根系

Eを有限次元ユークリッドベクトル空間とし、標準ユークリッド内積を で表す。${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$根系${\displaystyle \Phi }$Eには、次の条件を満たす非ゼロベクトル (根と呼ばれる) の有限集合があります。 ^{[ 2 ] [ 3 ]}

1. 根はEに広がっている 。
2. 平方根の唯一のスカラー倍数${\displaystyle \alpha \in \Phi }$に属する${\displaystyle \Phi }$は${\displaystyle \alpha }$それ自体と${\displaystyle -\alpha }$。
3. すべてのルートに対して${\displaystyle \alpha \in \Phi }$セット${\displaystyle \Phi }$は、に垂直な超平面による反射に関して閉じている。${\displaystyle \alpha }$。
4. （整数性）もし${\displaystyle \alpha }$そして${\displaystyle \beta }$は根源です${\displaystyle \Phi }$すると、${\displaystyle \beta }$線上に${\displaystyle \alpha }$は整数または半整数倍です${\displaystyle \alpha }$。

条件3と条件4をそれぞれ記述する同等の方法は以下のとおりです。

3. 任意の2つの根について${\displaystyle \alpha ,\beta \in \Phi }$セット${\displaystyle \Phi }$要素が含まれています${\displaystyle \sigma _{\alpha }(\beta ):=\beta -2{\frac {(\alpha ,\beta )}{(\alpha ,\alpha )}}\alpha .}$
4. 任意の2つの根について${\displaystyle \alpha ,\beta \in \Phi }$数${\displaystyle \langle \beta ,\alpha \rangle$ :=2{\frac {(\alpha ,\beta )}{(\alpha ,\alpha )}}} は整数です。

ルートシステムの定義には条件 1 ～ 3のみを含める著者もいます。 ^{[ 4 ]} この文脈では、整数条件も満たすルートシステムは結晶学的ルートシステムとして知られています。^{[ 5 ]}他の著者は条件 2 を省略し、条件 2 を満たすルートシステムを縮約 ルートシステムと呼びます。^{[ 6 ]} 本稿では、すべてのルートシステムは縮約かつ結晶学的であると仮定します。

性質3を考慮すると、整数条件は、βとその反射σα ( _β )がαの整数倍だけ異なることを述べることと同等である。演算子に注意する  $${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle \colon \Phi \times \Phi \to \mathbb {Z} }$$ 特性4で定義されるものは内積ではありません。必ずしも対称ではなく、最初の引数に関してのみ線形です。

ルートシステム Φ のランクは、 Eの次元です。2 つのルートシステムは、それらが張るユークリッド空間を共通のユークリッド空間の互いに直交する部分空間とみなすことで結合できます。右図に示すシステムA ₂、B ₂、G _{2のように、このような結合から生じないルートシステムは、}既約であると言われます。

2 つのルートシステム ( E ₁ ,  Φ ₁ ) と ( E ₂ ,  Φ ₂ )は、 Φ ₁をΦ ₂に写す可逆線形変換E ₁  → E ₂が存在し、各ルートのペアに対して、その数が   ${\displaystyle \langle x,y\rangle }$保存されている。^{[ 7 ]}

のルートシステムΦのルート格子は、Φによって生成されるEのZ。これはEの格子。  

Φの根に関連付けられた超平面による反射によって生成されるEの等長変換群は、 Φのワイル群と呼ばれます。有限集合Φに忠実に作用するため、ワイル群は常に有限です。反射面は根に垂直な超平面であり、次のように示されます。    ${\displaystyle A_{2}}$下の図の破線で示されているように、ワイル群は正三角形の対称群であり、6つの要素を持ちます。この場合、ワイル群はルート系の完全な対称群ではありません（例えば、60度の回転はルート系の対称性ですが、ワイル群の要素ではありません）。

ランク1のルートシステムは1つだけ存在し、それは2つの非ゼロベクトルから構成される。${\displaystyle \{\alpha ,-\alpha \}}$このルートシステムは${\displaystyle A_{1}}$。

ランク2には、次の4つの可能性があります。${\displaystyle \sigma _{\alpha }(\beta )=\beta +n\alpha }$、 どこ${\displaystyle n=0,1,2,3}$[ ^{8 ]}右の図はこれらの可能性を示しているが、一部重複している^。${\displaystyle A_{1}\times A_{1}}$は同型である${\displaystyle D_{2}}$そして${\displaystyle B_{2}}$は同型である${\displaystyle C_{2}}$。

