性格理論

数学、特に群論において、群表現の指標とは、群の各要素に対応する行列のトレースを対応付ける群上の関数である。指標は、表現に関する本質的な情報をより簡潔な形で伝える。ゲオルク・フロベニウスは当初、表現自体の明示的な行列表現を用いることなく、指標のみに基づいて有限群の表現論を発展させた。これは、有限群の複素表現が（同型を除いて）その指標によって決定されるため可能である。正標数の体上の表現、いわゆる「モジュラー表現」の場合は状況がより複雑であるが、リチャード・ブラウアーはこの場合にも強力な指標理論を発展させた。有限群の構造に関する多くの深遠な定理は、モジュラー表現の指標を用いている。

アプリケーション

既約表現の指標は群の多くの重要な性質を符号化しており、それを利用して群の構造を研究することができる。指標理論は有限単純群の分類において不可欠なツールである。フェイト・トンプソン定理の証明のほぼ半分は、指標値を用いた複雑な計算を伴う。指標理論を用いた、より容易ではあるが依然として重要な結果には、バーンサイドの定理（バーンサイドの定理の純粋に群論的な証明はその後発見されたが、その証明はバーンサイドの元の証明から半世紀以上後に発表された）や、有限単純群はシロー $2$ 部分群として一般化四元数群を持つことはできないというリチャード・ブラウアーと鈴木道雄の定理などがある。

定義

$V を$ 体F上の有限次元ベクトル空間とし、 $ρ$ $:$ $G$ $\to GL($ $V$ $)を$ $V$ 上の群 $G$ の表現とする。ρの指標は $、$ 次式で与えられる関数 $χ$ $ρ$ $:$ $G$ $\to$ $F$ $である。$

\chi _{\rho }(g)=\operatorname {Tr} (\rho (g))

ここで $Tr$ はトレースです。

指標 $χ ρ$ $は、 ρが$ 既約表現である場合、既約または単純と呼ばれます。指標 $χの$ 次数は $ρ$ の次元です。標数がゼロの場合、これは $χ$ $(1) の$ 値に等しくなります。次数が 1 の指標は線形と呼ばれます。G $が$ 有限群で $F の$ 標数がゼロの場合、指標 $χ$ $ρ$ の核は正規部分群です。

\ker \chi _{\rho }:=\left\lbrace g\in G\mid \chi _{\rho }(g)=\chi _{\rho }(1)\right\rbrace ,

これはまさに表現 $ρ$ の核である。しかし、一般にこの指標は群準同型ではない。

不動産

指標はクラス関数であり、すなわち、それぞれが与えられた共役類上で定数値をとる。より正確には、与えられた群 $G$ から体 $F$ への既約指標の集合は、すべてのクラス関数 $G$ $\to$ $F$ $からなるF$ ベクトル空間の基底を形成する。
同型表現は同じ指標を持つ。標数 $0$ の体上では、2つの表現が同じ指標を持つ場合に限り同型である。 ^{[ 1 ]}
ある表現が部分表現の直接和である場合、対応する文字はそれらの部分表現の文字の和となる。
$有限群G$ の指標を部分群 $H$ に制限すると、その結果も $H$ の指標となる。
すべての文字値 $χ (g)は、$ $n 個の$ $m$ 乗根の和であり、ここで $nは文字$ $χ$ を持つ表現の次数 (つまり、関連するベクトル空間の次元) であり、 $mは$ $g$ の位数です。特に、 $F$ $=$ $C$ の場合、そのような文字値はすべて代数的整数です。
$F = C$ かつ $χ$ が既約である場合、 $[G:C_{G}(x)]{\frac {\chi (x)}{\chi (1)}}$ $は、 G$ のすべての $x$ に対して代数的整数である。
$F$ が代数的に閉じており、 $char (F)が$ $G$ の位数を割り切らない場合、 $G$ の既約指標の数は $G$ の共役類の数に等しくなります。さらに、この場合、既約指標の次数は $Gの位数の約数です ($ $F$ $=$ $C$ の場合は $[$ $G$ $:$ $Z$ $($ $G$ $)]$ も割り切ります)。

