カルタン部分代数

数学において、カルタン部分代数（しばしばCSAと略される）は冪零部分代数である。${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$リー代数の${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$それは自己正規化します（もし${\displaystyle [X,Y]\in {\mathfrak {h}}}$すべての人々のために${\displaystyle X\in {\mathfrak {h}}}$、 それから${\displaystyle Y\in {\mathfrak {h}}}$これらはエリー・カルタンが博士論文で導入したもので、半単純リー代数の表現論を制御する。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$特性の体上で${\displaystyle 0}$。

代数的に閉じた標数ゼロの体上の有限次元半単純リー代数では、${\displaystyle \mathbb {C} }$) カルタン部分代数は、随伴自己準同型が となる要素xからなる極大アーベル部分代数と同じである。${\displaystyle \operatorname {ad} (x):{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$は半単純（すなわち、対角化可能）である。この特徴付けは、カルタン部分代数の定義として単純に用いられることもある。^{[ 1 ] 231ページ}

一般に、部分代数が半単純元から構成される場合、その部分代数はトーラル部分代数と呼ばれる。代数閉体上では、トーラル部分代数は自動的にアーベル部分代数となる。したがって、標数ゼロの代数閉体上では、カルタン部分代数は極大トーラル部分代数としても定義できる。

カッツ・ムーディー代数および一般化カッツ・ムーディー代数には、半単純リー代数（標数ゼロの体上）のカルタン部分代数と同じ役割を果たす部分代数も存在する。

有限次元リー代数において、基底体が無限体である場合、カルタン部分代数が存在する。カルタン部分代数を構成する一つの方法は、正則元を用いることである。有限体上のカルタン部分代数の存在については、未解決の問題である。

有限次元半単純リー代数の場合${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$標数ゼロの代数的に閉じた体上では、より単純なアプローチがあります。定義により、トーラス部分代数は、${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$半単純要素から構成される（要素が半単純であるとは、それによって誘導される随伴自己準同型が対角化可能である場合である）。カルタン部分代数${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$するとそれは極大トーラル部分代数と同じものとなり、極大トーラル部分代数の存在は容易に確認できる。

標数0の代数的閉体上の有限次元リー代数において、すべてのカルタン部分代数は、その代数の自己同型写像​​の下で共役であり、特に、すべて同型である。カルタン部分代数の共通次元を、その代数の階数と呼ぶ。

有限次元複素半単純リー代数の場合、コンパクト実形式の存在を仮定すれば、カルタン部分代数の存在を確立するのははるかに簡単である。^{[ 2 ]}その場合、${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$これは、コンパクト群の最大トーラスのリー代数の複素化とみなすことができる。

もし${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$が代数的に閉じた体上の線形リー代数（有限次元ベクトル空間Vの自己準同型のリー代数のリー部分代数）である場合、任意のカルタン部分代数は${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$は、最大トーラス部分代数の中心化である。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$。もし${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$が半単純であり、体の標数がゼロである場合、最大トーラス部分代数は自己正規化され、したがって、関連するカルタン部分代数と等しくなります。さらに、${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$が半単純である場合、随伴表現は${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$線形リー代数として、部分代数${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$カルタンであるのは、それが極大トーラス部分代数である場合に限る。

• 任意の冪零リー代数は、それ自身のカルタン部分代数である。
• すべての対角行列の代数はカルタン部分代数である。${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}}$、リー代数${\displaystyle n\times n}$体上の行列。
• トレースがゼロの特殊リー代数の場合${\displaystyle n\times n}$行列${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n}(\mathbb {C} )}$カルタン部分代数を持つ。$${\displaystyle {\mathfrak {h}}=\left\{d(a_{1},\ldots ,a_{n})\mid a_{i}\in \mathbb {C} {\text{ かつ }}\sum _{i=1}^{n}a_{i}=0\right\}}$$どこ$${\displaystyle d(a_{1},\ldots ,a_{n})={\begin{pmatrix}a_{1}&0&\cdots &0\\0&\ddots &&0\\\vdots &&\ddots &\vdots \\0&\cdots &\cdots &a_{n}\end{pmatrix}}}$$例えば、${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}(\mathbb {C} )}$カルタン部分代数は、行列の部分代数である。$${\displaystyle {\mathfrak {h}}=\left\{{\begin{pmatrix}a&0\\0&-a\end{pmatrix}}:a\in \mathbb {C} \right\}}$$行列交換子によって与えられるリー括弧を使用する。
• リー代数${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}(\mathbb {R} )}$の${\displaystyle 2}$による${\displaystyle 2}$トレース行列${\displaystyle 0}$2つの非共役カルタン部分代数を持つ。
• カルタン部分代数の次元は一般にアーベル部分代数の最大次元とは一致しない。複素単純リー代数の場合でも同様である。例えば、リー代数${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2n}(\mathbb {C} )}$の${\displaystyle 2n}$による${\displaystyle 2n}$トレース行列${\displaystyle 0}$階数のカルタン部分代数を持つ${\displaystyle 2n-1}$しかし、次元の最大アーベル部分代数を持つ${\displaystyle n^{2}}$形式がすべての行列から構成される${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&A\\0&0\end{pmatrix}}}$と${\displaystyle A}$どれでも${\displaystyle n}$による${\displaystyle n}$行列。このアーベル部分代数はカルタン部分代数ではないことは、厳密に上三角行列の冪零代数に含まれている（または、対角行列によって正規化されている）ことから、直接的にわかります。