ルートシステムは、それが生成する格子によって決定されるものではないことに注意してください。${\displaystyle A_{1}\times A_{1}}$そして${\displaystyle B_{2}}$両方とも正方格子を生成するが、${\displaystyle A_{2}}$そして${\displaystyle G_{2}}$どちらも六角形の格子を生成する。

Φ がEのルートシステムであり、Sが Ψ = Φ ∩ Sによって張られるEの部分空間である場合、 Ψ はSのルートシステムである。したがって、ランク2 の 4 つのルートシステムの網羅的なリストは、任意のランクのルートシステムから選択された任意の 2 つのルートの幾何学的可能性を示している。特に、そのような 2 つのルートは、0、30、45、60、90、120、135、150、または 180 度の角度で交わる必要がある。       

もし${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$は複雑な半単純リー代数であり、${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$はカルタン部分代数であり、次のようにルート系を構築できます。$\displaystyle \alpha \in \mathfrak {h}}^{*}}$は​​${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$相対的に${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$もし${\displaystyle \alpha \neq 0}$そしていくつかの${\displaystyle X\neq 0\in {\mathfrak {g}}}$そのため $${\displaystyle [H,X]=\alpha (H)X}$$ すべての人々のために${\displaystyle H\in {\mathfrak {h}}}$^{. [ 9 ]}根の集合が根系を形成するような内積が存在することを示すことができる。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$は、構造を分析するための基本的なツールです。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$そして、その表現を分類する。（ルートシステムとリー理論に関する以下のセクションを参照。）

Φ がEのルートシステムである場合、ルート α の コルートα ^{∨ は次のように定義されます。}$${\displaystyle \alpha ^{\vee }={2 \over (\alpha ,\alpha )}\,\alpha .}$$

コルートの集合は、 E内のルートシステム Φ ^{∨ も}形成し、これは双対ルートシステム(または逆ルートシステム) と呼ばれます。直接計算すると、α ^{∨∨ = α となるため、Φ は Φ ∨}の双対ルートシステムです。Φ ^∨によって張られるE内の格子は、コルート格子と呼ばれます。Φ と Φ ^{∨ は}どちらも同じワイル群Wを持ち、s ∈ Wに対して、 $${\displaystyle (s\alpha )^{\vee }=s(\alpha ^{\vee }).}$$

Δ が Φ の単純根の集合である場合、Δ ^{∨ はΦ ∨}の単純根の集合である。^{[ 17 ]}

以下に説明する分類では、タイプの根系は${\displaystyle A_{n}}$そして${\displaystyle D_{n}}$優れた根系とともに${\displaystyle E_{6},E_{7},E_{8},F_{4},G_{2}}$これらはすべて自己双対であり、双対ルートシステムは元のルートシステムと同型であることを意味します。対照的に、${\displaystyle B_{n}}$そして${\displaystyle C_{n}}$ルートシステムは互いに双対であるが、同型ではない（ただし、${\displaystyle n=2}$)

ベクトル${\displaystyle \lambda }$Eにおける は、各余根との内積が整数である場合に、 積分^{[ 18 ]}と呼ばれます。$${\displaystyle 2{\frac {(\lambda ,\alpha )}{(\alpha ,\alpha )}}\in \mathbb {Z} ,\quad \alpha \in \Phi .}$$ セット以来${\displaystyle \alpha ^{\vee }}$と${\displaystyle \alpha \in \Delta }$二重ルートシステムの基盤を形成し、${\displaystyle \lambda }$が整数であれば、上記の条件をチェックすれば十分です。${\displaystyle \alpha \in \Delta }$。

整数要素の集合は、与えられたルートシステムに関連付けられた重み格子と呼ばれます。この用語は、半単純リー代数の表現論に由来し、整数要素は有限次元表現の可能な重みを形成します。

ルートシステムの定義は、ルート自体が整数要素であることを保証します。したがって、ルートの整数線形結合はすべて整数です。しかし、ほとんどの場合、ルートの整数結合ではない整数要素が存在します。つまり、一般に重み格子はルート格子と一致しません。

与えられたルート系に対して、前節で述べたように単純ルートの集合Δを選択します。関連するディンキン図の頂点は、Δ内のルートに対応します。頂点間には、角度に応じて以下のように辺が描かれます。（単純ルート間の角度は常に90度以上であることに注意してください。）