算術的性質

$ρとσをG$ の表現とする。このとき、以下の恒等式が成り立つ。

$\chi _{\rho \oplus \sigma }=\chi _{\rho }+\chi _{\sigma }$
$\displaystyle \chi _{\rho \otimes \sigma }=\chi _{\rho }\cdot \chi _{\sigma }}$
$\chi _{\rho ^{*}}={\overline {\chi _{\rho }}}$
$\displaystyle \chi _{{\scriptscriptstyle {\rm {{Alt}^{2}}}}\rho }(g)={\tfrac {1}{2}}\!\left[\left(\chi _{\rho }(g)\right)^{2}-\chi _{\rho }(g^{2})\right]}$
$\displaystyle \chi _{{\scriptscriptstyle {\rm {{Sym}^{2}}}}\rho }(g)={\tfrac {1}{2}}\!\left[\left(\chi _{\rho }(g)\right)^{2}+\chi _{\rho }(g^{2})\right]}$

ここで、 $ρ \oplus σ$ は直和、 $ρ \otimes σ$ はテンソル積、 $ρ * は$ $ρ$ の共役転置を表し、 $Alt$ $2$ は交代積 $Alt$ $2$ $ρ$ $=$ $ρ$ $\land$ $ρ$ であり、 $Sym$ $2$ は対称正方形であり、これは次のように決定されます。 $\rho \otimes \rho =\left(\rho \wedge \rho \right)\oplus {\textrm {Sym}}^{2}\rho .$

キャラクターテーブル

有限群の既約複素指標は、群 $G$ に関する多くの有用な情報をコンパクトな形で符号化する指標表を形成します。各行は既約表現によってラベル付けされ、行のエントリは $G$ のそれぞれの共役類上の表現の指標です。列は $Gの共役類（の代表）によってラベル付けされます。最初の行は、$ 自明な表現の指標、すなわち 1 次元ベクトル空間に対する $G$ の自明な作用によってラベル付けされるのが一般的です。 $\rho (g)=1$ すべての人々のために $g\in G$ したがって、最初の行の各項目は1です。同様に、最初の列には恒等式をラベルとして付けるのが一般的です。したがって、最初の列には各既約指標の次数が含まれます。

ここに文字表があります

C_{3}=\langle u\mid u^{3}=1\rangle ,

3つの要素と生成元uを持つ巡回群：

ここで $ωは1の$ 原始的な3乗根である。

指標表は常に正方形である。なぜなら、既約表現の数は共役類の数に等しいからである。^{[ 2 ]}

直交関係

有限群 $G$ の複素数値クラス関数の空間には、自然な内積が存在する。

{\displaystyle \langle \alpha ,\beta \rangle

ここで、 $β (g)は$ $β$ $($ $g$ $)$ の複素共役である。この内積に関して、既約指標はクラス関数の空間の正規直交基底を形成し、これにより指標表の行に対する直交関係が得られる。

\langle \chi _{i},\chi _{j}\rangle ={\begin{cases}0&{\mbox{ if }}i\neq j,\\1&{\mbox{ if }}i=j.\end{cases}}

$G$ の $g と h$ に対して、同じ内積を文字表の列に適用すると、次のようになります。

\sum _{\chi _{i}}\chi _{i}(g){\overline {\chi _{i}(h)}}={\begin{cases}{\mathopen {\vert }}C_{G}(g){\mathclose {\vert }},&{\mbox{ g,h{\mbox{ が共役の場合 }}\\0&{\mbox{ それ以外の場合 }}\end{cases}}

ここで、和は $G$ のすべての既約指標 $χ i$ について取られ、記号 $|$ $C$ $G$ $($ $g$ $)$ $|$ $はg$ の中心化群の位数を表します。g と h が共役であるのは、それらが指標表の同じ列にある場合のみであることに注意すると $、$ $指標$ 表の列は直交していることになります。

直交関係は、以下のような多くの計算に役立ちます。

未知の文字を、既約文字の線形結合として分解する。
既約文字の一部のみが分かっている場合に、完全な文字表を作成する。
群の共役類の代表元の中心化要素の位数を求める。
グループの次数を求める。

