ワイル群

数学、特にリー代数理論において、ルート系Φのワイル群（ヘルマン・ワイルにちなんで名付けられた）は、そのルート系の等長変換群の部分群である。具体的には、少なくとも1つのルートに直交する超平面を通る反射によって生成される部分群であり、有限反射群である。実際、ほとんどの有限反射群はワイル群であることが判明している。 ^[1]抽象的には、ワイル群は有限コクセター群であり、これらの重要な例である。

半単純リー群、半単純リー代数、半単純線型代数群などのワイル群は、その群または代数のルート系のワイル群です。

をユークリッド空間 の根系とする。各根 に対して、に垂直な超平面に関する反射を と表す。これは次のように明示的に与えられる。 ${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle V}$${\displaystyle \alpha \in \Phi }$${\displaystyle s_{\alpha }}$${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle s_{\alpha }(v)=v-2{\frac {(v,\alpha )}{(\alpha ,\alpha )}}\alpha }$、

ここで は上の内積です。のワイル群はのすべての によって生成される直交群の部分群です。ルート システムの定義により、それぞれ はを保存するため、 は有限群であることが分かります。 ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle O(V)}$${\displaystyle s_{\alpha }}$${\displaystyle s_{\alpha }}$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle W}$

たとえば、ルート システムの場合、ルートに垂直な超平面は単なる線であり、ワイル グループは図に示すように正三角形の対称群です。グループとして、は3 つの要素上の置換群と同型であり、これらの要素は三角形の頂点と考えることができます。この場合、はルート システムの完全な対称群ではないことに注意してください。60 度回転すると の要素は保存されますが、 の要素ではありません。 ${\displaystyle A_{2}}$${\displaystyle W}$${\displaystyle W}$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle W}$

ルートシステムも考えてみましょう。この場合、 は、その要素の合計がゼロになるすべてのベクトルの空間です。ルートは、 の形式のベクトルで構成されます。ここで、 はの 番目の標準基底元です。このようなルートに関連付けられた反射は、各ベクトルの番目の要素と番目の要素を交換することによって得られるの変換です。 のワイル群は、要素上の置換群です。 ${\displaystyle A_{n}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$${\displaystyle e_{i}-e_{j},\,i\neq j}$${\displaystyle e_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle A_{n}}$${\displaystyle n+1}$

がルート系である場合、各ルートに垂直な超平面を考えることができます。 は超平面についての反射を表し、ワイル群はすべての によって生成されるの変換の群であることを思い出してください。 超平面の集合の補集合は分離されており、各連結成分はワイルチェンバーと呼ばれます。 単純ルートの特定の集合 Δ を固定した場合、 Δ に関連付けられた基本的なワイルチェンバーを、すべての に対してとなる点の集合として定義できます。 ${\displaystyle \Phi \subset V}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle s_{\alpha }}$${\displaystyle V}$${\displaystyle s_{\alpha }}$${\displaystyle v\in V}$${\displaystyle (\alpha ,v)>0}$${\displaystyle \alpha \in \Delta }$

反射はを保存するので、根に垂直な超平面の集合も保存します。したがって、各ワイル群の要素はワイル室を並べ替えます。 ${\displaystyle s_{\alpha },\,\alpha \in \Phi }$${\displaystyle \Phi }$

この図は、A2 ルート システムの場合を示しています。ルートに直交する「超平面」(この場合は 1 次元) は破線で示されています。6 つの 60 度セクターはワイル チェンバーであり、網掛けされた領域は、示された基数に関連付けられた基本ワイル チェンバーです。

ワイルチェンバーに関する基本的な一般定理は次の通りである: ^[2]

定理: ワイル群はワイル室に対して自由かつ推移的に作用します。したがって、ワイル群の位数はワイル室の数に等しくなります。

関連する結果は次の通りです: ^[3]

定理: ワイル チェンバーを固定します。すると、すべての に対して、 のワイル軌道には の閉包内にちょうど 1 つの点が含まれます。${\displaystyle C}$${\displaystyle v\in V}$${\displaystyle v}$${\displaystyle {\bar {C}}}$${\displaystyle C}$

ワイル群に関する重要な結果は次の通りである: ^[4]

定理:が の基底である場合、内のの反射によってワイル群が生成されます。${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle s_{\alpha }}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \Delta }$

つまり、反射によって生成されるグループは、反射によって生成されるグループと同じです。 ${\displaystyle s_{\alpha },\,\alpha \in \Delta ,}$${\displaystyle s_{\alpha },\,\alpha \in \Phi }$

一方、と がにある場合、 のDynkin 図は、の底辺に対する相対的なペアの振る舞いについて何かを教えてくれます。具体的には、と がDynkin 図の対応する頂点であると仮定します。すると、次の結果が得られます。 ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \{s_{\alpha },s_{\beta }\}}$${\displaystyle v}$${\displaystyle v'}$

