle }$$

完全性条件を使用する:

$${\displaystyle I=\sum _{m'}|j,m'\rangle \langle j,m'|}$$

我々は持っています

$${\displaystyle |{\bar {\psi }}\rangle =IU(R)|\psi \rangle =\sum _{mm'}c_{jm}|j,m'\rangle \langle j,m'|U(R)|j,m\rangle }$$

Wigner D 行列要素の紹介:

$${\displaystyle {D(R)}_{m'm}^{(j)}=\langle j,m'|U(R)|j,m\rangle }$$

行列の乗算を与える：

$${\displaystyle |{\bar {\psi }}\rangle =\sum _{mm'}c_{jm}D_{m'm}^{(j)}|j,m'\rangle \quad \Rightarrow \quad |{\bar {\psi }}\rangle =D^{(j)}|\psi \rangle }$$

1 つの基本ケットの場合:

$${\displaystyle |{\overline {j,m}}\rangle =\sum _{m'}{D(R)}_{m'm}^{(j)}|j,m'\rangle }$$

軌道角運動量の場合、軌道角運動量演算子Lの固有状態と3次元球面上のラプラス方程式の解は球面調和関数である。 ${\displaystyle |\ell ,m\rangle }$

$${\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\phi )=\langle \theta ,\phi |\ell ,m\rangle ={\sqrt {{(2\ell +1) \over 4\pi }{(\ell -m)! \over (\ell +m)!}}}\,P_{\ell }^{m}(\cos {\theta })\,e^{im\phi }}$$

ここで、P _ℓ ^mはルジャンドルの従属多項式、ℓ は軌道角運動量量子数、mは軌道磁気量子数で、−ℓ、−ℓ + 1、... ℓ − 1、ℓ の値をとります。球面調和関数の形式論は応用数学で幅広く応用されており、以下に示すように球面テンソルの形式論と密接に関連しています。

球面調和関数は、極角ϕと方位角θの関数であり、これらの角度の方向を指す単位ベクトルn ( θ , ϕ ) に簡単にまとめることができます。直交座標系では、次のようになります。

$${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}(\theta ,\phi )=\cos \phi \sin \theta \mathbf {e} _{x}+\sin \phi \sin \theta \mathbf {e} _{y}+\cos \theta \mathbf {e} _{z}}$$

したがって、球面調和関数は とも表記されます。球面調和関数の状態は逆回転行列 に従って回転しますが、 は初期回転行列 に従って回転します。 ${\displaystyle Y_{\ell }^{m}=\langle \mathbf {n} |\ell m\rangle }$${\displaystyle |m,\ell \rangle }$${\displaystyle U(R^{-1})}$${\displaystyle |\ell ,m\rangle }$${\displaystyle {\widehat {U}}(R)}$

$${\displaystyle |{\overline {\ell ,m}}\rangle =\sum _{m'}D_{m'm}^{(\ell )}[U(R^{-1})]|\ell ,m'\rangle \,,\quad |{\overline {\hat {\mathbf {n} }}}\rangle =U(R)|{\hat {\mathbf {n} }}\rangle }$$

演算子の回転は、初期状態に対する元の演算子の期待値が、回転状態に対する回転演算子の期待値と等しいことを要求することによって定義される。 ${\displaystyle {\widehat {\mathbf {A} }}}$

$${\displaystyle \langle \psi '|{\widehat {A'}}|\psi '\rangle =\langle \psi |{\widehat {A}}|\psi \rangle }$$

さて、

$${\displaystyle |\psi \rangle ~\rightarrow ~|\psi '\rangle =U(R)|\psi \rangle \,,\quad \langle \psi |~\rightarrow ~\langle \psi '|=\langle \psi |U^{\dagger }(R)}$$

我々は持っています、

$${\displaystyle \langle \psi |U^{\dagger }(R){\widehat {A}}'U(R)|\psi \rangle =\langle \psi |{\widehat {A}}|\psi \rangle }$$

