3-j シンボル

量子力学では、ウィグナーの3-j記号（ 3 -jm記号とも呼ばれる）は、角運動量を加える目的でクレブシュ・ゴルダン係数の代替として用いられる。 ^{[ 1 ]} 2つのアプローチは全く同じ物理的問題を扱っているが、3- j記号の方がより対称的に扱っている。

3- j記号は、クレブシュ・ゴルダン係数を用いて次のように表される。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}\equiv {\frac {(-1)^{j_{1}-j_{2}-m_{3}}}{\sqrt {2j_{3}+1}}}\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|j_{3}\,(-m_{3})\rangle .}$

jとmの成分は角運動量量子数であり、つまり、すべてのj (および対応するすべてのm ) は非負整数または半奇数のいずれかです。符号因子の指数は常に整数であるため、左に転置しても同じままであり、 m ₃ → − m ₃の置換を行うと逆の関係が成り立ちます。

${\displaystyle \langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|j_{3}\,m_{3}\rangle =(-1)^{-j_{1}+j_{2}-m_{3}}{\sqrt {2j_{3}+1}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&-m_{3}\end{pmatrix}}.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}&\equiv \delta (m_{1}+m_{2}+m_{3},0)(-1)^{j_{1}-j_{2}-m_{3}}{}{\sqrt {\frac {(j_{1}+j_{2}-j_{3})!(j_{1}-j_{2}+j_{3})!(-j_{1}+j_{2}+j_{3})!}{(j_{1}+j_{2}+j_{3}+1)!}}}\ \times {}\\[6pt]&\times {\sqrt {(j_{1}-m_{1})!(j_{1}+m_{1})!(j_{2}-m_{2})!(j_{2}+m_{2})!(j_{3}-m_{3})!(j_{3}+m_{3})!}}\ \times {}\\[6pt]&\times \sum _{k=K}^{N}{\frac {(-1)^{k}}{k!(j_{1}+j_{2}-j_{3}-k)!(j_{1}-m_{1}-k)!(j_{2}+m_{2}-k)!(j_{3}-j_{2}+m_{1}+k)!(j_{3}-j_{1}-m_{2}+k)!}},\end{aligned}}}$

どこ${\displaystyle \delta (i,j)}$はクロネッカーデルタです。

総和は、分母の各階乗の引数が非負である整数値kについて行われます。つまり、総和の範囲KとN は等しくなります。${\displaystyle K=\max(0,j_{2}-j_{3}-m_{1},j_{1}-j_{3}+m_{2}),}$上のもの${\displaystyle N=\min(j_{1}+j_{2}-j_{3},j_{1}-m_{1},j_{2}+m_{2}).}$負の数の階乗は慣習的にゼロとみなされるため、例えば、 3 j記号の値は、${\displaystyle j_{3}>j_{1}+j_{2}}$または${\displaystyle j_{1}<m_{1}}$自動的にゼロに設定されます。

CG係数は、2つの角運動量の加算を3つ目の角運動量で表すように定義される。

${\displaystyle |j_{3}\,m_{3}\rangle =\sum _{m_{1}=-j_{1}}^{j_{1}}\sum _{m_{2}=-j_{2}}^{j_{2}}\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|j_{3}\,m_{3}\rangle |j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle .}$

一方、3- j記号は、3つの角運動量を加算して結果がゼロになるようにするための係数である。

${\displaystyle \sum _{m_{1}=-j_{1}}^{j_{1}}\sum _{m_{2}=-j_{2}}^{j_{2}}\sum _{m_{3}=-j_{3}}^{j_{3}}|j_{1}m_{1}\rangle |j_{2}m_{2}\rangle |j_{3}m_{3}\rangle {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}=|0\,0\rangle .}$

ここ${\displaystyle |0\,0\rangle }$は角運動量がゼロの状態です（${\displaystyle j=m=0}$) 3- j記号は、加算問題に関わる 3 つの角運動量すべてを同等に扱っており、したがって CG 係数よりも対称的であることは明らかです。

