基本特性 ローレンツ群は、ミンコフスキー時空 のすべての等長変換の群である ポアンカレ群 の部分群 です。ローレンツ変換は、まさに一点（事象 ）を固定する等長変換です。したがって、ローレンツ群は、ミンコフスキー時空の等長変換群 の点に関する等方性部分群 です。このため、ローレンツ群は同次ローレンツ群 と呼ばれることがあり、ポアンカレ群は非同次ローレンツ群と呼ばれることがあります。ローレンツ変換は 線形変換 の例であり、ミンコフスキー時空の一般的な等長変換はアフィン変換 です。
物理学の定義 2つの慣性座標系 （t 、x 、y 、z ） と（t ′、x ′、y ′、z ′） および2つの点P1 P2 を 仮定すると、ローレンツ群は、2つの座標系間で光の伝播速度を 保存
c 2 （ Δ t ′ ） 2 − （ Δ x ′ ） 2 − （ Δ y ′ ） 2 − （ Δ z ′ ） 2 = c 2 （ Δ t ） 2 − （ Δ x ） 2 − （ Δ y ） 2 − （ Δ z ） 2 {\displaystyle c^{2}(\Delta t')^{2}-(\Delta x')^{2}-(\Delta y')^{2}-(\Delta z')^{2}=c^{2}(\Delta t)^{2}-(\Delta x)^{2}-(\Delta y)^{2}-(\Delta z)^{2}} 行列形式では、以下の条件を満たすすべての線形変換Λは 次のようになります。
Λ T η Λ = η η = 診断 （ 1 、 − 1 、 − 1 、 − 1 ） {\displaystyle \Lambda ^{\textsf {T}}\eta \Lambda =\eta \qquad \eta =\operatorname {diag} (1,-1,-1,-1)} これらはローレンツ変換 と呼ばれます。
数学的定義 数学的には、ローレンツ群は、二次形式 を保存する行列リー群で ある不定直交群 O(1, 3) として記述できます。
（ t 、 x 、 y 、 z ） ↦ t 2 − x 2 − y 2 − z 2 {\displaystyle (t,x,y,z)\mapsto t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}} R 4 R 1,3と表記されることもある）。この二次形式は、行列形式（ 古典直交群を 計量テンソル として解釈される。
表記に関する注記 ローレンツ群では、O(1, 3) とO(3, 1) の両方がよく使われます。前者は符号が (+−−−) の計量を保持する行列を指し、後者は符号が (−+++) の計量を指します。定義式では計量の全体的な符号は関係ないので、結果として得られる行列群は同一です。一部の分野では(3 , 1 ) ではなく (1, 3) 表記を採用する現代的な動きがあるようですが、後者は現在の実務で依然として広く使われており、歴史的な文献の多くでも使用されています。この記事で説明されている内容はすべて、O(3, 1) 表記にも同様に、必要 に応じて適用されます。これらの考察は、関連する定義にも適用されます (例: SO + (1, 3) vs SO + (3, 1) ) 。
数学的性質 ローレンツ群は、連結して いない6次元の 非コンパクト 非可換実 リー群 です。4 つの連結成分は 単連結で はありません。[ 1 ] 成分 (つまり、恒等要素を含む成分) はそれ自体が群であり、制限ローレンツ群 と呼ばれることが多く、SO + (1, 3) と表記されます。制限ローレンツ群は、空間の向き と時間の方向の両方を保存するローレンツ変換から構成されます。その基本群の 位数は 2 であり、その普遍被覆である不定スピン群 Spin(1, 3)は、 特殊線形群 SL(2, C ) とシンプレクティック群 Sp(2, C ) の両方と同型です。これらの同型により、ローレンツ群は物理学にとって重要な多数の数学的構造、特にスピノル に作用することができます。したがって、相対論的量子力学 や量子場理論では、 SL(2, C ) をローレンツ群と呼ぶのが一般的であり、 SO + (1, 3) はその特定の表現 (ベクトル表現) であるという理解のもとで行われる。
ミンコフスキー空間におけるローレンツ群の作用の再帰的表現は、合成代数を形成する 双四元数 を用いる。ローレンツ変換の等長性は、合成性質に従って成り立つ。 | p q | = | p | × | q | {\displaystyle |pq|=|p|\times |q|}
ローレンツ群のもう一つの性質は、共形性 、すなわち角度の保存性である。ローレンツブーストは時空平面の双曲回転によって作用し、このような「回転」は相対性理論で用いられる 速度 の尺度である双曲角 を保存する。したがって、ローレンツ群は時空の共形群 の部分群である。
この記事では、O(1, 3) を「ローレンツ群」、SO(1, 3) を「真のローレンツ群」、SO + (1, 3)を「制限付きローレンツ群」と呼んでいることに注意してください。多くの著者（特に物理学の分野）は、 O( 1, 3)ではなくSO(1, 3) （あるいは場合によってはSO + (1, 3) ）を「ローレンツ群」と呼んでいます。そのような著者の文章を読む際には、彼らが具体的にどの群を指しているのかを明確にしておくことが重要です。