• と の間に結合がない場合、と は可換です。と はそれぞれ位数が 2 なので、これは であると言うことと同等です。${\displaystyle v}$${\displaystyle v'}$${\displaystyle s_{\alpha }}$${\displaystyle s_{\beta }}$${\displaystyle s_{\alpha }}$${\displaystyle s_{\beta }}$${\displaystyle (s_{\alpha }s_{\beta })^{2}=1}$
• との間に結合が 1 つある場合、 となります。${\displaystyle v}$${\displaystyle v'}$${\displaystyle (s_{\alpha }s_{\beta })^{3}=1}$
• との間に 2 つの結合がある場合、 となります。${\displaystyle v}$${\displaystyle v'}$${\displaystyle (s_{\alpha }s_{\beta })^{4}=1}$
• との間に 3 つの結合がある場合、 となります。${\displaystyle v}$${\displaystyle v'}$${\displaystyle (s_{\alpha }s_{\beta })^{6}=1}$

前述の主張は、ディンキン図が各ルートのペア間の角度について教えてくれることを思い出すだけで、検証するのは難しくありません。たとえば、2 つの頂点間に結合がない場合、 とは直交し、対応する反射が交換可能であることが容易にわかります。より一般的には、結合の数によってルート間の角度が決まります。2 つの反射の積は、読者が検証できるように、とが張る平面での角度による回転であり、そこから上記の主張が容易にわかります。 ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle 2\theta }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$

ワイル群は反射によって生成されるため、有限反射群の例である。抽象群（線型群の部分群とはみなされない）は、したがって有限コクセター群であり、コクセター・ディンキン図によって分類することができる。コクセター群であるということは、ワイル群が、各生成元x _iが 2 次であり、 x _i ² =1以外の関係が( x _i x _j ) ^{m _ij} =1という形式であるという特殊な種類の表現を持つことを意味する。生成元は単純根によって与えられる反射であり、m _{ij は}、根iとjが90、120、135、または 150 度の角度を形成するかどうか、すなわち、ディンキン図でそれらが接続されていないか、単純辺で接続されているか、二重辺で接続されているか、三重辺で接続されているかによって、2、3、4、または 6 になる。これらの関係についてはすでに上の箇条書きで述べましたが、 が Coxeter 群であると言うことは、における関係がこれらだけであると言うことです。 ${\displaystyle W}$${\displaystyle W}$

ワイル群は、この表現に関して、ブルハット順序と長さ関数を持ちます。ワイル群の元の長さは、これらの標準生成子に関してその元を表す最短の単語の長さです。コクセター群には一意の最長元があり、これはブルハット順序の恒等式と逆になります。

上記では、ワイル群はルートシステムの等長群の部分群として定義されました。ワイル群には、さまざまな群論的および幾何学的コンテキスト（リー代数、リー群、対称空間など）に特化したさまざまな定義もあります。ワイル群を定義するこれらの方法のそれぞれについて、それがこの記事の冒頭の定義の意味でワイル群、つまりオブジェクトに関連付けられた何らかのルートシステムのワイル群であるという（通常は自明ではない）定理があります。このようなワイル群の具体的な実現は通常、選択に依存します。たとえば、リー代数の場合はカルタン部分代数、リー群の場合は最大トーラスです。^[5]

を連結コンパクトリー群とし、をにおける最大トーラスとする。次ににおけるの正規化子を導入し、 と表記し、次のように定義する。 ${\displaystyle K}$${\displaystyle T}$${\displaystyle K}$${\displaystyle T}$${\displaystyle K}$${\displaystyle N(T)}$

${\displaystyle N(T)=\{x\in K|xtx^{-1}\in T,\,{\text{for all }}t\in T\}}$。

また、の中心化をと表し、次のように定義する。 ${\displaystyle T}$${\displaystyle K}$${\displaystyle Z(T)}$

${\displaystyle Z(T)=\{x\in K|xtx^{-1}=t\,{\text{for all }}t\in T\}}$。

（与えられた最大トーラスに対する）のワイル群は、最初は次のように定義される。 ${\displaystyle W}$${\displaystyle K}$${\displaystyle T}$

${\displaystyle W=N(T)/T}$。

最終的に、 が証明され、^[6]その時点でワイル群の別の記述が得られる。 ${\displaystyle Z(T)=T}$

${\displaystyle W=N(T)/Z(T)}$。

ここで、ペア に関連付けられたルート システムを定義することができます。ルートは、 のリー代数へのの随伴作用の非ゼロの重みです。各 に対して、への作用が反射の形を持つの元を構築できます。 ^[7]もう少し努力すれば、これらの反射が のすべてを生成することを示すことができます。^[6]したがって、最終的に、 として定義されるワイル群または は、ルート システム のワイル群と同型です。 ${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle (K,T)}$${\displaystyle T}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \alpha \in \Phi }$${\displaystyle x_{\alpha }}$${\displaystyle N(T)}$${\displaystyle T}$${\displaystyle N(T)/Z(T)}$${\displaystyle N(T)/T}$${\displaystyle N(T)/Z(T)}$${\displaystyle \Phi }$

