カバースペース

位相幾何学において、被覆または被覆射影は、位相空間間の写像であり、直感的には、局所的には空間の複数のコピーのそれ自体への射影のように機能します。特に、被覆は局所同相写像の特殊なタイプです。が被覆である場合、 はの被覆空間または被覆と呼ばれ、 は被覆 の基底、または単に基底と呼ばれます。用語の誤用により、、および は被覆空間とも呼ばれることがあります。被覆は局所同相写像であるため、被覆空間はエタール空間の特殊な種類です。 ${\displaystyle p:{\tilde {X}}\to X}$${\displaystyle ({\tilde {X}},p)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\tilde {X}}}$${\displaystyle p}$

被覆空間は、複素解析学（特に解析接続の手法）の文脈で初めて登場し、リーマンによって、自然に多価な複素関数が一価になる領域として導入されました。これらの空間は現在、リーマン面と呼ばれています。^{[1] : 10}

被覆空間は数学のいくつかの分野で重要なツールです。現代幾何学では、被覆空間（またはやや弱い条件を持つ分岐被覆）は、多様体、オービフォールド、およびそれらの間の射の構築に使用されます。代数位相幾何学では、被覆空間は基本群と密接に関連しています。まず、すべての被覆はホモトピー持ち上げ特性を持つため、被覆空間はホモトピー群の計算における重要なツールです。この流れの標準的な例は、による円の基本群の被覆による計算です（以下を参照）。^{[2] ：29}特定の条件下では、被覆空間は基本群の部分群とのガロア対応も示します。 ${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

を位相空間とする。の被覆は連続写像である。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \pi :{\tilde {X}}\rightarrow X}$

で、任意の に対して の開近傍と離散空間が存在し、およびは任意の に対して同相写像となる。開集合はシートと呼ばれ、 が連結である場合に同相写像を除いて一意に決定される。^{[2] : 56}各 に対して、離散集合はのファイバーと呼ばれる。が連結である場合（かつ が空でない場合）、 は全射 であることが示され、の濃度はすべての に対して同じである。この値を被覆の次数と呼ぶ。 がパス連結である場合、被覆はパス連結被覆と呼ばれる。この定義は、 が局所的に自明なファイバーバンドルであるというステートメントと同等である。 ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle U_{x}}$${\displaystyle x}$ ${\displaystyle D_{x}}$${\displaystyle \pi ^{-1}(U_{x})=\displaystyle \bigsqcup _{d\in D_{x}}V_{d}}$${\displaystyle \pi |_{V_{d}}:V_{d}\rightarrow U_{x}}$${\displaystyle d\in D_{x}}$${\displaystyle V_{d}}$${\displaystyle U_{x}}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle \pi ^{-1}(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\tilde {X}}}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle D_{x}}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle {\tilde {X}}}$${\displaystyle \pi :{\tilde {X}}\rightarrow X}$${\displaystyle \pi }$

一部の著者は、連結されていない場合には全射であることを要求する。^[3]${\displaystyle \pi }$${\displaystyle X}$

• あらゆる位相空間 に対して、恒等写像は被覆です。同様に、あらゆる離散空間 に対して、射影をとることは被覆です。このタイプの被覆は自明被覆と呼ばれます。 に有限個 (たとえば ) の元がある場合、被覆はの自明-シート被覆と呼ばれます。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {id} :X\rightarrow X}$${\displaystyle D}$${\displaystyle \pi :X\times D\rightarrow X}$${\displaystyle (x,i)\mapsto x}$${\displaystyle D}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle X}$

• による写像は単位円の被覆である。被覆の底は であり、被覆空間は である。となる任意の点に対して、集合はの開近傍である。 の逆像はである。 ${\displaystyle r:\mathbb {R} \to S^{1}}$${\displaystyle r(t)=(\cos(2\pi t),\sin(2\pi t))}$ ${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle x=(x_{1},x_{2})\in S^{1}}$${\displaystyle x_{1}>0}$${\displaystyle U:=\{(x_{1},x_{2})\in S^{1}\mid x_{1}>0\}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle U}$${\displaystyle r}$

  ${\displaystyle r^{-1}(U)=\displaystyle \bigsqcup _{n\in \mathbb {Z} }\left(n-{\frac {1}{4}},n+{\frac {1}{4}}\right)}$

そしてカバーのシートは繊維のためです ${\displaystyle V_{n}=(n-1/4,n+1/4)}$${\displaystyle n\in \mathbb {Z} .}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle r^{-1}(x)=\{t\in \mathbb {R} \mid (\cos(2\pi t),\sin(2\pi t))=x\}.}$