接続されたコンポーネント 2次元空間に時間次元を加えた空間における光円錐。 ローレンツ群O(1, 3)は リー群 であるため、群であると同時に、滑らかな多様体 として位相的に記述されます。多様体として、4 つの連結成分を持ちます。直感的に言えば、これは位相的に分離された 4 つの部分から構成されていることを意味します。
連結された4つの構成要素は、その要素が持つ2つの変換特性によって分類できる。
時間反転ローレンツ変換によって一部の要素は反転する。例えば、未来を指す時間的ベクトルは 過去を指すベクトルに反転される。 一部の要素は、不適切なローレンツ変換 によって向きが反転している。例えば、特定の四つ組 （テトラッド）など。時間の方向を保存するローレンツ変換は、正時変換 O + (1, 3) 。向きを保存するものは適切な 、線形変換として行列式は+1 。（不適切なローレンツ変換の行列式は−1 、SO(1, 3) と 表記されます。
向きと時間の方向の両方を保存するすべてのローレンツ変換の部分群は、真の正時ローレンツ群 または制限ローレンツ群 と呼ばれ、SO + (1, 3) と表記される。[ a ]
4つの連結成分の集合は、商群 O(1, 3) / SO + (1, 3) として群構造を与えることができ、これはクラインの4群と同型である。O (1, 3) のすべての要素は、適切な正時変換と離散群 の要素の半直積 として表すことができる。
{1, P , T , PT } ここで、P とTはそれぞれ パリティ演算 子と時間反転 演算子である。
P = diag(1, −1, −1, −1)T = diag(−1, 1, 1, 1)したがって、任意のローレンツ変換は、適切な直交ローレンツ変換として指定でき、さらに4つの連結成分のうちの1つを選択する2ビットの情報が追加されます。このパターンは、有限次元リー群に典型的なものです。
制限付きローレンツ群 制限ローレンツ群SO + (1, 3) はローレンツ群の恒等成分 であり、これは群内に存在する連続曲線によって恒等成分と連結できるすべてのローレンツ変換から構成されることを意味します。制限ローレンツ群は、完全なローレンツ群と同じ次元（この場合は次元が 6）を持つ連結 正規部分群 です。
制限ローレンツ群は、通常の空間回転 とローレンツブースト （時間的方向を含む双曲空間における回転[ 2 ] ）によって生成されます。すべての適切な正時ローレンツ変換は、回転（ 3つの実パラメータ で指定）とブースト（これも3つの実パラメータで指定）の積として表すことができるため、任意の適切な正時ローレンツ変換を指定するには6つの実パラメータが必要です。これが、制限ローレンツ群が6次元である理由を理解する一つの方法です。（ローレンツ群のリー代数 も参照してください。）
すべての回転の集合は、通常の回転群 SO(3) と同型なリー部分群 を形成します。しかし、すべてのブーストの集合は部分群を形成しません 。一般に、2 つのブーストを合成しても別のブーストは生成されないからです。（むしろ、共線でないブーストのペアは、ブーストと回転に等価であり、これはトーマス回転 に関係します。）ある方向へのブースト、またはある軸を中心とした回転は、1 パラメータ部分群 を生成します。
推移性の表面 群G V S ⊂ Vは、 Sが G の下で不変 である（すなわち、∀ g ∈ G 、∀ s ∈ S : gs ∈ S s 1 、 s 2 ∈ Sに対して gs 1 = s 2 g ∈ G
Q （ x ） = x 0 2 − x 1 2 − x 2 2 − x 3 2 。 {\displaystyle Q(x)=x_{0}^{2}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}-x_{3}^{2}.} 平坦な時空 R 1,3 O + (1, 3) 、Q ( x ) = const.[ 3 ]
Q ( x ) > 0、x 0 > 0は、2 枚の葉を持つ双曲面 の上の枝です。この葉上の点は、未来の時間的 ベクトルによって原点から分離されています。Q ( x ) > 0、x₀ < 0時間のような ベクトルです。Q ( x ) = 0、x 0 > 0は光円錐 の上側の枝、つまり未来の光円錐です。Q ( x ) = 0、x 0 < 0Q ( x ) < 0空間的な位置にあります。 原点x 0 = x 1 = x 2 = x 3 = 0 これらの曲面は3 次元でO + (1, 2)に関する対応する事実については忠実です。完全なローレンツ群の場合、変換 T
ローレンツ群の表現 これらの観察は、誘導表現 法を用いて、ローレンツ群、ひいてはポアンカレ群のすべての無限次元ユニタリ表現を 見つけるための良い出発点となる。[ 4 ] 小群 と呼ばれている。問題は、本質的には小群の表現を見つけるというより簡単な問題に帰着する。例えば、2 枚のシートの双曲線の 1 つにおける標準ベクトルは( m , 0, 0, 0)と適切に選択できる。m ≠ 0 の場合、ベクトルはちょうど 1 つのシートを貫通する。この場合、小群は回転群 SO(3) であり、その表現はすべて既知である。粒子が変換する正確な無限次元ユニタリ表現は、その分類の一部である。すべての表現が物理的な粒子に対応できるわけではない (知られている限りでは)。一枚双曲線上の標準ベクトルはタキオン に対応する。光円錐上の粒子は光子 であり、より仮説的な意味では重力子である 。原点に対応する「粒子」は真空である。
