特殊相対性理論

物理学の現代トピックの中では異例なことに、特殊相対性理論は高校レベルの数学しか必要としないにもかかわらず、私たちの理解、特に時間の概念に対する理解を根本的に変える。^{[ 3 ]： ix}たった2つの公準または仮定に基づいて構築されており、多くの興味深い結果が続く。

この2つの公準はどちらも、互いに一定の速度で移動する観測者に関するものです。最初の公準である相対性原理は、物理法則は物体が絶対的に静止していることに依存しないと述べています。例えば、列車に乗っている観測者は、列車が動いているか止まっているかに関わらず、列車上で同じように見える自然現象を目にします。^{[ 3 ]： 5} 2番目の公準である光速一定は、駅にいる観測者は、駅構内から光を測定する場合でも、走行中の列車から光を測定する場合でも、光が同じ速度で伝わるように見えると述べています。駅から列車への光信号は、列車の速度に関係なく、同じ速度で伝わります。^{[ 3 ]： 25}

特殊相対性理論では、2つの公準が組み合わさって「相対速度」の定義が変わります。移動距離を所要時間で割るという単純な概念ではなく、新しい理論では光速を最大速度として取り入れています。特殊相対性理論では、動いている時計で同じ時間内に地上で10倍の距離を移動しても、地上から見た速度が10倍になるわけではありません。^{[ 3 ]： 28}

特殊相対性理論には、実験的に検証された幅広い影響がある。^{[ 4 ] [ 5 ]}概念的な影響には以下が含まれる。

• 同時性の相対性―ある観察者にとって同時に見える出来事が、運動している観察者にとっては同時ではない可能性がある^{[ 3 ]： 49} 
• § 時間の遅れ–動いている観測者によって測定された2つの事象間の時間は異なる 
• § 長さの収縮–動いている観測者による2つの事象間の距離が異なる 
• §速度のローレンツ変換–速度はもはや単純に加算されるものではない  

特殊相対性理論の2つの公準は、他の物理法則と組み合わせることで、質量とエネルギーの等価性を予測し、それは質量エネルギー等価式で表される。${\displaystyle E=mc^{2}}$⁠、そこで${\displaystyle c}$は真空中の光速です。 ^{[ 6 ] [ 7 ]} 特殊相対性理論は、絶対的で普遍的な時間という従来の概念を、各観測者にとって局所的な時間という概念に置き換えました。^{[ 8 ] : 33}遠方の物体に関する情報は光速より速くは到達できないため、視覚的な観測は常に過去に起こった出来事を報告します。この効果により、特殊相対性理論の効果の視覚的な記述は特に間違いが生じやすくなります。^{[ 9 ]}

特殊相対性理論は、技術的にも重大な影響を及ぼします。特殊相対性理論の特徴は、ユークリッド幾何学をローレンツ幾何学に置き換えることです。^{[ 10 ] : 8}ユークリッド幾何学では、距離はピタゴラスの定理で計算され、空間座標のみが含まれます。ローレンツ幾何学では、「距離」は「間隔」となり、マイナス符号付きの時間座標が含まれます。空間距離とは異なり、2 つのイベント間の間隔は、相対速度に関係なく、すべての観測者に対して同じ値になります。相対運動する 2 つの座標セットを比較する場合、ローレンツ変換がニュートン力学のガリレオ変換に取って代わります。^{[ 10 ] : 98}その他の効果には、ドップラー効果とトーマス歳差運動 に対する相対論的補正が含まれます。^{[ 1 ] [ 2 ]} また、電気と磁気の関係も説明します。^{[ 1 ] [ 2 ]}

基準系は相対性理論において極めて重要な役割を果たします。ここでいう基準系とは、運動（加速度）に変化のない空間における観測視点のことで、そこから3つの空間軸に沿って位置を測定できます（つまり、静止状態または一定速度で運動している状態）。さらに、基準系は「時計」（一定の周期を持つあらゆる基準装置）を用いて事象の時刻を測定する能力も備えています。

事象とは、基準系に対して空間上の単一の固有の瞬間と位置を割り当てることができる出来事、つまり時空における「点」のことです。相対性理論では、基準系に関係なく光速は一定であるため、光パルスを用いることで距離を明確に測定し、事象が発生した時刻を時計に照らし合わせて参照することができます。ただし、光が事象発生後に時計に到達するまでには時間がかかります。

例えば、爆竹の爆発は「イベント」とみなすことができます。イベントは、その4つの時空座標によって完全に特定できます。発生時刻と3次元空間位置によって基準点が定義されます。この基準フレームをSと呼びましょう。

相対性理論では、異なる基準系から事象の座標を計算したい場合がよくあります。異なる基準系で行われた測定値を関連付ける方程式は、変換方程式と呼ばれます。

異なる参照フレームの観測者によって測定された時空座標が互いにどのように比較されるかを理解するために、標準構成のフレームを使用した簡略化された設定で作業することが有用です。^{[ 25 ] : 107}注意すれば、これにより、到達する結論の一般性を失うことなく、数学を簡略化できます。図 2-1では、2つのガリレオ参照フレーム（つまり、従来の3空間フレーム）が相対運動で表示されています。フレームSは最初の観測者Oに属し、フレームS ′（「Sプライム」または「Sダッシュ」と発音 ）は2番目の観測者O ′に属します。

• フレームSのx 、y、z軸は、フレームS ′のそれぞれのプライム付き軸と平行になるように配置されている。
• フレームS ′は、簡略化のために、フレームSのx方向と同じ方向に、フレームSで測定された一定速度vで移動する。
• フレームSとS ′の原点は、フレームSの時刻t =0とフレームS ′の時刻t ′ =0のときに一致する。

相対性理論には絶対的な基準系が存在しないため、「運動」という概念は厳密には存在しません。なぜなら、あらゆるものは他の基準系に対して運動している可能性があるからです。その代わりに、同じ速度で同じ方向に運動する2つのフレームは共動していると言われます。したがって、SとS ′は共動ではありません。

物理法則はどの慣性系でも同じ形をとるという相対性原理はガリレオに遡り、ニュートン力学に組み込まれた。しかし19世紀後半、電磁波の存在から、一部の物理学者は宇宙が「エーテル」と呼ばれる物質で満たされていると提唱した。彼らは、エーテルがこれらの波、あるいは振動が伝播する媒体として機能すると仮定した（多くの点で、音が空気中を伝わるのと似ている）。エーテルは、すべての速度を測定できる絶対的な基準系であり、地球や他の固定された基準点に対して固定され、静止していると考えられた。エーテルは電磁波を支えるのに十分な弾性を持ち、電磁波は物質と相互作用できるが、エーテルを通過する物体には抵抗を与えないと考えられていた（エーテルの唯一の性質は、電磁波の伝播を可能にすることだった）。 1887年のマイケルソン・モーリー実験（その後、より正確で革新的な実験によって検証された）を含む様々な実験の結果は、エーテルが存在しないことを示すことで特殊相対性理論につながった。^{[ 26 ]}アインシュタインの解決策は、エーテルと絶対静止状態の概念を捨てることだった。相対性理論では、等速運動する任意の基準系は同じ物理法則を観測する。特に、真空中の光速は、異なる（しかし一定の）速度で運動する複数のシステムによって測定された場合でも、常にcと測定される。

相対性原理のみから、光速の一定性を仮定せずに（すなわち、空間の等方性と特殊相対性原理によって示される対称性を用いて）、慣性系間の時空変換はユークリッド変換、ガリレオ変換、またはローレンツ変換のいずれかであることが示される。ローレンツ変換の場合、相対論的間隔保存則とある有限の限界速度が得られる。実験によれば、この速度は真空中の光速である。^{[ p 4 ] [ 27 ] : 511}

アインシュタインは、相対性理論と光速不変性という2つの公理を、ローレンツ変換という1つの公理に統合した。

特殊相対性理論の根本的な洞察は次のとおりである。相対性と光速不変性の仮定は、事象の座標と時間の変換に関して新しいタイプの関係（「ローレンツ変換」）を仮定すれば両立する 。特殊相対性理論の普遍原理は、次の公準に含まれている。物理法則はローレンツ変換（ある慣性系から任意の別の慣性系への遷移）に関して不変である。これは自然法則に対する制限原理である 。^{[ p 2 ]}