• 単位円の別の被覆は、に対する の写像である。の開近傍に対して、次が成り立つ。${\displaystyle q:S^{1}\to S^{1}}$${\displaystyle q(z)=z^{n}}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} .}$${\displaystyle U}$${\displaystyle x\in S^{1}}$

${\displaystyle q^{-1}(U)=\displaystyle \bigsqcup _{i=1}^{n}U}$。

• 局所同相写像だが単位円の被覆ではない写像はである。 の開近傍のシートが存在するが、これは に同相写像されない。${\displaystyle p:\mathbb {R_{+}} \to S^{1}}$${\displaystyle p(t)=(\cos(2\pi t),\sin(2\pi t))}$${\displaystyle (1,0)}$${\displaystyle U}$

被覆は の互いに素な開集合のそれぞれをそれに同相的に写すので、は局所同相写像、すなわち は連続写像であり、任意の に対しての開近傍が存在し、 は同相写像である。 ${\displaystyle \pi :E\rightarrow X}$${\displaystyle \pi ^{-1}(U)}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle e\in E}$${\displaystyle V\subset E}$${\displaystyle e}$${\displaystyle \pi |_{V}:V\rightarrow \pi (V)}$

したがって、被覆空間と基底空間は局所的に同じ特性を共有することになります。 ${\displaystyle E}$${\displaystyle X}$

• が連結かつ向き付け不可能な多様体である場合、次数の被覆が存在し、それによって は連結かつ向き付け可能な多様体となる。^{[2] : 234}${\displaystyle X}$${\displaystyle \pi :{\tilde {X}}\rightarrow X}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle {\tilde {X}}}$
• が連結リー群である場合、リー群準同型でもある被覆が存在し、リー群となる。^{[4] : 174}${\displaystyle X}$${\displaystyle \pi :{\tilde {X}}\rightarrow X}$${\displaystyle {\tilde {X}}:=\{\gamma :\gamma {\text{ is a path in X with }}\gamma (0)={\boldsymbol {1_{X}}}{\text{ modulo homotopy with fixed ends}}\}}$
• がグラフである場合、これもグラフである被覆が成り立つ。[ 2 ^{] : 85}${\displaystyle X}$${\displaystyle \pi :E\rightarrow X}$${\displaystyle E}$
• が連結多様体である場合、被覆 が存在し、それによって は連結かつ単連結な多様体となる。^{[5] : 32}${\displaystyle X}$${\displaystyle \pi :{\tilde {X}}\rightarrow X}$${\displaystyle {\tilde {X}}}$
• が連結リーマン面である場合、正則写像でもある被覆が存在する^{[5] : 22} 。また、連結かつ単連結なリーマン面である^{[5] : 32}${\displaystyle X}$${\displaystyle \pi :{\tilde {X}}\rightarrow X}$${\displaystyle {\tilde {X}}}$

とを経路連結かつ局所経路連結な空間とし、とを連続写像とすると、図 ${\displaystyle X,Y}$${\displaystyle E}$${\displaystyle p,q}$${\displaystyle r}$

通勤する。

• およびが被覆である場合、 も同様です。${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle r}$
• とが覆いであれば、 も同様である。^{[6] : 485}${\displaystyle p}$${\displaystyle r}$${\displaystyle q}$

とを位相空間、とを被覆とすると、は被覆となる。^{[6] : 339}しかし、 の被覆は一般にこの形式だけではない。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X'}$${\displaystyle p:E\rightarrow X}$${\displaystyle p':E'\rightarrow X'}$${\displaystyle p\times p':E\times E'\rightarrow X\times X'}$${\displaystyle (p\times p')(e,e')=(p(e),p'(e'))}$${\displaystyle X\times X'}$

を位相空間とし、とを被覆とする。同相写像 が存在し、図式が ${\displaystyle X}$${\displaystyle p:E\rightarrow X}$${\displaystyle p':E'\rightarrow X}$${\displaystyle h:E\rightarrow E'}$

は可換である。このような同相写像が存在する場合、被覆空間とが同型であると言う。 ${\displaystyle E}$${\displaystyle E'}$

すべての被覆は揚力特性を満たします。つまり、

を単位区間とし、を被覆とする。を連続写像とし、を のリフト、すなわち となる連続写像とする。すると、 に対する一意に決まる連続写像が存在し、となり、 のリフト、すなわち となる。^{[2] : 60}${\displaystyle I}$${\displaystyle p:E\rightarrow X}$${\displaystyle F:Y\times I\rightarrow X}$${\displaystyle {\tilde {F}}_{0}:Y\times \{0\}\rightarrow E}$${\displaystyle F|_{Y\times \{0\}}}$${\displaystyle p\circ {\tilde {F}}_{0}=F|_{Y\times \{0\}}}$${\displaystyle {\tilde {F}}:Y\times I\rightarrow E}$${\displaystyle {\tilde {F}}(y,0)={\tilde {F}}_{0}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle p\circ {\tilde {F}}=F}$

