マクスウェル方程式

マクスウェル方程式、またはマクスウェル・ヘヴィサイド方程式は、ローレンツ力の法則とともに、古典電磁気学、古典光学、電気回路および磁気回路の基礎を形成する、一組の結合偏微分方程式である。この方程式は、発電、電動機、無線通信、レンズ、レーダーなどの電気、光学、無線技術の数学的モデルを提供する。これらの方程式は、電荷、電流、および場の変化によって電界と磁界がどのように生成されるかを記述する。 ^{[注 1]}この方程式は、物理学者で数学者のジェームズ・クラーク・マクスウェルにちなんで名付けられている。マクスウェルは、1861年と1862年に、ローレンツ力の法則を含む方程式の初期の形式を発表した。マクスウェルは、光が電磁気現象であると最初に提案するためにこの方程式を使用した。最も一般的な定式化における方程式の現代形式は、オリバー・ヘヴィサイドによるものとされている。^[1]

マクスウェル方程式を組み合わせると、電磁場（波）の変動が真空中で一定速度c（299 792 458  m/s ^[2]）。電磁放射として知られるこれらの波は、様々な波長で発生し、電波からガンマ線までの放射スペクトルを生成します。

偏微分方程式の形式と一貫した単位系では、マクスウェルの微視的方程式は、電場 、磁場 、電荷密度 、電流密度 で、 と表すことができます 。は真空の誘電率、 は真空の透磁率です。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {E} \,\,\,&={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}\\\nabla \cdot \mathbf {B} \,\,\,&=0\\\nabla \times \mathbf {E} &=-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\\\nabla \times \mathbf {B} &=\mu _{0}\left(\mathbf {J} +\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)\end{aligned}}}$$${\displaystyle \mathbf {E} }$${\displaystyle \mathbf {B} }$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \mathbf {J} }$${\displaystyle \varepsilon _{0}}$${\displaystyle \mu _{0}}$

方程式には 2 つの主要なバリエーションがあります。

• ミクロな方程式は普遍的に適用可能ですが、一般的な計算には扱いにくいものです。これらの方程式は、電場と磁場を全電荷と全電流に関連付けますが、これには原子スケールの物質内の複雑な電荷と電流も含まれます。
• マクロ方程式は、原子スケールの電荷やスピンなどの量子現象を考慮することなく、物質の大規模な挙動を記述する 2 つの新しい補助場を定義します。ただし、それらを使用するには、物質の電磁応答を現象論的に記述するための実験的に決定されたパラメータが必要です。

「マクスウェル方程式」という用語は、同等の代替定式化にも使用されることが多い。電気および磁気スカラーポテンシャルに基づくマクスウェル方程式のバージョンは、境界値問題、解析力学として方程式を明示的に解く場合、または量子力学で使用する場合に好まれる。共変定式化（空間と時間を別々にではなく時空に対して）により、マクスウェル方程式と特殊相対性理論の互換性が 明らかになる。高エネルギー物理学や重力物理学で一般的に使用される曲がった時空におけるマクスウェル方程式は、一般相対性理論と互換性がある。^{[注 2]}実際、アルバート・アインシュタインは、相対的な動きのみが物理的結果をもたらすという原理に基づいて、マクスウェル方程式の結果である光速度の不変量に​​対応するために特殊相対性理論と一般相対性理論を開発した。

この方程式の発表は、それまで別々に説明されていた磁気、電気、光、および関連する放射線の理論を統一するものでした。20 世紀半ば以降、マクスウェル方程式は電磁気現象を正確に説明するものではなく、より正確な量子電気力学理論の古典的な限界であると理解されるようになりました。

ガウスの法則は、電場と電荷の関係を説明しています。電場は正電荷から離れて負電荷に向かい、閉じた表面を通る電場の正味の流出量は、物質の分極による束縛電荷を含む、囲まれた電荷に比例します。この比例係数が自由空間の誘電率です。

ガウスの磁気の法則によれば、電荷には磁気単極子と呼ばれる磁気類似物は存在せず、N 磁極や S 磁極は孤立して存在しない。^[3]代わりに、物質の磁場は双極子に起因し、閉じた表面を通る磁場の正味の流出はゼロである。磁気双極子は、電流のループまたは等しく反対の「磁荷」の分離不可能なペアとして表されることがある。正確には、ガウス面を通る全磁束はゼロであり、磁場はソレノイドベクトル場である。^{[注 3]}

ファラデーの電磁誘導の法則のマクスウェル-ファラデー版は、時間とともに変化する磁場が電場の回転にどのように対応するかを説明しています。^[3]積分形式では、閉ループの周りで電荷を移動させるために必要な単位電荷あたりの仕事は、閉じた表面を通る磁束の変化率に等しいと述べています。

電磁誘導は多くの発電機の動作原理です。たとえば、回転する棒磁石は変化する磁場を作り出し、近くの電線に電界を発生させます。

アンペールの法則は、磁場は電流と関係があるとしています。マクスウェルの法則は、磁場は変化する電場とも関係があるとしています。マクスウェルはこれを変位電流と呼んでいます。積分形式は、電流と変位電流は、任意の囲み曲線に沿った比例する磁場と関係があることを示しています。