1905年にアインシュタインが特殊相対性理論を最初に発表して以来、さまざまな代替的な導出において多くの異なる一連の公理が提案されてきたが、^{[ 28 ]}アインシュタインは研究を通して自身のアプローチに固執した。^{[ p 5 ]}

アンリ・ポアンカレは、ローレンツ変換が自身のポアンカレ群の対称変換の一部であることを証明することで、相対性理論の数学的枠組みを提供した。アインシュタインは後に、自身の公理からこれらの変換を導き出した。

特殊相対性理論の伝統的な2つの公準アプローチは、数多くの大学の教科書や一般向けのプレゼンテーションで紹介されているが、^{[ 29 ]}特殊相対性理論の他の扱いでは、普遍的なローレンツ共変性の単一の公準、あるいは同等にミンコフスキー時空の単一の公準に基づいている。^{[ p 6 ] [ p 7 ]}ミンコフスキー時空の単一の公準から始まる教科書には、テイラーとウィーラー^{[ 10 ]}やキャラハン^{[ 30 ]によるものがある。}

イベントを、システムSにおける時空座標( t , x , y , z )と、x軸に沿って速度vで移動する参照フレームS ′における時空座標( t ′ , x ′ , y ′ , z ′ )を持つものとして定義します。すると、ローレンツ変換によって、これらの座標は次のように関連付けられることが規定されます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}t'&=\gamma \ (t-vx/c^{2})\\x'&=\gamma \ (x-vt)\\y'&=y\\z'&=z,\end{aligned}}}$$ どこ$${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}$$はローレンツ因子、cは真空中の光速であり、 S ′のSに対する速度vはx軸に平行です。簡略化のため、yおよびz座標は影響を受けません。変換されるのはxおよびt座標のみです。これらのローレンツ変換は、1 つのパラメータを持つ線形写像のグループを形成し、そのパラメータはラピディティと呼ばれます。

上記の4つの変換方程式をプライム記号のない座標について解くと、逆ローレンツ変換が得られます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}t&=\gamma (t'+vx'/c^{2})\\x&=\gamma (x'+vt')\\y&=y'\\z&=z'.\end{aligned}}}$$

これは、プライミングされていないフレームが、プライミングされたフレームで測定された速度 −v で移動していることを示している。^{[ 31 ]}

x軸に特別な意味はありません。この変換はy軸やz軸、あるいは運動方向（ γ係数によって歪められる）に平行な方向や垂直な方向など、あらゆる方向に適用できます。詳細はローレンツ変換に関する記事を参照してください。

ローレンツ変換に対して不変な量をローレンツスカラーと呼ぶ。

ローレンツ変換とその逆変換を座標差で表すと、一方のイベントの座標は( x ₁ , t ₁ )と( x ′ ₁ , t ′ ₁ )であり、もう一方のイベントの座標は( x ₂ , t ₂ )と( x ′ ₂ , t ′ ₂ )であり、その差は次のように定義される。

• 式１：  ${\displaystyle \Delta x'=x'_{2}-x'_{1}\ ,\ \Delta t'=t'_{2}-t'_{1}\ .}$
• 式2：  ${\displaystyle \Delta x=x_{2}-x_{1}\ ,\ \ \Delta t=t_{2}-t_{1}\ .}$

私たちは

• 式3：  ${\displaystyle \Delta x'=\gamma \ (\Delta x-v\,\Delta t)\ ,\ \ }$${\displaystyle \Delta t'=\gamma \ \left(\Delta t-v\ \Delta x/c^{2}\right)\ .}$
• 式4：  ${\displaystyle \Delta x=\gamma \ (\Delta x'+v\,\Delta t')\ ,\ }$${\displaystyle \Delta t=\gamma \ \left(\Delta t'+v\ \Delta x'/c^{2}\right)\ .}$

差分を取る代わりに微分を取ると、

• 式5：  ${\displaystyle dx'=\gamma \ (dx-v\,dt)\ ,\ \ }$${\displaystyle dt'=\gamma \ \left(dt-v\ dx/c^{2}\right)\ .}$
• 式6：  ${\displaystyle dx=\gamma \ (dx'+v\,dt')\ ,\ }$${\displaystyle dt=\gamma \ \left(dt'+v\ dx'/c^{2}\right)\ .}$

図3-1。ローレンツ変換を説明するためのミンコフスキー時空図の描き方。

時空図（ミンコフスキー図とも呼ばれる）は、異なる参照系間で座標がどのように変換されるかを視覚化するのに非常に役立ちます。ローレンツ変換を直接適用するほど正確な計算を行うのは容易ではありませんが、その主な利点は、相対論的シナリオの結果を直感的に理解できることです。^{[ 27 ]： 536} 時空図を描くには、図2-1 に示すように、標準構成の2つのガリレオ参照系SとS'を考えることから始めます。^{[ 32 ]： 155–199}

図 3-1a。${\displaystyle x}$そして${\displaystyle t}$フレームSの軸。${\displaystyle x}$軸は水平で、${\displaystyle ct}$（空間の単位で表された時間）軸は垂直であり、これは運動学における通常の慣例とは逆である。${\displaystyle ct}$軸は係数でスケーリングされます${\displaystyle c}$両軸の長さの単位が共通になるようにします。図では、グリッド線は1単位間隔で配置されています。45°の対角線は、時刻tに原点を通過する2つの光子の世界線を表しています。${\displaystyle t=0.}$これらの世界線の傾きは 1 です。なぜなら、光子は単位時間あたり空間で 1 単位進むからです。2 つのイベント、${\displaystyle {\text{A}}}$そして${\displaystyle {\text{B}},}$これらの点は、S座標系とS'座標系における座標を比較できるように、このグラフ上にプロットされている。

図 3-1b。${\displaystyle x'}$そして${\displaystyle ct'}$フレームS'の軸。${\displaystyle ct'}$軸は、フレームSで測定されたS'座標系の原点の世界線を表します。この図では、${\displaystyle v=c/2.}$両方とも${\displaystyle ct'}$そして${\displaystyle x'}$軸は、未プライミング軸から角度だけ傾いている。${\displaystyle \alpha =\tan ^{-1}(\beta ),}$どこ${\displaystyle \beta =v/c.}$プライム付き軸とプライムなし軸は共通の原点を共有しています。これは、フレームSとS'が標準構成でセットアップされていたためです。${\displaystyle t=0}$いつ${\displaystyle t'=0.}$

図 3-1c。プライム付き軸の単位は、プライムなし軸の単位とは異なるスケールを持つ。ローレンツ変換から、次のことがわかる。${\displaystyle (x',ct')}$座標${\displaystyle (0,1)}$プライム付き座標系で変換して${\displaystyle (\beta \gamma ,\gamma )}$プライムなしの座標系では、${\displaystyle (x',ct')}$座標${\displaystyle (1,0)}$プライム付き座標系で変換して${\displaystyle (\gamma ,\beta \gamma )}$下線なしのシステムで、グリッド線を平行に描画します。${\displaystyle ct'}$点を通る軸${\displaystyle (k\gamma ,k\beta \gamma )}$プライミングされていないフレームで測定すると、${\displaystyle k}$は整数です。同様に、グリッド線を と平行に描画します。${\displaystyle x'}$軸を通る${\displaystyle (k\beta \gamma ,k\gamma )}$プライムなしのフレームで測定した場合。ピタゴラスの定理を使用すると、間隔は${\displaystyle ct'}$単位は等しい${\textstyle {\sqrt {(1+\beta ^{2})/(1-\beta ^{2})}}}$間隔の倍数${\displaystyle ct}$フレームSで測定される単位。この比率は常に1より大きく、次のようになると無限大に近づきます。${\displaystyle \beta \to 1.}$

図 3-1d。光速は不変量であるため、時刻に原点を通過する2つの光子の世界線は${\displaystyle t'=0}$依然として45°の対角線としてプロットされます。${\displaystyle {\text{A}}}$そして${\displaystyle {\text{B}}}$これらはローレンツ変換によって非プライム座標と関連付けられ、グラフからおおよそ測定できます（グラフが十分に正確にプロットされていると仮定した場合）。しかし、ミンコフスキー図の真の利点は、シナリオの幾何学的視点を与えてくれることです。たとえば、この図では、非プライム座標系で異なるx座標を持っていた2つの時間的に分離されたイベントが、空間内で同じ位置にあることがわかります。