は任意である ため、${\displaystyle |\psi \rangle }$

$${\displaystyle U^{\dagger }(R){\widehat {A}}'U(R)={\widehat {A}}}$$

スカラー演算子は回転に対して不変である: ^[2]

$${\displaystyle U(R)^{\dagger }{\widehat {S}}U(R)={\widehat {S}}}$$

これは、スカラー演算子が回転生成子と交換可能であると言うことと同じです。

$${\displaystyle \left[{\widehat {S}},{\widehat {\mathbf {J} }}\right]=0}$$

スカラー演算子の例としては、

• エネルギー演算子:$${\displaystyle {\widehat {E}}\psi =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi }$$
• 位置エネルギー V (中心位置の場合のみ)$${\displaystyle {\widehat {V}}(r,t)\psi (\mathbf {r} ,t)=V(r,t)\psi (\mathbf {r} ,t)}$$
• 運動エネルギー T :$${\displaystyle {\widehat {T}}\psi (\mathbf {r} ,t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}(\nabla ^{2}\psi )(\mathbf {r} ,t)}$$
• スピン軌道相互作用：$${\displaystyle {\widehat {\mathbf {L} }}\cdot {\widehat {\mathbf {S} }}={\widehat {L}}_{x}{\widehat {S}}_{x}+{\widehat {L}}_{y}{\widehat {S}}_{y}+{\widehat {L}}_{z}{\widehat {S}}_{z}\,.}$$

ベクトル演算子（擬似ベクトル演算子も同様）は、次の式に従って回転できる3つの演算子のセットである。^[2]

$${\displaystyle {U(R)}^{\dagger }{\widehat {V}}_{i}U(R)=\sum _{j}R_{ij}{\widehat {V}}_{j}}$$量子力学システムの観測可能なベクトル量はどれも、参照フレームの選択に対して不変でなければなりません。任意の波動関数に適用される期待値ベクトルの変換により、上記の等式が保証されます。ディラック表記では、次のようになります。ここで、右辺は期待値によって形成されるベクトルに作用する回転変換によるものです。| Ψ ⟩ は任意の量子状態であるため、同じ結果が導かれます。ここで、「ベクトル」という用語が 2 つの異なる意味で使用されていることに注意してください。 | ψ ⟩などのケットは抽象ヒルベルト空間の要素ですが、ベクトル演算子は、回転によって特定の方法で成分が変換される量として定義されます。 $${\displaystyle \langle {\bar {\psi }}|{\widehat {V}}_{a}|{\bar {\psi }}\rangle =\langle \psi |{U(R)}^{\dagger }{\widehat {V}}_{a}U(R)|\psi \rangle =\sum _{b}R_{ab}\langle \psi |{\widehat {V}}_{b}|\psi \rangle }$$$${\displaystyle {U(R)}^{\dagger }{\widehat {V}}_{a}U(R)=\sum _{b}R_{ab}{\widehat {V}}_{b}}$$

無限小回転に関する上記の関係とベーカーハウスドルフの補題から、次数の係数を等しくすることで、回転生成器との交換関係を導くことができる。^[2]${\displaystyle \delta \theta }$

$${\displaystyle {\left[{\widehat {V}}_{a},{\widehat {J}}_{b}\right]=\sum _{c}i\hbar \varepsilon _{abc}{\widehat {V}}_{c}}}$$ここでε _ijkはレヴィ・チヴィタ記号であり、すべてのベクトル演算子は構成上この記号を満たす必要があります。上記の交換子規則は、ベイカー・ハウスドルフの補題を使用して示すことができるベクトル演算子の代替定義としても使用できます。記号ε _ijkは擬似テンソルであるため、擬似ベクトル演算子は符号を除いて不変です。適切な回転の場合は +1 、不適切な回転の場合は -1 です。

演算子は、角運動量成分（回転の生成元）との交換関係によってベクトル演算子を形成することが示されるため、その例には次のものが含まれます。

• 位置演算子:$${\displaystyle {\widehat {\mathbf {r} }}\psi =\mathbf {r} \psi }$$
• 運動量演算子:$${\displaystyle {\widehat {\mathbf {p} }}\psi =-i\hbar \nabla \psi }$$