準同型写像と同型写像 他のいくつかの群は、制限ローレンツ群SO + (1, 3) と準同型または同型である。これらの準同型写像は、物理学における様々な現象を説明する上で重要な役割を果たす。
ワイル表現 ワイル表現 またはスピノル写像 は、SL(2, C ) からSO + (1, 3) への全射準 同型写像 のペアである。これらはパリティ変換の下で一致するペアを形成し、左カイラルスピノルと右カイラル スピノルに対応する。
SL(2, C ) のミンコフスキー時空への作用は、時空の点を次の形式の2×2エルミート 行列として記述することによって定義できる。
X ¯ = [ c t + z x − 私 y x + 私 y c t − z ] = c t 1 1 + x σ x + y σ y + z σ z = c t 1 1 + x → ⋅ σ → {\displaystyle {\overline {X}}={\begin{bmatrix}ct+z&x-iy\\x+iy&ct-z\end{bmatrix}}=ct1\!\!1+x\sigma _{x}+y\sigma _{y}+z\sigma _{z}=ct1\!\!1+{\vec {x}}\cdot {\vec {\シグマ }}} パウリ行列 の観点から。
このプレゼンテーション、ワイルプレゼンテーションは、
検出 X ¯ = （ c t ） 2 − x 2 − y 2 − z 2 。 {\displaystyle \det \,{\overline {X}}=(ct)^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}.} したがって、エルミート行列の空間（実 ベクトル空間として4次元）をミンコフスキー時空と同一視し、エルミート行列の行列式 はミンコフスキー時空における対応するベクトルの長さの2乗となるようにした。要素S ∈ SL(2, C )
X ¯ ↦ S X ¯ S † 、 {\displaystyle {\overline {X}}\mapsto S{\overline {X}}S^{\dagger }~,} どこS † {\displaystyle S^{\dagger }} はS エルミート転置 です。この作用は行列式を保存するため、SL(2, C ) はミンコフスキー時空に（線形）等長変換によって作用します。上記のパリティ反転形式は
X = c t 1 1 − x → ⋅ σ → {\displaystyle X=ct1\!\!1-{\vec {x}}\cdot {\vec {\sigma }}} これは次のように変化する
X ↦ （ S − 1 ） † X S − 1 {\displaystyle X\mapsto \left(S^{-1}\right)^{\dagger }XS^{-1}} これが正しい変換であることは、次の点に注目することでわかる。
X ¯ X = （ c 2 t 2 − x → ⋅ x → ） 1 1 = （ c 2 t 2 − x 2 − y 2 − z 2 ） 1 1 {\displaystyle {\overline {X}}X=\left(c^{2}t^{2}-{\vec {x}}\cdot {\vec {x}}\right)1\!\!1=\left(c^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}\right)1\!\!1} 上記の2つの変換の下で不変のままである。
これらの写像は全射で あり、どちらの写像の核も 2要素部分群± I である。第一同型定理 により、商群PSL(2, C ) = SL(2, C ) / {± I }は SO + (1, 3) と同型である。
パリティ写像はこれら2つの被覆を入れ替えます。これは、エルミート共役がSL(2, C ) の自己同型であることに対応します。これら2つの異なる被覆は、ローレンツ群のスピノル に対する2つの異なるカイラル 作用に対応します。上線のない形式は、右巻きスピノルが次のように変換されることに対応します。 ψ R ↦ S ψ R {\displaystyle \psi _{R}\mapsto S\psi _{R}} 。 ψ L ↦ （ S † ） − 1 ψ L \displaystyle \psi _{L}\mapsto \left(S^{\dagger }\right)^{-1}\psi _{L}} [ b ]
It is important to observe that this pair of coverings does not survive quantization; when quantized, this leads to the peculiar phenomenon of the chiral anomaly . The classical (i.e., non-quantized) symmetries of the Lorentz group are broken by quantization; this is the content of the Atiyah–Singer index theorem .