非プライムフレームでは空間軸と時間軸が直角に交わるのに対し、プライムフレームでは軸が鋭角または鈍角に交わる。この非対称性は、時空座標をデカルト座標平面にマッピングする際の避けられない歪みに起因する。両フレームは等価である。

ガリレオ相対性理論では、空間的分離、（⁠${\displaystyle \Delta r}$⁠ )、および時間的分離、( ⁠ )${\displaystyle \Delta t}$2 つの事象間の は独立した不変量であり、異なる参照系から観測してもその値は変化しません。しかし、特殊相対性理論では、空間座標と時間座標の相互作用により、 で表される不変間隔 の概念が生まれます。${\displaystyle \Delta s^{2}}$⁠ : $${\displaystyle \Delta s^{2}\;{\overset {\text{def}}{=}}\;c^{2}\Delta t^{2}-(\Delta x^{2}+\Delta y^{2}+\Delta z^{2})}$$ 物理的意義を考慮すると、${\displaystyle \Delta s^{2}}$⁠、3つのケースがあります： ^{[ 27 ]： 533 [ 10 ]： 25–39}

• Δs ² > 0:この場合、2 つの事象は空間よりも時間的に分離されており、したがって時間的に分離されていると言われます。これは次のことを意味します。${\displaystyle \vert \Delta x/\Delta t\vert <c}$⁠、そしてローレンツ変換を考慮すると、${\displaystyle \Delta x'=\gamma \ (\Delta x-v\ \Delta t)}$⁠、明らかに、${\displaystyle v}$未満${\displaystyle c}$そのために${\displaystyle \Delta x'=0}$（特に、${\displaystyle v=\Delta x/\Delta t}$（）言い換えれば、時間的に分離した2つの事象が与えられた場合、2つの事象が同じ場所で発生するようなフレームを見つけることが可能です。このフレームでは、時間的な分離は、（）${\displaystyle \Delta s/c}$⁠は適切な時間と呼ばれます。
• Δs ² < 0:この場合、2 つのイベントは時間よりも空間的に離れており、したがって空間的に離れていると言われます。これは次のことを意味します。${\displaystyle \vert \Delta x/\Delta t\vert >c}$⁠、そしてローレンツ変換を考慮すると、${\displaystyle \Delta t'=\gamma \ (\Delta t-v\Delta x/c^{2})}$⁠、存在する${\displaystyle v}$未満${\displaystyle c}$そのために${\displaystyle \Delta t'=0}$（特に、${\displaystyle v=c^{2}\Delta t/\Delta x}$（）言い換えれば、空間的に分離した2つの事象が与えられた場合、2つの事象が同時に起こるようなフレームを見つけることが可能です。このフレームでは、空間的な分離は、（）${\displaystyle \textstyle {\sqrt {-\Delta s^{2}}}}$⁠ は、適切な距離、または適切な長さと呼ばれます。 の値の場合${\displaystyle v}$より大きい、より小さい${\displaystyle c^{2}\Delta t/\Delta x}$⁠、${\displaystyle \Delta t'}$変化するということは、空間的に分離されたイベントの時間的順序は、イベントが観察されるフレームによって変化することを意味します。しかし、時間的に分離されたイベントの時間的順序は絶対的です。なぜなら、${\displaystyle v}$より大きい可能性がある${\displaystyle c^{2}\Delta t/\Delta x}$もしそうなら${\displaystyle v>c}$⁠ .
• Δs ² = 0:この場合、2 つの事象は光のように分離されていると言われます。これは次のことを意味します。${\displaystyle \vert \Delta x/\Delta t\vert =c}$⁠、そしてこの関係は、 の不変性によりフレームに依存しない。${\displaystyle s^{2}}$⁠。これから、光の速度は${\displaystyle c}$あらゆる慣性系において。言い換えれば、普遍的なローレンツ共変性の仮定から出発すると、光速一定は特殊理論の2つの公準による定式化のように公準ではなく、導出された結果となる。

空間と時間の相互作用は、非共動フレーム間における絶対的な同時性や同期という暗黙の前提概念を覆す。

形式⁠${\displaystyle \Delta s^{2}}$⁠ は、時間の経過の二乗と空間距離の二乗の差であり、ユークリッド距離と時空距離の間に根本的な不一致があることを示しています。標準ローレンツ変換の下での Δ s ²の不変性は、ユークリッド空間での回転の下での距離の二乗 Δ r ²の不変性に類似していますでは空間と時間は同等の立場にありますが、空間項の前のマイナス符号は、空間と時間が本質的に異なる性質であることを示しています。それらは同じではありません。ミンコフスキー空間は、3 次元の空間とは異なる方法で時間を扱っているため、 4 次元のユークリッド空間とは異なります。この間隔の不変性は、一般ローレンツ変換 (ポアンカレ変換とも呼ばれる)の性質であり、時空の等長変換となっています。x方向のローレンツブーストを扱う）を、任意のデカルト慣性座標系間の他のすべての並進、反射、および回転に拡張したものである。 ^{[ 34 ]： 33-34}

時空図などの単純化されたシナリオの分析では、不変区間の次元を縮小した形式がよく用いられる。 $${\displaystyle \Delta s^{2}\,=\,c^{2}\Delta t^{2}-\Delta x^{2}}$$

次元削減の場合と標準構成のフレームの場合、区間が不変であることを示すのは簡単です。^{[ 27 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}\Delta t^{2}-\Delta x^{2}&=c^{2}\gamma ^{2}\left(\Delta t'+{\dfrac {v\Delta x'}{c^{2}}}\right)^{2}-\gamma ^{2}\ (\Delta x'+v\Delta t')^{2}\\&=\gamma ^{2}\left(c^{2}\Delta t'^{\,2}+2v\Delta x'\Delta t'+{\dfrac {v^{2}\Delta x'^{\,2}}{c^{2}}}\right)-\gamma ^{2}\ (\Delta x'^{\,2}+2v\Delta x'\Delta t'+v^{2}\Delta t'^{\,2})\\&=\gamma ^{2}c^{2}\Delta t'^{\,2}-\gamma ^{2}v^{2}\Delta t'^{\,2}-\gamma ^{2}\Delta x'^{\,2}+\gamma ^{2}{\dfrac {v^{2}\Delta x'^{\,2}}{c^{2}}}\\&=\gamma ^{2}c^{2}\Delta t'^{\,2}\left(1-{\dfrac {v^{2}}{c^{2}}}\right)-\gamma ^{2}\Delta x'^{\,2}\left(1-{\dfrac {v^{2}}{c^{2}}}\right)\\&=c^{2}\Delta t'^{\,2}-\Delta x'^{\,2}\end{aligned}}}$$

価値${\displaystyle \Delta s^{2}}$したがって、それは測定されるフレームに依存しない。

2つの異なる場所で同時に発生する2つの事象を、ある慣性系観測者の基準系では同時に発生するとします。しかし、別の慣性系観測者の基準系では、これらの事象は同時に発生しない可能性があります（絶対的な同時性の欠如）。

式 3（座標差による順方向ローレンツ変換） より$${\displaystyle \Delta t'=\gamma \left(\Delta t-{\frac {v\,\Delta x}{c^{2}}}\right)}$$

フレームSにおいて同時発生している2つの事象（Δt = 0を満たす）は、別の慣性フレームS′において必ずしも同時発生しているわけではないことは明らかである（Δt′ = 0を満たす）。これらの事象がフレームSにおいてさらに同一地点にある場合（Δx = 0を満たす場合）にのみ、別のフレームS ′においても同時発生となる。

サニャック効果は、回転する地球と共動する局所慣性系における同時性の相対性の現れと考えることができる。^{[ 35 ]}リングレーザージャイロスコープや光ファイバージャイロスコープなど、サニャック効果に基づいて動作する機器は、極めて高い感度を実現できる。^{[ p 8 ]}