• ベクトルが直交している場合はエッジはありません。
• 120度の角度をなす無向の単一エッジ、
• 135度の角度をなす場合、方向性のある二重エッジであり、
• 150度の角度をなす三重辺は、方向性を持つ。

「有向エッジ」とは、二重エッジや三重エッジに、短い方のベクトルを指す矢印が付いていることを意味します。（矢印を「より大きい」記号と考えると、矢印の向きが明確になります。）

上記のルートの基本的性質により、ディンキン図を作成するためのルールは次のように記述することもできます。ルートが直交している場合はエッジなし。非直交ルートの場合は、長いルートと短いルートの長さの比が 1 か短いルートの長さの比が 1 か、${\displaystyle {\sqrt {2}}}$、${\displaystyle {\sqrt {3}}}$の場合${\displaystyle G_{2}}$例えば根系には、150度の角度で2本の単純根があり、長さの比率は${\displaystyle {\sqrt {3}}}$したがって、ディンキン図は、3重のエッジで結ばれた2つの頂点を持ち、長い方のルートに関連付けられた頂点からもう一方の頂点へ矢印が伸びています。（この場合、矢印の向きに関係なく図は等価なので、矢印はやや冗長です。）

与えられたルートシステムには複数の単純ルートの可能なセットが存在するが、ワイル群はそのような選択に対して推移的に作用する。^{[ 19 ]}その結果、ディンキン図は単純ルートの選択とは無関係であり、ルートシステム自体によって決定される。逆に、同じディンキン図を持つ2つのルートシステムが与えられた場合、基底のルートから始めてルートを対応付けることで、システムが実際には同じであることを示すことができる。^{[ 20 ]}

したがって、ルートシステムの分類の問題は、可能なディンキン図の分類の問題に帰着します。ルートシステムが既約であるのは、そのディンキン図が連結である場合のみです。 ^{[ 21 ]}可能な連結図は図に示されています。添え字は、図の頂点の数（したがって、対応する既約ルートシステムのランク）を示します。

もし${\displaystyle \Phi }$はルートシステムであり、二重ルートシステムのディンキン図である。${\displaystyle \Phi ^{\vee }}$は、Dynkin ダイアグラムから得られる。${\displaystyle \Phi }$頂点と辺はすべて同じままにして、矢印の方向をすべて反転させることで、Dynkin図から次のことがわかります。${\displaystyle B_{n}}$そして${\displaystyle C_{n}}$互いに双対関係にある。

E を座標の合計が 0 になるR ^{n +1}の部分空間とし、 Φ をE内の長さ√ 2で整数ベクトル、つまりR ^{n +1}の整数座標を持つベクトルの集合とする。このようなベクトルは、2 つの座標を除いてすべて 0 であり、1 つの座標が 1 であり、1 つの座標が −1 である必要があるため、全部でn ² + n 個の根が存在する。標準基底で表された単純根の 1 つの選択肢は、 1 ≤ i ≤ nに対してα _i = e _i − e _{i +1}である。

α _iに垂直な超平面による反射σ _{i は}、 隣接するi番目の座標と ( i + 1) 番目の座標の置換と同じです。このような 転置により、完全な置換群が生成されます。隣接する単純根の場合、 σ _i ( α _{i +1} ) = α _{i +1} + α _i = σ _{i +1} ( α _i ) = α _i + α _{i +1}となり、反射は1 の倍数を加えることと同等です。しかし、隣接していない単純根に垂直な単純根の反射は、0 の倍数だけ異なるため、変化しません。          

A nルート格子、つまりA _nルートによって生成される格子は、成分の合計_がゼロになるR ^{n +1}の整数ベクトルの集合として最も簡単に説明できます。

A2_{ルート格子は}、三角形タイリングの頂点配置です。

A ₃ルート格子は、結晶学者には面心立方格子（または立方最密充填格子）として知られています。^{[ 29 ]}これは、四面体-八面体ハニカムの頂点配置です。

A3_ルートシステム（およびその他のランク3ルートシステム）は、Zometool構築セットでモデル化できます。^{[ 30 ]}

一般に、A _nルート格子はn次元単体ハニカムの頂点配置である。

E = R ⁿとし、Φ はE内の長さ 1 または√ 2のすべての整数ベクトルから構成されるとする。根の総数は 2 n ²である。単純根の 1 つの選択肢はα _i = e _i – e _{i +1} ( 1 ≤ i ≤ n – 1の場合) ( A _{n −1}の単純根の上記の選択肢) であり、より短い根α _n = e _nである。