擬似ベクトル演算子には、

• 軌道角運動量演算子:$${\displaystyle {\widehat {\mathbf {L} }}\psi =-i\hbar \mathbf {r} \times \nabla \psi }$$
• スピン演算子 Sも、したがって全角運動量$${\displaystyle {\widehat {\mathbf {J} }}={\widehat {\mathbf {L} }}+{\widehat {\mathbf {S} }}\,.}$$

と が2 つのベクトル演算子である場合、2 つのベクトル演算子間のドット積は次のように定義できます。 ${\displaystyle {\vec {V}}}$${\displaystyle {\vec {W}}}$

${\displaystyle {\vec {V}}\cdot {\vec {W}}=\sum _{i=1}^{3}{\hat {V_{i}}}{\hat {W_{i}}}}$

座標の回転により、新しく定義された演算子は次のように変換されます。項を並べ替え、回転行列の転置をその逆プロパティとして使用します。ここで、RHS は元々定義された演算子です。定義されたドット積は回転変換に対して不変であるため、スカラー演算子であると言われています。 $${\displaystyle {U(R)}^{\dagger }({\vec {V}}\cdot {\vec {W}})U(R)={U(R)}^{\dagger }\left(\sum _{i=1}^{3}{\hat {V_{i}}}{\hat {W_{i}}}\right)U(R)=\sum _{i=1}^{3}({U(R)}^{\dagger }{\hat {V}}_{i}U(R))({U(R)}^{\dagger }{\hat {W}}_{i}U(R))=\sum _{i=1}^{3}\left(\sum _{j=1}^{3}R_{ij}{\widehat {V}}_{j}\cdot \sum _{k=1}^{3}R_{ik}{\widehat {W}}_{k}\right)}$$$${\displaystyle {U(R)}^{\dagger }({\vec {V}}\cdot {\vec {W}})U(R)=\sum _{k=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\left(\sum _{i=1}^{3}R_{ji}^{T}R_{ik}\right){\widehat {V}}_{j}{\widehat {W}}_{k}=\sum _{k=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\delta _{j,k}{\widehat {V}}_{j}{\widehat {W}}_{k}=\sum _{i=1}^{3}{\widehat {V}}_{i}{\widehat {W}}_{i}}$$${\displaystyle {\vec {V}}\cdot {\vec {W}}}$

球面基底のベクトル演算子はV = ( V ₊₁ , V ₀ , V ₋₁ )であり、その成分は次の通りである: ^[2]回転生成子とラダー演算子を 用いた様々な交換子は次の通りである:$${\displaystyle V_{+1}=-{\frac {1}{\sqrt {2}}}(V_{x}+iV_{y})\,\quad V_{-1}={\frac {1}{\sqrt {2}}}(V_{x}-iV_{y})\,,\quad V_{0}=V_{z}\,,}$$
${\textstyle J_{\pm }=J_{x}\pm iJ_{y}\,,}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\left[J_{z},V_{+1}\right]&=+\hbar V_{+1}\\[1ex]\left[J_{z},V_{0}\right]&=0V_{0}\\[1ex]\left[J_{z},V_{-1}\right]&=-\hbar V_{-1}\\[2ex]\left[J_{+},V_{+1}\right]&=0\\[1ex]\left[J_{+},V_{0}\right]&={\sqrt {2}}\hbar V_{+1}\\[1ex]\left[J_{+},V_{-1}\right]&={\sqrt {2}}\hbar V_{0}\\[2ex]\left[J_{-},V_{+1}\right]&={\sqrt {2}}\hbar V_{0}\\[1ex]\left[J_{-},V_{0}\right]&={\sqrt {2}}\hbar V_{-1}\\[1ex]\left[J_{-},V_{-1}\right]&=0\\[1ex]\end{aligned}}}$$

同様の形式の$${\displaystyle {\begin{aligned}J_{z}|1,+1\rangle &=+\hbar |1,+1\rangle \\[1ex]J_{z}|1,0\rangle &=0|1,0\rangle \\[1ex]J_{z}|1,-1\rangle &=-\hbar |1,-1\rangle \\[2ex]J_{+}|1,+1\rangle &=0\\[1ex]J_{+}|1,0\rangle &={\sqrt {2}}\hbar |1,+1\rangle \\[1ex]J_{+}|1,-1\rangle &={\sqrt {2}}\hbar |1,0\rangle \\[2ex]J_{-}|1,+1\rangle &={\sqrt {2}}\hbar |1,0\rangle \\[1ex]J_{-}|1,0\rangle &={\sqrt {2}}\hbar |1,-1\rangle \\[1ex]J_{-}|1,-1\rangle &=0\\[1ex]\end{aligned}}}$$