州${\displaystyle |0\,0\rangle }$回転によって変化しないということは、3つの回転状態の積と3- j記号の縮約が回転に対して不変であるとも言える。

ウィグナー3- j記号は、以下のすべての条件が満たされない限りゼロになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}&m_{i}\in \{-j_{i},-j_{i}+1,-j_{i}+2,\ldots ,j_{i}\}\quad (i=1,2,3),\\&m_{1}+m_{2}+m_{3}=0,\\&|j_{1}-j_{2}|\leq j_{3}\leq j_{1}+j_{2},\\&(j_{1}+j_{2}+j_{3}){\text{ is an integer (and, moreover, an even integer if }}m_{1}=m_{2}=m_{3}=0{\text{)}}.\\\end{aligned}}}$

3- jシンボルは、その列の偶数順列に対して不変である。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}j_{2}&j_{3}&j_{1}\\m_{2}&m_{3}&m_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}j_{3}&j_{1}&j_{2}\\m_{3}&m_{1}&m_{2}\end{pmatrix}}.}$

列の奇数順列は位相因子を与える。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}{\begin{pmatrix}j_{2}&j_{1}&j_{3}\\m_{2}&m_{1}&m_{3}\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle =(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{3}&j_{2}\\m_{1}&m_{3}&m_{2}\end{pmatrix}}=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}{\begin{pmatrix}j_{3}&j_{2}&j_{1}\\m_{3}&m_{2}&m_{1}\end{pmatrix}}.}$

の符号を変える${\displaystyle m}$量子数（時間反転）も位相を与える。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\-m_{1}&-m_{2}&-m_{3}\end{pmatrix}}=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}.}$

3- j記号には、置換や時間反転によるものではない、いわゆるレッジ対称性も存在する。^{[ 2 ]}これらの対称性は以下のとおりである。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}j_{1}&{\frac {j_{2}+j_{3}-m_{1}}{2}}&{\frac {j_{2}+j_{3}+m_{1}}{2}}\\j_{3}-j_{2}&{\frac {j_{2}-j_{3}-m_{1}}{2}}-m_{3}&{\frac {j_{2}-j_{3}+m_{1}}{2}}+m_{3}\end{pmatrix}},}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}{\begin{pmatrix}{\frac {j_{2}+j_{3}+m_{1}}{2}}&{\frac {j_{1}+j_{3}+m_{2}}{2}}&{\frac {j_{1}+j_{2}+m_{3}}{2}}\\j_{1}-{\frac {j_{2}+j_{3}-m_{1}}{2}}&j_{2}-{\frac {j_{1}+j_{3}-m_{2}}{2}}&j_{3}-{\frac {j_{1}+j_{2}-m_{3}}{2}}\end{pmatrix}}.}$

レッジ対称性により、3- jシンボルは合計 72 の対称性を持ちます。これらは、レッジシンボルの定義によって最もよく示されます。レッジシンボルは、3- jシンボルと 1 対 1 の対応関係を持ち、半魔方陣の性質を仮定します。^{[ 3 ]}

${\displaystyle R={\begin{array}{|ccc|}\hline -j_{1}+j_{2}+j_{3}&j_{1}-j_{2}+j_{3}&j_{1}+j_{2}-j_{3}\\j_{1}-m_{1}&j_{2}-m_{2}&j_{3}-m_{3}\\j_{1}+m_{1}&j_{2}+m_{2}&j_{3}+m_{3}\\\hline \end{array}},}$

これにより、72個の対称性は、3!行と3!列の交換と行列の転置に対応する。これらの事実は、効果的なストレージ方式を考案するために使用できる。^{[ 3 ]}

大きさj ₁とj ₂を持つ 2 つの角運動量の系は、非結合基底状態 (量子数m ₁とm ₂で表される) または結合基底状態 ( j ₃とm ₃で表される) のいずれかで記述できます。3- j記号はこれら 2 つの基底間のユニタリ変換を構成し、このユニタリ性は直交関係を意味します。