短根α _nに垂直な超平面による反射σ _{n は}、もちろんn番目の座標の単純な否定です。長単純根α _{n −1}の場合、σ _{n −1} ( α _n ) = α _n + α _{n −1}ですが、短根に垂直な反射の場合、σ _n ( α _{n −1} ) = α _{n −1} + 2 α _nとなり、1 ではなく 2 の倍数による違いが生じます。

B nルート格子、すなわちB _{nルートによって生成される格子は、}すべて整数ベクトルから構成される。

B _1は√ 2によるスケーリングによってA ₁と同型であり、したがって異なるルートシステムではない。

E = R ⁿとし、Φ はE内の長さ√ 2のすべての整数ベクトルと、長さ 1 の整数ベクトルλの形式のすべてのベクトルから構成されるとする。根の総数は 2 n ²である。単純根の 1 つの選択は、1 ≤ i ≤ n − 1 の場合α _i = e _i − e _{i +1 (} A _{n −1}の上記の単純根の選択) と、より長い根α _n = 2 e _nである。反射σ _n ( α _{n −1} ) = α _{n −1} + α _nであるが、σ _{n −1} ( α _n ) = α _n + 2 α _{n −1 で}ある。

C nルート格子、すなわちC _{nルートによって生成される格子は、}成分の合計が偶数になるすべての整数ベクトルから構成される。

C _{2 は、} √ 2によるスケーリングと 45 度の回転によってB ₂と同型であり、したがって、独立したルートシステムではありません。

E = R ⁿとし、Φ はEの長さ√ 2のすべての整数ベクトルから構成されるとする。根の総数は2 n ( n − 1)である。単純根の 1 つの選択は、1 ≤ i ≤ n − 1のα _i = e _i − e _{i +1 (} A _{n −1}の上記の単純根の選択) とα _n = e _{n −1} + e _nである。

α _nに垂直な超平面による反射は、隣接するn番目の座標と ( n − 1) 番目の座標を入れ替えて符号を反転させることと同じです。任意の単純根とその別の単純根に垂直な反射は、2 番目の根の 0 または 1 の倍数だけ異なり、それ以上の倍数だけ異なることはありません。

D nルート格子、すなわちD _{n個のルートによって生成される格子は、}成分の合計が偶数となるすべての整数ベクトルから構成される。これはC _nルート格子と同じである。

D n根は、整列されたn -直交多元群、コクセター-ディンキン図の頂点として表されます。... 。2 n ( n - 1)個の頂点は_、 n -直交多元群の辺の中央に存在します。

D _{3 は}A ₃と一致するため、独立したルートシステムではありません。12 個のD _{3ルートベクトルは、}立方八面体の低対称構造である の頂点として表されます。

D _{4 には、}三元性と呼ばれる追加の対称性があります。24 個のD _{4ルートベクトルは、} 24 セルのより低い対称性の構成である の頂点として表現されます。

• E _{8ルートシステムとは}、R ⁸内のベクトルの集合であって、次の集合と合同な集合のことである。$${\displaystyle D_{8}\cup \left\{{\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{8}\varepsilon _{i}\mathbf {e} _{i}\right):\varepsilon _{i}=\pm 1,\,\varepsilon _{1}\cdots \varepsilon _{8}=+1\right\}.}$$

ルートシステムには240個のルートがあります。先ほど挙げた集合は、E8ルート格子（単にE8格子またはΓ8_{とも呼ばれる）における長さ}√2のベクトルの集合です。これは、 R8^内の点の集合で、次の条件を満たすものです。

1. すべての座標が整数であるか、すべての座標が半整数であること（整数と半整数の混在は認められない）、
2. 8つの座標の合計は偶数です。

したがって、 $${\displaystyle E_{8}=\left\{\alpha \in \mathbb {Z} ^{8}\cup \left(\mathbb {Z} +{\tfrac {1}{2}}\right)^{8}:|\alpha |^{2}=\sum \alpha _{i}^{2}=2,\,\sum \alpha _{i}\in 2\mathbb {Z} .\right\}}$$

• ルートシステムE7_は、E8内の固定ルートに垂直なE8_内のベクトルの集合です。ルートシステムE7_{には126個のルートが}あります。
• ルートシステムE _6は、E 7_内の固定ルートに垂直なベクトルの集合ではありません。実際、そのようにして得られるのはD ₆です。しかし、E _6は、 E ₈の適切に選択された 2 つのルートに垂直なE ₈のサブシステムです。ルートシステムE ₆は 72 個のルートを持ちます。

