ポアンカレ群の表現論

数学において、ポアンカレ群の表現論は、コンパクト群でも半単純群でもないリー群の表現論の一例である。これは理論物理学において基礎的な概念である。

ミンコフスキー空間を基礎となる時空とする物理理論において、物理状態の空間は通常、ポアンカレ群の表現である。（より一般的には、射影表現、すなわち群の二重被覆の表現となる場合もある。）

古典的な場の理論では、物理状態はミンコフスキー空間上のポアンカレ同変ベクトル束の切断である。同変条件とは、群がベクトル束の全空間に作用し、ミンコフスキー空間への射影が同変写像となることを意味する。したがって、ポアンカレ群は切断の空間にも作用する。このようにして生じる表現（およびその部分商）は共変場表現と呼ばれ、通常はユニタリではない。

このようなユニタリ表現についての議論は、ウィグナーの分類を参照のこと。

量子力学では、系の状態はガリレオ変換に対して不変なシュレーディンガー方程式によって決定されます。量子場理論は量子力学の相対論的拡張であり、相対論的（ローレンツ/ポアンカレ不変）波動方程式が解かれ、「量子化」され、フォック状態からなるヒルベルト空間に作用します。

ローレンツブースト（ミン​​コフスキー空間における空間と時間の軸に沿った回転）はコンパクトではないため、完全なローレンツ変換（したがってポアンカレ変換）の有限次元ユニタリ表現は存在しません。しかし、ポアンカレ代数の有限次元非ユニタリ分解不可能表現は存在し、不安定粒子のモデリングに使用できます。^{[ 1 ] [ 2 ]}

スピン1/2粒子の場合、4成分ディラックスピノルを関連付けることで、有限次元表現と、この表現によって保存されるスカラー積の両方を含む構成を見つけることが可能です。${\displaystyle \psi }$各粒子について。これらのスピノルは、ガンマ行列によって生成されるローレンツ変換の下で変換されます（${\displaystyle \gamma _{\mu }}$) スカラー積は

${\displaystyle \langle \psi |\phi \rangle ={\bar {\psi }}\phi =\psi ^{\dagger }\gamma _{0}\phi }$

は保存される。しかし、正定値ではないため、表現はユニタリではない。

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• ウィグナーの分類
• ローレンツ群の表現論
• ガリレオ群の表現論
• 微分同相群の表現論
• 素粒子物理学と表現論
• 量子力学における対称性