${\displaystyle (2j_{3}+1)\sum _{m_{1}m_{2}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j'_{3}\\m_{1}&m_{2}&m'_{3}\end{pmatrix}}=\delta _{j_{3},j'_{3}}\delta _{m_{3},m'_{3}}{\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\end{Bmatrix}},}$

${\displaystyle \sum _{j_{3}m_{3}}(2j_{3}+1){\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}'&m_{2}'&m_{3}\end{pmatrix}}=\delta _{m_{1},m_{1}'}\delta _{m_{2},m_{2}'}.}$

三角形デルタ{ j ₁ j ₂ j ₃ } は  、三項式 ( j ₁ , j ₂ , j ₃ ) が三角形条件を満たす場合に 1 に等しく、それ以外の場合は 0 になります。三角形デルタ自体は、6- jおよび9- jシンボルに類似して、混乱を招くことに^{[ 4 ]}「3- jシンボル」( mなし) と呼ばれることがあります。これらはすべて、m変数が残らない 3- jmシンボルの既約和です。

3- jm記号は、3 つの球面調和関数の積の積分を表します^{[ 5 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int Y_{l_{1}m_{1}}(\theta ,\varphi )Y_{l_{2}m_{2}}(\theta ,\varphi )Y_{l_{3}m_{3}}(\theta ,\varphi )\,\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi \\&\quad ={\sqrt {\frac {(2l_{1}+1)(2l_{2}+1)(2l_{3}+1)}{4\pi }}}{\begin{pmatrix}l_{1}&l_{2}&l_{3}\\0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}l_{1}&l_{2}&l_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$

と${\displaystyle l_{1}}$、${\displaystyle l_{2}}$そして${\displaystyle l_{3}}$整数。これらの積分はガウント係数と呼ばれます。

${\displaystyle {\begin{aligned}&{-}{\sqrt {(l_{3}\mp s_{3})(l_{3}\pm s_{3}+1)}}{\begin{pmatrix}l_{1}&l_{2}&l_{3}\\s_{1}&s_{2}&s_{3}\pm 1\end{pmatrix}}=\\&\quad ={\sqrt {(l_{1}\mp s_{1})(l_{1}\pm s_{1}+1)}}{\begin{pmatrix}l_{1}&l_{2}&l_{3}\\s_{1}\pm 1&s_{2}&s_{3}\end{pmatrix}}+{\sqrt {(l_{2}\mp s_{2})(l_{2}\pm s_{2}+1)}}{\begin{pmatrix}l_{1}&l_{2}&l_{3}\\s_{1}&s_{2}\pm 1&s_{3}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$

のために${\displaystyle l_{1}\ll l_{2},l_{3}}$ゼロでない 3- j記号は

${\displaystyle {\begin{pmatrix}l_{1}&l_{2}&l_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}\approx (-1)^{l_{3}+m_{3}}{\frac {d_{m_{1},l_{3}-l_{2}}^{l_{1}}(\theta )}{\sqrt {2l_{3}+1}}},}$

どこ${\displaystyle \cos(\theta )=-2m_{3}/(2l_{3}+1)}$、 そして${\displaystyle d_{mn}^{l}}$はウィグナー関数である。一般に、レッジ対称性を満たすより良い近似は次式で与えられる。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}l_{1}&l_{2}&l_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}\approx (-1)^{l_{3}+m_{3}}{\frac {d_{m_{1},l_{3}-l_{2}}^{l_{1}}(\theta )}{\sqrt {l_{2}+l_{3}+1}}},}$

