普遍包絡代数

数学において、リー代数の普遍包絡代数は、その表現がそのリー代数の表現に正確に対応する単位結合代数です。

普遍包絡代数は、リー群やリー代数の表現論で使われる。例えば、ヴェルマ加群は普遍包絡代数の商として構成できる。^[1]さらに、包絡代数はカシミール作用素の正確な定義を与える。カシミール作用素はリー代数のすべての要素と可換なので、表現を分類するために使える。正確な定義により、カシミール作用素を他の数学の分野、具体的には微分代数を持つ分野に持ち込むことも可能になる。また、カシミール作用素は、最近の数学の発展において中心的な役割も果たしている。特に、その双対は、非可換幾何学で研究される対象である量子群の可換な例を提供する。この双対は、ゲルファント・ナイマークの定理によって、対応するリー群のC* 代数を含むことが示される。この関係は、コンパクト位相群とその表現の 間のTannaka-Krein 双対性の考え方に一般化されます。

解析的な観点からは、リー群のリー代数の普遍包絡代数は、群上の 左不変微分作用素の代数と同一視される可能性がある。

普遍包絡代数の考え方は、における抽象的な括弧演算がにおける交換子に対応し、代数が の要素によって生成されるような方法で、単位元を持つ結合代数にリー代数を埋め込むことです。このような埋め込みを行う方法は多数ありますが、 のような唯一の「最大の」代数があり、 の普遍包絡代数と呼ばれます。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle xy-yx}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

をリー代数とし、簡単のため有限次元とし、基底を とする。をこの基底の 構造定数とすると、${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle X_{1},\ldots X_{n}}$${\displaystyle c_{ijk}}$

${\displaystyle [X_{i},X_{j}]=\sum _{k=1}^{n}c_{ijk}X_{k}.}$

すると、普遍包絡代数は、関係に従う 要素によって生成される結合代数（単位元を持つ）となる。${\displaystyle x_{1},\ldots x_{n}}$

${\displaystyle x_{i}x_{j}-x_{j}x_{i}=\sum _{k=1}^{n}c_{ijk}x_{k}}$

その他の関係はありません。以下では、普遍包絡代数を 上のテンソル代数の商として構築することにより、この「生成元と関係」の構築をより正確にします。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

例えば、 行列によって張られる リー代数sl(2,C)を考える。

$${\displaystyle E={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\qquad F={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}\qquad H={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}~,}$$

これらは交換関係、、およびを満たす。sl(2,C)の普遍包絡代数は、関係 ${\displaystyle [H,E]=2E}$${\displaystyle [H,F]=-2F}$${\displaystyle [E,F]=H}$${\displaystyle e,f,h}$

${\displaystyle he-eh=2e,\quad hf-fh=-2f,\quad ef-fe=h,}$

他の関係はありません。普遍包絡代数は行列の代数と同じではない（または含まれていない）ことを強調します。たとえば、行列はを満たしますが、これは簡単に確認できます。しかし、普遍包絡代数では、包絡代数の構成でこの関係を課していないため、要素はを満たしません。実際、ポアンカレ-バーコフ-ウィットの定理（以下の § で説明）から、普遍包絡代数では 要素がすべて線形独立であることが分かります。${\displaystyle 2\times 2}$${\displaystyle 2\times 2}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E^{2}=0}$${\displaystyle x}$${\displaystyle e^{2}=0}$${\displaystyle 1,e,e^{2},e^{3},\ldots }$

一般に、普遍包絡代数の要素は、あらゆる順序で生成子の積の線形結合です。普遍包絡代数の定義関係を使用すると、これらの積を特定の順序で並べ替えることができます。たとえば、最初に のすべての因数、次に の因数などです。たとえば、 を含む項が (「間違った」順序で) ある場合は、関係を使用して、これをの線形結合と書き直すことができます。このようなことを繰り返し行うと、最終的には任意の要素が昇順の項の線形結合に変換されます。したがって、形式の要素は、 ${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{2}}$${\displaystyle x_{2}x_{1}}$${\displaystyle x_{1}x_{2}}$${\displaystyle x_{j}}$

${\displaystyle x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{n}^{k_{n}}}$

は非負の整数であり、包絡代数を張る。( を許容し、つまり の因数が出現しない項を許容する。)以下で説明するポアンカレ・バーコフ・ウィットの定理 は、これらの要素が線形独立であり、したがって普遍包絡代数の基礎を形成することを主張している。特に、普遍包絡代数は常に無限次元である。 ${\displaystyle k_{j}}$${\displaystyle k_{j}=0}$${\displaystyle x_{j}}$

ポアンカレ・バーコフ・ウィットの定理は、特に、要素自体が線型独立であることを意味します。したがって、を元のリー代数の生成元と同一視することが一般的ですが、これは混乱を招く可能性があります。つまり、元のリー代数を、生成元によって張られる普遍包絡代数のサブスペースと同一視します。 は行列の代数である可能性がありますが、 の普遍包絡は（有限次元の）行列で構成されません。特に、 の普遍包絡を含む有限次元代数は存在しません。普遍包絡代数は常に無限次元です。したがって、sl(2,C) の場合、リー代数をその普遍包絡代数のサブスペースと同一視する場合、 、およびを行列として解釈するのではなく、（交換関係以外の）その他の特性を持たない記号として解釈する必要があります。 ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$${\displaystyle x_{j}}$${\displaystyle X_{j}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle F}$${\displaystyle H}$${\displaystyle 2\times 2}$

普遍包絡代数の正式な構成は、上記のアイデアを取り入れ、より扱いやすい表記法と用語でそれらを包み込むものです。最も重要な違いは、上記で使用されている自由結合代数がテンソル代数に限定されているため、記号の積はテンソル積であると理解されることです。交換関係は、形式 の要素を含む最小の両側イデアルで商られたテンソル代数の商空間を構築することによって課されます。普遍包絡代数は、元のリー代数と互換性のあるリー括弧を持つの要素によって生成される「最大の」単位結合代数です。 ${\displaystyle x_{i}x_{j}-x_{j}x_{i}-\Sigma c_{ijk}x_{k}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