2つの事象間の時間差は、観測者によって一定ではなく、観測者の基準系の相対速度に依存する。

時計が未準備システムSで静止していると仮定します。2 つの異なるティックにおける時計の位置はΔ x = 0で特徴付けられます。両方のシステムで測定されたこれらのティック間の時間の関係を求めるには、式 3 を使用して以下を求めることができます。

${\displaystyle \Delta t'=\gamma \,\Delta t}$ 満足のいくイベントのために ${\displaystyle \Delta x=0\ .}$

これは、時計が動いているフレーム ( S ′ )で見た 2 つの目盛り間の時間 (Δ t ′ ) が、時計の静止フレーム ( S ) で測定したこれらの目盛り間の時間 (Δ t ) よりも長いことを示しています。時間の遅れは、多くの物理現象を説明します。たとえば、宇宙線が地球の外層大気中の粒子と衝突して生成され、地表に向かって移動する高速ミューオンの寿命は、実験室で生成され崩壊する低速ミューオンの寿命よりも長いです。^{[ 36 ]}

「動いている時計は遅れる」という趣旨の発言を聞いたときはいつでも、同一の同期された時計が密集した慣性座標系を想像すべきである。動いている時計がこの配列を通過する際、特定の地点でのその時刻は、同じ地点にある静止した時計の時刻と比較される。^{[ 37 ]： 149-152}

動いている時計を直接観測して得られる測定値は、光の有限速度によって遅延する、つまり、観測される時間はドップラー効果によって歪められる。相対論的効果の測定値は、常に光の有限速度の影響が除去された後に測定されたものと理解されなければならない。^{[ 37 ]： 149-152}

ランジュバンの光時計

相対性理論の初期の提唱者であるポール・ランジュバンは、アインシュタインの革新的な概念に対する多くの物理学者の抵抗に直面しながらも、この理論を普及させるために多大な貢献をした。特殊相対性理論の基礎への彼の数多くの貢献の中には、質量とエネルギーの関係に関する独立した研究、双子のパラドックスの徹底的な検証、回転座標系の調査などがある。彼の名前は、「光時計」と呼ばれる仮説的な構成物（元々は1909年にルイスとトルマンによって開発された^{[ 38 ]}）によく関連付けられており、彼はこれを用いてローレンツ変換の新しい導出を行った^{[ 39 ] 。}

光時計は、光信号が反対側の面から反射を繰り返す、完全に反射する壁でできた箱として想像されます。時間の遅れの概念は、2つの鏡を結ぶ線に垂直な方向に等速慣性運動をする光時計を用いてよく教えられます。^{[ 40 ] [ 41 ] [ 42 ] [ 43 ]}（ランジュバン自身は、その運動線に平行に配置された光時計を使用しました。^{[ 39 ]}）

図4-3Aに示すシナリオを考えてみましょう。観測者Aは長さの光時計を持っています。${\displaystyle L}$また、彼女は光時計に沿ってパルスが往復するのにかかる時間を計測する電子タイマーも使用している。観測者Aは列車で高速移動しているが、彼女の視点からはパルスの発信と受信は同じ場所で発生しており、彼女はこれら2つの事象の正確な位置に設置された単一の時計を使用して間隔を計測する。これら2つの事象間の間隔について、観測者Aは次のように判断する。${\displaystyle t_{\text{A}}=2L/c}$特定の基準系において静止している単一の時計を用いて測定された時間間隔を、^固有時間間隔と呼ぶ。 ^[ 44 ^]

図4-3Bは、列車が時速100kmで通過する際に線路脇に駐車している観察者Bの視点から、これら2つの出来事を示している。${\displaystyle v}$観測者Bは、パルスがまっすぐ上下に動くのではなく、ジグザグの線に沿って動いているのを目にする。しかし、光速不変の公準により、これらの対角線に沿ったパルスの速度は同じである。${\displaystyle c}$観察者Aは、彼女の上下の脈動を目撃した。Bは、これらの脈動の垂直成分の速度を次のように測定した。${\textstyle \pm {\sqrt {c^{2}-v^{2}}},}$パルスの往復時間の合計は${\textstyle t_{\text{B}}=2L{\big /}{\sqrt {c^{2}-v^{2}}}={}}$⁠${\displaystyle \textstyle t_{\text{A}}{\big /}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$⁠。観測者 B の場合、光パルスの放出と受信は異なる場所で発生し、彼は基準座標系内の異なる 2 つの位置にある 2 つの静止同期時計を使用して間隔を測定したことに注意してください。したがって、B が測定した間隔は、単一の静止時計で測定したわけではないため、適切な時間間隔ではありませんでした。 ^{[ 44 ]}

別々の慣性系にいる 2 人の観測者間の時間の遅れの相互性は、いわゆる双子のパラドックスにつながり、現在の形では 1911 年にランジュバンによって明確にされました。 ^{[ 46 ]}ランジュバンは、地球の未来を探検したい冒険家を想像しました。この旅行者は、光速の 99.995% で移動できる発射体に乗り込みます。近くの恒星への往復旅行を自分の寿命の 2 年だけかけて行った後、彼は 200 年年をとった地球に戻ります。

この結果は不可解に思える。なぜなら、旅行者と地球上の観測者の両方が相手が動いていると認識するため、時間の遅れの相互性から、最初はそれぞれが相手の老化が遅くなったと認識するはずだと予想されるからである。実際には、パラドックスは全くない。2人の観測者が経過した固有時間を並べて比較するためには、状況の対称性が破られなければならないからである。つまり、2人の観測者のうち少なくとも一方が、もう一方の観測者と一致するように自身の運動状態を変更しなければならない。^{[ 47 ]}

しかし、このパラドックスの一般的な解決策を知ったとしても、すぐに正確な定量的結果を計算できるわけではありません。この難問に対する多くの解決策が文献で提示されており、双子のパラドックスに関する記事でも概説されています。以下では、そのような解決策の一つを検証します。

私たちの基本的な目的は、旅行後、双子のそれぞれが異なる経験にもかかわらず、どちらがどれだけ年を取ったかについて完全に一致することを示すことです。図4-4は、旅行中の双子が3光年離れた恒星まで0.6cで往復するシナリオを示しています。旅行中、それぞれの双子は（それぞれの固有時間で測定された）年間の時間信号を相手に送信します。旅行後、累積カウントが比較されます。旅行の往路では、それぞれの双子は、相手からの信号を低いレートで受信します。${\displaystyle \textstyle f'=f{\sqrt {(1-\beta )/(1+\beta )}}}$最初は状況は完全に左右対称です。各双子は、自分の時計で2年目に相手の1年ごとの信号を受け取ります。対称性は、旅をしている双子が自分の時計で4年目に方向転換したときに崩れます。旅の残りの4年間、彼女は強化されたレートで信号を受け取ります。${\displaystyle \textstyle f''=f{\sqrt {(1+\beta )/(1-\beta )}}}$静止している双子の場合は状況が全く異なります。光速の遅延のため、彼は自分の時計で8年が経過するまで妹が振り向くのを見ることができません。したがって、彼は妹から高速信号を受け取るのは比較的短い期間だけです。双子はそれぞれ合計時間の測定値が異なりますが、次の表、およびミンコフスキー図を単純に観察すると、双子は互いに送信された信号の総数については完全に一致していることがわかります。したがって、パラドックスは存在しません。 ^{[ 37 ]： 152-159}

ある物体の寸法（例えば長さ）をある観察者が測定した結果は、別の観察者が同じ物体を測定した結果よりも小さくなることがある（例えば、はしごのパラドックスでは、長いはしごが光速に近い速度で移動し、より小さなガレージの中に収まるという現象が起こる）。

同様に、測定棒が静止しており、非プライム系Sのx軸に沿って配置されているとします。この系では、この棒の長さは Δ xと表されます。棒が移動している系S ′でこの棒の長さを測定するには、その系S ′で棒の両端までの距離x ′を同時に測定する必要があります。言い換えれば、測定はΔ t ′ = 0で特徴付けられ、これを式4と組み合わせることで、長さ Δ xと Δ x ′の関係を求めることができます。 

${\displaystyle \Delta x'={\frac {\Delta x}{\gamma }}}$  満足のいくイベントのために ${\displaystyle \Delta t'=0\ .}$