球面基底では、回転の生成元は次のとおりです。$${\displaystyle J_{\pm 1}=\mp {\frac {1}{\sqrt {2}}}J_{\pm }\,,\quad J_{0}=J_{z}}$$

演算子の変換とベイカー・ハウスドルフの補題から：

${\displaystyle {U(R)}^{\dagger }{\widehat {V}}_{q}U(R)={\widehat {V}}_{q}+i{\frac {\theta }{\hbar }}\left[{\hat {n}}\cdot {\vec {J}},{\widehat {V}}_{q}\right]+\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {\left(i{\frac {\theta }{\hbar }}[{\hat {n}}\cdot {\vec {J}},.]\right)^{k}}{k!}}{\widehat {V}}_{q}=exp\left({i{\frac {\theta }{\hbar }}{\hat {n}}\cdot Ad_{\vec {J}}}\right){\widehat {V}}_{q}}$

に比べ

${\displaystyle U(R)|j,k\rangle =|j,k\rangle -i{\frac {\theta }{\hbar }}{\hat {n}}\cdot {\vec {J}}|j,k\rangle +\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {\left(-i{\frac {\theta }{\hbar }}{\hat {n}}\cdot {\vec {J}}\right)^{k}}{k!}}|j,k\rangle =exp\left({-i{\frac {\theta }{\hbar }}{\hat {n}}\cdot {\vec {J}}}\right)|j,k\rangle }$

状態の変換と比較すると、演算子との交換子は、演算子の状態に対する作用を置き換えると主張できます。

${\displaystyle U(R)|j,k\rangle =\exp \left({-i{\frac {\theta }{\hbar }}{\hat {n}}\cdot {\vec {J}}}\right)|j,k\rangle =\sum _{j',k'}|j',k'\rangle \langle j',k'|\exp \left({-i{\frac {\theta }{\hbar }}{\hat {n}}\cdot {\vec {J}}}\right)|j,k\rangle =\sum _{k'}D_{k'k}^{(j)}(R)|j,k'\rangle }$

球面基底（元々は直交基底で記述）における回転変換は、上に示した交換と演算子の類似性により、次のようになります。$${\displaystyle {U(R)}^{\dagger }{\widehat {V}}_{q}U(R)=\sum _{q'}{{D_{q'q}^{(1)}}(R^{-1})}{\widehat {V}}_{q'}}$$

ベクトル演算子の概念は、次に示すようにテンソル演算子に簡単に一般化できます。

一般に、テンソル演算子は、テンソルに従って変換する演算子です。ここで、基底は によって変換され、ベクトル成分は によって変換されます。 $${\displaystyle U(R)^{\dagger }{\widehat {T}}_{pqr\cdots }^{abc\cdots }U(R)=R_{p,\alpha }R_{q,\beta }R_{r,\gamma }\cdots {\widehat {T}}_{ijk\cdots }^{\alpha \beta \gamma \cdots }R_{i,a}^{-1}R_{j,b}^{-1}R_{k,c}^{-1}\cdots }$$${\displaystyle R^{-1}}$${\displaystyle R}$

テンソル演算子に関する以降の議論では、共変/反変の振る舞いに関するインデックス表記は完全に無視される。代わりに、反変成分は文脈によって暗示される。したがって、n倍の反変テンソルの場合：^[2]

$${\displaystyle U(R)^{\dagger }{\widehat {T}}_{pqr\cdots }U(R)=R_{pi}R_{qj}R_{rk}\cdots {\widehat {T}}_{ijk\cdots }}$$