すべてのリー代数は特にベクトル空間 であることを思い出してください。したがって、そこからテンソル代数を自由に構築できます。テンソル代数は自由代数です。つまり、内のすべての可能なベクトルのすべての可能なテンソル積を、それらの積に何の制約もなく 単に含んでいるだけです。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle T({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

つまり、空間を構築する

${\displaystyle T({\mathfrak {g}})=K\,\oplus \,{\mathfrak {g}}\,\oplus \,({\mathfrak {g}}\otimes {\mathfrak {g}})\,\oplus \,({\mathfrak {g}}\otimes {\mathfrak {g}}\otimes {\mathfrak {g}})\,\oplus \,\cdots }$

ここで、 はテンソル積、 はベクトル空間の直和です。ここで、 K はリー代数が定義されている体です。ここからこの記事の残りの部分まで、テンソル積は常に明示的に示されます。多くの著者はこれを省略していますが、これは、練習すれば、その位置は通常、文脈から推測できるためです。ここでは、表現の意味に関する混乱を最小限に抑えるために、非常に明示的なアプローチを採用しています。 ${\displaystyle \otimes }$${\displaystyle \oplus }$

構築の最初のステップは、リー括弧をリー代数（定義されている）からテンソル代数（定義されていない）に「持ち上げる」ことです。これにより、2 つのテンソルのリー括弧を首尾一貫して操作できるようになります。持ち上げは次のように行われます。まず、リー代数に対する括弧演算は、双線型で、歪対称で、ヤコビ恒等式を満たすマップであることを思い出してください。ここで定義したいのは、やはり双線型で、歪対称で、ヤコビ恒等式に従う マップであるリー括弧 [-,-] です。${\displaystyle {\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle T({\mathfrak {g}})\otimes T({\mathfrak {g}})\to T({\mathfrak {g}})}$

持ち上げは段階ごとに行うことができます。まず、ブラケットを次のように 定義します。${\displaystyle {\mathfrak {g}}\otimes {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle a\otimes b-b\otimes a=[a,b]}$

これは、両辺が双線型で、両辺が歪対称であるため、一貫性のある一貫した定義である（ヤコビ恒等式はすぐに続く）。上記は、 上の括弧を定義しているが、今度は任意の についてに持ち上げなければならない。これは、再帰的に定義される。${\displaystyle T^{2}({\mathfrak {g}})={\mathfrak {g}}\otimes {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle T^{n}({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle n.}$

${\displaystyle [a\otimes b,c]=a\otimes [b,c]+[a,c]\otimes b}$

同様に

${\displaystyle [a,b\otimes c]=[a,b]\otimes c+b\otimes [a,c]}$

上記の定義が双線型であり、歪対称であることは簡単に検証できます。また、ヤコビ恒等式に従うことも示せます。最終結果は、 のすべてで一貫して定義されるリー括弧を持つことであり、これは、基本空間 (ここではリー代数) から被覆空間(ここではテンソル代数)への「持ち上げ」の従来の意味で のすべてに「持ち上げられた」と言えます。 ${\displaystyle T({\mathfrak {g}});}$${\displaystyle T({\mathfrak {g}})}$

この持ち上げの結果は、明示的にポアソン代数である。これは、リー代数括弧と互換性のあるリー括弧を持つ単位結合代数であり、構成上互換性がある。しかし、これはそのような代数の中で最小の代数ではなく、必要な要素よりもはるかに多くの要素を含んでいる。下向きに投影することで、より小さな代数を得ることができる。の普遍包絡代数は、商空間として定義される。${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle U({\mathfrak {g}})=T({\mathfrak {g}})/\sim }$

ここで同値関係は 次のように与えられる 。${\displaystyle \sim }$

${\displaystyle a\otimes b-b\otimes a=[a,b]}$

つまり、リー括弧は商を計算するために使用される同値関係を定義します。結果は依然として単位結合代数であり、任意の 2 つの要素のリー括弧を取ることができます。 の各要素は剰余類として理解できることを念頭に置いておけば、結果の計算は簡単です。括弧を通常どおりに取り、結果を含む剰余類を検索します。これはそのような代数の中で最小のものであり、結合代数の公理に従うこれより小さいものは見つかりません。 ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$

普遍包絡代数は、ポアソン代数構造を改造した後にテンソル代数から残ったものです。(これは自明なことではありません。テンソル代数は非常に複雑な構造をしています。とりわけ、ホップ代数です。ポアソン代数も同様に非常に複雑で、多くの特異な特性があります。ポアソン代数はテンソル代数と互換性があるため、改造が可能です。ホップ代数構造は保存されます。これが、弦理論など、多くの新しい応用につながっています。ただし、正式な定義の目的上、これは特に重要ではありません。)

構築は、少し異なる（しかし最終的には同等の）方法で実行できます。上記の持ち上げをしばらく忘れて、代わりに、次の形式の要素によって生成された 2辺のイデアル を考えてみましょう。

${\displaystyle a\otimes b-b\otimes a-[a,b]}$

このジェネレータは

${\displaystyle {\mathfrak {g}}\oplus ({\mathfrak {g}}\otimes {\mathfrak {g}})\subset T({\mathfrak {g}})}$

理想の一般会員私はフォームを持っています

${\displaystyle c\otimes d\otimes \cdots \otimes (a\otimes b-b\otimes a-[a,b])\otimes f\otimes g\cdots }$

ある場合、Iのすべての要素は、この形式の要素の線形結合として得られます。明らかに、は部分空間です。これは、およびの場合、およびとなる点でイデアルです。これがイデアルであることを確立することは重要です。なぜなら、イデアルはまさに商をとることができるものだからです。イデアルは商写像の核にあります。つまり、短い正確なシーケンスがあります。${\displaystyle a,b,c,d,f,g\in {\mathfrak {g}}.}$${\displaystyle I\subset T({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle j\in I}$${\displaystyle x\in T({\mathfrak {g}}),}$${\displaystyle j\otimes x\in I}$${\displaystyle x\otimes j\in I.}$