がパス連結空間である場合、 に対しては写像は内のパスのリフトであり、 に対しては写像は内のパスのホモトピーのリフトであることがわかります。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y=\{0\}}$${\displaystyle {\tilde {F}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y=I}$${\displaystyle X}$

結果として、単位円の基本群は 無限巡回群であり、これはのループのホモトピー類によって生成されることを示すことができる。^{[2] : 29}${\displaystyle \pi _{1}(S^{1})}$${\displaystyle \gamma :I\rightarrow S^{1}}$${\displaystyle \gamma (t)=(\cos(2\pi t),\sin(2\pi t))}$

をパス連結空間、を連結被覆とする。 をパス で連結された任意の2点、すなわちと とする。を の唯一の揚力とすると、写像 ${\displaystyle X}$${\displaystyle p:E\rightarrow X}$${\displaystyle x,y\in X}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \gamma (0)=x}$${\displaystyle \gamma (1)=y}$${\displaystyle {\tilde {\gamma }}}$${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle L_{\gamma }:p^{-1}(x)\rightarrow p^{-1}(y)}$と${\displaystyle L_{\gamma }({\tilde {\gamma }}(0))={\tilde {\gamma }}(1)}$

は全単射である。^{[2] : 69}

が経路連結空間であり連結被覆である場合、誘導群準同型${\displaystyle X}$${\displaystyle p:E\rightarrow X}$

${\displaystyle p_{\#}:\pi _{1}(E)\rightarrow \pi _{1}(X)}$と、${\displaystyle p_{\#}([\gamma ])=[p\circ \gamma ]}$

は単射であり、の部分群 はのループのホモトピー類から成り、そのリフトは のループである。^{[2] : 61}${\displaystyle p_{\#}(\pi _{1}(E))}$${\displaystyle \pi _{1}(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle E}$

およびをリーマン面、つまり 1 次元複素多様体とし、を連続写像とします。が点 において正則 である場合、およびの任意のチャートに対して が成り立ち、 が成り立つとき、写像は正則です。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \phi _{x}:U_{1}\rightarrow V_{1}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \phi _{f(x)}:U_{2}\rightarrow V_{2}}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle \phi _{x}(U_{1})\subset U_{2}}$${\displaystyle \phi _{f(x)}\circ f\circ \phi _{x}^{-1}:\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} }$

が正則である場合、 は正則であると言います。${\displaystyle f}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle f}$

この写像はにおけるの局所表現と呼ばれます。 ${\displaystyle F=\phi _{f(x)}\circ f\circ \phi _{x}^{-1}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x\in X}$

がコンパクトリーマン面間の非定数正則写像である場合、は射影的かつ開写像である、^{[5] ：11}すなわち、任意の開集合に対して像も開写像である。 ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle U\subset X}$ ${\displaystyle f(U)\subset Y}$

をコンパクト リーマン面間の非定数正則写像とします。任意の に対して、および のチャートが存在し、一意に決まる が存在し、におけるの局所表現は形式 となります。^{[5] : 10}数はにおけるの分岐指数と呼ばれ、の場合、点は分岐点と呼ばれます。に対して の場合、 は分岐しません。分岐点の像点は分岐点と呼ばれます。${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle k_{x}\in \mathbb {N_{>0}} }$${\displaystyle F}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle z\mapsto z^{k_{x}}}$${\displaystyle k_{x}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle k_{x}\geq 2}$${\displaystyle k_{x}=1}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y=f(x)\in Y}$

をコンパクトなリーマン面の間の非定数正則写像とします。の次数は、非分岐点のファイバーの濃度、つまりです。 ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$${\displaystyle \operatorname {deg} (f)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle y=f(x)\in Y}$${\displaystyle \operatorname {deg} (f):=|f^{-1}(y)|}$

この数は明確に定義されており、任意の2つの非分岐点に対しては、^次の式で表される。${\displaystyle y\in Y}$${\displaystyle f^{-1}(y)}$${\displaystyle y_{1},y_{2}\in Y}$${\displaystyle |f^{-1}(y_{1})|=|f^{-1}(y_{2})|.}$