どこ${\displaystyle \cos(\theta )=(m_{2}-m_{3})/(l_{2}+l_{3}+1)}$。

次の量は角運動量理論における計量テンソルとして機能し、ウィグナー1-jmシンボルとしても知られています。^{[ 1 ]}

${\displaystyle {\begin{pmatrix}j\\m\quad m'\end{pmatrix}}:={\sqrt {2j+1}}{\begin{pmatrix}j&0&j\\m&0&m'\end{pmatrix}}=(-1)^{j-m'}\delta _{m,-m'}.}$

これは角運動量の時間反転を行うために使用できる。

${\displaystyle \sum _{m}(-1)^{j-m}{\begin{pmatrix}j&j&J\\m&-m&0\end{pmatrix}}={\sqrt {2j+1}}\,\delta _{J,0}.}$

^{[ 6 ]}の式(3.7.9)より

${\displaystyle {\begin{pmatrix}j&j&0\\m&-m&0\end{pmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {2j+1}}}(-1)^{j-m}.}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{-1}^{1}P_{l_{1}}(x)P_{l_{2}}(x)P_{l}(x)\,dx={\begin{pmatrix}l&l_{1}&l_{2}\\0&0&0\end{pmatrix}}^{2},}$

ここで、Pはルジャンドル多項式である。

ウィグナー3- j記号は、単純な位相によってラカーV係数^{[ 7 ]}と関連付けられます。

${\displaystyle V(j_{1}\,j_{2}\,j_{3};m_{1}\,m_{2}\,m_{3})=(-1)^{j_{1}-j_{2}-j_{3}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}.}$

この節では、定義関係を 群論の言葉で言い換える。

群の群表現とは、ある群から、あるベクトル空間上の線形変換群への準同型写像のことである。これらの線形変換は、ベクトル空間のある基底に関する行列群によって与えられる。

角運動量を不変に保つ変換群は、3次元回転群SO(3)である。スピン角運動量を含めると、その群は二重被覆群SU(2)と なる。

可約表現とは、基底変換を適用することで全ての行列をブロック対角行列に変換できる表現のことである。そのような変換が存在しない場合、その表現は既約（irrep）である。

jの各値に対して、2 j +1 個のケットは、複素数上のSO(3)/SU(2)の既約表現 (irrep) の基底を形成します。2 つの既約表現が与えられた場合、テンソル直積は 既約表現の和に還元され、クレブシュ・ゴルドン係数が得られます。また、3 つの既約表現の三重積を自明な既約表現1に還元することで、3j 個の記号が得られます。

の${\displaystyle 3j}$記号は、角運動量の結合の文脈で最も集中的に研究されてきました。このため、それは、 上で議論したように、群 SU(2) および SO(3) の群表現論と密接に関連しています。しかし、物理学および 化学では他の多くの群も重要であり、多くの研究が行われてきました。${\displaystyle 3j}$これらの他のグループを表すシンボル。このセクションでは、それらの研究の一部について考察する。

• クレブシュ・ゴルダン係数
• 球面調和関数
• 6-j シンボル
• 9-j シンボル
• 古典的リー群の表現

• ストーン、アンソニー。「ウィグナー係数計算機」。
• Volya, A. 「Clebsch-Gordan、3- jおよび6- j係数Web計算機」 。2007年9月29日にオリジナルからアーカイブされました。（数値）
• Stevenson, Paul (2002). "Clebsch-O-Matic" . Computer Physics Communications . 147 (3): 853– 858. Bibcode : 2002CoPhC.147..853S . doi : 10.1016/S0010-4655(02)00462-9 .
• ワイツマン科学研究所プラズマ研究所の369j記号計算機（数値計算）
• Frederik J Simons: Matlabソフトウェアアーカイブ、コードTHREEJ.M
• Sage（数学ソフトウェア）は、j、mの任意の値に対して正確な答えを出力します。
• ヨハンソン、HT;フォルセン、C. "(WIGXJPF)"。（正確；C、Fortran、Python）
• ヨハンソン、HT "(FASTWIGXJ)"。（高速検索、高精度；C言語、Fortran言語）