マクスウェルによるアンペールの回路法則の修正は重要である。なぜなら、そうでなければアンペールとガウスの法則を静的場に合わせて調整しなければならないからである。^{[4] [説明が必要]}結果として、変化する電場とともに回転磁場が発生すると予測される。^{[3] [5]さらなる結果として、}空の空間を伝わる自立した電磁波が存在する。

電荷と電流の実験から予測できる電磁波の速度は^{[注 4]}光速と一致します。実際、光は 電磁放射線の一種です（ X線、電波なども同様です）。マクスウェルは1861年に電磁波と光のつながりを理解し、それによって電磁気学と光学の理論を統一しました。

電場と磁場の定式化には、与えられた電荷と電流の分布に対して場を決定する 4 つの方程式があります。別の自然法則であるローレンツ力の法則は、電場と磁場が荷電粒子と電流にどう作用するかを説明します。慣例により、マクスウェルの元の方程式にあるこの法則のバージョンは含まれなくなりました。オリバー・ヘヴィサイド^[6] [ ^7]による以下のベクトル解析形式が標準となっています。これは回転不変であるため、マクスウェルの元の方程式のx、y、z成分よりも数学的にわかりやすくなっています。相対論的定式化はより対称的でローレンツ不変です。同じ方程式をテンソル解析または微分形式を使用して表現すると ( § 代替定式化を参照)。

微分と積分の定式化は数学的に同等であり、どちらも有用である。積分定式化は空間領域内の場を境界上の場に関連づけ、電荷と電流の対称分布から場を単純化して直接計算するためによく使用される。一方、微分方程式は純粋に局所的であり、例えば有限要素解析を使用するなど、より複雑な（対称性が低い）状況での場を計算するためのより自然な出発点である。^[8]

太字の記号はベクトル量を表し、斜体の記号は特に断りのない限りスカラー量を表す。方程式は電場E （ベクトル場）と磁場B （擬似ベクトル場）を導入し、それぞれ一般に時間と場所の依存性を持つ。情報源は以下の通り 。

• 総電荷密度（単位体積あたりの総電荷）、ρ、および
• 総電流密度（単位面積あたりの総電流）、J。

方程式に現れる 普遍定数（最初の 2 つは SI 定式化でのみ明示的に指定）は次のとおりです。

• 自由空間の誘電_率ε 0、および
• 自由空間の透磁率、μ 0 _、および
• 光の速度、${\displaystyle c=({\varepsilon _{0}\mu _{0}})^{-1/2}}$

微分方程式では、

• ナブラ記号∇は3次元勾配演算子delを表す。
• ∇⋅記号（「デルドット」と発音）は発散演算子を表します。
• ∇ ×記号 (「デルクロス」と発音) は回転演算子を表します。

積分方程式では、

• Ω は閉じた境界面∂Ωを持つ任意の体積であり、
• Σ は閉じた境界曲線∂Σを持つ任意の曲面であり、

時間に依存しない表面と体積を使用すると、方程式の解釈が少し簡単になります。時間に依存しない表面と体積は「固定」されており、特定の時間間隔で変化しません。たとえば、表面は時間に依存しないため、ファラデーの法則の積分記号の下に微分を適用できます。 マクスウェル方程式は、微分バージョンを使用し、ガウスとストークスの公式を適切に使用することで、時間に依存する可能性のある表面と体積で定式化できます。 $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\iint _{\Sigma }\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\iint _{\Sigma }{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} \,,}$$

• ${\displaystyle {\vphantom {\int }}_{\scriptstyle \partial \Omega }}$は境界面∂Ω上の面積分であり、ループは面が閉じていることを示す。
• ${\displaystyle \iiint _{\Omega }}$は体積Ω上の体積積分であり、
• ${\displaystyle \oint _{\partial \Sigma }}$境界曲線∂Σの周りの線積分であり、ループは曲線が閉じていることを示します。
• ${\displaystyle \iint _{\Sigma }}$は、面Σ上の面積分であり、
• Ωに囲まれた全電荷Q は、電荷密度ρのΩにわたる体積積分です(以下の「マクロな定式化」セクションを参照)。ここ で、d V は体積要素です。 $${\displaystyle Q=\iiint _{\Omega }\rho \ \mathrm {d} V,}$$
• 正味磁束Φ _Bは、 固定面Σを通過する磁場Bの面積分です。 $${\displaystyle \Phi _{B}=\iint _{\Sigma }\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} ,}$$
• 正味の 電束Φ _{E は}、 Σを通過する電場Eの面積分です。$${\displaystyle \Phi _{E}=\iint _{\Sigma }\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} ,}$$
• 正味電流I は、 Σ を通過する電流密度Jの面積分です。ここで、d S は、表面Σに垂直な表面積Sの微分ベクトル要素を表します。(ベクトル面積はSではなくAで表されることもありますが、これは磁気ベクトルポテンシャルの表記法と矛盾します)。 $${\displaystyle I=\iint _{\Sigma }\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} ,}$$