有限次元半単純リー代数の場合${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$標数0の代数的閉体上のカルタン部分代数${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$以下の特性を持つ。

• ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$アーベル群である、
• 随伴表現の場合${\displaystyle \operatorname {ad}$ :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})} 、画像${\displaystyle \operatorname {ad} ({\mathfrak {h}})}$半単純演算子（すなわち、対角化可能な行列）から構成される。

（前述の通り、カルタン部分代数は、上記の2つの性質を持つ部分代数の中で最大の部分代数として特徴づけることができる。）

これら２つの特性は、${\displaystyle \operatorname {ad} ({\mathfrak {h}})}$は同時に対角化可能であり、直和分解が存在する。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$として：

${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\bigoplus _{\lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}}{\mathfrak {g}}_{\lambda }}$

どこ

${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\lambda }=\{x\in {\mathfrak {g}}:{\text{ad}}(h)x=\lambda (h)x,{\text{ for }}h\in {\mathfrak {h}}\}}$。

させて${\displaystyle \Phi =\{\lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}\setminus \{0\}|{\mathfrak {g}}_{\lambda }\neq \{0\}\}}$。 それから${\displaystyle \Phi }$根系であり、さらに、${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}={\mathfrak {h}}}$; つまり、${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$と一致する${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$上記の分解は次のように表すことができます。

${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}\oplus \left(\bigoplus _{\lambda \in \Phi }{\mathfrak {g}}_{\lambda }\right)}$

結果として、それぞれ${\displaystyle \lambda \in \Phi }$、${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\lambda }}$次元が1なので、次のようになります。

${\displaystyle \dim {\mathfrak {g}}=\dim {\mathfrak {h}}+\#\Phi }$。

詳細については、「半単純リー代数#構造」も参照してください。

代数的に閉じていない体上では、すべてのカルタン部分代数が共役であるとは限りません。重要なクラスは、分割カルタン部分代数です。リー代数が分割カルタン部分代数を許容する場合、${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$するとそれは分割可能と呼ばれ、ペアは${\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})}$は分割リー代数と呼ばれ、代数的に閉じた体上のすべての半単純リー代数は分割可能です。任意の2つの分割カルタン代数は共役であり、代数的に閉じた体上の半単純リー代数におけるカルタン代数と同様の機能を果たすため、分割半単純リー代数（実際には、分割簡約リー代数）は、代数的に閉じた体上の半単純リー代数と多くの性質を共有しています。

しかし、代数的に閉じていない体上では、すべての半単純リー代数が分割可能であるとは限らない。

リー群のカルタン部分群は、特殊なタイプの部分群です。具体的には、そのリー代数（群の代数構造を表す）自体がカルタン部分代数となります。部分群の単位元を考えるとき、単位元は同じリー代数を共有します。しかし、特に非連結群を扱う場合、この性質を持つどの部分群を「カルタン部分群」と呼ぶべきかについて、普遍的に合意された定義は存在しません。

コンパクト連結リー群の場合、カルタン部分群は本質的に極大連結アーベル部分群（しばしば「極大トーラス」と呼ばれる）である。この部分群に関連付けられたリー代数もまた、カルタン部分代数である。

さて、連結でないコンパクトリー群を考察すると、興味深いことが起こります。カルタン部分群には複数の定義があります。デイヴィッド・ヴォーガンが提案した一般的なアプローチでは、基本ワイル室を保持しながら固定された最大トーラスを正規化する要素の群として定義されます。このバージョンは「大カルタン部分群」と呼ばれることもあります。さらに、最大トーラスの中心化群として定義される「小カルタン部分群」も存在します。これらのカルタン部分群は一般に必ずしも可換群ではないことに注意することが重要です。