次のように計算できます。

${\displaystyle \sum _{x\in f^{-1}(y)}k_{x}=\operatorname {deg} (f)}$ ^{[5] : 29}

連続写像 は、 が被覆となる ような稠密補集合を持つ閉集合が存在する場合、分岐被覆と呼ばれます。${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$${\displaystyle E\subset Y}$${\displaystyle f_{|X\smallsetminus f^{-1}(E)}:X\smallsetminus f^{-1}(E)\rightarrow Y\smallsetminus E}$

• および とすると、 は次数 の分岐被覆となり、 は分岐点となります。${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle n\geq 2}$${\displaystyle f:\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} }$${\displaystyle f(z)=z^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle z=0}$
• 次数のコンパクトなリーマン面間のすべての非定数正則写像は、次数の分岐被覆です。${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$${\displaystyle d}$${\displaystyle d}$

を単連結被覆とする。 が別の単連結被覆である場合、一意に決定される同相写像 が存在し、図式 ${\displaystyle p:{\tilde {X}}\rightarrow X}$${\displaystyle \beta :E\rightarrow X}$${\displaystyle \alpha :{\tilde {X}}\rightarrow E}$

通勤者^{[6] : 482}

これは、同値性を除いて が一意に決定され、その普遍的性質により空間 の普遍的被覆として表されることを意味します。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle X}$

普遍的な被覆は常に存在するわけではありませんが、次の特性がその存在を保証します。

を連結かつ局所的に単連結な位相空間とすると、普遍被覆 が存在する。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle p:{\tilde {X}}\rightarrow X}$

${\displaystyle {\tilde {X}}}$は と定義され、によって定義される。^{[2] : 64}${\displaystyle {\tilde {X}}:=\{\gamma :\gamma {\text{ is a path in }}X{\text{ with }}\gamma (0)=x_{0}\}/{\text{ homotopy with fixed ends}}}$${\displaystyle p:{\tilde {X}}\rightarrow X}$${\displaystyle p([\gamma ]):=\gamma (1)}$

上の位相は次のように構築されます: を を伴うパスとします。を端点 の単連結近傍とすると、任意の に対してからまでの内のパスはホモトピーを除いて一意に決定されます。 ここで を考えると、 を伴うは一対一であり、の最終的な位相を備えることができます。 ${\displaystyle {\tilde {X}}}$${\displaystyle \gamma :I\rightarrow X}$${\displaystyle \gamma (0)=x_{0}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle x=\gamma (1)}$${\displaystyle y\in U}$ ${\displaystyle \sigma _{y}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle {\tilde {U}}:=\{\gamma .\sigma _{y}:y\in U\}/{\text{ homotopy with fixed ends}}}$${\displaystyle p_{|{\tilde {U}}}:{\tilde {U}}\rightarrow U}$${\displaystyle p([\gamma .\sigma _{y}])=\gamma .\sigma _{y}(1)=y}$${\displaystyle {\tilde {U}}}$${\displaystyle p_{|{\tilde {U}}}}$

基本群はを介し​​て に自由に作用し、は同相写像、すなわちとなります。 ${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})=\Gamma }$${\displaystyle ([\gamma ],[{\tilde {x}}])\mapsto [\gamma .{\tilde {x}}]}$${\displaystyle {\tilde {X}}}$${\displaystyle \psi :\Gamma \backslash {\tilde {X}}\rightarrow X}$${\displaystyle \psi ([\Gamma {\tilde {x}}])={\tilde {x}}(1)}$${\displaystyle \Gamma \backslash {\tilde {X}}\cong X}$

• ${\displaystyle r:\mathbb {R} \to S^{1}}$は単位円の普遍被覆です。${\displaystyle r(t)=(\cos(2\pi t),\sin(2\pi t))}$${\displaystyle S^{1}}$
• ${\displaystyle p:S^{n}\to \mathbb {R} P^{n}\cong \{+1,-1\}\backslash S^{n}}$はの射影空間の普遍被覆です。${\displaystyle p(x)=[x]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} P^{n}}$${\displaystyle n>1}$
• ${\displaystyle q:\mathrm {SU} (n)\ltimes \mathbb {R} \to U(n)}$はユニタリ群の普遍被覆である。^{[7] ：5、定理1}$${\displaystyle q(A,t)={\begin{bmatrix}\exp(2\pi it)&0\\0&I_{n-1}\end{bmatrix}}_{\vphantom {x}}A}$$ ${\displaystyle U(n)}$
• なので、商写像は の普遍被覆であることがわかります。${\displaystyle \mathrm {SU} (2)\cong S^{3}}$ $${\displaystyle f:\mathrm {SU} (2)\rightarrow \mathrm {SU} (2)\backslash \mathbb {Z_{2}} \cong \mathrm {SO} (3)}$$${\displaystyle \mathrm {SO} (3)}$
• 普遍被覆を持たない位相空間はハワイアンイヤリングである。原点の近傍はどれも単連結ではないことが示される。^{[6] : 487、例1}$${\displaystyle X=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\left\{(x_{1},x_{2})\in \mathbb {R} ^{2}:{\Bigl (}x_{1}-{\frac {1}{n}}{\Bigr )}^{2}+x_{2}^{2}={\frac {1}{n^{2}}}\right\}}$$${\displaystyle (0,0)}$