• 四重極モーメント演算子、$${\displaystyle Q_{ij}=\sum _{\alpha }q_{\alpha }(3r_{\alpha i}r_{\alpha j}-r_{\alpha }^{2}\delta _{ij})}$$
• 2つのテンソルベクトル演算子の成分を掛け合わせると、別のテンソル演算子が得られます。一般に、n個のテンソル演算子は別のテンソル演算子も与えます。$${\displaystyle T_{ij}=V_{i}W_{j}}$$$${\displaystyle T_{pqr\cdots k}=V_{p}^{(1)}V_{q}^{(2)}V_{r}^{3)}\cdots V_{k}^{(n)}}$$$${\displaystyle T_{i_{1}i_{2}\cdots j_{1}j_{2}\cdots }=V_{i_{1}i_{2}\cdots }W_{j_{1}j_{2}\cdots }}$$

注意:一般に、テンソル演算子は、上記の例のように他のテンソル演算子のテンソル積として記述することはできません。

および が2 つの 3 次元ベクトル演算子である場合、階数 2 の直交二項テンソルは、形式の 9 つの演算子から形成されます。項を整理すると、次のようになります。方程式の右辺は、2 回反変テンソルの基底変換方程式であり、基底は によって変換されるか、またはベクトル成分はによって変換され、これはベクトル演算子成分の変換と一致します。したがって、記述された演算子テンソルは、テンソル表現で階数 2 のテンソルを形成します。同様に、n 回の反変テンソル演算子は、n 個のベクトル演算子によって同様に形成されます。 ${\displaystyle {\vec {V}}}$${\displaystyle {\vec {W}}}$${\displaystyle {\hat {T}}_{ij}={\hat {V_{i}}}{\hat {W_{j}}}}$$${\displaystyle {U(R)}^{\dagger }{\hat {T}}_{ij}U(R)={U(R)}^{\dagger }({\hat {V_{i}}}{\hat {W_{j}}})U(R)=({U(R)}^{\dagger }{\hat {V}}_{i}U(R))({U(R)}^{\dagger }{\hat {W}}_{j}U(R))=\left(\sum _{l=1}^{3}R_{il}{\hat {V}}_{l}\cdot \sum _{k=1}^{3}R_{jk}{\hat {W}}_{k}\right)}$$$${\displaystyle {U(R)}^{\dagger }{\hat {T}}_{ij}U(R)=\sum _{k=1}^{3}\sum _{l=1}^{3}\left(R_{il}R_{jk}{\hat {T}}_{lk}\right)}$$${\displaystyle R^{-1}}$${\displaystyle R}$$${\displaystyle {\hat {\mathbf {T} }}={\vec {V}}\otimes {\vec {W}}=({\hat {V}}_{i}{\hat {W}}_{j})(\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j})}$$

階数 2 のテンソル成分の線形結合によって張られる部分空間は不変部分空間を形成することがわかります。つまり、変換された成分自体がテンソル成分の線形結合であるため、部分空間は回転によって変化しません。ただし、この部分空間は既約ではありません。つまり、回転によって不変部分空間にさらに分割できます。それ以外の場合、部分空間は既約と呼ばれます。言い換えると、回転によって同じセットの線形結合に変換されるような、成分の異なる線形結合の特定のセットが存在します。^[3]上記の例では、9 つ​​の独立したテンソル成分を、それぞれが既約な不変部分空間を形成する 1、3、5 の演算子の組み合わせのセットに分割できることを示します。

によって張られる部分空間は、3 つの独立した反対称成分と 6 つの独立した対称成分の 2 つの部分空間に分けることができ、これらはおよびとして定義されます。回転による変換公式を使用すると、 と は両方とも、それ自身の集合の要素の線形結合に変換されることがわかります。 は既約ですが、 については同じことが言えません。 ${\displaystyle \{{\hat {T}}_{ij}\}}$${\displaystyle \{{\hat {A}}_{ij}\}}$${\displaystyle \{{\hat {S}}_{ij}\}}$${\displaystyle {\hat {A}}_{ij}={\frac {1}{2}}({\hat {T}}_{ij}-{\hat {T}}_{ji})}$${\displaystyle {\hat {S}}_{ij}={\frac {1}{2}}({\hat {T}}_{ij}+{\hat {T}}_{ji})}$${\displaystyle \{{\hat {T}}_{ij}\}}$${\displaystyle \{{\hat {A}}_{ij}\}}$${\displaystyle \{{\hat {S}}_{ij}\}}$${\displaystyle \{{\hat {A}}_{ij}\}}$${\displaystyle \{{\hat {S}}_{ij}\}}$