Notational conventions In physics, it is conventional to denote a Lorentz transformation Λ ∈ SO+ (1, 3) as Λ μ ν {\displaystyle {\Lambda ^{\mu }}_{\nu }} μ , ν = 0, 1, 2, 3four-vector can be created from the Pauli matrices in two different ways: as σ μ = ( I , σ → ) {\displaystyle \sigma ^{\mu }=(I,{\vec {\sigma }})} σ ¯ μ = ( I , − σ → ) {\displaystyle {\overline {\sigma }}^{\mu }=\left(I,-{\vec {\sigma }}\right)} parity transformation . Note that σ ¯ μ = σ μ {\displaystyle {\overline {\sigma }}_{\mu }=\sigma ^{\mu }}
Given a Lorentz transformation x μ ↦ x ′ μ = Λ μ ν x ν {\displaystyle x^{\mu }\mapsto x^{\prime \mu }={\Lambda ^{\mu }}_{\nu }x^{\nu }} S ∈ SL(2, C )
x ′ μ σ ¯ μ = σ ¯ μ Λ μ ν x ν = S x ν σ ¯ ν S † {\displaystyle x^{\prime \mu }{\overline {\sigma }}_{\mu }={\overline {\sigma }}_{\mu }{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }x^{\nu }=Sx^{\nu }{\overline {\sigma }}_{\nu }S^{\dagger }} Dropping the x μ {\displaystyle x^{\mu }}
σ ¯ μ Λ μ ν = S σ ¯ ν S † {\displaystyle {\overline {\sigma }}_{\mu }{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }=S{\overline {\sigma }}_{\nu }S^{\dagger }} The parity conjugate form is
σ μ Λ μ ν = ( S − 1 ) † σ ν S − 1 {\displaystyle \sigma _{\mu }{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }=\left(S^{-1}\right)^{\dagger }\sigma _{\nu }S^{-1}}
Proof That the above is the correct form for indexed notation is not immediately obvious, partly because, when working in indexed notation, it is quite easy to accidentally confuse a Lorentz transform with its inverse, or its transpose. This confusion arises due to the identity η Λ T η = Λ − 1 {\displaystyle \eta \Lambda ^{\textsf {T}}\eta =\Lambda ^{-1}} not tensors under Lorentz transformations! Thus a direct proof of this identity is useful, for establishing its correctness. It can be demonstrated by starting with the identity
ω σ k ω − 1 = − ( σ k ) T = − ( σ k ) ∗ {\displaystyle \omega \sigma ^{k}\omega ^{-1}=-\left(\sigma ^{k}\right)^{\textsf {T}}=-\left(\sigma ^{k}\right)^{*}} where k = 1 , 2 , 3 {\displaystyle k=1,2,3} ( ⋅ ) T {\displaystyle (\cdot )^{\textsf {T}}} ( ⋅ ) ∗ {\displaystyle (\cdot )^{*}} ω {\displaystyle \omega }
ω = i σ 2 = [ 0 1 − 1 0 ] {\displaystyle \omega =i\sigma _{2}={\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}} Written as the four-vector, the relationship is
σ μ T = σ μ ∗ = ω σ ¯ μ ω − 1 {\displaystyle \sigma _{\mu }^{\textsf {T}}=\sigma _{\mu }^{*}=\omega {\overline {\sigma }}_{\mu }\omega ^{-1}} This transforms as
σ μ T Λ μ ν = ω σ ¯ μ ω − 1 Λ μ ν = ω S σ ¯ ν S † ω − 1 = ( ω S ω − 1 ) ( ω σ ¯ ν ω − 1 ) ( ω S † ω − 1 ) = ( S − 1 ) T σ ν T ( S − 1 ) ∗ {\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{\mu }^{\textsf {T}}{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }&=\omega {\overline {\sigma }}_{\mu }\omega ^{-1}{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }\\&=\omega S\;{\overline {\sigma }}_{\nu }\,S^{\dagger }\omega ^{-1}\\&=\left(\omega S\omega ^{-1}\right)\,\left(\omega {\overline {\sigma }}_{\nu }\omega ^{-1}\right)\,\left(\omega S^{\dagger }\omega ^{-1}\right)\\&=\left(S^{-1}\right)^{\textsf {T}}\,\sigma _{\nu }^{\textsf {T}}\,\left(S^{-1}\right)^{*}\end{aligned}}} Taking one more transpose, one gets
σ μ Λ μ ν = ( S − 1 ) † σ ν S − 1 {\displaystyle \sigma _{\mu }{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }=\left(S^{-1}\right)^{\dagger }\sigma _{\nu }S^{-1}}
Symplectic group The symplectic group Sp(2, C ) is isomorphic to SL(2, C ) . This isomorphism is constructed so as to preserve a symplectic bilinear form on C 2
Sp ( 2 , C ) = { S ∈ GL ( 2 , C ) : S T ω S = ω } {\displaystyle \operatorname {Sp} (2,\mathbf {C} )=\left\{S\in \operatorname {GL} (2,\mathbf {C} ):S^{\textsf {T}}\omega S=\omega \right\}} where
ω = i σ 2 = [ 0 1 − 1 0 ] {\displaystyle \omega =i\sigma _{2}={\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}} Other common notations are ω = ϵ {\displaystyle \omega =\epsilon } J almost complex structures , which are not the same, as they transform differently.