G を位相空間Xに作用する離散群 とする。これは、Gの各元g が、それ自身へのXの同相 H _gに関連付けられ、 Gの任意の2つの元gとhに対して H _{g h}が常に H _g ∘ H _hに等しいということを意味する。（言い換えれば、群Gの空間Xへの群作用は、群GのXの自己同相の群 Homeo( X )への群準同型にすぎない。） Xから軌道空間X / Gへの射影がどのような条件下で被覆写像になるかを尋ねるのは自然なことである。これは、作用が不動点を持つ場合があるため、常に真であるわけではない。この例としては、非単位元が( x , y ) ↦ ( y , x )によって作用するねじり作用によって積X × Xに作用する位数 2 の巡回群が挙げられる。したがって、 XとX / Gの基本群の関係の研究はそれほど簡単ではない。

しかし、群G はXの基本群に作用するので、群に作用する群と、対応する軌道群を考えることによって研究を最もよく扱うことができます。この理論は、以下で言及する書籍「位相と群」の第 11 章に記載されています。主な結果は、普遍被覆を許容するハウスドルフ空間Xへの群Gの不連続作用に対して、軌道空間X / Gの基本群は、 Xの基本群の軌道群、つまり、その群を群Gの作用で割った商に同型であるということです。これにより、たとえば空間の対称正方形の基本群の明示的な計算が可能になります。

EとM を境界付きまたは境界なしの滑らかな多様体とします。被覆は滑らかな写像であり、シートがMの対応する開部分集合に微分同相的に写像される場合、滑らかな被覆と呼ばれます。(これは、シートが対応する開部分集合に 同相的に写像されることのみを要求する被覆の定義とは対照的です。)${\displaystyle \pi :E\to M}$

を被覆とする。デッキ変換は同相写像であり、連続写像の図式 ${\displaystyle p:E\rightarrow X}$${\displaystyle d:E\rightarrow E}$

は可換である。マップの合成と合わせて、デッキ変換の集合はグループ を形成し、これは と同じである。 ${\displaystyle \operatorname {Deck} (p)}$${\displaystyle \operatorname {Aut} (p)}$

ここで、が被覆写像であり、（したがって も）が連結かつ局所的に経路連結であるとします。の各ファイバーに対するの作用は自由です。 この作用があるファイバー上で推移的である場合、すべてのファイバー上で推移的であり、被覆を正則（または正規、ガロア）と呼びます。 このような正則被覆はすべて主-バンドルであり、 は離散位相群と見なされます。 ${\displaystyle p:C\to X}$${\displaystyle C}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {Aut} (p)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G=\operatorname {Aut} (p)}$

すべての普遍被覆は正則であり、デッキ変換群は基本群に同型です。${\displaystyle p:D\to X}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$

• を のカバーとすると、 のマップはデッキ変換であり、 です。${\displaystyle q:S^{1}\to S^{1}}$${\displaystyle q(z)=z^{n}}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle d_{k}:S^{1}\rightarrow S^{1}:z\mapsto z\,e^{2\pi ik/n}}$${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle \operatorname {Deck} (q)\cong \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$
• を カバー とすると、のマップはデッキ変換となり、 となります。${\displaystyle r:\mathbb {R} \to S^{1}}$${\displaystyle r(t)=(\cos(2\pi t),\sin(2\pi t))}$${\displaystyle d_{k}:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} :t\mapsto t+k}$${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle \operatorname {Deck} (r)\cong \mathbb {Z} }$
• もう 1 つの重要な例として、複素平面と原点を除いた複素平面を考えてみましょう。 を伴う写像は正則被覆です。デッキ変換は1 の-乗根との乗算であり、デッキ変換群は巡回群と同型です。同様に、を伴う写像は普遍被覆です。${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}$${\displaystyle p:\mathbb {C} ^{\times }\to \mathbb {C} ^{\times }}$${\displaystyle p(z)=z^{n}}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$${\displaystyle \exp :\mathbb {C} \to \mathbb {C} ^{\times }}$${\displaystyle \exp(z)=e^{z}}$

