バーグマン・ウィグナー方程式

相対論的 量子力学と量子場の理論において、バーグマン-ウィグナー方程式は、質量がゼロでない自由粒子と任意のスピンjを持つ自由粒子を記述します。スピン j は、ボソンの場合は整数( j = 1、2、3 ... )、フェルミオンの場合は半整数( j = 1 ⁄ 2、3 ⁄ 2、5 ⁄ 2 ... ) です。方程式の解は波動関数であり、数学的には多成分スピノル場の形をとります。

これらは、バレンタイン・バーグマンとユージン・ウィグナーにちなんで名付けられました。

ポール・ディラックは1928年に初めてディラック方程式を発表し、後に（1936年に）それを任意の半整数スピンの粒子に拡張しました。その後、フィエツとパウリが1939年に同じ方程式を発見し、バーグマンとウィグナーの約10年前に同じ方程式を発見しました。^[1] ユージン・ウィグナーは1937年に、非同次ローレンツ群、またはポアンカレ群のユニタリ表現に関する論文を書きました。^{[2]ウィグナーは、}エットーレ・マヨラナとディラックが関数に適用された無限小演算子を使用したと述べています。ウィグナーは表現を既約、階乗、ユニタリに分類しています。

1948年にバレンタイン・バーグマンとウィグナーは、相対論的波動方程式の群論的議論に関する論文の中で、現在彼らの名前にちなんで名付けられた方程式を発表しました。^[3]

電荷を持たないスピンjの自由粒子の場合、BW方程式は2 j 個の結合した線形偏微分方程式のセットであり、それぞれはディラック方程式と同様の数学的形式を持ちます。方程式の完全なセットは次のとおりです。^{[注 1] [1] [4] [5]}

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left(-\gamma ^{\mu }{\hat {P}}_{\mu }+mc\right)_{\alpha _{1}\alpha _{1}'}\psi _{\alpha '_{1}\alpha _{2}\alpha _{3}\cdots \alpha _{2j}}=0\\&\left(-\gamma ^{\mu }{\hat {P}}_{\mu }+mc\right)_{\alpha _{2}\alpha _{2}'}\psi _{\alpha _{1}\alpha '_{2}\alpha _{3}\cdots \alpha _{2j}}=0\\&\qquad \vdots \\&\left(-\gamma ^{\mu }{\hat {P}}_{\mu }+mc\right)_{\alpha _{2j}\alpha '_{2j}}\psi _{\alpha _{1}\alpha _{2}\alpha _{3}\cdots \alpha '_{2j}}=0\\\end{aligned}}}$

パターンに従うもの。

r = 1, 2, ... 2 jである。（LoideとSaar ^[4]などの著者は、2の因数を除去するためにn = 2 jを使用している。また、スピン量子数は量子力学では通常sで表されますが、この文脈では文献ではjの方が一般的です）。波動関数ψ = ψ ( r , t )全体は、次の成分を持つ 。

${\displaystyle \psi _{\alpha _{1}\alpha _{2}\alpha _{3}\cdots \alpha _{2j}}(\mathbf {r} ,t)}$

は階数2 jの4成分スピノル場です。各指数は1、2、3、4のいずれかの値を取るため、スピノル場ψ全体の^{2 j}成分は4つありますが、完全に対称な波動関数では独立成分の数は2(2 j + 1)に減ります。さらに、γ ^μ = (γ ⁰ , γ )はガンマ行列であり、

${\displaystyle {\hat {P}}_{\mu }=i\hbar \partial _{\mu }}$

は4次元運動量演算子です。

各方程式を構成する演算子(−γ ^μ P _μ + mc ) = (− iħ γ ^μ ∂ _μ + mc )は、 γ ^μ行列のため4 × 4行列であり、mc項は4 × 4単位行列(通常は簡略化のため表記されない)をスカラー乗算する。明示的には、ガンマ行列のディラック表現では次のようになる: ^[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}-\gamma ^{\mu }{\hat {P}}_{\mu }+mc&=-\gamma ^{0}{\frac {\hat {E}}{c}}-{\boldsymbol {\gamma }}\cdot (-{\hat {\mathbf {p} }})+mc\\[6pt]&=-{\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&-I_{2}\\\end{pmatrix}}{\frac {\hat {E}}{c}}+{\begin{pmatrix}0&{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}\\-{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}&0\\\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&I_{2}\\\end{pmatrix}}mc\\[8pt]&={\begin{pmatrix}-{\frac {\hat {E}}{c}}+mc&0&{\hat {p}}_{z}&{\hat {p}}_{x}-i{\hat {p}}_{y}\\0&-{\frac {\hat {E}}{c}}+mc&{\hat {p}}_{x}+i{\hat {p}}_{y}&-{\hat {p}}_{z}\\-{\hat {p}}_{z}&-({\hat {p}}_{x}-i{\hat {p}}_{y})&{\frac {\hat {E}}{c}}+mc&0\\-({\hat {p}}_{x}+i{\hat {p}}_{y})&{\hat {p}}_{z}&0&{\frac {\hat {E}}{c}}+mc\\\end{pmatrix}}\\\end{aligned}}}$

ここで、σ = (σ ₁ , σ ₂ , σ ₃ ) = (σ _x , σ _y , σ _z )はパウリ行列のベクトル、Eはエネルギー演算子、p = ( p ₁ , p ₂ , p ₃ ) = ( p _x , p _y , p _z )は3 次元運動量演算子、I _{2 は}2 × 2 単位行列を表し、ゼロ (2 行目) は実際には2 × 2の ゼロ行列のブロックです。

上記の行列演算子は、一度にψの 1 つのビスピノル指数と縮約します(行列の乗算を参照)。そのため、ディラック方程式のいくつかの特性は BW 方程式にも適用されます。