電荷、電場、磁場の定義は、ε ₀とμ ₀の次元係数を単位に吸収することで（したがって、これらを再定義することで）、理論計算を簡素化するために変更することができます。ローレンツ力の法則の量の値が対応するように変更されると、同じ物理、つまり荷電粒子の軌道、または電動モーターによって行われる仕事が得られます。これらの定義は、電磁テンソルの外観を簡素化するために電場と磁場を同じ単位でとることが自然な理論物理学や高エネルギー物理学でよく好まれます。電場と磁場を統合するローレンツ共変オブジェクトには、均一な単位と次元を持つコンポーネントが含まれます。^{[9] : vii} このような変更された定義は、通常、ガウス（CGS）単位で使用されます。これらの定義（口語的に「ガウス単位」）を使用すると、^[10] マクスウェル方程式は次のようになります。^[11]

光の速度cなどの量のシステムを選択し、無次元化に使用すると、方程式は若干簡略化され、たとえば、秒と光秒は互換性があり、c = 1 になります。

4 πの係数を吸収することで、さらに変更することができます。このプロセスは合理化と呼ばれ、クーロンの法則またはガウスの法則にそのような係数が含まれるかどうかに影響します (主に素粒子物理学で使用されるヘビサイド-ローレンツ単位を参照)。

微分定理と積分定理の同値性は、ガウス発散定理とケルビン・ストークスの定理の結果である。

（純粋に数学的な）ガウス発散定理によれば、境界面∂Ωを通る 電気流束は次のように書き直すことができる。

${\displaystyle {\vphantom {\oint }}_{\scriptstyle \partial \Omega }\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\iiint _{\Omega }\nabla \cdot \mathbf {E} \,\mathrm {d} V}$

したがって、ガウス方程式の積分バージョンは次のように書き直すことができます。Ω は 任意(たとえば、任意の中心を持つ任意の小さな球) なので、これは、被積分関数がどこでもゼロである場合にのみ満たされます 。これは、簡単な並べ替えを除けば、ガウス方程式の微分方程式の定式化です。 $${\displaystyle \iiint _{\Omega }\left(\nabla \cdot \mathbf {E} -{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}\right)\,\mathrm {d} V=0}$$

同様に、磁気に関するガウスの法則の磁束を積分形式で 書き直すと、

${\displaystyle {\vphantom {\oint }}_{\scriptstyle \partial \Omega }\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\iiint _{\Omega }\nabla \cdot \mathbf {B} \,\mathrm {d} V=0.}$

これは、すべてのΩに対して満たされる場合、かつ、すべての場所で満たされる場合に限ります。 ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}$

ケルビン・ストークスの定理により、閉じた境界曲線∂Σ の周りの場の線積分を、それが囲む表面上の 「場の循環」（つまり、場の回転）の積分に書き直すことができます。 つまり、アンペールの回路法則の修正版である アンペール・マクスウェルの法則 を積分形式で書き直すと、次のように書き直すことができます。 Σ は任意に選択できる ため（たとえば、任意の小ささ、任意の向き、任意の中心を持つ円板など）、微分方程式形式のアンペール・マクスウェルの法則が満たされる場合のみ、被積分関数がゼロになると結論付けられます。 ファラデーの法則の微分形式と積分形式の同値性も同様に成り立ちます。 $${\displaystyle \oint _{\partial \Sigma }\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=\iint _{\Sigma }(\nabla \times \mathbf {B} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} ,}$$$${\displaystyle \iint _{\Sigma }\left(\nabla \times \mathbf {B} -\mu _{0}\left(\mathbf {J} +\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)\right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =0.}$$

線積分と回転は、古典的な流体力学における量に類似しています。流体の循環は、閉ループの周りの流体の流速場の線積分であり、流体の渦度は速度場の回転です。

電荷の不変性は、マクスウェル方程式の系として導くことができます。アンペール・マクスウェルの法則の左辺は、 div-curl 恒等式により発散がゼロになります。右辺の発散を展開し、導関数を入れ替えてガウスの法則を適用すると、次の式が得られます。 すなわち、 ガウスの発散定理により、これは、固定体積内の電荷の変化率が境界を流れる正味電流に等しいことを意味します。 $${\displaystyle 0=\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {B} )=\nabla \cdot \left(\mu _{0}\left(\mathbf {J} +\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)\right)=\mu _{0}\left(\nabla \cdot \mathbf {J} +\varepsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\nabla \cdot \mathbf {E} \right)=\mu _{0}\left(\nabla \cdot \mathbf {J} +{\frac {\partial \rho }{\partial t}}\right)}$$$${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {J} =0.}$$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}Q_{\Omega }={\frac {d}{dt}}\iiint _{\Omega }\rho \mathrm {d} V=-}$ ${\displaystyle {\scriptstyle \partial \Omega }}$ ${\displaystyle \mathbf {J} \cdot {\rm {d}}\mathbf {S} =-I_{\partial \Omega }.}$