をパス連結空間、を連結被覆とします。デッキ変換は1 対 1なので、ファイバーの要素を で置換し、 は単一の点をどこに送るかによって一意に決定されます。特に、恒等写像のみがファイバー内の点を固定します。^{[2] : 70}この特性により、すべてのデッキ変換はに対する群作用を定義します。つまり、を の開近傍、を の開近傍とすると、 は群作用になります。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle p:E\rightarrow X}$${\displaystyle d:E\rightarrow E}$${\displaystyle p^{-1}(x)}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle E}$${\displaystyle U\subset X}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle {\tilde {U}}\subset E}$${\displaystyle e\in p^{-1}(x)}$${\displaystyle \operatorname {Deck} (p)\times E\rightarrow E:(d,{\tilde {U}})\mapsto d({\tilde {U}})}$

被覆 は、 の場合に正規と呼ばれます。これは、すべてのと任意の 2 つに対して、となるデッキ変換 が存在することを意味します。 ${\displaystyle p:E\rightarrow X}$${\displaystyle \operatorname {Deck} (p)\backslash E\cong X}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle e_{0},e_{1}\in p^{-1}(x)}$${\displaystyle d:E\rightarrow E}$${\displaystyle d(e_{0})=e_{1}}$

が経路連結空間であり、が連結被覆であるとします。 が の部分群であるとすると、が正規被覆である場合に限り、がの正規部分群となります。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle p:E\rightarrow X}$${\displaystyle H=p_{\#}(\pi _{1}(E))}$${\displaystyle \pi _{1}(X)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \pi _{1}(X)}$

が正規被覆で の場合、 となります。 ${\displaystyle p:E\rightarrow X}$${\displaystyle H=p_{\#}(\pi _{1}(E))}$${\displaystyle \operatorname {Deck} (p)\cong \pi _{1}(X)/H}$

がパス連結被覆でならばとなり、は の正規化子となる。^{[2] : 71}${\displaystyle p:E\rightarrow X}$${\displaystyle H=p_{\#}(\pi _{1}(E))}$${\displaystyle \operatorname {Deck} (p)\cong N(H)/H}$${\displaystyle N(H)}$${\displaystyle H}$

を位相空間とします。群がに不連続に作用するとは、任意の が との開近傍を持ち、任意の に対して が存在することを意味します。 ${\displaystyle E}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle E}$${\displaystyle e\in E}$${\displaystyle V\subset E}$${\displaystyle V\neq \emptyset }$${\displaystyle d_{1},d_{2}\in \Gamma }$${\displaystyle d_{1}V\cap d_{2}V\neq \emptyset }$${\displaystyle d_{1}=d_{2}}$

群が位相空間 に不連続に作用する場合、を伴う商写像は正規被覆となる。^{[2] : 72}ここで は商空間であり、 は群作用の 軌道である。${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle E}$ ${\displaystyle q:E\rightarrow \Gamma \backslash E}$${\displaystyle q(e)=\Gamma e}$${\displaystyle \Gamma \backslash E=\{\Gamma e:e\in E\}}$${\displaystyle \Gamma e=\{\gamma (e):\gamma \in \Gamma \}}$

• のカバーは、すべての の通常のカバーです。${\displaystyle q:S^{1}\to S^{1}}$${\displaystyle q(z)=z^{n}}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$
• すべての単連結被覆は正規被覆である。

を位相空間上で不連続に作用する群とし、を正規被覆とします。 ${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle E}$${\displaystyle q:E\rightarrow \Gamma \backslash E}$

• がパス連結である場合、 . ^{[2] : 72}${\displaystyle E}$${\displaystyle \operatorname {Deck} (q)\cong \Gamma }$

• が単連結であれば、 となる。^{[2] : 71}${\displaystyle E}$${\displaystyle \operatorname {Deck} (q)\cong \pi _{1}(\Gamma \backslash E)}$