Given a pair of Weyl spinors (two-component spinors)
u = [ u 1 u 2 ] , v = [ v 1 v 2 ] {\displaystyle u={\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\end{bmatrix}}~,\quad v={\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{bmatrix}}} the invariant bilinear form is conventionally written as
⟨ u , v ⟩ = − ⟨ v , u ⟩ = u 1 v 2 − u 2 v 1 = u T ω v {\displaystyle \langle u,v\rangle =-\langle v,u\rangle =u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}=u^{\textsf {T}}\omega v} この形式はローレンツ群の下で不変であるため、S ∈ SL(2, C )
⟨ S u 、 S v ⟩ = ⟨ u 、 v ⟩ {\displaystyle \langle Su,Sv\rangle =\langle u,v\rangle } これはスピノルの「スカラー積」の一種を定義するもので、ラグランジアン におけるローレンツ不変質量 項を定義するためによく用いられます。物理学にとって重要な注目すべき性質がいくつかあります。その一つは、ω 2 = − 1 {\displaystyle \omega ^{2}=-1} ω − 1 = ω T = ω † = − ω {\displaystyle \omega ^{-1}=\omega ^{\textsf {T}}=\omega ^{\dagger }=-\omega }
定義関係は次のように書ける。
ω S T ω − 1 = S − 1 {\displaystyle \omega S^{\textsf {T}}\omega ^{-1}=S^{-1}} これはローレンツ群の定義関係に非常によく似ている。
η Λ T η − 1 = Λ − 1 {\displaystyle \eta \Lambda ^{\textsf {T}}\eta ^{-1}=\Lambda ^{-1}} どこη = 診断 （ + 1 、 − 1 、 − 1 、 − 1 ） {\displaystyle \eta =\operatorname {diag} (+1,-1,-1,-1)} はミンコフスキー空間 の計量テンソル であり、もちろん、Λ ∈ それで （ 1 、 3 ） {\displaystyle \Lambda \in \operatorname {SO} (1,3)}
対象グループ SL(2, C ) は単連結であるため、制限ローレンツ群SO + (1, 3)の 普遍被覆群 です。制限により、準同型SU(2) → SO(3) が存在します。ここで、単位ノルム 四元数 の群と同型である特殊ユニタリ群 SU(2)も単連結であるため、回転群SO(3) の被覆群です。これらの被覆写像は それぞれ、被覆群のちょうど 2 つの要素が商の各要素に写像されるという意味で、二重被覆です。制限ローレンツ群と回転群は二重連結 であるとよく言われます。これは、各群の基本群 が2 要素の巡回群 Z 2 と同型で あることを意味します。
二重被覆はスピン群 の特徴である。二重被覆に加えて
スピン+ (1, 3) = SL(2, C ) → SO + (1, 3) スピン(3) = SU(2) → SO(3) 二重カバーがあります
Pin(1, 3) → O(1, 3)Spin(1, 3) → SO(1, 3) スピン+ (1, 2) = SU(1, 1) → SO(1, 2) これらのスピノール二重被覆は クリフォード代数 から構成される。
トポロジー 二重カバー内の左右のグループ
SU(2) → SO(3) それぞれ、二重被覆における左群と右群の変形収縮 である。
SL(2, C ) → SO + (1, 3) .しかし、同質空間SO + (1, 3) / SO(3)は 双曲 3 次元空間 H 3 同相で あるため、制限ローレンツ群を、ファイバーSO(3) と基底H 3 を持つ主ファイバー束 として示しました。後者はR 3 SO(3) は 3 次元実射影空間 R P 3 R P 3 R 3 と局所的 に同相であることがわかります。基底空間は可縮であるため、これは大域的な同相に拡張できます。
活用クラス 制限付きローレンツ群SO + (1, 3) はメビウス群PSL(2, C ) と同型であるため、その共役類 も 5 つのクラスに分類されます。
楕円 変換双曲 変換等角航路 変換放物線 変換些細な同一性 変換 メビウス変換 に関する記事では、リーマン球面上でのメビウス変換の不動点 を考察することで、この分類がどのように生じるかが説明されています。これは、ミンコフスキー時空上での制限付きローレンツ変換のヌル固有 空間 に対応します。
各タイプの例を以下のサブセクションで示し、それが生成する1パラメータのサブグループ の影響（例えば、夜空の見え方）についても説明します。