これは、棒が動いている座標系（ S ′ ）で測定した棒の長さ（Δx ′ ）が、棒自身の静止座標系（S ）で測定した棒の長さ（Δx）よりも短いことを示している。

時間の遅れと長さの収縮は、単なる見かけ上の現象ではありません。時間の遅れは、特定の座標系で同じ場所で発生する事象（「共局在」事象と呼ばれる）間の時間間隔を測定する方法と密接に関係しています。これらの事象は、共局在であることに加えて同時発生でない限り、最初の座標系に対して移動する別の座標系では、時間間隔が異なります。同様に、長さの収縮は、選択した特定の座標系で、分離しているが同時に発生する事象間の距離の測定に関係しています。これらの事象が共局在ではなく、距離（空間）によって分離されている場合、別の移動する座標系から見た場合、それらは互いに同じ空間距離で発生することはありません。

標準配置の2つのフレームSとS ′を考える。S内の粒子は速度ベクトル⁠でx方向に移動する。${\displaystyle \mathbf {u} }$⁠ . その速度はどれくらいですか${\displaystyle \mathbf {u'} }$フレームS ′では？

私たちは書くことができます

式を代入すると${\displaystyle dx'}$そして${\displaystyle dt'}$式 5から式 8へ、続いて簡単な数学的操作と式 7からの逆代入により、速度のローレンツ変換が得られる。${\displaystyle u}$へ​${\displaystyle u'}$⁠ :

逆の関係は、プライム付き記号とプライムなし記号を入れ替えて置き換えることによって得られます。${\displaystyle v}$と共に​${\displaystyle -v}$⁠ .

のために${\displaystyle \mathbf {u} }$x軸に沿って整列していない場合は、次のように記述します。^{[ 13 ]： 47-49}

この場合の順変換と逆変換は以下のとおりです。

式 10と式 14は、結果として${\displaystyle \mathbf {u} }$2つの速度のうち${\displaystyle \mathbf {v} }$そして​${\displaystyle \mathbf {u'} }$⁠、そしてそれらは式を置き換える⁠${\displaystyle \mathbf {u=u'+v} }$これはガリレオ相対性理論において有効である。このように解釈すると、これらは一般的に相対論的速度加算（または合成）式と呼ばれ、 SとS ′の3つの軸が互いに整列している場合（必ずしも標準配置ではない）に有効である。 ^{[ 13 ]： 47-49}

以下の点に留意します。

• ある物体（例えば光子）が1つのフレームで光速で移動している場合（つまり、u = ± cまたはu ′ = ± cの場合）、他のどのフレームでも光速で移動しており、| v | < cで移動していることになります。
• 大きさが光速cより小さい2つの速度の合成速度は、常に大きさが光速cより小さい速度となる。
• | u |と| v |（そして| u ′ |と| v ′ |も）が光速に比べて小さい場合（例えば、 | u / c | ≪ 1）、特殊相対性理論の変換方程式から直感的なガリレオ変換が再現される。
• 光子にフレームを付ける（アインシュタインが考えたように光線に乗っている）には、変換の特別な扱いが必要となる。

標準構成におけるx方向には特別なことは何もありません。上記の形式はどの方向にも適用可能であり、3つの直交方向を用いることで、速度ベクトルをこれらの方向の成分に分解することにより、空間内のあらゆる方向を扱うことができます。詳細は速度加算式を参照してください。

図4-5. トーマス・ウィグナー回転

2 つの非共線ローレンツブースト（つまり、回転を伴わない 2 つの非共線ローレンツ変換）の合成は、純粋なブーストではなく、ブーストと回転の合成であるローレンツ変換をもたらします。

トーマス回転は同時性の相対性から生じる。図 4-5aでは、長さの棒が${\displaystyle L}$静止系において（すなわち、固有長が⁠${\displaystyle L}$)は、地上座標系においてy軸に沿って垂直に上昇します。

図 4-5bでは、同じ棒が高速で移動するロケットのフレームから観察されている。${\displaystyle v}$右方向。棒の左右両端に2つの時計があり、棒の座標系で同期していると想像すると、同時性の相対性により、ロケット座標系にいる観測者は、棒の右端にある時計が時間的に進んでいるように観測する（見るのではなく） 。${\displaystyle Lv/c^{2}}$⁠、そしてそれに伴い、棒は傾いていることが観察される。 ^{[ 10 ]： 98-99}

長さの収縮や時間の遅れといった二次相対論的効果とは異なり、この効果はかなり低い速度でも非常に顕著になります。例えば、これは運動する粒子のスピンに見られます。トーマス歳差運動は、素粒子のスピンや巨視的なジャイロスコープの回転に適用される相対論的補正であり、曲線軌道をたどる粒子のスピンの角速度と軌道運動の角速度を関連付けます。^{[ 10 ]： 169-174}

トーマス回転は、よく知られた「メートル定規と穴のパラドックス」を解決する。^{[ p 9 ] [ 10 ]： 98-99}

図 4-6において、事象A（「原因」）と事象B（「結果」）の間の時間間隔は「時間的」である。すなわち、事象AとBが空間内の同じ場所で発生し、異なる時刻にのみ分離されている参照系が存在する。その参照系においてAがBより先行する場合、ローレンツ変換によってアクセス可能なすべての参照系においてAがBより先行する。物質（または情報）は、Aの時刻にAの位置からBの位置まで（光速以下で）移動し、Bの時刻に到着することが可能である。したがって、因果関係（Aが原因、Bが結果）が存在する可能性がある。

図中の区間ACは「空間的」です。つまり、事象AとCが空間的にのみ分離した状態で同時に発生する参照系が存在します。また、AがCに先行する参照系（図示されているように）や、CがAに先行する参照系も存在します。しかし、ローレンツ変換によって到達可能な参照系、すなわち事象AとCが同じ場所で発生する参照系は存在しません。事象AとCの間に因果関係が存在する可能性があるとすれば、因果関係のパラドックスが生じることになります。

例えば、信号が光速よりも速く送信できるとすれば、信号は送信者の過去（図中の観測者B）に送られることになる。^{[ 48 ] [ p10 ]}すると、さまざまな因果のパラドックスが構築される可能性がある。

図4-7．架空の「瞬間通信装置」の使用による因果律違反

図4-7の時空図を考えてみましょう 。AとBは線路の脇に立っており、高速列車が通過します。Cは列車の最後尾車両に、Dは先頭車両に乗っています。AとBの世界線は垂直（ ct）で、地上にいるこれらの観測者の静止位置を示しています。一方、CとDの世界線は前方に傾いており（ct ′）、地上から見た場合、列車に静止している観測者CとDの高速運動を反映しています。

1. 図 4-7a。先頭車両が通過する際の「BがDにメッセージを伝える」という事象は、Dの座標系の原点に位置する。Dは架空の「瞬間通信装置」を用いて、列車に沿って最後尾車両のCにメッセージを送る。このメッセージの世界線は、太い赤い矢印で示されている。${\displaystyle -x'}$軸とは、CとDのプライム付きフレームにおける同時性の線である。プライムなしの地上フレームでは、信号は送信された時刻よりも早く到着する。
2. 図 4-7b。線路脇に立っているAに「Cがメッセージを渡す」というイベントが、それぞれの座標系の原点である。Aは「瞬間通信装置」を介して、線路に沿ってBにメッセージを送る。このメッセージの世界線は、青い太い矢印で示されている。${\displaystyle +x}$軸は、AとBのフレームの同時性の線である。時空図からわかるように、CとDのプライミングされたフレームでは、Bはメッセージが送信される前にそれを受け取ることになり、因果律に違反する。^{[ 49 ]}

因果律に違反するために信号が瞬時である必要はない。DからCへの信号がわずかに浅かったとしても、${\displaystyle x'}$軸（そしてAからBへの信号は、${\displaystyle x}$軸）であっても、B がメッセージを送信する前に受信することはまだ可能だった。列車の速度を光速に近い速度まで上げると、${\displaystyle ct'}$そして${\displaystyle x'}$軸は光速を表す破線に非常に近いところまで圧縮できます。この修正された設定により、光速よりわずかに速い信号でも因果律違反が生じることが実証できます。 ^{[ 50 ]}

したがって、因果律を維持するためには 、特殊相対性理論の帰結の一つとして、いかなる情報信号や物質も真空中では光速よりも速く移動することはできないという結論に至る。