文字テーブルプロパティ

群 $G$ の指標表からは、そのいくつかの性質を推測することができる。

$G$ の位数は、第1列の要素（既約指標の次数）の二乗の合計によって与えられる。より一般的には、任意の列の要素の絶対値の二乗の合計が、対応する共役類の要素の中心化群の位数を与える。
$G$ のすべての正規部分群(したがって $G が$ 単純群であるかどうか) は、その指標表から識別できます。指標 $χの$ 核は、 $χ$ $($ $g$ $) =$ $χ$ $(1)$ となる $G$ の要素 $g$ の集合です。これは $G$ の正規部分群です。G の各正規部分群は $、$ $G$ のいくつかの既約指標の核の共通部分です。
$G$ の交換子部分群は、 $G$ の線形指標の核の共通部分である。
$G$ が有限である場合、指標表は正方行列であり、共役類と同じ行数を持つので、 $Gが$ アーベルであることと、各共役類が単一集合であることと、 $G$ の指標表が $|G|\!\times \!|G|$ 各既約指標が線形である場合に限る。
リチャード・ブラウアーのモジュラー表現論におけるいくつかの結果を用いると、有限群の各共役類の要素の位数の素因数は、その指標表から導き出すことができる（グラハム・ヒグマンの指摘）。

指標表は一般に同型を除いて群を決定するものではありません。例えば、四元数群 $Q$ と $8$ 要素の二面体群 $D$ $4$ は同じ指標表を持ちます。ブラウアーは、指標表と共役類の要素のべき乗の分布に関する知識があれば、同型を除いて有限群を決定できるかどうかを問いました。1964 年、EC デイドはこの問いに否定的に答えました。

$G$ の線形表現は、テンソル積の下で群を形成します。なぜなら、1 次元ベクトル空間のテンソル積は再び 1 次元だからです。つまり、 $\displaystyle \rho _{1}:G\to V_{1}}$ そして $\displaystyle \rho _{2}:G\to V_{2}}$ 線形表現である場合、 $\rho _{1}\otimes \rho _{2}(g)=(\rho _{1}(g)\otimes \rho _{2}(g))$ これは新しい線形表現を定義します。これにより、操作の下での文字グループと呼ばれる線形文字のグループが生成されます。 $[\chi _{1}*\chi _{2}](g)=\chi _{1}(g)\chi _{2}(g)$ このグループはディリクレ指標とフーリエ解析に関連しています。

誘導形質とフロベニウスの相互性

この節で議論する指標は複素数値であると仮定する。有限群 $Gの部分群を$ $H$ とする。Gの指標 $χ$ が与えられたとき、 $χ$ $H を$ $H$ への制限とする。θ $を$ $H$ の指標とする。フェルディナント・ゲオルク・フロベニウスは $、$ 現在フロベニウスの相互法則 $として知られるものを用いて、 θ$ から $G$ の指標を構成する方法を示した。G の既約指標は $G$ の複素数値クラス関数の空間の正規直交基底を形成するため、次 $の$ 性質を持つ $G$ のクラス関数 $θ$ $G$ が一意に存在する。

\langle \theta ^{G},\chi \rangle _{G}=\langle \theta ,\chi _{H}\rangle _{H}

$G$ の各既約指標 $χ$ に対して(左端の内積は $G$ のクラス関数用、右端の内積は $H$ のクラス関数用)。G の指標を部分群 $Hに制限すると$ $、再び$ $H$ の指標となるため、この定義から $θ$ $G は$ $G$ の既約指標の非負整数の組み合わせであることが明らかになり、確かに $G$ の指標となります。これは $θ$ から誘導される $G$ の指標として知られています。フロベニウスの相互性の定義式は、一般的な複素数値クラス関数に拡張できます。

$H$ の行列表現 $ρが与えられたとき、フロベニウスは後に$ $G$ の行列表現を構成する明示的な方法を与えました。これは $ρ$ から誘導される表現として知られ、 $ρ$ $G$ と類似して記述されます。これにより、誘導指標 $θ$ $G$ の別の記述が得られました。この誘導指標は、 $H$ のどの要素とも共役でない $Gのすべての要素でゼロになります。誘導指標は$ $G$ のクラス関数であるため、 $H$ の要素におけるその値を記述するだけで済みます。G $を$ $H$ の右剰余類の非交和として記述すると、