${\displaystyle 0\to I\to T({\mathfrak {g}})\to T({\mathfrak {g}})/I\to 0}$

ここで各矢印は線型写像であり、その写像の核は前の写像の像によって与えられる。普遍包絡代数は次のように定義される^[2]。

${\displaystyle U({\mathfrak {g}})=T({\mathfrak {g}})/I}$

上記の構成は、リー代数とリー括弧、およびその歪度と反対称性に焦点を当てています。ある程度、これらの特性は構成に付随するものです。代わりに、ベクトル空間、つまり、要素を取る乗算を備えたベクトル空間上の（任意の）代数（リー代数ではない）を考えてみましょう。乗算が双線型であれば、同じ構成と定義が通用します。まず、持ち上げたものが基底と同じ特性（対称性や反対称性など）をすべて満たすように、持ち上げたものを まで持ち上げます。持ち上げは、 から始めて、前と まったく同じように行われます。${\displaystyle V}$${\displaystyle m:V\times V\to V}$${\displaystyle a\times b\mapsto m(a,b).}$ ${\displaystyle m}$${\displaystyle T(V)}$${\displaystyle m}$${\displaystyle m}$

${\displaystyle {\begin{aligned}m:V\otimes V&\to V\\a\otimes b&\mapsto m(a,b)\end{aligned}}}$

これは、テンソル積が双線型であり、乗算が双線型であるため、まさに矛盾がない。残りのリフトは、乗算を準同型として保存するように実行される。定義により、次のように書ける。

${\displaystyle m(a\otimes b,c)=a\otimes m(b,c)+m(a,c)\otimes b}$

そしてまた

${\displaystyle m(a,b\otimes c)=m(a,b)\otimes c+b\otimes m(a,c)}$

この拡張は、自由オブジェクトに関する補題を利用することで一貫しています。テンソル代数は自由代数であるため、その生成集合上の任意の準同型は代数全体に拡張できます。他のすべては上記のように進行します。完了すると、単位結合代数が得られます。上記の 2 つの方法のいずれかで商を取ることができます。

上記は、リー超代数の普遍包絡代数が構築される方法とまったく同じです。要素を並べ替えるときに、符号を注意深く追跡するだけで済みます。この場合、超代数の (反) 交換子は、(反) 交換ポアソン括弧に持ち上げられます。

もう 1 つの可能性は、被覆代数としてテンソル代数以外のものを使用することです。そのような可能性の 1 つは、外積代数を使用することです。つまり、テンソル積のすべての出現を外積で置き換えます。基本代数がリー代数である場合、結果はゲルステンハーバー代数です。これは、対応するリー群の外積代数です。前と同様に、外積代数の次数から自然に次数を持ちます。(ゲルステンハーバー代数をポアソン超代数と混同しないでください。どちらも反交換を呼びますが、方法が異なります。)

この構成はマルチェフ代数^[3] 、ボル代数^[4]、左代替代数にも一般化されている。^[要出典]

普遍包絡代数、あるいはむしろ普遍包絡代数と正準写像の組み合わせは 普遍的性質を持つ。^[5]任意のリー代数写像があるとする 。${\displaystyle h\colon {\mathfrak {g}}\to U({\mathfrak {g}})}$

${\displaystyle \varphi :{\mathfrak {g}}\to A}$

単位結合代数A （ A内のリー括弧は交換子によって与えられる）に等しい。より明確には、これは、

${\displaystyle \varphi ([X,Y])=\varphi (X)\varphi (Y)-\varphi (Y)\varphi (X)}$

全ての に対して成り立つ。すると、一意な単位代数準同型が存在する。${\displaystyle X,Y\in {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle {\widehat {\varphi }}\colon U({\mathfrak {g}})\to A}$

そのような

${\displaystyle \varphi ={\widehat {\varphi }}\circ h}$

ここで、 は標準写像です。(この写像は、そのテンソル代数に埋め込み、次に普遍包絡代数への商写像と合成することによって得られます。この写像は、ポアンカレ-バーコフ-ウィットの定理による埋め込みです。) ${\displaystyle h:{\mathfrak {g}}\to U({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle h}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

言い換えると、 がを満たす単位代数への線型写像である場合、 はの代数準同型に拡張されます。は の要素によって生成されるため、写像は次の要件によって一意に決定されなければなりません。 ${\displaystyle \varphi \colon {\mathfrak {g}}\rightarrow A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \varphi ([X,Y])=\varphi (X)\varphi (Y)-\varphi (Y)\varphi (X)}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle {\widehat {\varphi }}:U({\mathfrak {g}})\to A}$${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\widehat {\varphi }}}$

${\displaystyle {\widehat {\varphi }}(X_{i_{1}}\cdots X_{i_{N}})=\varphi (X_{i_{1}})\cdots \varphi (X_{i_{N}}),\quad X_{i_{j}}\in {\mathfrak {g}}}$。

重要なのは、 の交換関係から生じる関係以外に普遍包絡代数における他の関係が存在しないため、与えられた要素をリー代数元の積の線形結合として どのように記述するかに関係なく、写像が明確に定義されるということです。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\widehat {\varphi }}}$${\displaystyle x\in U({\mathfrak {g}})}$

包絡代数の普遍的性質は、ベクトル空間に作用するのすべての表現がの表現に一意に拡張されることを直ちに意味します。 ( を取ります。) この観察は、(以下で説明するように) カシミール要素が に作用することを可能にするため重要です。 これらの演算子 ( の中心からの ) はスカラーとして機能し、表現に関する重要な情報を提供します。2 次カシミール要素は、この点で特に重要です。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle A=\mathrm {End} (V)}$${\displaystyle V}$${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$