物質とエネルギーだけが光速によって制限されます。いくつかの仮想点が光速よりも速く移動するような、さまざまな些細な状況が説明できます。^{[ 51 ]}例えば、サーチライトのビームが雲の底に当たる場所は、サーチライトが急速に回転すると光速よりも速く移動することができます。光線は固体ではなく、サーチライトの動きに瞬時に追従するわけではないため、因果律やその他の相対論的現象に違反しません。^{[ 52 ] [ 53 ]}

1850年、イポリット・フィゾーとレオン・フーコーは、光が空気中よりも水中の方が遅く伝わることを独立して証明し、フレネルの光の波動説の予測を検証し、ニュートンの粒子説の対応する予測を否定した。^{[ 54 ]}光速は静止した水中で測定された。流れる水中では光速はどのくらいになるだろうか？

1851年、フィゾーはこの疑問に答えるために実験を行った。その簡略化された図が図 5-1に示されている。光線はビームスプリッターによって分割され、分割された光線は流れる水の入った管の中を反対方向に通過する。そして、それらが再び合流して干渉縞を形成し、光路長の差を示す。この干渉縞は観察者が見ることができる。この実験では、流れる水によって光が引きずられることで干渉縞がずれることが実証され、水の動きが光の速度に影響を与えていることが示された。

当時の理論によれば、移動する媒質中を伝わる光の速度は、媒質中の光の速度と媒質の速度の単純な和になると考えられていた。しかし、予想に反して、フィゾーは、光は水に引きずられているように見えるものの、その引きずりの大きさは予想よりもはるかに小さいことを発見した。${\displaystyle u'=c/n}$は静止水中での光速であり、${\displaystyle v}$は水の速度であり、${\displaystyle u_{\pm }}$水の流れが光速に加算または減算される場合、実験室系における水中での光速は、 $${\displaystyle u_{\pm }={\frac {c}{n}}\pm v\left(1-{\frac {1}{n^{2}}}\right)\ .}$$

フィゾーの結果は、フレネルの以前の部分エーテル引きずりの仮説と一致していたものの、当時の物理学者にとっては非常に困惑させるものであった。とりわけ、屈折率項の存在は、${\displaystyle n}$波長によって異なるため、エーテルは同時に異なる運動を維持できなければならない。^{[注1 ]}フレネルの抗力係数を説明するためにさまざまな理論的説明が提案されたが、それらは互いに完全に矛盾していた。マイケルソン・モーリーの実験以前にも、フィゾーの実験結果は、運動する物体の光学を説明する上で重要な状況を生み出した多くの観測結果の一つであった。^{[ 55 ]}

特殊相対性理論の観点からすると、フィゾーの結果は、速度の合成に関する相対論的公式である式 10の近似にすぎない。^{[ 34 ]}

${\displaystyle u_{\pm }={\frac {u'\pm v}{1\pm u'v/c^{2}}}=}$${\displaystyle {\frac {c/n\pm v}{1\pm v/cn}}\approx }$${\displaystyle c\left({\frac {1}{n}}\pm {\frac {v}{c}}\right)\left(1\mp {\frac {v}{cn}}\right)\approx }$${\displaystyle {\frac {c}{n}}\pm v\left(1-{\frac {1}{n^{2}}}\right)}$

光の速度が有限であるため、光源と受光器の相対運動に横方向成分が含まれる場合、受光器に光が到達する方向は、受光器に対する光源の空間における幾何学的位置からずれる。このずれの古典的な計算は 2 つの形式をとり、受光器、光源、またはその両方が媒質に対して運動しているかどうかに応じて異なる予測を行う。(1) 受光器が運動している場合、ずれは光の収差の結果となる。受光器に対するビームの入射角は、受光器の運動と入射光の速度のベクトル和から計算できる。^{[ 56 ]} (2) 光源が運動している場合、ずれは光時間補正の結果となる。光源の見かけ上の位置が幾何学的位置からずれるのは、光源からの光が受光器に到達するまでの時間における光源の運動の結果である。^{[ 57 ]}

古典的な説明は実験テストで失敗しました。収差角は受光器の速度と入射光の速度の関係に依存するため、入射光が屈折媒質を通過すると収差角が変化するはずです。1810年、アラゴはこの予想される現象を利用して光速を測定しようとしましたが失敗しました^{[ 58 ]。} 1870年、ジョージ・エアリーは水で満たされた望遠鏡を使用してこの仮説を検証し、予想に反して、測定された収差が空気で満たされた望遠鏡で測定された収差と同一であることを発見しました^{[ 59 ]} 。これらの結果を説明するための「面倒な」試みとして、部分エーテル抵抗の仮説が使用されました^{[ 60 ]}が、完全なエーテル抵抗を必要とするマイケルソン・モーリー実験の結果とは矛盾していました^{[ 61 ] 。}

慣性系を仮定すると、光の収差に関する相対論的表現は、受光器が移動する場合と光源が移動する場合の両方に適用できます。さまざまな三角関数的に等価な公式が発表されています。図 5-2 の変数で表すと、これらには^{[ 34 ] : 57–60 が含まれます。}

${\displaystyle \cos \theta '={\frac {\cos \theta +v/c}{1+(v/c)\cos \theta }}}$  または  ${\displaystyle \sin \theta '={\frac {\sin \theta }{\gamma [1+(v/c)\cos \theta ]}}}$  または  ${\displaystyle \tan {\frac {\theta '}{2}}=\left({\frac {c-v}{c+v}}\right)^{1/2}\tan {\frac {\theta }{2}}}$

時間の遅れや長さの収縮は錯覚ではなく、実際に存在する現象です。これらの現象の測定結果は、ドップラー効果によるアーティファクトでもなければ、光が事象から観測者まで伝わる時間を考慮しなかったことによる結果でもありません。

科学者は、測定や観察と、視覚的な外観、つまり人が見るものとを根本的に区別する。測定された物体の形状は、ある瞬間に存在する物体のすべての点の仮想的なスナップショットである。しかし、物体の視覚的な外観は、光が物体のさまざまな点から人の目に届くまでの時間の違いによって影響を受ける。

長年にわたり、この2つの区別は一般的に認識されておらず、長さが縮んだ物体が観察者のそばを通過すると、長さが縮んだように観察されると考えられていました。1959年、ジェームズ・テレルとロジャー・ペンローズは、それぞれ独立して、移動物体の異なる部分から観察者に届く信号の時間遅延効果の差によって、高速で移動する物体の視覚的な外観が測定された形状と大きく異なることを指摘しました。たとえば、遠ざかる物体は縮んで見え、近づく物体は伸びて見え、通過する物体は回転に似た歪んだ外観になります。^{[ p 13 ] [ p 14 ] [ 65 ] [ 66 ]}動いている球体は、速度、距離、視角に関係なく円形の輪郭を保持しますが、球体の表面とそこに映る像は歪んで見えます。^{[ 67 ] [ 68 ]}

図 5-4 と図 5-5 はどちらも、視線に対して横方向に移動する物体を示しています。図 5-4 では、立方体を辺の長さの 4 倍の距離から見ています。高速では、移動方向に対して垂直な立方体の辺は双曲線状に見えます。立方体は回転していません。むしろ、立方体の背面からの光が目に届くのに、前面からの光よりも時間がかかり、その間に立方体は右に移動しています。高速では、図 5-5 の球体は、視線から最大 45° 傾いた平らな円盤のように見えます。物体の動きが厳密には横方向ではなく、縦方向の成分を含む場合、遠近法の歪みが誇張されて見えることがあります。^{[ 69 ]}この錯視は、テレル回転またはテレル・ペンローズ効果として知られるようになりました。

視覚的な外観が測定結果と矛盾するもう 1 つの例は、さまざまな電波銀河、BL Lac 天体、クエーサー、および観測者に対して狭い角度で相対論的速度の物質ジェットを噴出するその他の天体における見かけ上の超光速運動の観測から得られます。その結果、見かけ上の光学的錯覚が生じ、光速を超える移動のように見えます。 ^{[ 70 ] [ 71 ] [ 72 ]}図5-6 では、銀河M87 が亜原子粒子の高速ジェットをほぼ直接私たちに向かって噴出していますが、ペンローズ・テレル回転により、図5-4 の立方体の外観が引き伸ばされたのと同じように、ジェットが横方向に移動しているように見えます。 ^{[ 73 ]}  