メビウス変換は、リーマン球面（または天球面）の等角変換です。SL (2, C )の任意の要素と共役させることで、それぞれ任意の楕円型、双曲型、等角航路型、放物線型（制限付き）ローレンツ変換の例が得られます。対応する 1 パラメータ部分群の 流れ線 への影響は、例に見られるパターンを何らかの等角変換によって変換することです。たとえば、楕円型ローレンツ変換は天球面上に任意の 2 つの異なる固定点を持つことができますが、点は依然として一方の固定点から他方の固定点に向かって円弧に沿って流れます。他の場合も同様です。
楕円形 SL(2, C ) の楕円要素は
P 1 = [ exp （ 私 2 θ ） 0 0 exp （ − 私 2 θ ） ] {\displaystyle P_{1}={\begin{bmatrix}\exp \left({\frac {i}{2}}\theta \right)&0\\0&\exp \left(-{\frac {i}{2}}\theta \right)\end{bmatrix}}} そして、 ξ = 0, ∞という固定点を持つ。作用をX ↦ P 1 X P 1 †
Q 1 = [ 1 0 0 0 0 コス （ θ ） 罪 （ θ ） 0 0 − 罪 （ θ ） コス （ θ ） 0 0 0 0 1 ] = exp （ θ [ 0 0 0 0 0 0 1 0 0 − 1 0 0 0 0 0 0 ] ） 。 {\displaystyle Q_{1}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&\cos(\theta )&\sin(\theta )&0\\0&-\sin(\theta )&\cos(\theta )&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}=\exp \left(\theta {\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&1&0\\0&-1&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}\right)~.} この変換は、 z 軸を中心とした回転、exp( iθJ z θを 定数ではなく回転角である実変数とすることで得られます。
天球の対応する連続変換（恒等変換を除く）はすべて、北極と南極という同じ2つの固定点を共有しています。これらの変換は、他のすべての点を緯度円の周りを移動させるため、このグループはθ が増加するにつれてz 軸を中心とした連続的な反時計回りの回転を生み出します。スピノルマップに見られる角度の倍増は、 スピノル二重被覆 の特徴的な性質です。
双曲線 SL(2, C ) の双曲要素は
P 2 = [ exp （ η 2 ） 0 0 exp （ − η 2 ） ] {\displaystyle P_{2}={\begin{bmatrix}\exp \left({\frac {\eta }{2}}\right)&0\\0&\exp \left(-{\frac {\eta }{2}}\right)\end{bmatrix}}} そして、 ξ = 0、∞という固定点を持つ。リーマン球面からユークリッド平面への立体射影の下では、このメビウス変換の効果は原点からの拡大となる。
スピノル写像はこれをローレンツ変換に変換する。
Q 2 = [ コッシュ （ η ） 0 0 シン （ η ） 0 1 0 0 0 0 1 0 シン （ η ） 0 0 コッシュ （ η ） ] = exp （ η [ 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 ] ） 。 {\displaystyle Q_{2}={\begin{bmatrix}\cosh(\eta )&0&0&\sinh(\eta )\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\\sinh(\eta )&0&0&\cosh(\eta )\end{bmatrix}}=\exp \left(\eta {\begin{bmatrix}0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\end{bmatrix}}\right)~.} この変換は、 z 軸に沿った速度 η のブーストを表します。この変換によって生成される1パラメータ部分群は、ηを 定数ではなく実変数とすることで得られます。天球の対応する連続変換（恒等変換を除く）はすべて同じ固定点（北極と南極）を共有し、経度 に沿って他のすべての点を南極から北極に向かって移動させます。
等角航路 SL(2, C ) のロクソドロミック要素は
P 3 = P 2 P 1 = P 1 P 2 = [ exp （ 1 2 （ η + 私 θ ） ） 0 0 exp （ − 1 2 （ η + 私 θ ） ） ] {\displaystyle P_{3}=P_{2}P_{1}=P_{1}P_{2}={\begin{bmatrix}\exp \left({\frac {1}{2}}(\eta +i\theta )\right)&0\\0&\exp \left(-{\frac {1}{2}}(\eta +i\theta )\right)\end{bmatrix}}} そして、 ξ = 0, ∞という固定点を持つ。スピノル写像はこれをローレンツ変換に変換する。