特に、孤立したシステムでは総電荷は保存されます。

真空中のような電荷（ ρ = 0）も電流（J = 0 ）もない領域では、マクスウェル方程式は次のように簡約されます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {E} &=0,&\nabla \times \mathbf {E} +{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=0,\\\nabla \cdot \mathbf {B} &=0,&\nabla \times \mathbf {B} -\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}=0.\end{aligned}}}$$

回転方程式の回転（∇×）を取り、回転恒等式の回転を使用すると、次の式が得られます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\mathbf {E} =0,\\\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {B} }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\mathbf {B} =0.\end{aligned}}}$$

量は（T/L） ²次元である。 を定義すると、上の式は標準波動方程式の形をとる。${\displaystyle \mu _{0}\varepsilon _{0}}$${\displaystyle c=(\mu _{0}\varepsilon _{0})^{-1/2}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\mathbf {E} =0,\\{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {B} }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\mathbf {B} =0.\end{aligned}}}$$

マクスウェルの生涯で、および の既知の値がを与えることがわかっていました。これは当時、自由空間における光の速度としてすでに知られていました。これにより、マクスウェルは光と電波は伝播する電磁波であると提唱し、その後十分に確認されました。古い SI 単位系では、およびの値は定義済みの定数であり (つまり、定義により)、アンペアとメートルを定義します。新しい SI単位系では、 cのみが定義済みの値を保持し、電子の電荷は定義済みの値を取得します。 ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$${\displaystyle \mu _{0}}$${\displaystyle c\approx 2.998\times 10^{8}~{\text{m/s}}}$${\displaystyle \mu _{0}=4\pi \times 10^{-7}}$${\displaystyle c=299\,792\,458~{\text{m/s}}}$${\displaystyle \varepsilon _{0}=8.854\,187\,8...\times 10^{-12}~{\text{F/m}}}$

比誘電率εrと比透磁率_μrを持つ_物質では、光の 位相速度はcより小さくなる [^注5]。 $${\displaystyle v_{\text{p}}={\frac {1}{\sqrt {\mu _{0}\mu _{\text{r}}\varepsilon _{0}\varepsilon _{\text{r}}}}},}$$

さらに、EとB は互いに垂直であり、波の伝播方向に対しても垂直で、位相が一致しています。正弦平面波は、これらの方程式の特別な解の 1 つです。マクスウェル方程式は、これらの波が物理的にどのように空間を伝播するかを説明します。変化する磁場は、ファラデーの法則により変化する電場を作り出します。次に、その電場は、アンペールの回路法則のマクスウェルによる修正により変化する磁場を作り出します。この永久サイクルにより、現在電磁放射として知られているこれらの波は、速度cで空間を移動することができます。

上記の方程式はマクスウェル方程式の微視的バージョンであり、存在する電荷と電流 (おそらく原子レベル) の観点から電場と磁場を表現しています。これは「一般的な」形式と呼ばれることもありますが、以下のマクロ的バージョンも同様に一般的であり、違いは帳簿の記録のみです。

微視的バージョンは「真空中のマクスウェル方程式」と呼ばれることもある。これは、物質媒体が方程式の構造に組み込まれておらず、電荷と電流の項にのみ現れるという事実を指す。微視的バージョンはローレンツによって導入され、彼はそれを用いてバルク物質のマクロ的な特性をその微視的構成要素から導き出そうとした。^{[12] : 5}

「マクスウェルの巨視的方程式」は、物質におけるマクスウェル方程式としても知られ、マクスウェル自身が提唱した方程式に似ています。

マクロ方程式では、束縛電荷Q _bと束縛電流I _bの影響は変位場 Dと磁化場 Hに組み込まれますが、方程式は自由電荷Q _fと自由電流I _fのみに依存します。これは、総電荷Qと電流I (およびそれらの密度ρとJ ) が自由部分と束縛部分に 分割されることを反映しています。$${\displaystyle {\begin{aligned}Q&=Q_{\text{f}}+Q_{\text{b}}=\iiint _{\Omega }\left(\rho _{\text{f}}+\rho _{\text{b}}\right)\,\mathrm {d} V=\iiint _{\Omega }\rho \,\mathrm {d} V,\\I&=I_{\text{f}}+I_{\text{b}}=\iint _{\Sigma }\left(\mathbf {J} _{\text{f}}+\mathbf {J} _{\text{b}}\right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\iint _{\Sigma }\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} .\end{aligned}}}$$

この分割のコストは、追加のフィールドDとH を、束縛電荷と電流とともに、 電場Eと磁場Bにこれらのフィールドを関連付ける現象論的な構成方程式を通じて決定する必要があることです。

空気/真空中で有用な、物質の寄与を含む全電荷と電流を扱うミクロな方程式^{[注 6]と、物質内での使用に実用的な}自由電荷と電流 を扱うマクロな方程式の違いの詳細については、以下を参照してください。