上記の標準的な構成は他の代数にも適用できますが、その結果は一般に普遍的性質を持ちません。したがって、たとえば、構成をジョルダン代数に適用すると、結果として得られる包絡代数は特殊なジョルダン代数を含みますが、例外的なジョルダン代数は含みません。つまり、アルバート代数を包絡しません。同様に、以下のポアンカレ-バーコフ-ウィットの定理は包絡代数の基礎を構築しますが、普遍的ではありません。同様のことはリー超代数にも当てはまります。

ポアンカレ・バーコフ・ウィットの定理は の正確な記述を与えます。これは、リー代数上の明示的なベクトル基底を参照するか、座標を使用しない方法のいずれかで行うことができます。 ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$

一つの方法は、リー代数に全順序基底を与えることができる、つまり全順序集合の自由ベクトル空間であると仮定することです。自由ベクトル空間は、集合Xから体Kへの有限サポート関数全体の空間として定義されることを思い出してください(有限サポートとは、有限個の値のみが非ゼロであることを意味します)。 はの指示関数であるような基底を与えることができます。をテンソル代数への注入とします。これは、テンソル代数に基底を与えるためにも使用されます。これは、持ち上げることによって行われます。 の任意のシーケンスが与えられた場合、の 拡張を と定義します。${\displaystyle e_{a}:X\to K}$${\displaystyle e_{a}(b)=\delta _{ab}}$${\displaystyle a,b\in X}$${\displaystyle h:{\mathfrak {g}}\to T({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle e_{a}}$${\displaystyle h}$

${\displaystyle h(e_{a}\otimes e_{b}\otimes \cdots \otimes e_{c})=h(e_{a})\otimes h(e_{b})\otimes \cdots \otimes h(e_{c})}$

ポアンカレ・バーコフ・ウィットの定理は、 Xの全順序を代数に適用することで、上記から の基底が得られることを述べています。つまり、は基底を持ちます。 ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$

${\displaystyle e_{a}\otimes e_{b}\otimes \cdots \otimes e_{c}}$

ここで、順序は集合X上の全順序です。^[6]定理の証明では、順序が異なる基底要素から始めても、これらは常に交換子 (構造定数と共に) を使用して交換できることに注目します。証明の難しい部分は、最終結果が一意であり、交換が実行された順序に依存しないことを証明することです。 ${\displaystyle a\leq b\leq \cdots \leq c}$

この基底は対称代数の基底として容易に認識されるはずです。つまり、 の基礎となるベクトル空間と対称代数は同型であり、これがそうであることを示すのが PBW 定理です。ただし、同型の性質に関するより正確な説明については、以下の記号代数のセクションを参照してください。 ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$

おそらく、このプロセスを 2 つのステップに分割すると便利です。最初のステップでは、自由リー代数 を構築します。これは、交換子の値を指定せずに、すべての交換子 によって mod すると得られるものです。2 番目のステップでは、 から特定の交換関係を適用します。最初のステップは普遍的であり、特定の に依存しません。また、正確に定義することもできます。基底要素はホール語によって与えられ、その特殊なケースはリンドン語です。これらは、交換子として適切に動作するように明示的に構築されます。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}.}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}.}$

定理を座標フリーの形で述べることもできる。つまり、全順序と基底要素の使用を避けることができる。これは、無限次元リー代数の場合のように基底ベクトルの定義が難しい場合に便利である。また、他の種類の代数に簡単に拡張できる、より自然な形を与える。これは、普遍包絡代数を極限とするフィルタリングを構築することによって達成される。 ${\displaystyle U_{m}{\mathfrak {g}}}$${\displaystyle U({\mathfrak {g}}).}$

まず、テンソル代数の部分空間の昇順の表記法が必要である。

${\displaystyle T_{m}{\mathfrak {g}}=K\oplus {\mathfrak {g}}\oplus T^{2}{\mathfrak {g}}\oplus \cdots \oplus T^{m}{\mathfrak {g}}}$

どこ

${\displaystyle T^{m}{\mathfrak {g}}=T^{\otimes m}{\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}\otimes \cdots \otimes {\mathfrak {g}}}$

は、フィルタリングのm倍のテンソル積です。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}.}$${\displaystyle T_{m}{\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle K\subset {\mathfrak {g}}\subset T_{2}{\mathfrak {g}}\subset \cdots \subset T_{m}{\mathfrak {g}}\subset \cdots }$

より正確には、これはフィルタリングされた代数である。フィルタリングは部分空間の代数的性質を保存するからである。このフィルタリングの極限はテンソル代数である。${\displaystyle T({\mathfrak {g}}).}$

すでに上で、イデアルによる商は、からへの自然な変換であることが確立されている。これは部分空間でも自然に機能し、したがって、その極限が普遍包絡代数であるフィルタリングが得られる。${\displaystyle T({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle U({\mathfrak {g}}).}$${\displaystyle U_{m}{\mathfrak {g}}}$${\displaystyle U({\mathfrak {g}}).}$

次に、スペースを定義します

${\displaystyle G_{m}{\mathfrak {g}}=U_{m}{\mathfrak {g}}/U_{m-1}{\mathfrak {g}}}$

これは、厳密に小さい濾過次数のサブスペースすべてを法とする空間です。 は、単純に推測するかもしれませんが、濾過の主要項とはまったく同じではないことに注意してください。 これは、濾過に関連付けられた集合減算メカニズムを通じて構築されるものではありません。 ${\displaystyle U_{m}{\mathfrak {g}}}$${\displaystyle U_{n}{\mathfrak {g}}}$${\displaystyle G_{m}{\mathfrak {g}}}$${\displaystyle U^{m}{\mathfrak {g}}}$

