ボソン弦理論

ボソン弦理論は、ポリャコフ作用の経路積分量子化によって定義されると言える^{[ 2 ]}。

${\displaystyle I_{0}[g,X]={\frac {T}{8\pi }}\int _{M}d^{2}\xi {\sqrt {g}}g^{mn}\partial _{m}x^{\mu }\partial _{n}x^{\nu }G_{\mu \nu }(x)}$

${\displaystyle x^{\mu }(\xi )}$は、25 +1 時空における弦の最も深い埋め込みを記述するワールドシート上の場です。ポリャコフの定式化では、${\displaystyle g}$これは埋め込みから誘導される計量としてではなく、独立した力学場として理解されるべきである。${\displaystyle G}$は対象時空上の計量であり、摂動論では通常ミンコフスキー計量とみなされる。ウィック回転の下では、これはユークリッド計量に変換される。${\displaystyle G_{\mu \nu }=\delta _{\mu \nu }}$M は、位相多様体としての世界面であり、${\displaystyle \xi }$座標。${\displaystyle T}$弦の張力はレッジの傾斜と関連している。${\displaystyle T={\frac {1}{2\pi \alpha '}}}$。

${\displaystyle I_{0}}$微分同相性とワイル不変性を持つ。ワイル対称性は量子化によって破れる（共形異常）ため、この作用には、オイラー標数に比例する仮想的な純粋に位相的な項とともに、対項を補う必要がある。

${\displaystyle I=I_{0}+\lambda \chi (M)+\mu _{0}^{2}\int _{M}d^{2}\xi {\sqrt {g}}}$

対項によるワイル不変性の明示的な破れは、臨界次元26で相殺される。

物理量は、(ユークリッド)分割関数とN点関数から構成される。

${\displaystyle Z=\sum _{h=0}^{\infty }\int {\frac {{\mathcal {D}}g_{mn}{\mathcal {D}}X^{\mu }}{\mathcal {N}}}\exp(-I[g,X])}$

${\displaystyle \left\langle V_{i_{1}}(k_{1}^{\mu })\cdots V_{i_{p}}(k_{p}^{\mu })\right\rangle =\sum _{h=0}^{\infty }\int {\frac {{\mathcal {D}}g_{mn}{\mathcal {D}}X^{\mu }}{\mathcal {N}}}\exp(-I[g,X])V_{i_{1}}(k_{1}^{\mu })\cdots V_{i_{p}}(k_{p}^{\mu })}$

離散和は可能な位相に関する和であり、ユークリッドボソン向き付け可能な閉じた弦の場合、それはコンパクトな向き付け可能なリーマン面であり、したがって種数によって識別されます。${\displaystyle h}$正規化係数${\displaystyle {\mathcal {N}}}$は、対称性による過剰カウントを補償するために導入されます。 分配関数の計算は宇宙定数に対応しますが、 を含む N 点関数は${\displaystyle p}$頂点演算子は、弦の散乱振幅を記述します。

作用の対称群は、実際には積分空間を有限次元多様体に大幅に縮小する。${\displaystyle g}$分配関数における経路積分は、先験的に可能なリーマン構造の総和である。しかし、ワイル変換に関して商をとることで、共形構造、すなわち、によって関連付けられた計量の同一視の下での計量の同値類のみを考慮できる。

${\displaystyle g'(\xi )=e^{\sigma (\xi )}g(\xi )}$

ワールドシートは2次元であるため、共形構造と複素構造の間には1対1の対応関係があります。微分同相写像を商で取り除く必要があります。これにより、微分同相写像を法とするすべての可能な複素構造の空間上の積分が残ります。これは、与えられた位相曲面のモジュライ空間に等しく、実際には有限次元の複素多様体です。したがって、摂動ボソン弦の根本的な問題は、モジュライ空間のパラメーター化になりますが、これは種数に対しては自明ではありません。${\displaystyle h\geq 4}$。

h = 1

種数1はトーラスであり、1ループレベルに対応する。分割関数は次のようになる。

${\displaystyle Z_{1}=\int _{{\mathcal {M}}_{1}}{\frac {d^{2}\tau }{8\pi ^{2}\tau _{2}^{2}}}{\frac {1}{(4\pi ^{2}\tau _{2})^{12}}}\left|\eta (\tau )\right|^{-48}}$

${\displaystyle \tau }$は正の虚数部を持つ複素数である${\displaystyle \tau _{2}}$;${\displaystyle {\mathcal {M}}_{1}}$は、トーラスのモジュライ空間に正則であり、モジュラー群の任意の基本領域である。${\displaystyle PSL(2,\mathbb {Z} )}$例えば、上半平面に作用する場合${\displaystyle \left\{\tau _{2}>0,|\tau |^{2}>1,-{\frac {1}{2}}<\tau _{1}<{\frac {1}{2}}\right\}}$。${\displaystyle \eta (\tau )}$はデデキントのイータ関数です。被積分関数は当然モジュラー群の下で不変です。${\displaystyle {\frac {d^{2}\tau }{\tau _{2}^{2}}}}$は単にポアンカレ計量であり、等長群はPSL(2,R)である。被積分関数の残りの部分も、以下の理由により不変である。${\displaystyle \tau _{2}\rightarrow |c\tau +d|^{2}\tau _{2}}$そして事実${\displaystyle \eta (\tau )}$これは、重量1/2のモジュール形式です。

この積分は発散する。これはタキオンの存在によるものであり、摂動真空の不安定性に関係している。