誘電体に電界が印加されると、その分子は微小な電気双極子を形成して反応します。つまり、原子核は電界の方向にわずかな距離を移動し、電子は反対方向にわずかな距離を移動します。これにより、関係するすべての電荷が個々の分子に結合しているにもかかわらず、材料内にマクロな 束縛電荷が生成されます。たとえば、図に示すように、すべての分子が同じように反応する場合、これらの電荷の微小な動きが組み合わさって、材料の片側に正の束縛電荷の層、もう一方の側に負の電荷の層が生成されます。束縛電荷は、材料の分極 P 、つまり単位体積あたりの双極子モーメントで説明するのが最も便利です。P が均一である場合、電荷のマクロな分離は、 P が材料に出入りする表面でのみ生成されます。Pが不均一な場合は、バルクにも電荷が生成されます。^[13]

同じように、すべての物質において、構成原子は、原子の成分、特に電子の角運動量と本質的に結びついた磁気モーメントを示す。角運動量との関連は、微視的な電流ループの集合という図を示唆する。物質の外側では、このような微視的な電流ループの集合は、個々の電荷が長距離を移動していないにもかかわらず、物質の表面を循環する巨視的な電流と変わらない。これらの束縛電流は、磁化Mを使用して記述できる。^[14]

したがって、非常に複雑で粒度の細かい束縛電荷と束縛電流は、マクロスケールではPとMで表すことができます。これらの電荷と電流は、個々の原子の粒度が見えないように十分に大きなスケールで平均化されますが、物質内の場所によって変化するほど十分に小さいスケールでもあります。このように、マクスウェルのマクロ方程式は、適切な体積で平均化された場を計算することによって、大まかなスケールで物事を理解する上で重要でない可能性のある細かいスケールの多くの詳細を無視します。

補助場の定義は以下の通りである。 ここで Pは分極場、Mは磁化場であり、それぞれ微視的な束縛電荷と束縛電流によって定義される。分極Pと磁化Mによる巨視的な束縛電荷密度ρ _bと束縛電流密度J _bは次のように定義される。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {D} (\mathbf {r} ,t)&=\varepsilon _{0}\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)+\mathbf {P} (\mathbf {r} ,t),\\\mathbf {H} (\mathbf {r} ,t)&={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)-\mathbf {M} (\mathbf {r} ,t),\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\rho _{\text{b}}&=-\nabla \cdot \mathbf {P} ,\\\mathbf {J} _{\text{b}}&=\nabla \times \mathbf {M} +{\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}.\end{aligned}}}$$

総電荷、束縛電荷、自由電荷、電流密度を で定義し 、上記の定義関係を使用してDとH を消去すると、「マクロ」なマクスウェル方程式が「ミクロ」な方程式を再現します。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\rho &=\rho _{\text{b}}+\rho _{\text{f}},\\\mathbf {J} &=\mathbf {J} _{\text{b}}+\mathbf {J} _{\text{f}},\end{aligned}}}$$

「マクスウェルのマクロ方程式」を適用するには、変位場 Dと電場Eの関係、および磁化場Hと磁場Bの関係を指定する必要があります。同様に、印加された電場と磁場に対する分極P (したがって束縛電荷) と磁化M (したがって束縛電流) の依存性を指定する必要があります。この応答を指定する方程式は構成関係と呼ばれます。現実世界の材料の場合、構成関係は近似値を除いてほとんど単純ではなく、通常は実験によって決定されます。より詳しい説明については、構成関係に関するメインの記事を参照してください。^{[15] : 44–45}

分極と磁化のない材料の場合、構成関係は（定義により）^{[9] : 2} であり 、ここでε0_は自由空間の誘電率、 μ0_は自由空間の透磁率である。束縛電荷がないため、総電荷と自由電荷および電流は等しい。 $${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} ,\quad \mathbf {H} ={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} ,}$$

ミクロ方程式に対する別の見方は、ミクロ方程式は、真空が追加の分極や磁化のない完全な線形「材料」のように振舞うという主張を伴ったマクロ方程式であるというものである。より一般的には、線形材料の構成関係は^{[15] : 44–45} であり 、εは材料の誘電率、μ は材料の透磁率である。変位場D^{については、実験室で得られる最も極端な電界または温度 (高出力パルスレーザー) を除き、10 11} V/m程度の材料の原子間電界は外部電界よりもはるかに高いため、通常、線形近似は優れている。しかし、磁化場については、鉄などの一般的な材料では線形近似が破綻し、ヒステリシスなどの現象が生じる可能性がある。しかし、線形の場合であっても、さまざまな複雑さが生じる可能性がある。 $${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} ,\quad \mathbf {H} ={\frac {1}{\mu }}\mathbf {B} ,}$$${\displaystyle \mathbf {H} }$