を で割ると、 で定義されているすべてのリー交換子がゼロに設定されます。これは、積が にある 2 つの要素の交換子が実際に の要素を与えることを観察することで確認できます。これはすぐには明らかではないかもしれませんが、この結果を得るには、交換関係を繰り返し適用し、クランクを回す必要があります。ポアンカレ-バーコフ-ウィットの定理の本質は、常にこれを行うことが可能であり、結果が一意であることです。 ${\displaystyle U_{m}{\mathfrak {g}}}$${\displaystyle U_{m-1}{\mathfrak {g}}}$${\displaystyle U_{m}{\mathfrak {g}}}$${\displaystyle U_{m}{\mathfrak {g}}}$${\displaystyle U_{m-1}{\mathfrak {g}}}$

で積が定義されている要素の交換子は に含まれるため、 を定義する商は、すべての交換子をゼロに設定する効果があります。PBW が述べているのは、 の要素の交換子は必ずゼロになるということです。残っているのは、交換子として表現できない要素です。 ${\displaystyle U_{m}{\mathfrak {g}}}$${\displaystyle U_{m-1}{\mathfrak {g}}}$${\displaystyle G_{m}{\mathfrak {g}}}$${\displaystyle G_{m}{\mathfrak {g}}}$

このようにして、対称代数に直ちに導かれます。これは、すべての交換子が消える代数です。これは、対称テンソル積のフィルタリングとして定義できます。その極限が対称代数です。これは、以前と同じ自然性の概念に訴えて構築されます。同じテンソル代数から始めて、すべての要素が交換可能になるという異なるイデアルを使用するだけです。 ${\displaystyle S_{m}{\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \operatorname {Sym} ^{m}{\mathfrak {g}}}$${\displaystyle S({\mathfrak {g}})}$

${\displaystyle S({\mathfrak {g}})=T({\mathfrak {g}})/(a\otimes b-b\otimes a)}$

したがって、ポアンカレ-バーコフ-ウィットの定理は、ベクトル空間としても可換代数としても、対称代数 に同型であることを述べていると見ることができます。 ${\displaystyle G({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle S({\mathfrak {g}})}$

はフィルタリングされた代数も形成します。その極限は、フィルタリングの 関連する次数代数 です。${\displaystyle G_{m}{\mathfrak {g}}}$${\displaystyle G({\mathfrak {g}}).}$

上記の構成は、商の使用により、 の極限がに同型であることを意味します。 より一般的な設定では、条件を緩めると、 は射影であることがわかり、フィルターされた代数の関連する次数付き代数に対する PBW タイプの定理が得られます。これを強調するために、それがフィルターされた代数であることを思い出すために という 表記法が使用されることがあります。${\displaystyle G({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle U({\mathfrak {g}}).}$${\displaystyle S({\mathfrak {g}})\to G({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle \operatorname {gr} U({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle G({\mathfrak {g}}),}$

この定理をジョルダン代数に適用すると、対称代数ではなく外積代数が得られる。本質的には、この構成は反交換子をゼロにする。結果として得られる代数は包絡代数であるが、普遍的ではない。前述のように、例外的なジョルダン代数を包絡することはできない。

がリー代数 を持つ実リー群であるとする。現代的なアプローチに従うと、左不変ベクトル場（すなわち、一階の左不変微分作用素）の空間と同一視できる。具体的には、最初に を恒等関数におけるへの接空間と考えると、 の各ベクトルは一意の左不変拡大を持つ。次に、接空間のベクトルを関連する左不変ベクトル場と同一視する。ここで、2 つの左不変ベクトル場の交換子（微分作用素として）は、やはりベクトル場であり、やはり左不変である。次に、 に対する括弧演算を、関連する左不変ベクトル場上の交換子として定義できる。^[7]この定義は、リー群のリー代数上の括弧構造の他の標準的な定義と一致する。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

次に、任意の順序の左不変微分作用素を考えてみましょう。このような作用素はすべて、左不変ベクトル場の積の線形結合として（一意ではない形で）表現できます。 上のすべての左不変微分作用素の集合は、 と表記される代数を形成します。 は普遍包絡代数 と同型であることが示されます。^[8]${\displaystyle A}$${\displaystyle G}$${\displaystyle D(G)}$${\displaystyle D(G)}$${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$

が実リー群のリー代数として生じる場合、左不変微分作用素を使ってポアンカレ・バーコフ・ウィットの定理の解析的証明を与えることができます。具体的には、左不変微分作用素の代数は、の交換関係を満たす要素（左不変ベクトル場）によって生成されます。したがって、包絡代数の普遍的性質により、は の商です。したがって、PBW 基底要素が で線形独立である場合（これは解析的に証明できます）、それらは で確実に線形独立でなければなりません。（そして、この時点で、との同型性は明らかです。） ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle D(G)}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle D(G)}$${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle D(G)}$${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle D(G)}$${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$

の基礎となるベクトル空間に新しい代数構造を与えることができ 、 と は結合代数 として同型となる。これにより、対称多項式の空間に の積が与えられ、リー代数の代数構造が標準的な結合代数に配置される、記号代数の概念が生まれる。つまり、PBW 定理によって不明瞭になるもの (交換関係) が、記号代数によって再び脚光を浴びることになる。 ${\displaystyle S({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle S({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle \star ({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle \star }$

代数は、 の元を取り、各生成子を不定可換変数に置き換えて、体 上の対称多項式の空間を得ることによって得られる。実際、対応は自明である。単に の記号を に置き換えるだけである。結果として得られる多項式は、の対応する元の記号と呼ばれる。逆写像は ${\displaystyle S({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle e_{i}}$${\displaystyle t_{i}}$${\displaystyle K[t_{i}]}$${\displaystyle K}$${\displaystyle t_{i}}$${\displaystyle e_{i}}$${\displaystyle S({\mathfrak {g}})}$

${\displaystyle w:\star ({\mathfrak {g}})\to U({\mathfrak {g}})}$

は各記号を に置き換えます。代数構造は、積が同型として働くことを要求することによって得られます。つまり、 ${\displaystyle t_{i}}$${\displaystyle e_{i}}$${\displaystyle \star }$

