反ユニタリー演算子

数学において、反ユニタリー変換は全単射 反線型写像である。

${\displaystyle U:H_{1}\to H_{2}\,}$

2つの複素 ヒルベルト空間の間には

${\displaystyle \langle Ux,Uy\rangle ={\overline {\langle x,y\rangle }}}$

すべての場合、およびにおいて、水平バーは複素共役を表します。さらに が存在する場合、 は反ユニタリ演算子と呼ばれます。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle H_{1}}$${\displaystyle H_{1}=H_{2}}$${\displaystyle U}$

反ユニタリー演算子は、時間反転などの特定の対称性を表すために使用されるため、量子力学では重要です。^{[1]量子物理学における反ユニタリー演算子の基本的な重要性は}、ウィグナーの定理 によってさらに実証されています。

量子力学では、複素ヒルベルト空間の不変性変換によりスカラー積の絶対値は不変になります。 ${\displaystyle H}$

${\displaystyle |\langle Tx,Ty\rangle |=|\langle x,y\rangle |}$

すべておよびにおいて。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle H}$

ウィグナーの定理により、これらの変換はユニタリ変換または反ユニタリ変換のいずれかになります。

平面の合同性は2 つの異なるクラスを形成します。最初のクラスは方向を保存し、平行移動と回転によって生成されます。2 番目のクラスは方向を保存せず、最初のクラスから反射を適用して取得されます。複素平面では、これらの 2 つのクラスは (平行移動を除いて) それぞれユニタリと反ユニタリに対応します。

• ${\displaystyle \langle Ux,Uy\rangle ={\overline {\langle x,y\rangle }}=\langle y,x\rangle }$ヒルベルト空間のすべての要素と反ユニタリ に対して成立します。${\displaystyle x,y}$${\displaystyle U}$
• が反ユニタリであるとき、 はユニタリである。これは次のことから導かれる。${\displaystyle U}$${\displaystyle U^{2}}$$${\displaystyle \left\langle U^{2}x,U^{2}y\right\rangle ={\overline {\langle Ux,Uy\rangle }}=\langle x,y\rangle .}$$
• ユニタリ演算子の場合、演算子（ は複素共役（何らかの直交基底に関して））は反ユニタリです。逆もまた真で、反ユニタリの場合、演算子 はユニタリです。${\displaystyle V}$${\displaystyle VK}$${\displaystyle K}$${\displaystyle U}$${\displaystyle イギリス}$
• 反ユニタリの場合、随伴演算子の定義は複素共役を補償するように変更され、${\displaystyle U}$${\displaystyle U^{*}}$$${\displaystyle \langle Ux,y\rangle ={\overline {\left\langle x,U^{*}y\right\rangle }}.}$$
• 反ユニタリ演算子の随伴演算子も反ユニタリ演算子であり、 (反ユニタリ演算子は複素線型ではないため、これをユニタリ演算子の定義と混同しないでください。)${\displaystyle U}$$${\displaystyle UU^{*}=U^{*}U=1.}$$${\displaystyle U}$

• 複素共役演算子は、複素平面上の反ユニタリー演算子です。${\displaystyle K,}$ ${\displaystyle Kz={\overline {z}},}$
• が第 2パウリ行列で、が複素共役演算子である演算子は反ユニタリです。これは を満たします。$${\displaystyle U=i\sigma _{y}K={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}K,}$$${\displaystyle \sigma_{y}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle U^{2}=-1}$

有限次元空間上の反ユニタリー作用素は、基本的なウィグナー反ユニタリー 、 の直和として分解できる。この作用素は、${\displaystyle W_{\theta}}$${\displaystyle 0\leq \theta \leq \pi }$${\displaystyle W_{0}:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle W_{0}(z)={\overline {z}}}$

に対して、演算子は2次元複素ヒルベルト空間に作用する。これは次のように定義される。 ${\displaystyle 0<\theta \leq \pi }$${\displaystyle W_{\theta}}$

${\displaystyle W_{\theta }\left(\left(z_{1},z_{2}\right)\right)=\left(e^{{\frac {i}{2}}\theta }{\overline {z_{2}}},\;e^{-{\frac {i}{2}}\theta }{\overline {z_{1}}}\right).}$

注意：${\displaystyle 0<\theta \leq \pi }$

${\displaystyle W_{\theta }\left(W_{\theta }\left(\left(z_{1},z_{2}\right)\right)\right)=\left(e^{i\theta }z_{1},e^{-i\theta }z_{2}\right),}$

したがって、このようなものは、恒等写像に一致する にさらに分解することはできない。${\displaystyle W_{\theta}}$${\displaystyle W_{0}}$

上記の反ユニタリ演算子の分解は、ユニタリ演算子のスペクトル分解とは対照的であることに注意してください。特に、複素ヒルベルト空間上のユニタリ演算子は、1 次元複素空間 (固有空間) に作用するユニタリ演算子の直和に分解できますが、反ユニタリ演算子は、1 次元および 2 次元複素空間上の基本演算子の直和にのみ分解できます。

• ウィグナー、E.「反ユニタリー演算子の正規形」、Journal of Mathematical Physics Vol 1、no 5、1960、pp. 409–412
• ウィグナー、E.「ユニタリー対称性演算子と反ユニタリー対称性演算子の現象論的区別」、Journal of Mathematical Physics Vol 1、no 5、1960、pp.414–416

• ユニタリ演算子
• ウィグナーの定理
• 素粒子物理学と表現理論