• 均質材料の場合、εとμは材料全体にわたって一定であるが、不均質材料の場合は材料内の位置（およびおそらく時間）に依存する。 ^{[16] ：463}
• 等方性材料の場合、εとμはスカラーであるが、異方性材料（例えば結晶構造によるもの）の場合はテンソルである。^{[15] ：421  [16] ：463}
• 物質は一般的に分散性を持つため、εとμは入射する電磁波の周波数に依存する。 ^{[15] : 625  [16] : 397}

さらに一般的には、非線形材料の場合（非線形光学を例に挙げる）、DとP は必ずしもEに比例するわけではなく、同様にHやM も必ずしもBに比例するわけではありません。一般にDとH はEとB の両方、場所と時間、場合によっては他の物理量に依存します。

応用においては、自由電流と電荷密度が、圧力、電荷を運ぶ粒子の質量、数密度、速度などの他の物理量と結合したEとBの観点からどのように振る舞うかを説明する必要がある。例えば、マクスウェルによって与えられた元の方程式（マクスウェル方程式の歴史を参照）には、オームの法則が次の形式で 含まれていた。$${\displaystyle \mathbf {J} _{\text{f}}=\sigma \mathbf {E} .}$$

以下は、マクスウェル方程式の他のいくつかの数学的形式の一部であり、列は 2 つの同次マクスウェル方程式と 2 つの非同次マクスウェル方程式を分けています。各定式化には、電場と磁場を直接的に使用したバージョンと、電位 φとベクトル電位 A を間接的に使用したバージョンがあります。電位は同次方程式を解く便利な方法として導入されましたが、観測可能なすべての物理現象は電場と磁場 (または相対論的にはファラデーテンソル) に含まれていると考えられていました。しかし、電位は量子力学で中心的な役割を果たし、電場と磁場が消えても観測可能な結果を​​伴って量子力学的に作用します (アハラノフ-ボーム効果)。

各表は 1 つの形式論を説明しています。各形式論の詳細については メインの記事を参照してください。

直接的な時空定式化により、マクスウェル方程式は相対論的に不変であり、空間と時間が同等に扱われることが明白になります。この対称性のため、電場と磁場は同等に扱われ、ファラデーテンソルの成分として認識されます。これにより、4 つのマクスウェル方程式が 2 つに削減され、方程式が簡素化されますが、使い慣れたベクトル定式化は使用できなくなります。空間と時間を明らかに同等に扱わない定式化におけるマクスウェル方程式には、隠れた対称性としてローレンツ不変性があります。これは、相対性理論の発展に対する大きなインスピレーションの源でした。実際、空間と時間を別々に扱う定式化でさえ、非相対論的な近似ではなく、単に変数の名前を変更することによって同じ物理法則を記述します。このため、相対論的不変方程式は通常、マクスウェル方程式とも呼ばれます。

以下の各表では、1 つの形式主義について説明します。

• テンソル計算の定式化では、電磁テンソル F _αβは反対称共変 2 次テンソル、4元ポテンシャルA _αは共変ベクトル、電流J ^αはベクトル、角括弧[ ]はインデックスの反対称化を表します。∂ _{α は}座標x α に関する偏微分です。^{ミンコフスキー}空間では、座標は慣性フレームに対して選択されます。( x ^α ) = ( ct ,  x ,  y ,  z )なので、インデックスを上げ下げするために使用される計量テンソルはη _αβ = diag(1, −1, −1, −1)です。ミンコフスキー空間上のダランベール演算子は、ベクトル定式化の場合と同様に◻ = ∂ _α ∂ ^αです。一般時空では、座標系x ^αは任意で、共変微分 ∇ _α、リッチテンソルR _αβ、およびインデックスの上げ下げはローレンツ計量g _αβによって定義され、ダランベール演算子は◻ = ∇ _α ∇ ^αと定義されます。位相的な制限は、空間の 2 番目の実コホモロジー群が消えることです (説明については微分形式の定式化を参照)。これは、直線が削除されたミンコフスキー空間では違反され、直線の補集合上に点状の単極子を持つ (平坦な) 時空をモデル化できます。
• 任意の時空間上の微分形式の定式化では、 F = ⁠1/2⁠ F _αβ ‍ d x ^α ∧ d x ^βは 2 形式として考えられる電磁テンソル、 A = A _α d x ^αは潜在的な 1 形式、は現在の 3 形式、 dは外微分、 は時空のローレンツ計量によって定義される形式 (方向、つまり符号まで) 上のホッジ スターです。 Fなどの 2 形式の特殊なケースでは、ホッジ スターは、そのローカル スケールに対してのみ計量テンソルに依存します。つまり、定式化されているように、微分形式場の方程式は共形不変ですが、ローレンツ ゲージ条件によって共形不変性が破れます。演算子は、任意のローレンツ時空上の 1 形式上のダランベール–ラプラス–ベルトラミ演算子です。位相条件は、ここでも、2 番目の実コホモロジー群が「自明」である (つまり、その形式が定義に従う) ことです。 2 番目のde Rham コホモロジーとの同型性により、この条件はすべての閉じた 2 形式が正確であることを意味します。${\displaystyle J=-J_{\alpha }{\star }\mathrm {d} x^{\alpha }}$${\displaystyle {\star }}$${\displaystyle {\star }}$${\displaystyle \Box =(-{\star }\mathrm {d} {\star }\mathrm {d} -\mathrm {d} {\star }\mathrm {d} {\star })}$