Q 3 = Q 2 Q 1 = Q 1 Q 2 = [ コッシュ （ η ） 0 0 シン （ η ） 0 コス （ θ ） 罪 （ θ ） 0 0 − 罪 （ θ ） コス （ θ ） 0 シン （ η ） 0 0 コッシュ （ η ） ] = exp [ 0 0 0 η 0 0 θ 0 0 − θ 0 0 η 0 0 0 ] 。 {\displaystyle Q_{3}=Q_{2}Q_{1}=Q_{1}Q_{2}={\begin{bmatrix}\cosh(\eta )&0&0&\sinh(\eta )\\0&\cos(\theta )&\sin(\theta )&0\\0&-\sin(\theta )&\cos(\theta )&0\\\sinh(\eta )&0&0&\cosh(\eta )\end{bmatrix}}=\exp {\begin{bmatrix}0&0&0&\eta \\0&0&\theta &0\\0&-\theta &0&0\\\eta &0&0&0\end{bmatrix}}~.} この方法で生成される1パラメータ部分群は、η + i θ を η θ が z軸を中心とした同時回転と z 軸に沿ったブーストからなる2次元 アーベル部分群 が得られます。これに対し、ここで議論する1次元部分群は、ブーストの 速さ と回転の角度の 比率が固定され ているような、この2次元部分群の要素から構成されます。）
天球の対応する連続変換（恒等変換を除く）はすべて、同じ2つの固定点（北極と南極）を共有します。これらの変換は、他のすべての点を南極から遠ざけ、北極に近づける（またはその逆）ように、ロクソドローム
放物線状 SL(2, C ) の放物線要素は
P 4 = [ 1 α 0 1 ] {\displaystyle P_{4}={\begin{bmatrix}1&\alpha \\0&1\end{bmatrix}}} そして、リーマン球面上に唯一の固定点ξ = ∞を持つ。立体投影では、 実軸 に沿った通常の平行移動 として現れる。
スピノル写像はこれを行列（ローレンツ変換を表す）に変換する。
Q 4 = [ 1 + 1 2 | α | 2 再 （ α ） − 私は （ α ） − 1 2 | α | 2 再 （ α ） 1 0 − 再 （ α ） − 私は （ α ） 0 1 私は （ α ） 1 2 | α | 2 再 （ α ） − 私は （ α ） 1 − 1 2 | α | 2 ] = exp [ 0 再 （ α ） − 私は （ α ） 0 再 （ α ） 0 0 − 再 （ α ） − 私は （ α ） 0 0 私は （ α ） 0 再 （ α ） − 私は （ α ） 0 ] 。 {\displaystyle {\begin{aligned}Q_{4}&={\begin{bmatrix}1+{\frac {1}{2}}\vert \alpha \vert ^{2}&\operatorname {Re} (\alpha )&-\operatorname {Im} (\alpha )&-{\frac {1}{2}}\vert \alpha \vert ^{2}\\\operatorname {Re} (\alpha )&1&0&-\operatorname {Re} (\alpha )\\-\operatorname {Im} (\alpha )&0&1&\operatorname {Im} (\alpha )\\{\frac {1}{2}}\vert \alpha \vert ^{2}&\operatorname {Re} (\alpha )&-\operatorname {Im} (\alpha )&1-{\frac {1}{2}}\vert \alpha \vert ^{2}\end{bmatrix}}\\[6pt]&=\exp {\begin{bmatrix}0&\operatorname {Re} (\alpha )&-\operatorname {Im} (\alpha )&0\\\operatorname {Re} (\alpha )&0&0&-\operatorname {Re} (\alpha )\\-\operatorname {Im} (\alpha )&0&0&\operatorname {Im} (\alpha )\\0&\operatorname {Re} (\alpha )&-\operatorname {Im} (\alpha )&0\end{bmatrix}}~.\end{aligned}}} これにより、 αを 定数ではなく複素変数とみなすことで得られる2パラメータアーベル部分群が生成されます。天球の対応する連続変換（恒等変換を除く）は、北極で特定の大円 に接する円の族に沿って点を移動させます。北極自体以外のすべての点は、これらの円に沿って移動します。
放物線型ローレンツ変換は、しばしばヌル回転 と呼ばれます。これらは、4種類の非恒等ローレンツ変換（楕円型、双曲型、等角航路型、放物線型）の中で最も馴染みの薄いものと思われるため、ここでは放物線型ローレンツ変換の例がミンコフスキー時空に及ぼす影響をどのように判定するかを説明します。
上記の行列は変換を与える。