• とします。との対蹠写像は、写像の合成とともに群を生成し、に不連続に作用する群作用 を引き起こします。 により、商写像は正規被覆であり、 は普遍被覆であるため、 に対しても当てはまります。${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle g:S^{n}\rightarrow S^{n}}$${\displaystyle g(x)=-x}$${\displaystyle D(g)\cong \mathbb {Z/2Z} }$${\displaystyle D(g)\times S^{n}\rightarrow S^{n},(g,x)\mapsto g(x)}$${\displaystyle S^{n}}$${\displaystyle \mathbb {Z_{2}} \backslash S^{n}\cong \mathbb {R} P^{n}}$${\displaystyle q:S^{n}\rightarrow \mathbb {Z_{2}} \backslash S^{n}\cong \mathbb {R} P^{n}}$${\displaystyle n>1}$${\displaystyle \operatorname {Deck} (q)\cong \mathbb {Z/2Z} \cong \pi _{1}({\mathbb {R} P^{n}})}$${\displaystyle n>1}$
• を特殊直交群とすると、写像は正規被覆となり、により普遍被覆となるため となります。${\displaystyle \mathrm {SO} (3)}$${\displaystyle f:\mathrm {SU} (2)\rightarrow \mathrm {SO} (3)\cong \mathbb {Z_{2}} \backslash \mathrm {SU} (2)}$${\displaystyle \mathrm {SU} (2)\cong S^{3}}$${\displaystyle \operatorname {Deck} (f)\cong \mathbb {Z/2Z} \cong \pi _{1}(\mathrm {SO} (3))}$
• に対する群作用（ここで は半直積）により、クラインの壺の普遍被覆が得られるので、 となります 。${\displaystyle (z_{1},z_{2})*(x,y)=(z_{1}+(-1)^{z_{2}}x,z_{2}+y)}$${\displaystyle \mathbb {Z^{2}} }$${\displaystyle \mathbb {R^{2}} }$${\displaystyle (\mathbb {Z^{2}} ,*)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} \rtimes \mathbb {Z} }$${\displaystyle f:\mathbb {R^{2}} \rightarrow (\mathbb {Z} \rtimes \mathbb {Z} )\backslash \mathbb {R^{2}} \cong K}$ ${\displaystyle K}$${\displaystyle \operatorname {Deck} (f)\cong \mathbb {Z} \rtimes \mathbb {Z} \cong \pi _{1}(K)}$
• が に埋め込まれたトーラスであるとします。すると同相写像 が得られ、これによって不連続な群作用 が生じます。したがって、写像 はクラインの壺の正規被覆となるため、となります。${\displaystyle T=S^{1}\times S^{1}}$${\displaystyle \mathbb {C^{2}} }$${\displaystyle \alpha :T\rightarrow T:(e^{ix},e^{iy})\mapsto (e^{i(x+\pi )},e^{-iy})}$${\displaystyle G_{\alpha }\times T\rightarrow T}$${\displaystyle G_{\alpha }\cong \mathbb {Z/2Z} }$${\displaystyle f:T\rightarrow G_{\alpha }\backslash T\cong K}$${\displaystyle \operatorname {Deck} (f)\cong \mathbb {Z/2Z} }$
• を に埋め込むとします。群作用は不連続であり、 は互いに素であるため、写像はレンズ空間の普遍被覆となり、したがって となります。${\displaystyle S^{3}}$${\displaystyle \mathbb {C^{2}} }$${\displaystyle S^{3}\times \mathbb {Z/pZ} \rightarrow S^{3}:((z_{1},z_{2}),[k])\mapsto (e^{2\pi ik/p}z_{1},e^{2\pi ikq/p}z_{2})}$${\displaystyle p,q\in \mathbb {N} }$${\displaystyle f:S^{3}\rightarrow \mathbb {Z_{p}} \backslash S^{3}=:L_{p,q}}$ ${\displaystyle L_{p,q}}$${\displaystyle \operatorname {Deck} (f)\cong \mathbb {Z/pZ} \cong \pi _{1}(L_{p,q})}$

を連結かつ局所単連結な空間とすると、任意の部分群に対してとなる経路連結な被覆が存在する。^{[2] : 66}${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H\subseteq \pi _{1}(X)}$${\displaystyle \alpha :X_{H}\rightarrow X}$${\displaystyle \alpha _{\#}(\pi _{1}(X_{H}))=H}$

とを2つの経路連結被覆とするとき、部分群とが互いに共役である場合に限り、それらは同値である 。[ 6 ] ^{: 482}${\displaystyle p_{1}:E\rightarrow X}$${\displaystyle p_{2}:E'\rightarrow X}$${\displaystyle H=p_{1\#}(\pi _{1}(E))}$${\displaystyle H'=p_{2\#}(\pi _{1}(E'))}$