他の形式としては、幾何代数定式化やマクスウェル方程式の行列表現などがある。歴史的には、四元数定式化^{[17] [18]}が使用されていた。

マクスウェル方程式は、電場と磁場を相互に、また電荷と電流に関連付ける偏微分方程式です。多くの場合、電荷と電流は、ローレンツ力方程式と構成関係を介して電場と磁場に依存しています。これらはすべて、解くのが非常に難しいことが多い、結合した偏微分方程式のセットを形成します。その解は、古典的な電磁気学のさまざまな現象をすべて網羅しています。以下に、一般的な注意点をいくつか示します。

いかなる微分方程式についても、境界条件^{[19] [20] [21]}と初期条件^[22]は唯一の解を得るために必要である。例えば、時空のどこにも電荷や電流がない場合でも、EとBがゼロまたは定数となる明白な解が存在するが、電磁波に対応する非自明な解も存在する。場合によっては、マクスウェル方程式は空間全体にわたって解かれ、境界条件は無限遠における漸近極限として与えられる。^[23]他の場合には、マクスウェル方程式は空間の有限領域で解かれ、その領域の境界に適切な条件、例えば宇宙の残りの部分を表す人工吸収境界^{[24] [25]}や周期境界条件、または小さな領域を外界から隔離する壁（導波管や空洞共振器など）がある。^[26]

ジェフィメンコ方程式（または密接に関連するリエナール・ヴィーヒャート・ポテンシャル）は、電荷と電流の任意の分布によって生成される電場と磁場に対するマクスウェル方程式の明示的な解です。これは、電荷によって生成される場のみが存在するいわゆる「遅延解」を得るために特定の初期条件を仮定します。ただし、ジェフィメンコ方程式は、電荷と電流自体がそれらが生成する場の影響を受ける状況では役に立ちません。

微分方程式の数値解法は、正確な解が不可能な場合にマクスウェル方程式の近似解を計算するために使用できます。これには、有限要素法と有限差分時間領域法が含まれます。^{[19] [21] [27] [28] [29]}詳細については、計算電磁気学を参照してください。

マクスウェル方程式は、 6つの未知数（EとBの 3 つの要素）と 8 つの方程式（2 つのガウスの法則にそれぞれ 1 つずつ、ファラデーとアンペールの回路法則にそれぞれ 3 つのベクトル要素）を含む点で過剰決定であるように思われます。（電流と電荷は未知数ではなく、電荷保存の制約下で自由に指定できます。）これは、マクスウェル方程式の特定の限られた種類の冗長性と関係しています。つまり、ファラデーの法則とアンペールの回路法則を満たすシステムは、システムの初期条件が満たされている限り、2 つのガウスの法則も自動的に満たすことが証明でき、電荷保存と磁気単極子の非存在を前提としています。 ^{[30] [31]}この説明は、 1941 年にジュリアス アダムス ストラットン によって初めて導入されました。^[32]

数値アルゴリズムでは、初期条件を除いて、ガウスの2つの法則を単純に無視することは可能ですが、計算の精度が不完全なため、これらの法則の違反がますます増える可能性があります。これらの違反を特徴付けるダミー変数を導入することで、4つの方程式は結局過剰決定ではなくなります。結果として得られる定式化により、4つの法則すべてを考慮に入れたより正確なアルゴリズムが得られます。^[33]

8つの方程式を6つの独立した方程式に減らす両方の恒等式は、過剰決定の真の原因です。^{[34] [35]}${\displaystyle \nabla \cdot \nabla \times \mathbf {B} \equiv 0,\nabla \cdot \nabla \times \mathbf {E} \equiv 0}$

同様に、過剰決定は電荷と磁荷の保存を意味すると見なすことができます。これは、上記の導出で必要となるだけでなく、2 つのガウスの法則によっても暗示されるためです。

線形代数方程式の場合、方程式と未知数を書き直すための「適切な」規則を作成できます。方程式は線形従属である可能性があります。しかし、微分方程式、特に偏微分方程式 (PDE) では、方程式にそれほど明白ではない方法で依存する適切な境界条件が必要です。さらに、ベクトルとスカラーのポテンシャルで書き直すと、ゲージ固定のため方程式は不確定になります。

マクスウェル方程式とローレンツ力の法則は (他の古典的電磁気学とともに) さまざまな現象を説明および予測するのに非常に有効です。ただし、量子効果を考慮していないため、適用範囲が限られています。マクスウェル方程式は、量子電磁力学(QED) の古典的限界と考えられています。