${\displaystyle w(p\star q)=w(p)\otimes w(q)}$

多項式の場合${\displaystyle p,q\in \star ({\mathfrak {g}}).}$

この構成の主な問題は、書かれているように、 が の本質的にメンバーであるというわけではなく、適切に順序付けられた基底の の要素を得るために、まず面倒な基底要素の並べ替え（必要に応じて構造定数を適用）を実行しなければならないことです。この積の明示的な表現は、ベレジン公式です。^{[9]これは、リー群の2つの要素の積の}ベイカー・キャンベル・ハウスドルフ公式から本質的に従います。 ${\displaystyle w(p)\otimes w(q)}$${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$

閉じた形式の表現は^{[10]で与えられる。}

${\displaystyle p(t)\star q(t)=\left.\exp \left(t_{i}m^{i}\left({\frac {\partial }{\partial u}},{\frac {\partial }{\partial v}}\right)\right)p(u)q(v)\right\vert _{u=v=t}}$

どこ

${\displaystyle m(A,B)=\log \left(e^{A}e^{B}\right)-A-B}$

そして、選択された基準に 正確に従います。${\displaystyle m^{i}}$${\displaystyle m}$

ハイゼンベルク代数の普遍包絡代数はワイル代数（中心が単位であるという関係を法として）であり、ここで積はモヤル積と呼ばれる。 ${\displaystyle \star }$

普遍包絡代数は表現論を保存します。つまり、 の表現は上の加群に 1 対 1 で対応します。より抽象的な言葉で言えば、のすべての表現のアーベル圏は上のすべての左加群のアーベル圏と同型です。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$

半単純リー代数の表現論は、クロネッカー積として知られる同型が存在するという観察に基づいています。

${\displaystyle U({\mathfrak {g}}_{1}\oplus {\mathfrak {g}}_{2})\cong U({\mathfrak {g}}_{1})\otimes U({\mathfrak {g}}_{2})}$

リー代数の場合、同型性は埋め込みの持ち上げから得られる。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{1},{\mathfrak {g}}_{2}}$

${\displaystyle i({\mathfrak {g}}_{1}\oplus {\mathfrak {g}}_{2})=i_{1}({\mathfrak {g}}_{1})\otimes 1\oplus 1\otimes i_{2}({\mathfrak {g}}_{2})}$

どこ

${\displaystyle i:{\mathfrak {g}}\to U({\mathfrak {g}})}$

は、標準的な埋め込みです（それぞれ代数 1 と 2 の添え字付き）。上記の指示があれば、この埋め込みが持ち上がることを簡単に確認できます。ただし、これを行う際の細かい点については、テンソル代数に関する記事の双代数構造の説明を参照してください。特に、そこで使用されているシャッフル積は、ウィグナー・ラカー係数、つまり6jおよび9j 記号など に対応します。

また、自由リー代数の普遍包絡代数が自由結合代数と同型であることも重要です。

表現の構築は通常、最も高い重みのVerma モジュールを構築することから始まります。

が無限小変換によって作用する典型的な状況では、 の要素はあらゆる位数の微分作用素のように作用します。(例えば、上で説明したように、普遍包絡代数を関連群上の左不変微分作用素として実現することを参照してください。) ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$

の中心は 、におけるの中心化子と同一視できます。 の任意の元は、 のすべてと可換でなければならず、特にへの の標準埋め込みと可換でなければなりません。このため、中心は、 の表現を分類するために直接役立ちます。 有限次元半単純リー代数の場合、カシミール演算子は、中心 とは異なる基底を形成します。 これらは、次のように構築できます。 ${\displaystyle Z(U({\mathfrak {g}}))}$${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle U({\mathfrak {g}}).}$${\displaystyle Z(U({\mathfrak {g}}))}$${\displaystyle U({\mathfrak {g}}),}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle U({\mathfrak {g}}).}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle Z(U({\mathfrak {g}}))}$

中心は、であるすべての元と可換なすべての元の線形結合に対応します。つまり、 は の核にあります。したがって、その核を計算するためのテクニックが必要です。上の随伴表現の作用がわかります。上でそれが必要です。最も簡単な方法は、 が微分 であり、微分空間を に持ち上げて にすることができることに注意することです。したがって、これらは両方とも微分代数であることを意味します。 ${\displaystyle Z(U({\mathfrak {g}}))}$${\displaystyle z=v\otimes w\otimes \cdots \otimes u\in U({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle x\in {\mathfrak {g}};}$${\displaystyle [z,x]={\mbox{ad}}_{x}(z)=0.}$${\displaystyle {\mbox{ad}}_{\mathfrak {g}}.}$${\displaystyle {\mathfrak {g}};}$${\displaystyle U({\mathfrak {g}}).}$${\displaystyle {\mbox{ad}}_{\mathfrak {g}}}$${\displaystyle T({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle U({\mathfrak {g}}).}$

定義により、ライプニッツの法則に従うかどうかの導出は次のようになります。 ${\displaystyle \delta :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \delta ([v,w])=[\delta (v),w]+[v,\delta (w)]}$

（ が群 上の左不変ベクトル場空間である場合、リー括弧はベクトル場のそれである。）持ち上げは次のように定義される。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta (v\otimes w\otimes \cdots \otimes u)=&\,\delta (v)\otimes w\otimes \cdots \otimes u\\&+v\otimes \delta (w)\otimes \cdots \otimes u\\&+\cdots +v\otimes w\otimes \cdots \otimes \delta (u).\end{aligned}}}$

は任意の導出であるため、上記は作用を定義し、${\displaystyle {\mbox{ad}}_{x}}$${\displaystyle x\in {\mathfrak {g}},}$${\displaystyle {\mbox{ad}}_{x}}$${\displaystyle T({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle U({\mathfrak {g}}).}$

PBW定理から、すべての中心元はリー代数の基底元における対称同次多項式の線形結合であることは明らかである。カシミール不変量は、与えられた固定次数の既約同次多項式である。つまり、基底が与えられたとき、次数のカシミール演算子は次の形式を持つ。 ${\displaystyle e_{a}}$${\displaystyle e_{a}}$${\displaystyle m}$