質量とエネルギーの等価性は、特殊相対性理論の結果です。ニュートン力学では別個のエネルギーと運動量は、相対性理論では4元ベクトルを形成し、これにより時間成分（エネルギー）と空間成分（運動量）が非自明な方法で関連付けられます。静止している物体の場合、エネルギーと運動量の4元ベクトルは( E / c , 0, 0, 0)です。これは、エネルギーである時間成分と、ゼロである3つの空間成分を持ちます。速度vの値が小さいx方向のローレンツ変換によって座標系を変更すると、エネルギーと運動量の4元ベクトルは( E / c , Ev / c ² , 0, 0)になります。運動量は、エネルギーに速度を掛け、それをc ^{2で割った値に等しくなります。したがって、低速の場合の運動量と速度の比である物体のニュートン質量は、} E / c ²に等しくなります。

エネルギーと運動量は物質と放射の性質であり、特殊相対性理論の 2 つの基本仮説だけでは、それらが 4 ベクトルを形成すると推論することは不可能です。なぜなら、これらの仮説は物質や放射について述べておらず、空間と時間についてのみ述べているからです。したがって、導出には追加の物理的推論が必要です。1905 年の論文で、アインシュタインは、低速ではニュートン力学が成り立つべき追加の原理を使用しました。つまり、低速では 1 つのエネルギー スカラーと 1 つの 3 ベクトル運動量が存在し、エネルギーと運動量の保存則は相対性理論で完全に真であるということです。さらに、彼は光のエネルギーがその周波数と同じドップラーシフト係数で変換されると仮定しました。これは、彼が以前にマクスウェル方程式に基づいて真であることを示したものです。^{[ p 1 ]}この主題に関するアインシュタインの最初の論文は「物体の慣性はエネルギー含有量に依存するか？」でした。 1905年に。^{[ p 15 ]}この論文におけるアインシュタインの議論は物理学者の間でほぼ普遍的に正しい、自明であると受け入れられているが、長年にわたって多くの著者がそれが間違っていると示唆してきた。^{[ 74 ]}また、他の著者は、その議論はいくつかの暗黙の仮定に依存していたため、単に結論が出なかっただけだと示唆している。^{[ 75 ]}

アインシュタインは、1907年の特殊相対性理論に関する概説論文の中で、自身の導出に関する論争を認めている。そこで彼は、質量とエネルギーのヒューリスティックな議論にマクスウェル方程式に頼ることは問題があると指摘している。1905年の論文での議論は、質量のない粒子の放出であれば何でも実行できるが、マクスウェル方程式は、特に光の放出は仕事をすることによってのみ達成できることを明らかにするために暗黙のうちに使用されている。電磁波を放出するには、荷電粒子を揺らすだけでよく、これは明らかに仕事をしていることになり、放出されるのはエネルギーである。^{[ p 16 ]}

1905年の「奇跡の年」論文の4番目の論文で、アインシュタインは質量とエネルギーの等価性に関する発見的議論を提示した。 ^{[ p 15 ]}上で述べたように、その後の研究により、彼の議論は広く決定的な証明には至らなかったことが明らかになったが、この論文で彼が到達した結論は時の試練に耐えてきた。

アインシュタインは、出発点として、彼が最近発見した相対論的ドップラーシフトの公式、エネルギー保存則と運動量保存則、そしてマクスウェル方程式によって示される光の周波数とそのエネルギーの関係を前提とした。

図6-1。アインシュタインによる1905年のE = mc²の導出^。

図6-1（上）。周波数を持つ平面波の光のシステムを考える。${\displaystyle f}$移動方向${\displaystyle \phi }$基準座標系Sのx軸に対する相対値。x軸に沿って速度で移動する座標系S ′で測定された波の周波数（したがってエネルギー）${\displaystyle v}$これは、アインシュタインが1905年の特殊相対性理論に関する論文で開発した相対論的ドップラーシフトの公式によって与えられます。^{[ p 1 ]}

${\displaystyle {\frac {f'}{f}}={\frac {1-(v/c)\cos {\phi }}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}$

図6-1（下）。基準系Sにおいて静止している任意の物体を考える。この物体が、角度θで反対方向に等しいエネルギーの光パルスを2つ放出するとする。${\displaystyle \phi }$x軸に関して。各パルスはエネルギーを持つ。${\displaystyle L/2}$運動量保存の法則により、2つのパルスの放出後も物体はS内で静止したままである。${\displaystyle E_{0}}$2 つのパルスを放出する前の物体のエネルギーであり、${\displaystyle E_{1}}$それらが放出された後。

次に、 x軸に沿って速度で移動するフレームS ′から観測される同じシステムを考えます。${\displaystyle v}$フレームSに対して。このフレームでは、前方パルスと後方パルスからの光は相対論的ドップラーシフトを受ける。${\displaystyle H_{0}}$は、2つのパルスの放出前に基準系S ′で測定された物体のエネルギーであり、${\displaystyle H_{1}}$放出後。以下の関係が得られます。^{[ p 15 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{0}&=E_{1}+{\tfrac {1}{2}}L+{\tfrac {1}{2}}L=E_{1}+L\\[5mu]H_{0}&=H_{1}+{\tfrac {1}{2}}L{\frac {1-(v/c)\cos {\phi }}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}+{\tfrac {1}{2}}L{\frac {1+(v/c)\cos {\phi }}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}=H_{1}+{\frac {L}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}\end{aligned}}}$

上記の式から、以下の式が得られます。

2つの形式の違い${\displaystyle H-E}$上記の式に見られるものは、直接的な物理的解釈が可能である。${\displaystyle H}$そして${\displaystyle E}$は、運動座標系と静止座標系における任意の物体のエネルギーである。${\displaystyle H_{0}-E_{0}}$そして${\displaystyle H_{1}-E_{1}}$は、光の放出前後の物体の運動エネルギーを表します（エネルギーのゼロ点を固定する加算定数を除き、慣習的にゼロに設定されます）。したがって、

テイラー級数展開を行い、高次の項を無視すると、彼は次の結果を得た。

上記の式を運動エネルギーの古典的な式KE = 1/2 mv² と比較し^{、アインシュタインは次の}ように述べた。「物体が放射の形でエネルギーLを放出すると、その質量はL / c²だけ減少^する。」 

リンドラーは、アインシュタインのヒューリスティックな議論は単にエネルギーが質量に寄与することを示唆しているに過ぎないと指摘している。1905年、アインシュタインは質量とエネルギーの関係を慎重に表現し、物体のすべてのエネルギーが取り除かれた後に残る「休眠状態」の質量が存在する可能性を認めた。しかし、1907年までに、アインシュタインはすべての慣性質量がエネルギーの蓄えを表していると断言する準備ができていた。「すべての質量をエネルギーと同一視するには、アインシュタインに非常に特徴的な美的信念が必要だった。」^{[ 13 ]： 81-84}アインシュタインの大胆な仮説は、彼の最初の提案以降の年月で十分に確認されている。

さまざまな理由から、アインシュタインの元の導出は現在ではほとんど教えられていない。彼の元の導出の形式的な正しさについて今日まで活発な議論が続いていることに加えて、特殊相対性理論がアインシュタインが「原理理論」と呼んだものであると認識されたことで、電磁現象への依存から純粋に力学的な証明方法への移行が進んだ。^{[ 76 ]}

