Loading article…
理論物理学において、コールマン・マンデュラ定理は、時空と内部対称性は自明な方法でしか結合できないことを示す不可能性定理である。これは、内部対称性に関連する電荷は常にローレンツスカラーとして変換されなければならないことを意味する。不可能性定理の注目すべき例外には、共形対称性と超対称性がある。これは、内部対称性が時空対称性とどのように結合できるかを研究する一連のますます一般化された不可能性定理の集大成として、1967年にこれを証明したシドニー・コールマンとジェフリー・マンデュラにちなんで名付けられた。 [ 1 ]超対称性の一般化は、ハーグ・ウォプシャンスキー・ソーニウス定理として知られている。
1960年代初頭、世界的な8重の法則に関連するフレーバー対称性は、同じスピンのハドロンのハドロンスペクトルをうまく記述できることが示された。これにより、グローバルな拡張の取り組みが始まった。より大きな対称性対称性とフレーバーとスピンの両方を混合するアイデアは、 1937年にユージン・ウィグナーが原子核物理学で以前に検討したアイデアと似ています。対称性。[ 2 ]この非相対論的このモデルは、異なるスピンを持つベクトルおよび擬スカラー中間子を35次元多重項に統合し、また2つのバリオン十重項を56次元多重項に統合した。[ 3 ]これはハドロンスペクトルの様々な側面を記述する上でそれなりに成功したが、量子色力学の観点から見ると、この成功はクォーク間の力がフレーバーとスピンに依存しないことの結果に過ぎない。この非相対論的モデルを一般化しようとする試みは数多くあった。モデルを完全な相対論的モデルに拡張しようと試みたが、いずれも失敗に終わった。
当時、質量の異なる粒子が同じ多重項に属することができるような対称性が存在するかどうかも未解決の問題であった。そのような対称性は、中間子とバリオンに見られる質量分裂を説明できる可能性がある。[ 4 ]これは、アップクォーク、ダウンクォーク、ストレンジクォークの質量の違いの結果であり、それが対称性の破綻につながることが後に理解された。内部の風味の対称性。
これらの2つの動機から、時空対称性と内部対称性は自明な方法以外では組み合わせることができないことを示す一連の不可能性定理が導き出されました。[ 5 ]最初の注目すべき定理は、1964年にウィリアム・マクグリンによって証明され、[ 6 ]その後、1965年にロクライン・オライファータイによって一般化されました。 [ 7 ]これらの努力は、1967年にシドニー・コールマンとジェフリー・マンドゥラによって最も一般的な定理で頂点に達しました。
この定理はその後数年間ほとんど注目されなかった。その結果、この定理は超対称性の初期発展において何ら役割を果たさず、超対称性は、ノーゴー定理を克服しようとする試みからではなく、弦理論の前身である双対共鳴モデルの研究から1970年代初頭に出現した。 [ 8 ]同様に、コールマン・マンドゥラ定理の超対称性一般化であるハーグ・ウォプシャンスキー・ソーニウス定理は、超対称性の研究がすでに始まっていた後の1975年に証明された。[ 9 ]
S行列で記述でき、以下の条件を満たす理論を考えます[ 1 ]
コールマン・マンデュラ定理は、この理論の対称群は必然的にポアンカレ群と内部対称群の直積であると述べている。 [ 10 ]最後の技術的な仮定は、理論が量子場理論によって記述される場合は不要であり、より広い文脈で定理を適用する場合にのみ必要となる。
定理が成り立つべき理由について、運動学的議論はエドワード・ウィッテンによって提示された。[ 11 ]その議論は、ポアンカレ対称性が弾性散乱に対して非常に強い制約として働き、散乱角だけが未知であるというものである。追加の時空依存対称性は振幅を過剰に決定し、離散的な散乱角でのみ非ゼロとなる。これは散乱角の解析性の仮定と矛盾するため、そのような追加の時空依存対称性は排除される。
この定理は質量のない粒子の理論には適用されず、これらの粒子は追加の時空依存対称性として共形対称性を可能にする。[ 10 ]特に、この群の代数は共形代数であり、これはポアンカレ代数と、ダイラトン生成子および特殊共形変換生成子の交換関係から構成される。
コールマン・マンデュラ定理は、対称性代数がリー代数のみであると仮定しているが、代わりにリー超代数を考慮することで、この定理を一般化することができる。こうすることで、ローレンツ変換の下でスピノルとして変換される超電荷と呼ばれる追加の反交換生成子を許容することができる。この拡張により、超対称性として知られる関連する対称性を持つ超ポアンカレ代数が生じる。ハーグ・ウォプシャンスキー・ソニウス定理は、コールマン・マンデュラ定理をリー超代数に一般化したもので、超対称性が許容される唯一の新しい時空依存対称性であると述べている。質量のない粒子を持つ理論では、超対称性に加えて存在し、超共形代数を与える共形対称性によって、この定理は再び回避される。
1 次元または 2 次元の理論では、可能な散乱は前方散乱と後方散乱のみであるため、散乱角の解析性はもはや不可能であり、定理はもはや成り立たない。そのため、時空に依存する内部対称性が可能となり、例えば、無限に高いテンソル階数の保存電荷の塔を許容できる質量を持つThirring モデルなどが挙げられる。[ 12 ]
電荷が多粒子状態に対して一粒子状態のテンソル積であるかのように作用しない非局所対称性を持つモデルは、この定理を回避します。 [ 13 ]このような回避は、対応する代数がもはやリー代数ではないため定理を回避する量子群対称性に対してより一般的に見られます。
ポアンカレ群以外の時空対称性、例えばド・ジッター背景を持つ理論やガリレオ不変性を持つ非相対論的場理論などでは、この定理は適用されなくなります。[ 14 ]また、離散対称性はリー群ではないため、また自発的に破れた対称性はS行列レベルで作用しないためS行列と可換ではないため、この定理は適用されません。[ 15 ]