G=Ht_{1}\cup \ldots \cup Ht_{n},

$すると、 H$ の要素 $h$ が与えられた場合、次のようになります。

{\displaystyle \theta ^{G}(h)=\sum _{i\

$θは$ $H$ のクラス関数であるため、この値は剰余類の代表元の特定の選択に依存しない。

$この誘導指標の別の記述方法を用いると、 Hの$ $G$ への埋め込みに関する比較的少ない情報から明示的な計算が可能になる場合があり、特定の指標表の計算に役立つことが多い。θ が H の自明な指標である場合 $、$ 得 $られる$ 誘導指標は $G$ の置換指標( $H$ の剰余類上) として知られている。

指標誘導の一般的な手法とその後の改良は、エミール・アルティン、リチャード・ブラウアー、ウォルター・フェイト、鈴木道雄といった数学者たち、そしてフロベニウス自身によって、有限群論をはじめとする数学の様々な分野で数多くの応用が見出された。

マッキー分解

マッキー分解は、リー群の文脈でジョージ・マッキーによって定義され研究されましたが、有限群の指標理論や表現論において強力なツールとなっています。その基本形式は、有限群 $G$ の部分群 $Hから誘導される指標（または加群）が、$ $G$ の（場合によっては異なる）部分群 $K$ に制限されたときにどのように振る舞うかに関係しており、 $Gを$ $（$ $H$ $、$ $K$ $）$ -二重剰余類に分解することを利用しています。

もし ${\textstyle G=\bigcup _{t\in T}HtK}$ は互いに素な和集合であり、 $θは$ $H$ の複素クラス関数であるとき、マッキーの公式は次のように述べている。

\left(\theta ^{G}\right)_{K}=\sum _{t\in T}\left(\left[\theta ^{t}\right]_{t^{-1}Ht\cap K}\right)^{K},

ここで、 $θ t$ $はt -1 Ht$ のクラス関数であり、すべての $h$ ∈ $Hに対して$ $θ t (t -1 ht) = θ (h)$ で定義されます。誘導モジュールを部分群に制限するための同様の公式があり、これは任意の環上の表現に対して成り立ち、さまざまな代数的および位相的文脈で応用されています。

マッキー分解とフロベニウスの相互法則を組み合わせると、それぞれの部分群 $H$ と $K$ から誘導される2 つの類関数 $θ$ と $ψの内積を表す、よく知られた有用な公式が得られます。この公式の有用性は、$ $H$ と $K$ の共役が互いにどのように交わるかのみに依存するという点にあります。その公式（およびその導出）は次のとおりです。

{\begin{aligned}\left\langle \theta ^{G},\psi ^{G}\right\rangle &=\left\langle \left(\theta ^{G}\right)_{K},\psi \right\rangle \\&=\sum _{t\in T}\left\langle \left(\left[\theta ^{t}\right]_{t^{-1}Ht\cap K}\right)^{K},\psi \right\rangle \\&=\sum _{t\in T}\left\langle \left(\theta ^{t}\right)_{t^{-1}Ht\cap K},\psi _{t^{-1}Ht\cap K}\right\rangle ,\end{aligned}}

（ここで $Tは、以前と同様に$ $(H 、 K)$ 二重剰余類の代表元の完全な集合です。）この式は、 $θ$ と $ψ が$ 線形指標である場合によく使用されます。この場合、右辺の和に現れるすべての内積は、線形指標 $θ$ $t$ と $ψ が$ $t$ $-1$ $Ht$ $\cap$ $K$ $に$ 同じ制限を持つかどうかに応じて、 $1$ または $0$ になります。θと $ψ$ が両方とも自明な指標である場合、内積は $|$ $T$ $|$ に単純化されます。

「歪んだ」次元

表現の指標は、ベクトル空間の「ねじれた」次元として解釈できる。^{[ 3 ]}指標を群 $χ (g)の要素の関数として扱うと、$ 単位元での値は空間の次元となる。なぜなら $χ (1) = Tr(ρ (1)) = Tr(IV) = dim(V)$ だからである。したがって、指標の他の値は「ねじれた」次元と見なすことができる $。$