が連結かつ局所的に単連結な空間であるとすると、被覆間の同値性を除き、全単射が存在する。 ${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\begin{matrix}\qquad \displaystyle \{{\text{Subgroup of }}\pi _{1}(X)\}&\longleftrightarrow &\displaystyle \{{\text{path-connected covering }}p:E\rightarrow X\}\\H&\longrightarrow &\alpha :X_{H}\rightarrow X\\p_{\#}(\pi _{1}(E))&\longleftarrow &p\\\displaystyle \{{\text{normal subgroup of }}\pi _{1}(X)\}&\longleftrightarrow &\displaystyle \{{\text{normal covering }}p:E\rightarrow X\}\end{matrix}}}$

部分群の列に対しては被覆の列が得られます。指数の部分群に対しては、被覆の次数は です。 ${\displaystyle \displaystyle \{{\text{e}}\}\subset H\subset G\subset \pi _{1}(X)}$${\displaystyle {\tilde {X}}\longrightarrow X_{H}\cong H\backslash {\tilde {X}}\longrightarrow X_{G}\cong G\backslash {\tilde {X}}\longrightarrow X\cong \pi _{1}(X)\backslash {\tilde {X}}}$${\displaystyle H\subset \pi _{1}(X)}$ ${\displaystyle \displaystyle [\pi _{1}(X):H]=d}$${\displaystyle \alpha :X_{H}\rightarrow X}$${\displaystyle d}$

を位相空間とする。カテゴリの対象はの被覆であり、2つの被覆との間の射は連続写像であり、図 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {Cov(X)}}}$${\displaystyle p:E\rightarrow X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle p:E\rightarrow X}$${\displaystyle q:F\rightarrow X}$${\displaystyle f:E\rightarrow F}$

通勤する。

を位相群とします。カテゴリは、 G-集合である集合のカテゴリです。射は、G-集合間のG-写像です。それらは、あらゆる に対して条件を満たします。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {G-Set}}}$ ${\displaystyle \phi :X\rightarrow Y}$${\displaystyle \phi (gx)=g\,\phi (x)}$${\displaystyle g\in G}$

を連結かつ局所単連結な空間とし、をの基本群とする。 は、パスを持ち上げてその端点で評価することにより、被覆の繊維に対する群作用を定義するので、関手はカテゴリ の同値となる。^{[2] : 68–70}${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle G=\pi _{1}(X,x)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F:{\boldsymbol {Cov(X)}}\longrightarrow {\boldsymbol {G-Set}}:p\mapsto p^{-1}(x)}$

被覆空間の重要な実用的応用は、回転群 SO(3) のチャートで見られます。この群は、3 次元回転が航海、船舶工学、航空宇宙工学など多くの用途で頻繁に使用されるため、工学で広く使用されています。位相的には、SO(3) は実射影空間RP ³で、基本群Z /2 を持ち、超球面S ³のみ (非自明) 被覆空間であり、これはSpin(3)群であり、単位四元数で表されます。したがって、四元数は空間回転を表すための好ましい方法です。四元数と空間回転を参照してください。

しかし、多くの場合、回転をオイラー角（さまざまなバリエーション）と呼ばれる 3 つの数値のセットで表すことが望ましいです。これは、平面回転に精通している人にとって概念的に簡単であり、3 つのジンバルの組み合わせを構築して 3 次元の回転を生成できるためです。位相的には、これは 3 角度の 3 次元トーラスT ³から回転の実射影空間RP ³へのマップに対応し、結果として得られるマップには、このマップが被覆マップになることができないために不完全性があります。具体的には、マップが特定の点でローカル同相になることができないことをジンバル ロックと呼び、右のアニメーションで示しています。一部の点（軸が共平面にある場合）では、マップのランクは3 ではなく 2 であり、角度を変更することでその点から 2 次元の回転しか実現できないことを意味します。これはアプリケーションで問題を引き起こし、被覆空間の概念によって形式化されます。

• ベーテ格子はケーリーグラフの普遍被覆である。
• 被覆グラフ、無向グラフの被覆空間、およびその特殊なケースである二部二重被覆
• カバーグループ
• ガロア接続
• 商空間（位相）

• ハッチャー、アレン（2002年）。代数的位相幾何学。ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-79160-X. OCLC  45420394.
• フォースター、オットー（1981）。リーマン面に関する講義。ニューヨーク。ISBN 0-387-90617-7. OCLC  7596520.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
• マンクレス、ジェームズ・R. (2018)。トポロジー。ニューヨーク、NY。ISBN 978-0-13-468951-7. OCLC  964502066.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
• キュネル、ヴォルフガング (2011)。Matrizen und Lie-Gruppen Eine geometrische Einführung (ドイツ語)。ヴィースバーデン: Vieweg+Teubner Verlag。土井：10.1007/978-3-8348-9905-7。ISBN 978-3-8348-9905-7. OCLC  706962685.