${\displaystyle C_{(m)}=\kappa ^{ab\cdots c}e_{a}\otimes e_{b}\otimes \cdots \otimes e_{c}}$

ここで、テンソル積には項があり、は随伴表現に属するの完全対称テンソルです。つまり、はの要素として考えることができます（考えるべきです）。随伴表現は構造定数によって直接与えられることを思い出してください。したがって、上記の式の明示的なインデックス付き形式は、リー代数基底の観点から与えることができます。これはもともとイスラエル・ゲルファンドの定理です。つまり、 から、 ${\displaystyle m}$${\displaystyle \kappa ^{ab\cdots c}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle \kappa ^{ab\cdots c}}$${\displaystyle \left(\operatorname {ad} _{\mathfrak {g}}\right)^{\otimes m}.}$${\displaystyle [x,C_{(m)}]=0}$

${\displaystyle f_{ij}^{\;\;k}\kappa ^{jl\cdots m}+f_{ij}^{\;\;l}\kappa ^{kj\cdots m}+\cdots +f_{ij}^{\;\;m}\kappa ^{kl\cdots j}=0}$

ここで構造定数は

${\displaystyle [e_{i},e_{j}]=f_{ij}^{\;\;k}e_{k}}$

例えば、二次カシミール演算子は

${\displaystyle C_{(2)}=\kappa ^{ij}e_{i}\otimes e_{j}}$

ここで、はキリング形式の逆行列です 。カシミール演算子が中心に属することは、キリング形式が随伴作用に対して不変であるという事実から導かれます。 ${\displaystyle \kappa ^{ij}}$ ${\displaystyle \kappa _{ij}.}$${\displaystyle C_{(2)}}$${\displaystyle Z(U({\mathfrak {g}}))}$

単純リー代数の普遍包絡代数の中心は、ハリシュ・チャンドラ同型によって詳細に与えられます。

有限次元半単純リー代数の代数的に独立したカシミール作用素の数は、その代数の階数、すなわちカルタン・ワイル基底の階数に等しい。これは次のように考えることができる。d次元ベクトル空間Vの場合、行列式は上の完全に反対称なテンソルであることを思い出す。行列Mが与えられたとき、 Mの特性多項式は次のように 書ける。${\displaystyle V^{\otimes d}}$

${\displaystyle \det(tI-M)=\sum _{n=0}^{d}p_{n}t^{n}}$

d次元リー代数、つまり随伴表現がd次元である代数の場合、線型演算子

${\displaystyle \operatorname {ad} :{\mathfrak {g}}\to \operatorname {End} ({\mathfrak {g}})}$

はd次元自己準同型であることを意味し、したがって特性方程式は次のようになる。 ${\displaystyle \operatorname {ad} _{x}}$

${\displaystyle \det(tI-\operatorname {ad} _{x})=\sum _{n=0}^{d}p_{n}(x)t^{n}}$

要素について、 この特性多項式の非ゼロ根（すべてのxに対する根）は、代数の根系を形成します。一般に、そのような根はr 個しかなく、これが代数の階数です。これは、がゼロにならないnの最高値がrであることを意味します。${\displaystyle x\in {\mathfrak {g}}.}$${\displaystyle p_{n}(x)}$

は次数d  −  nの同次多項式である。 これはいくつかの方法で見ることができる。定数 が与えられると、ad は線形なので、 となる。上記を 代入して計算すると、次式が得られる。${\displaystyle p_{n}(x)}$${\displaystyle k\in K}$${\displaystyle \operatorname {ad} _{kx}=k\,\operatorname {ad} _{x}.}$

${\displaystyle p_{n}(kx)=k^{d-n}p_{n}(x).}$

線形性により、基底を展開すると、

${\displaystyle x=\sum _{i=1}^{d}x_{i}e_{i}}$

多項式は次のようになる。

${\displaystyle p_{n}(x)=x_{a}x_{b}\cdots x_{c}\kappa ^{ab\cdots c}}$

つまり、 a は階数 のテンソルです。線形性と加法の可換性、つまり により、このテンソルは完全に対称でなければならないと結論付けられます。このテンソルはまさにm次カシミール不変量です。${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle m=d-n}$${\displaystyle \operatorname {ad} _{x+y}=\operatorname {ad} _{y+x},}$

中心は、すべてのxに対してとなる元に対応していた。 上記により、これらは特性方程式の根に明らかに対応している。根は階数rの空間を形成し、カシミール不変量はこの空間を張ると結論付けられる。つまり、カシミール不変量は中心を生成する。${\displaystyle Z({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle z\in Z({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle \operatorname {ad} _{x}(z)=0}$${\displaystyle Z(U({\mathfrak {g}})).}$

回転群SO(3)は階数1なので、カシミール演算子を1つ持つ。これは3次元なので、カシミール演算子は位数(3 − 1) = 2、つまり2次でなければならない。もちろん、これはのリー代数である。初等演習として、これを直接計算することができる。表記を に変更すると、 は随伴表現に属するため、一般代数要素は となり、直接計算すると次のようになる。 ${\displaystyle A_{1}.}$${\displaystyle e_{i}=L_{i},}$${\displaystyle L_{i}}$${\displaystyle xL_{1}+yL_{2}+zL_{3}}$

${\displaystyle \det \left(xL_{1}+yL_{2}+zL_{3}-tI\right)=-t^{3}-(x^{2}+y^{2}+z^{2})t}$

2次項は と読み取ることができるので、回転群の2乗角運動量演算子はカシミール演算子である。つまり、 ${\displaystyle \kappa ^{ij}=\delta ^{ij}}$

${\displaystyle C_{(2)}=L^{2}=e_{1}\otimes e_{1}+e_{2}\otimes e_{2}+e_{3}\otimes e_{3}}$