次元に関する記述の類推や一般化を、指標や表現に関する記述に見出すことができる。その洗練された例が、怪物の月光理論に見られる。j $不変$ 量は、モンスター群の無限次元次数付き表現の次数付き次元であり、次元を指標に置き換えると、モンスター群の各要素に対するマッケイ・トンプソン級数が得られる。^[³^]

リー群とリー代数の特性

もし $G$ 嘘のグループであり、 $\rho$ 有限次元表現 $G$ キャラクター $\chi _{\rho }$ の $\rho$ は、任意のグループに対して正確に定義されます。

\chi _{\rho }(g)=\operatorname {Tr} (\rho (g))

。

一方、もし ${\mathfrak {g}}$ はリー代数であり、 $\rho$ 有限次元表現 ${\mathfrak {g}}$ 文字を定義することができます $\chi _{\rho }$ による

\chi _{\rho }(X)=\operatorname {Tr} (e^{\rho (X)})

。

キャラクターは満足するでしょう $\chi _{\rho }(\operatorname {Ad} _{g}(X))=\chi _{\rho }(X)$ すべての人々のために $g$ 関連する嘘グループにおいて $G$ そしてすべて $X\in {\mathfrak {g}}$ リー群表現とそれに対応するリー代数表現がある場合、指標 $\chi _{\rho }$ リー代数表現の特性は $\mathrm {X} _{\rho }$ 式による群表現

\chi _{\rho }(X)=\mathrm {X} _{\rho }(e^{X})

。

ここで、 ${\mathfrak {g}}$ はカルタン部分代数を持つ複素半単純リー代数である。 ${\mathfrak {h}}$ 文字の値 $\chi _{\rho }$ 還元不可能な表現の $\rho$ の ${\mathfrak {g}}$ は、その値によって決定されます。 ${\mathfrak {h}}$ 文字の制限 ${\mathfrak {h}}$ は、以下のように重み空間を用いて容易に計算できる。

\chi _{\rho }(H)=\sum _{\lambda }m_{\lambda }e^{\lambda (H)},\quad H\in {\mathfrak {h}}

、

ここで、合計はすべての重みについて取られる。 $\lambda$ の $\rho$ そしてどこで $m_{\lambda }$ 多重度は $\lambda$ [ ⁴^]

（制限） ${\mathfrak {h}}$ ）特性は、ワイル特性公式によってより明示的に計算できます。

参考文献

↑ニコラ・ブルバキ、アルジェブル、シュプリンガー・フェルラーク、2012 年、第 1 章。 8、p392
↑セール、§2.5
1 2 (ギャノン 2006 )
↑ホール 2015提案 10.12

フルトン、ウィリアム、ハリス、ジョー（1991）著『表現論入門』第2講。『大学院数学テキスト』、数学読本、第129巻。ニューヨーク：シュプリンガー・フェルラーク。doi ：10.1007/978-1-4612-0979-9。ISBN 978-0-387-97495-8. MR 1153249 . OCLC 246650103 . オンライン
ギャノン、テリー（2006）。『怪物の向こうにある月明かり：代数学、モジュラー形式、物理学をつなぐ架け橋』ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-83531-2。
Hall, Brian C. (2015),リー群、リー代数、表現：初歩的な入門、Graduate Texts in Mathematics、第222巻（第2 版）、Springer、ISBN 978-3319134666
アイザックス、IM（1994）。有限群の指標理論（1976年アカデミック・プレス刊の訂正版）。ドーバー出版。ISBN 978-0-486-68014-9。
ジェームズ、ゴードン；リーベック、マーティン（2001）。『集団の表象と特性』（第2版）。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-00392-6。
Serre, Jean-Pierre (1977).有限群の線形表現. 大学院数学テキスト第 42巻. Leonard L. Scottによるフランス語第2版からの翻訳. ニューヨーク-ハイデルベルク: Springer-Verlag. doi : 10.1007/978-1-4684-9458-7 . ISBN 978-0-387-90190-9. MR 0450380 .

外部リンク

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[1] ニコラ・ブルバキ、アルジェブル、シュプリンガー・フェルラーク、2012 年、第 1 章。 8、p392

[2] セール、§2.5

[Gannon-3] 1 2 (ギャノン 2006 )

[4] ホール 2015提案 10.12

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