6 つの独立した対称成分セットは、5 つの独立したトレースのない対称成分に分割でき、不変トレースは独自のサブスペースになります。

したがって、の不変部分空間はそれぞれ次のように形成されます。 ${\displaystyle \{{\hat {T}}_{ij}\}}$

1. テンソルの不変トレースの1つは、${\displaystyle {\hat {t}}=\sum _{k=1}^{3}{\hat {T}}_{kk}}$
2. 次の 3 つの線形独立反対称成分:${\displaystyle {\hat {A}}_{ij}={\frac {1}{2}}({\hat {T}}_{ij}-{\hat {T}}_{ji})}$
3. 5つの線形独立なトレースレス対称成分${\displaystyle {\hat {S}}_{ij}={\frac {1}{2}}({\hat {T}}_{ij}+{\hat {T}}_{ji})-{\frac {1}{3}}{\hat {t}}\delta _{ij}}$

の場合には、形成される不変部分空間は次のように表される: ^[4]${\displaystyle {\hat {T}}_{ij}={\hat {V_{i}}}{\hat {W_{j}}}}$${\displaystyle \{{\hat {T}}_{ij}\}}$

1. 1つの不変スカラー演算子${\displaystyle {\vec {V}}\cdot {\vec {W}}}$
2. 3つの線形独立成分${\displaystyle {\frac {1}{2}}({\hat {V}}_{i}{\hat {W}}_{j}-{\hat {V}}_{j}{\hat {W}}_{i})}$
3. 5つの線形独立成分${\displaystyle {\frac {1}{2}}({\hat {V}}_{i}{\hat {W}}_{j}+{\hat {V}}_{j}{\hat {W}}_{i})-{\frac {1}{3}}({\vec {V}}\cdot {\vec {W}})\delta _{ij}}$

上記の例から、9 つの成分は1 つ、3 つ、5 つの成分で形成されるサブスペースに分割されます。これらの数は、ベクトル サブスペースの次元がこれらのサブスペースの直和である空間の次元に加算されるのと同様に、元のテンソルの成分の数に加算されます。同様に、 のすべての要素は、その不変サブスペースの成分の線形結合で表現できます。 ${\displaystyle \{{\hat {T}}_{ij}\}}$${\displaystyle \{{\hat {T}}_{ij}\}}$

${\displaystyle {\hat {T}}_{ij}={\frac {1}{3}}{\hat {t}}\delta _{ij}+{\hat {A}}_{ij}+{\hat {S}}_{ij}}$

または

${\displaystyle {\hat {T}}_{ij}={\frac {1}{3}}({\vec {V}}\cdot {\vec {W}})\delta _{ij}+\left({\frac {1}{2}}({\hat {V}}_{i}{\hat {W}}_{j}-{\hat {V}}_{j}{\hat {W}}_{i})\right)+\left({\frac {1}{2}}({\hat {V}}_{i}{\hat {W}}_{j}+{\hat {V}}_{j}{\hat {W}}_{i})-{\frac {1}{3}}({\vec {V}}\cdot {\vec {W}})\delta _{ij}\right)=\mathbf {T} ^{(0)}+\mathbf {T} ^{(1)}+\mathbf {T} ^{(2)}}$

どこ：$${\displaystyle {\widehat {T}}_{ij}^{(0)}={\frac {{\widehat {V}}_{k}{\widehat {W}}_{k}}{3}}\delta _{ij}}$$$${\displaystyle {\widehat {T}}_{ij}^{(1)}={\frac {1}{2}}\left[{\widehat {V}}_{i}{\widehat {W}}_{j}-{\widehat {V}}_{j}{\widehat {W}}_{i}\right]={\widehat {V}}_{[i}{\widehat {W}}_{j]}}$$$${\displaystyle {\widehat {T}}_{ij}^{(2)}={\tfrac {1}{2}}\left({\widehat {V}}_{i}{\widehat {W}}_{j}+{\widehat {V}}_{j}{\widehat {W}}_{i}\right)-{\tfrac {1}{3}}{\widehat {V}}_{k}{\widehat {W}}_{k}\delta _{ij}={\widehat {V}}_{(i}{\widehat {W}}_{j)}-T_{ij}^{(0)}}$$