E ₈格子の別の記述として、R ⁸内のすべての点の集合 Γ' ₈として表すと便利な場合がある。

• すべての座標は整数であり、座標の合計は偶数である。
• すべての座標は半整数であり、座標の合計は奇数である。

格子Γ ₈とΓ' _8は同型であり、任意の奇数個の座標の符号を反転させることで、一方から他方へ移行できる。格子Γ _8はE ₈の偶数座標系と呼ばれることがあり、格子Γ' _8は奇数座標系と呼ばれることがある。

偶数座標系において、行がノードの順序で並べられた代替（非標準）ディンキン図（上記）におけるE ₈の単純根の選択肢の一つは次のとおりです。

α _i = e _i − e _{i +1}、1 ≤ i ≤ 6 の場合、

α ₇ = e ₇ + e ₆

（ D ₇の単純根の上記の選択）に加えて $${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}_{8}={\boldsymbol {\beta }}_{0}=-{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{8}\mathbf {e} _{i}=(-1/2,-1/2,-1/2,-1/2,-1/2,-1/2,-1/2,-1/2).}$$

奇数座標系で、行がノード順序で並べられた、別の（非正準）ディンキン図（上記）におけるE ₈の単純根の選択肢の1つは、

α _i = e _i − e _{i +1}、ただし 1 ≤ i ≤ 7

（上記のA ₇の単純根の選択）に加えて

α ₈ = β ₅、ここで

${\textstyle {\boldsymbol {\beta }}_{j}={\frac {1}{2}}\left(-\sum _{i=1}^{j}e_{i}+\sum _{i=j+1}^{8}e_{i}\right).}$

（β ₃を使用すると同型な結果が得られます。β 1,7 または β 2,6 を使用すると、単にA 8_{またはD 8}が得られます。β ₄に関しては_、その座標の合計は 0 であり、 α _1...7についても同様であるため、座標の合計が 0 となる 7 次元部分空間のみを張ります。実際、−2 β ₄は基底 ( α _i ) において座標 (1,2,3,4,3,2,1) を持ちます。）

α ₁に垂直であるということは、最初の 2 つの座標が等しいことを意味するので、E _{7は、最初の 2 つの座標が等しい}E ₈の部分集合であり、同様に、E _{6は、最初の 3 つの座標が等しい}E ₈の部分集合です。これにより、 E ₇とE _{6 を}次のように明示的に定義できます。

E ₇ = { α ∈ Z ⁷ ∪ ( Z +1/2) ⁷  : Σ α _i ² + α ₁ ² = 2, Σ α _i + α ₁ ∈ 2 Z },

E ₆ = { α ∈ Z ⁶ ∪ ( Z +1/2) ⁶  : Σ α _i ² + 2 α ₁ ² = 2, Σ α _i + 2 α ₁ ∈ 2 Z }

α _{1 を}削除してからα ₂を削除すると、 E ₇とE ₆の単純根の集合が得られることに注意してください。ただし、これらの単純根の集合は、α ₁またはα ₂と直交しないため、上記のものとは異なるE ₈のE ₇およびE ₆の部分空間に属します。

F ₄については、E = R ^{4とし、Φ を、2α の座標がすべて整数であり、すべて偶数またはすべて奇数であるような、長さ 1 または}√ 2のベクトル α の集合とする。このシステムには 48 個の根がある。単純根の選択肢の 1 つは、 B ₃について上で示した単純根の選択肢に加えて、${\textstyle {\boldsymbol {\alpha }}_{4}=-{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{4}e_{i}}$。

F ₄ルート格子、すなわちF _{4ルート系によって生成される格子は}、R ⁴内の点の集合であり、すべての座標が整数であるか、またはすべての座標が半整数であるかのいずれかである（整数と半整数の混在は許されない）。この格子は、フルヴィッツ四元数の格子と同型である。

根系G2_{には12個の根があり、これらは}六芒星の頂点を形成します。上の図を参照してください。

単純根の選択肢の 1 つは ( α ₁ , β = α ₂ − α ₁ ) であり、ここで α _i = e _i − e _{i +1} ( i = 1, 2) はA ₂の単純根の上記の選択肢です。

G ₂ルート格子、すなわちG _{2ルートによって生成される格子は}、A ₂ルート格子と同じである。