光速を超えるものは存在しないため、人間は地球から約 100光年以上離れた場所へは決して行けないと考えるかもしれません。旅行者は、地球から100光年以内に存在する数少ない太陽系以外には到達できないと考えるのが自然でしょう。しかし、時間の遅れにより、架空の宇宙船は乗客の生涯の間に数千光年を移動することができます。もし、一定の1gの加速度で加速する宇宙船が建造できたとすれば、 1年後には地球から見た光速に近い速度で移動していることになります。これは次のように説明されます。 $${\displaystyle v(t)={\frac {at}{\sqrt {1+a^{2}t^{2}/c^{2}}}},}$$ ここで、v ( t )は時刻tにおける速度、aは宇宙船の加速度、tは地球上の人々が測定した座標時間です。^{[ p 17 ]} したがって、9.81 m/s²^で1年間加速した後、宇宙船は地球に対してv = 0.712 c、 3年後には0.946 cで移動します。この加速を3年間続けると、宇宙船は地球に対して光速の94.6%の速度に達し、時間の遅れにより、宇宙船で経験する1秒は地球では3.1秒に相当します。地球上の人々は、宇宙船の時計（すべての物理現象）が宇宙船の時計よりも3.1倍速く進むため、宇宙船よりも多くの時間を経験することになります。旅行者の5年間の往復旅行は、地球では6.5年かかり、6光年以上の距離を移動します。 20年間の往復旅行（加速5年、減速5年をそれぞれ2回ずつ）で、地球に戻ってくる頃には、地球時間で335年、距離で331光年を移動していることになる。^{[ 77 ]} 1gで40年間の旅行をすると、地球上では58,000年かかり、距離で55,000光年を移動することになる。1.1gで40年間の旅行をすると、148 ,000年と約14万光年。1gの加速度で片道28年（宇宙飛行士の時計で計測すると、加速14年、減速14年）の旅をすると、アンドロメダ銀河まで200万光年到達できる。^{[ 77 ]}この同じ時間の遅れが、光速cに近い速度で移動するミューオンが、静止状態にあるときの半減期c倍よりもはるかに遠くまで移動すると観測される理由である。^{[ 78 ]}

世界中の粒子加速器によって生成される衝突生成物の調査は、科学者に素粒子世界の構造とそれを支配する自然法則の証拠を提供する。衝突生成物の質量の合計が入射粒子の質量をはるかに超える場合があるため、その分析には特殊相対性理論が必要となる。^{[ 79 ]}

ニュートン力学では、衝突の解析には質量、運動量、エネルギーの保存則が用いられます。相対論的力学では、質量は全相対論的エネルギーに包含されているため、独立して保存されません。ニュートン力学と相対論的力学における粒子衝突の扱いの違いを、質量が等しい2つの完全弾性衝突という単純なケースを考察することで示します。（非弾性衝突については、時空#保存則で説明します。放射性崩壊は、一種の時間反転非弾性衝突と考えることができます。^{[ 79 ]}）

荷電素粒子の弾性散乱は、制動放射の発生により理想から逸脱する。^{[ 80 ] [ 81 ]}

ニュートン解析

図 6-2 は、ビリヤードのプレイヤーにはおなじみの結果を示しています。静止しているボールが同じ質量の別のボールによって弾性衝突された場合 (サイドスピン、つまり「イングリッシュ」がないと仮定)、衝突後、2 つのボールの分岐する経路は直角をなします。 (a) 静止座標系では、2 vで移動する入射球が静止している球に衝突します。 (b) 運動量中心座標系では、2 つの球は ± vで対称的に接近します。弾性衝突後、2 つの球は互いに等しく反対の速度 ± uで跳ね返ります。エネルギー保存則により、| u | = | v |となります。 (c) 静止座標系に戻ると、跳ね返り速度はv ± uです。ドット積( v + u ) ⋅ ( v − u ) = v ² − u ² = 0となり、ベクトルが直交していることがわかります。^{[ 13 ]： 26-27}

相対論的解析

図6-3に示す、運動する粒子が質量が等しい静止粒子と衝突する弾性衝突のシナリオを考えてみましょう 。ニュートン力学の場合とは異なり、衝突後の2つの粒子間の角度は90°未満であり、散乱角に依存し、入射粒子の速度が光速に近づくにつれてどんどん小さくなります。

粒子の相対論的運動量と全相対論的エネルギーは次のように与えられる。

運動量保存の法則によれば、入射粒子と静止粒子（初期運動量は0）の運動量の合計は、放出される粒子の運動量の合計に等しい。

^{同様に、入射粒子と静止粒子（初期状態では全エネルギーmc²}を持つ）の全相対論的エネルギーの合計は、放出される粒子の全エネルギーの合計に等しい。

（ 6-5）を構成要素に分解し、置き換える${\displaystyle v}$無次元の⁠${\displaystyle \beta }$⁠ 、( 6-5 )と( 6-6 )から共通項を因数分解すると次のようになります。 ^{[ p 18 ]}

これらから、次の関係が得られます。^{[ p 18 ]}

対称的なケースでは${\displaystyle \phi =\theta }$そして​${\displaystyle \beta _{2}=\beta _{3}}$⁠、（ 6-12）はより単純な形をとる： ^{[ p 18 ]}

4次元ベクトル、より一般的にはテンソルは、特殊相対性理論の数学的理解と概念的理解を簡素化します。このような対象のみを扱うことで、明らかに相対論的に不変な公式が得られ、これは非自明な状況において大きな利点となります。例えば、通常の形式でのマクスウェル方程式の相対論的不変性を証明することは自明ではありませんが、場強度テンソル形式を用いると、単なるルーチン計算、実際には観察に過ぎません。^{[ 89 ]}

4次元ベクトルの例

• 変位4ベクトル：時空分離とも呼ばれ、これは（Δt、Δx、Δy、Δz）または微小分離の場合は（dt、dx、dy、dz）です。

  ${\displaystyle dS\equiv (dt,dx,dy,dz)}$

• 速度4ベクトル：これは、変位4ベクトルをで割った結果です。${\displaystyle d\tau }$、 どこ${\displaystyle d\tau }$は、 dt、dx、dy、dzを生成する 2 つのイベント間の適切な時間です。

  ${\displaystyle V\equiv {\frac {dS}{d\tau }}={\frac {(dt,dx,dy,dz)}{dt/\gamma }}=}$${\displaystyle \gamma \left(1,{\frac {dx}{dt}},{\frac {dy}{dt}},{\frac {dz}{dt}}\right)=}$${\displaystyle (\gamma ,\gamma {\vec {v}})}$

図7-3a。静止した座標系から見た、加速する粒子の瞬間的に共動する基準座標系。

図7-3b。加速する観測者（中央）の軌跡に沿った、瞬間的に共動する基準座標系。

4元速度は粒子の世界線に接しており、その長さは粒子の座標系における1単位時間に等しい。

加速粒子は、常に静止している慣性系を持たない。しかし、粒子と瞬間的に共動する慣性系は常に存在する。この慣性系、すなわち瞬間共動基準系（MCRF）を用いることで、特殊相対性理論を加速粒子の解析に適用することが可能となる。

光子はヌル線上を移動するので、${\displaystyle d\tau =0}$光子の場合、4元速度を定義することはできません。光子が静止している座標系は存在せず、光子の経路に沿ってMCRFを確立することはできません。

• エネルギー・運動量4ベクトル：

  ${\displaystyle P\equiv (E/c,{\vec {p}})=(E/c,p_{x},p_{y},p_{z})}$

前述のように、エネルギー・運動量4ベクトルにはさまざまな扱い方があり、次のように表現されることもあります。${\displaystyle (E,{\vec {p}})}$または⁠${\displaystyle (E,{\vec {p}}c)}$最初の成分は、特定の座標系における粒子（または粒子系）の全エネルギー（質量を含む）であり、残りの成分はその空間運動量である。エネルギー・運動量4次元ベクトルは保存量である。

• 加速度4ベクトル：これは速度4ベクトルを に関して微分することによって得られます。${\displaystyle \tau }$⁠ .

  ${\displaystyle A\equiv {\frac {dV}{d\tau }}=}$${\displaystyle {\frac {d}{d\tau }}(\gamma ,\gamma {\vec {v}})=}$${\displaystyle \gamma \left({\frac {d\gamma }{dt}},{\frac {d(\gamma {\vec {v}})}{dt}}\right)}$

• 力4ベクトル：これは運動量4ベクトルの微分です。${\displaystyle \tau .}$

  ${\displaystyle F\equiv {\frac {dP}{d\tau }}=}$${\displaystyle \gamma \left({\frac {dE}{dt}},{\frac {d{\vec {p}}}{dt}}\right)=}$${\displaystyle \gamma \left({\frac {dE}{dt}},{\vec {f}}\right)}$

予想通り、上記の4ベクトルの最終成分はすべて、空間3運動量、3力などに対応する標準的な3ベクトルである^{[ 90 ]： 36-59}