一般に、階数が 1 より大きい直交テンソルは既約です。量子力学では、この特定の例は、両方とも 3 次元である 2 つのスピン 1 粒子の加算に似ており、したがって合計空間は 9 次元であり、それぞれ 1 次元、3 次元、5 次元の空間を持つスピン 0、スピン 1、スピン 2 システムによって形成されます。^[4]これらの 3 つの項は既約ではありません。つまり、それ以上分解することはできず、不変でなければならない定義変換法則を満たすテンソルのままです。既約表現T ⁽⁰⁾、T ⁽¹⁾、T ⁽²⁾ ... のそれぞれは、独立した成分の数に応じて角運動量固有状態のように変換されます。

与えられたテンソルはこれらの成分の1つ以上が消えてしまう可能性があります。例えば、四重極モーメントテンソルは既に対称でトレースレスであるため、最初から5つの独立した成分しかありません。^[3]

球面テンソル演算子は、一般に、座標系の回転下で次の変換規則を持つ演算子として定義されます。

${\displaystyle {\widehat {T}}_{m}^{(j)}\rightarrow U(R)^{\dagger }{\widehat {T}}_{m}^{(j)}U(R)=\sum _{m'}D_{m'm}^{(j)}(R^{-1}){\widehat {T}}_{m'}^{(j)}}$

交換関係はLHSとRHSを展開することで次のように求められる: ^[4]

${\displaystyle U(R)^{\dagger }{\widehat {T}}_{m}^{(j)}U(R)=\left(1+{\frac {i\epsilon {\hat {n}}\cdot {\vec {J}}}{\hbar }}+{\mathcal {O}}(\epsilon ^{2})\right){\widehat {T}}_{m}^{(j)}\left(1-{\frac {i\epsilon {\hat {n}}\cdot {\vec {J}}}{\hbar }}+{\mathcal {O}}(\epsilon ^{2})\right)=\sum _{m'}\langle j,m'|\left(1+{\frac {i\epsilon {\hat {n}}\cdot {\vec {J}}}{\hbar }}+{\mathcal {O}}(\epsilon ^{2})\right)|j,m\rangle {\widehat {T}}_{m'}^{(j)}}$

簡略化して制限を適用し、第 1 次項のみを選択すると、次のようになります。

${\displaystyle {[{\hat {n}}\cdot {\vec {J}}},{\widehat {T}}_{m}^{(j)}]=\sum _{m'}{\widehat {T}}_{m'}^{(j)}\langle j,m'|{\vec {J}}\cdot {\hat {n}}|j,m\rangle }$

またはを選択すると、次のようになります。上記と の類似性に注意してください。とは の線形結合であるため、線形性により同じ類似性を共有します。 ${\displaystyle {\hat {n}}={\hat {x}}\pm i{\hat {y}}}$${\displaystyle {\hat {n}}={\hat {z}}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\left[J_{\pm },{\widehat {T}}_{m}^{(j)}\right]&=\hbar {\sqrt {(j\mp m)(j\pm m+1)}}{\widehat {T}}_{m\pm 1}^{(j)}\\[1ex]\left[J_{z},{\widehat {T}}_{m}^{(j)}\right]&=\hbar m{\widehat {T}}_{m}^{(j)}\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}J_{\pm }|j,m\rangle &=\hbar {\sqrt {(j\mp m)(j\pm m+1)}}|j,m\pm 1\rangle \\[1ex]J_{z}|j,m\rangle &=\hbar m|j,m\rangle \end{aligned}}}$$${\displaystyle J_{x}}$${\displaystyle J_{y}}$${\displaystyle J_{\pm }}$

交換関係のみが成立する場合、次の関係を用いると、${\displaystyle |j,m\rangle \rightarrow U(R)|j,m\rangle =exp\left(-{i{\frac {\theta }{\hbar }}{\hat {n}}\cdot {\vec {J}}}\right)|j,m\rangle =\sum _{m'}D_{m'm}^{(j)}(R)|j,m'\rangle }$