観測された電磁気現象の中には、マクスウェル方程式と互換性のないものがあります。これには 、光子-光子散乱や、光子または仮想光子に関連する他の多くの現象、「非古典的な光」、電磁場の量子もつれ(量子光学を参照) が含まれます。たとえば、量子暗号はマクスウェル理論では近似的にも記述できません。マクスウェル方程式の近似的な性質は、非常に強い場の領域 (オイラー-ハイゼンベルクのラグランジアンを参照) や非常に小さな距離に入ると、ますます明らかになります。

最後に、マクスウェル方程式は、光電効果、プランクの法則、デュアン・ハントの法則、単一光子光検出器など、量子物質と相互作用する個々の光子を含む現象を説明することはできません。ただし、そのような現象の多くは、外部場として、またはマクスウェル方程式の右辺の電荷電流と密度の期待値を使用して、古典的な電磁場と結合した量子物質の中間理論を使用して近似できます。

電磁場の古典的理論としてのマクスウェル方程式の一般的なバリエーションは比較的少ない。これは、標準的な方程式が時の試練に驚くほどよく耐えてきたためである。

マクスウェル方程式は、宇宙には電荷はあるが、磁荷（磁気単極子とも呼ばれる）は存在しないと仮定している。実際、磁荷は広範囲にわたる調査にもかかわらず一度も観測されておらず、 ^{[注 7]}存在しない可能性がある。磁荷が存在するとすれば、磁気に関するガウスの法則とファラデーの法則の両方を修正する必要があり、結果として得られる 4 つの方程式は電場と磁場の交換の下で完全に対称になるはずである。^{[9] : 273–275}

• 今枝 功 (1995)、「マクスウェル方程式の双四元数定式化とその解」、Ablamowicz, Rafał、Lounesto, Pertti (編)、Clifford Algebras and Spinor Structures、Springer、pp. 265–280、doi :10.1007/978-94-015-8422-7_16、ISBN 978-90-481-4525-6

• ファラデーの力線について – 1855/56。マクスウェルの最初の論文 (パート 1 と 2) – Blaze Labs Research による編集 (PDF)。
• 物理的な力の線について – 1861 年。磁力の線を説明したマクスウェルの 1861 年の論文 – 1873 年の論文の前身。
• ジェームズ・クラーク・マクスウェル、「電磁場の動的理論」、ロンドン王立協会哲学論文集 155、459-512 (1865)。(この論文は、1864 年 12 月 8 日にマクスウェルが王立協会で行った発表に添えられたものです。)
  • 電磁場の動的理論 - 1865 年。マクスウェルの 20 の方程式を説明した 1865 年の論文。Googleブックスのリンク。
• J. クラーク マクスウェル (1873)、「電気と磁気に関する論文」:
  • マクスウェル、JC、「電気と磁気に関する論文」 – 第 1 巻 – 1873 年 – ポズナー記念コレクション – カーネギーメロン大学。
  • マクスウェル、JC、「電気と磁気に関する論文」 – 第 2 巻 – 1873 年 – ポズナー記念コレクション – カーネギーメロン大学。

相対性理論以前の発展

• ラーモア・ジョセフ (1897)。「電気および発光媒体の動的理論について。第3部、物質媒体との関係」 。Phil . Trans. R. Soc . 190 : 205–300。
• ローレンツ・ヘンドリック (1899)。「運動システムにおける電気的および光学的現象の簡略化された理論」 。アムステルダム科学アカデミー紀要。I : 427–443。
• ローレンツ・ヘンドリック (1904)。「光速以下の速度で運動するシステムにおける電磁気現象」 アムステルダム科学アカデミー紀要IV : 669-678。
• アンリ・ポアンカレ(1900) 「ローレンツの理論と反応の原理」(フランス語)、Archives Néerlandaises、V、253–278。
• アンリ・ポアンカレ(1902) 「科学と仮説」(フランス語)。
• アンリ・ポアンカレ(1905) 「Sur la dynamique de l'électron」(フランス語)、Comptes Rendus de l'Académie des Sciences、140、1504–1508。
• Catt、Walton、Davidson。「変位電流の歴史」Wayback Machineに 2008-05-06 アーカイブ。Wireless World、1979 年 3 月。

• 「マクスウェル方程式」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• maxwells-equations.com — マクスウェル方程式の直感的なチュートリアル。
• ファインマン物理学講義第2巻第18章：マクスウェル方程式
• マクスウェル方程式に関するウィキバーシティのページ

• 電磁気学（第 11 章）、B. Crowell、フラートン カレッジ
• 講演シリーズ: 相対性理論と電磁気学、R. フィッツパトリック、テキサス大学オースティン校
• プロジェクト PHYSNET におけるマクスウェル方程式からの電磁波。
• MIT ビデオ講義シリーズ (36 × 50 分の講義) (.mp4 形式) - Walter Lewin教授による電気と磁気の講義。

• Silagadze, ZK (2002). 「ファインマンによるマクスウェル方程式と余剰次元の導出」.ルイ・ド・ブロイ財団年報. 27 : 241–256. arXiv : hep-ph/0106235 .
• 自然のマイルストーン：光子 – マイルストーン 2 (1861) マクスウェル方程式