ブルハット分解

数学において、特定の代数群Gのブリュア分解（ 古典群についてはフランソワ・ブリュアが導入し、一般にはクロード・シュヴァレーが導入） G = BWBは、ガウス・ジョルダン消去法の原理の一般的な表現とみなすことができる。ガウス・ジョルダン消去法では、一般に行列を上三角行列と下三角行列の積として表すが、例外的なケースもある。これは旗多様体のシューベルト細胞分解と関連している。これについては ワイル群を参照。

より一般的には、 ( B、N ) ペアを持つ任意のグループにはBruhat 分解があります。

• G は代数的に閉じた体上の連結な簡約 代数群です。
• BはGのボレル部分群である
• W は、 Bの最大トーラスに対応するGのワイル群です。

GのBruhat分解は、

${\displaystyle G=BWB=\bigsqcup _{w\in W}BwB}$

Gを、ワイル群Wの元によってパラメータ化されたBの二重剰余類の互いに素な和集合として表します。( W は一般にGのサブグループではありませんが、最大トーラスがBに含まれているため、剰余類wB は依然として明確に定義されます。)

G を、何らかの代数的に閉体 ( reduction group )に要素を持つ可逆行列の一般線型群 GL _nとします。このとき、ワイル群W は、置換行列を代表として、 n文字上の対称群S _nに同型です。この場合、B を上三角可逆行列の部分群とすることができるので、Bruhat 分解によれば、任意の可逆行列Aは、 U ₁およびU ₂が上三角で、P が置換行列である積U ₁ PU ₂として表すことができます。これをP = U ₁ ⁻¹ AU ₂ ⁻¹と書くと、任意の可逆行列は、一連の行と列の操作によって置換行列に変換できることがわかります。ただし、i  >  j ( i  <  j )の場合のみ、行i (列i ) を行j (列j ) に追加できます。行操作はU ₁ ⁻¹に対応し、列操作はU ₂ ⁻¹に対応します。 ${\displaystyle n\times n}$

行列式が1である可逆行列の特殊線型群 SL _{n は}半単純群であり、したがって簡約的です。この場合、W は対称群S _nと同型のままです。ただし、置換行列の行列式は置換の符号であるため、SL _nで奇数の置換を表すには、非ゼロ要素の 1 つを 1 ではなく -1 にすることができます。ここで、B は行列式が 1 である上三角行列の部分群であるため、この場合の Bruhat 分解の解釈はGL _nの場合と同様です。 ${\displaystyle n\times n}$

Bruhat 分解のセルは、旗多様体のシューベルト セル分解に対応します。セルの次元は、ワイル群のワードwの長さに対応します。ポアンカレ双対性は、セル分解のトポロジーを制約し、したがってワイル群の代数を制約します。たとえば、最上位の次元セルは一意であり (基本クラスを表します)、コクセター群 の最長要素に対応します。

Bruhat分解の特定の次元におけるセルの数は、関連するDynkin図のq多項式^[1]の係数である。

2つの反対のボレル部分群がある場合、それぞれのBruhatセルを交差させてさらに分解することができる。 $${\displaystyle G=\bigsqcup _{w_{1},w_{2}\in W}(Bw_{1}B\cap B_{-}w_{2}B_{-}).}$$

• リー群分解
• バーコフ分解、アフィン群のブルハット分解の特殊なケース。
• クラスター代数

• ボレル、アルマン. 線形代数群（第2版）. ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、1991年。ISBN  0-387-97370-2。
• ニコラ・ブルバキ『リー群とリー代数：第4～6章（数学の要素）』Springer-Verlag、2008年。ISBN 3-540-42650-7