複雑な半単純リー代数の場合、ワイル群は、ルートの反射によって生成される反射群、つまりカルタン部分代数の選択に応じたルート系の特定の実現として単純に定義されます。

リー群 G が特定の条件を満たす場合^{[注 1]} 、トーラスT < G ( 最大である必要はない ) 、そのトーラスに関するワイル群は、トーラスの正規化N = N ( T ) = N _G ( T ) をトーラスの中心化Z = Z ( T ) = Z _G ( T )で割った商として定義されます。

${\displaystyle W(T,G):=N(T)/Z(T).\ }$

群W は有限です。ZはNにおいて有限の指数を持ちます。T = T _0が最大トーラスである場合（つまり、それ自身の中心化子に等しい場合）、結果として得られる商N / Z = N / TはGのワイル群と呼ばれ、W ( G ) と表記されます。特定の商集合は最大トーラスの選択に依存しますが、最大トーラスは共役であるため、結果として得られる群はすべて同型です（ Gの内部自己同型によって）。 ${\displaystyle Z(T_{0})=T_{0}}$

Gがコンパクトかつ連結であり、T が最大トーラスである場合、上で説明したように、 Gのワイル群はそのリー代数のワイル群と同型です。

例えば、一般線型群GL の場合、最大トーラスは可逆対角行列の部分群Dであり、その正規化行列は一般化置換行列（置換行列の形式だが、'1' の代わりに任意の非ゼロの数字が入る行列）であり、そのワイル群は対称群である。この場合、商写像N → N / T は（置換行列を介して）分裂するため、正規化行列Nはトーラスとワイル群の半直積であり、ワイル群はGの部分群として表すことができる。一般に、これは常に当てはまるわけではない。つまり、商は常に分裂するわけではなく、正規化行列N は常にWとZの半直積であるわけではなく、ワイル群は常にGの部分群として実現できるわけではない。^[5]

BがGのボレル部分群、すなわち最大連結可解部分群であり、最大トーラスT = T _0がBに含まれるように選択されると、ブリュア分解が得られる。

${\displaystyle G=\bigcup _{w\in W}BwB}$

これにより旗多様体 G / Bがシューベルト細胞に分解される（グラスマン多様体を参照）。

群のハッセ図の構造は、多様体のコホモロジー（群の実数形式と複素数形式）と幾何学的に関連しており、ポアンカレ双対性によって制約される。したがって、ワイル群の代数的性質は、多様体の一般的な位相的性質に対応する。たとえば、ポアンカレ双対性は、次元kのセルと次元n - kのセル（nは多様体の次元）の間のペアリングを与える。つまり、底部（0）次元のセルはワイル群の単位元に対応し、双対の最上次元のセルはコクセター群の最長元に対応する。

代数群とワイル群の間には多くの類似点があります。たとえば、対称群の元の数はn ! であり、有限体上の一般線型群の元の数はq階乗に関連しています。したがって、対称群は「1 つの元を持つ体」上の線型群であるかのように動作します。これは 、1 つの元を持つ体によって形式化され、ワイル群を 1 つの元を持つ体上の単純な代数群と見なします。 ${\displaystyle [n]_{q}!}$

非可換連結コンパクトリー群Gに対して、それを定義するのに用いられる最大トーラスT内の係数を持つワイル群Wの第一群コホモロジー^[注2]は、正規化群の外部自己同型群と次のように関係している: ^[8]${\displaystyle N=N_{G}(T),}$

${\displaystyle \operatorname {Out} (N)\cong H^{1}(W;T)\rtimes \operatorname {Out} (G).}$

群Out( G )の外部自己同型は本質的にディンキン図の図式自己同型であるが、群コホモロジーはHämmerli、Matthey、Suter 2004で計算され、有限基本アーベル2群( )である。単純リー群の場合、位数は1、2、または4である。0次および2次群コホモロジーも正規化子と密接に関連している。^[8]${\displaystyle (\mathbf {Z} /2)^{k}}$

• アフィン・ワイル群
• 半単純リー代数#カルタン部分代数とルート系
• 最大トーラス
• 半単純リー代数のルート系
• ハッセ図

• 「コクセター群」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• ワイスタイン、エリック・W.「コクセター・グループ」。マスワールド。
• 最大 4 つのジェネレータ上の有限 Coxeter グループの Cayley グラフを視覚化する Jenn ソフトウェア