そして明示的な計算により、

${\displaystyle [L^{2},e_{k}]=0}$

構造定数を利用した後

${\displaystyle [e_{i},e_{j}]=\varepsilon _{ij}^{\;\;k}e_{k}}$

上記のの構築中に得られた重要な観察結果は、リー代数上の任意の微分が に持ち上げられるという事実により、それが微分代数であるということでした。したがって、擬似微分演算子の環 が得られ、そこからカシミール不変量を構築できます。 ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$

リー代数がフレドホルム理論のように線型作用素の空間に作用する場合、対応する作用素の空間にカシミール不変量を構築することができます。2 次カシミール作用素は楕円作用素に対応します。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

リー代数が微分可能多様体上で作用する場合、各カシミール演算子は余接多様体上の高階微分に対応し、2 階微分が最も一般的かつ重要です。

代数の作用が等長 である場合、たとえば、計量と対称群SO(N)およびSO (P, Q)がそれぞれ備わっているリーマン多様体または擬リーマン多様体の場合、上限と下限のインデックスを（計量テンソルで）縮約して、より興味深い構造を得ることができます。2 次カシミール不変量の場合、これはラプラシアンです。4 次カシミール演算子を使用すると、応力エネルギーテンソル を2 乗して、ヤン ミルズ作用を生じさせることができます。コールマン-マンデュラ定理は、通常のリー代数を考えるとき、これらが取り得る形式を制限します。ただし、リー超代数はコールマン-マンデュラ定理の前提を回避でき、空間と内部対称性を混ぜるのに使用できます。

ならば、それは行列の基底を持つ。${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {sl}}_{2}}$

${\displaystyle H={\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}},{\text{ }}E={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}},{\text{ }}F={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}}$

標準括弧の下で次の恒等式を満たします。

${\displaystyle [H,E]=-2E}$、、 そして${\displaystyle [H,F]=2F}$${\displaystyle [E,F]=-H}$

これは普遍包絡代数が次の表現を持つことを示している。

${\displaystyle U({\mathfrak {sl}}_{2})={\frac {\mathbb {C} \langle x,y,z\rangle }{(xy-yx+2y,xz-zx-2z,yz-zy+x)}}}$

非可換環として。

がアーベル関数（つまり括弧が常に0 ）である場合、 は可換であり、ベクトル空間の基底 が選択されている場合は、 は基底要素ごとに 1 つの変数を持つK上の多項式代数と同一視できます。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$

がリー群Gに対応するリー代数である場合、 はG上の（すべての次数の）左不変微分作用素の代数と同一視できます。 は、その内部に、一階微分作用素としての 左不変ベクトル場として存在します。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

上記の 2 つのケースを関連付けると、 がアーベル リー代数としてのベクトル空間Vである場合、左不変微分演算子は定数係数演算子であり、これは実際には1 次偏微分における多項式代数です。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

中心は左不変および右不変の微分演算子から構成されます。これは、 G が可換でない場合、1 次演算子によって生成されないことがよくあります (たとえば、半単純リー代数の カシミール演算子を参照)。${\displaystyle Z({\mathfrak {g}})}$

リー群論におけるもう一つの特徴は、Gの単位元eでのみサポートされる分布の畳み込み代数としての特徴です。 ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$

多項式係数を持つn変数の微分作用素の代数は、ハイゼンベルク群のリー代数から始めることで得ることができます。これについてはワイル代数を参照してください。リー代数の中心要素が所定のスカラーとして機能するように商を取る必要があります。

有限次元リー代数の普遍包絡代数は、フィルタされた二次代数です。

与えられた群に対する群代数の構成は、与えられたリー代数に対する普遍包絡代数の構成と多くの点で類似している。どちらの構成も普遍的であり、表現論をモジュール理論に変換する。さらに、群代数と普遍包絡代数はどちらも、ホップ代数に変わる自然な共乗法を持っている。これはテンソル代数に関する記事で明確にされている。テンソル代数にはホップ代数構造があり、リー括弧はそのホップ構造と整合している（整合条件に従っている）ため、普遍包絡代数に継承される。

リー群Gが与えられると、 G上の連続複素数値関数のベクトル空間C( G )を構築し、それをC*-代数に変換することができます。この代数は自然なホップ代数構造を持ちます。つまり、2つの関数が与えられると 、乗算を次のように定義します。 ${\displaystyle \varphi ,\psi \in C(G)}$

${\displaystyle (\nabla (\varphi ,\psi ))(x)=\varphi (x)\psi (x)}$

そして共乗法として

${\displaystyle (\Delta (\varphi ))(x\otimes y)=\varphi (xy),}$

国として

${\displaystyle \varepsilon (\varphi )=\varphi (e)}$

そしてその対蹠地は

${\displaystyle (S(\varphi ))(x)=\varphi (x^{-1}).}$

さて、ゲルファンド・ナイマーク定理は、本質的には、すべての可換ホップ代数は、あるコンパクト位相群G上の連続関数のホップ代数に同型であることを述べています。コンパクト位相群の理論と可換ホップ代数の理論は同じです。リー群の場合、これはC( G ) がと同型双対であることを意味します。より正確には、双対空間の部分空間に同型です。${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle U^{*}({\mathfrak {g}}).}$

これらの考え方は、非可換なケースにも拡張できます。まず、準三角ホップ代数を定義し、次に量子変形と呼ばれる操作を実行して、量子普遍包絡代数、または略して 量子群を取得します。

• ミルナー・ムーアの定理
• ハリシュ・チャンドラ準同型

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• ホール、ブライアン C. (2015)、リー群、リー代数、および表現: 初等入門、Graduate Texts in Mathematics、第 222 巻 (第 2 版)、Springer、ISBN 978-3319134666
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• マッソン、イアン・M. (2012)、「リー超代数と包絡代数」、数学大学院研究、第131巻、プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会、ISBN 978-0-8218-6867-6、Zbl  1255.17001
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• nラボにおける普遍包絡代数