• 方程式はローレンツ共変であり、
• 解ψのすべての成分はクライン・ゴルドン方程式も満たし、したがって相対論的なエネルギー・運動量関係を満たす。

${\displaystyle E^{2}=(pc)^{2}+(mc^{2})^{2}}$

• 2 番目の量子化はまだ可能です。

最小限の結合を介して電磁場を組み込むことができるディラック方程式とは異なり、B-W形式は、電磁場相互作用を組み込むと、本質的な矛盾と困難を抱える。言い換えれば、P _μ → P _μ − eA _μ（ここで、eは粒子の電荷、 A _μ = ( A ₀、A )は電磁四元ポテンシャル）の変化を行うことはできない。^{[6] [7]}粒子の電磁気的影響を調べる間接的な方法は、波動方程式自体に相互作用を含めるのではなく、粒子の電磁四元電流と多重極モーメントを導出することである。^{[8] [9]}

BW方程式のローレンツ群の表現は[ ^{6]である。}

${\displaystyle D^{\mathrm {BW} }=\bigotimes _{r=1}^{2j}\left[D_{r}^{(1/2,0)}\oplus D_{r}^{(0,1/2)}\right]\,.}$

ここで、各D _{r は}既約表現です。この表現は、j が1/2 または 0 でない限り、確定スピンを持ちません。Clebsch -Gordan 分解を実行すると、既約( A、B )項とスピン内容が見つかります。この冗長性により、 D ^BW表現で変換される確定スピンjの粒子は、場の方程式を満たす必要があります。

表現D ^{( j , 0)}とD ^{(0, j )はそれぞれ別々にスピン}jの粒子を表すことができます。このような表現における状態または量子場は、クライン・ゴルドン方程式以外の場の方程式を満たしません。

M. Kenmoku ^[10]によれば、局所ミンコフスキー空間においてガンマ行列は反交換関係を満たす。

${\displaystyle [\gamma ^{i},\gamma ^{j}]_{+}=2\eta ^{ij}I_{4}}$

ここで、η ^ij = diag(−1, 1, 1, 1)はミンコフスキー計量です。ここでのラテン指数は、i, j = 0, 1, 2, 3です。曲がった時空では、これらは同様です。

${\displaystyle [\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }]_{+}=2g^{\mu \nu }}$

ここで、空間ガンマ行列は、四周波 b _i ^μと縮約されてγ ^μ = b _i ^μ γ ⁱとなり、g ^μν = b ^{i μ} b _i ^{ν は}計量テンソルです。ギリシャ語の添え字は、μ、 ν = 0、 1、 2、 3です。

スピノルの 共変微分は次のように与えられる。

${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\mu }=\partial _{\mu }+\Omega _{\mu }}$

接続 Ωはスピン接続 ωによって次のように与えられる。

${\displaystyle \Omega _{\mu }={\frac {1}{4}}\partial _{\mu }\omega ^{ij}(\gamma _{i}\gamma _{j}-\gamma _{j}\gamma _{i})}$

共変微分はψのように変換されます。

${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\mu }\psi \rightarrow D(\Lambda ){\mathcal {D}}_{\mu }\psi }$

この設定では、式（１）は次のようになる。

${\displaystyle {\begin{aligned}&(-i\hbar \gamma ^{\mu }{\mathcal {D}}_{\mu }+mc)_{\alpha _{1}\alpha _{1}'}\psi _{\alpha '_{1}\alpha _{2}\alpha _{3}\cdots \alpha _{2j}}=0\\&(-i\hbar \gamma ^{\mu }{\mathcal {D}}_{\mu }+mc)_{\alpha _{2}\alpha _{2}'}\psi _{\alpha _{1}\alpha '_{2}\alpha _{3}\cdots \alpha _{2j}}=0\\&\qquad \vdots \\&(-i\hbar \gamma ^{\mu }{\mathcal {D}}_{\mu }+mc)_{\alpha _{2j}\alpha '_{2j}}\psi _{\alpha _{1}\alpha _{2}\alpha _{3}\cdots \alpha '_{2j}}=0\,.\\\end{aligned}}}$

• 二体ディラック方程式
• パウリ行列の一般化
• ウィグナーD行列
• ワイル・ブラウアー行列
• 高次元ガンマ行列
• ヨース・ワインベルグ方程式、任意のスピンの自由粒子を記述する代替方程式
• 高次スピン理論

相対論的波動方程式:

• 高次元のディラック行列、Wolframデモンストレーションプロジェクト
• スピン 1 フィールドについて学ぶ、P. Cahill、K. Cahill、ニューメキシコ大学^{[永久リンク切れ‍ ]}
• ディラック・ワインベルグ形式による質量ゼロのボソンの場の方程式、RW Davies、KTR Davies、P. Zory、DS Nydick、American Journal of Physics
• 量子場理論 I、マーティン・モイジシュ 2016-03-03ウェイバックマシンにアーカイブ
• バーグマン・ウィグナー方程式：任意のスピンに対する場の方程式、FarzadQassemi、IPM 宇宙論スクールおよびワークショップ、IPM、テヘラン、イラン

相対論的量子物理学におけるローレンツ群:

• ロレンツ グループの表現、indiana.edu
• 付録 C: ローレンツ群とディラック代数、mcgill.ca ^{[永久リンク切れ‍ ]}
• ローレンツ群、相対論的粒子、量子力学、DE ソーパー、オレゴン大学、2011 年
• ローレンツ群とポアンカレ群の表現、J. Maciejko、スタンフォード大学
• 時空の対称群の表現、K. Drake、M. Feinberg、D. Guild、E. Turetsky、2009