[ t x y z ] → [ t x y z ] + 再 （ α ） [ x t − z 0 x ] − 私は （ α ） [ y 0 z − t y ] + | α | 2 2 [ t − z 0 0 t − z ] 。 {\displaystyle {\begin{bmatrix}t\\x\\y\\z\end{bmatrix}}\rightarrow {\begin{bmatrix}t\\x\\y\\z\end{bmatrix}}+\operatorname {Re} (\alpha )\;{\begin{bmatrix}x\\t-z\\0\\x\end{bmatrix}}-\operatorname {Im} (\alpha )\;{\begin{bmatrix}y\\0\\z-t\\y\end{bmatrix}}+{\frac {\vert \alpha \vert ^{2}}{2}}\;{\begin{bmatrix}t-z\\0\\0\\t-z\end{bmatrix}}.} ここで、一般性を失うことなく 、Im( α ) = 0とします。この変換を、実数群パラメータ α に関して微分し、 α = 0
x （ ∂ t + ∂ z ） + （ t − z ） ∂ x 。 {\displaystyle x\,\left(\partial _{t}+\partial _{z}\right)+(t-z)\,\partial _{x}.} これを関数f ( t , x , y , z )に適用し、不変であることを要求する。つまり、この変換によって消滅する。結果として得られる一次線形偏微分方程式 の解は、次の形式で表すことができる。
f （ t 、 x 、 y 、 z ） = F （ y 、 t − z 、 t 2 − x 2 − z 2 ） 、 {\displaystyle f(t,x,y,z)=F\left(y,\,t-z,\,t^{2}-x^{2}-z^{2}\right),} ここで、Fは 任意の 滑らかな関数です。F の引数は、点 (イベント) がこの放物線変換の下でどのように移動するかを記述する3 つの有理不変量 を与えます。点 (イベント) 自体は移動しません。
y = c 1 、 t − z = c 2 、 t 2 − x 2 − z 2 = c 3 。 {\displaystyle y=c_{1},~~~~t-z=c_{2},~~~~t^{2}-x^{2}-z^{2}=c_{3}.} 右辺の定数に実数値を指定すると、3つの条件が得られ、それによってミンコフスキー時空における曲線が特定される。この曲線は変換の軌道である。
有理不変量の形式から、これらの流れ線（軌道）は単純な記述で表せることがわかる。すなわち、不要な座標 y を省略すると、各軌道はヌル平面 t = z + c 2 と 曲面 t − x 2 − z 2 = c 3 3 = 0の場合、 双曲面は光円錐に退化し、軌道は対応するヌル平面上にある放物線となる。
光円錐上にある特定のヌル線は不変の ままです。これは、前述のリーマン球面上の唯一の（二重）固定点に対応します。原点を通る他のヌル線は、変換によって「円錐の周りを回転」します。αが増加 するにつれて、そのようなヌル線の1つの動きを追跡することは、前述のように、天球上の円形流線に沿った点の動きを追跡することに対応します。
代わりにRe( α ) = 0 を選択すると、 x とy の役割が入れ替わった同様の軌道が生成されます。
放物線変換は、ヘリシティ | h | ≥ 1の質量のない粒子 (光子 など)のゲージ対称性をもたらします。上記の具体的な例では、 z 方向に運動する質量のない粒子 (4 次元運動量P = ( p , 0, 0, p )は、その運動の「小群」において、以下で定義される x ブーストとy 回転の組み合わせK x − J y P α のすべての痕跡または影響は消えています。議論した特殊なケースでは、 c 1 = c 2 = c 3 = 0 となります。(他の同様の生成子K y + J x J z は 、 E (2) と同型な光のようなベクトルの小群を構成します。)
1+2 時空における光円錐と「天球円」に対する x 方向のローレンツブーストの作用。空間全体にローレンツブースト行列を適用した後、各点をt = 1
夜空の様子 この同型性により、リーマン球面のメビウス変換は、ローレンツ変換が「固定星」に対して相対論的速度で移動する観測者から見た夜空の見え方を変化させる方法を表すことになる。
仮に「恒星」がミンコフスキー時空に存在し、天球上の点によってモデル化されるとします。すると、天球上の特定の点は、リーマン球面 上の点に対応する複素数ξ = u + iv 光のようなベクトル ）と同一視できます。
[ u 2 + v 2 + 1 2 u − 2 v u 2 + v 2 − 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}u^{2}+v^{2}+1\\2u\\-2v\\u^{2}+v^{2}-1\end{bmatrix}}} または、ワイル表現（スピノル写像）では、エルミート行列
N = 2 [ u 2 + v 2 u + 私 v u − 私 v 1 ] 。 {\displaystyle N=2{\begin{bmatrix}u^{2}+v^{2}&u+iv\\u-iv&1\end{bmatrix}}.} 負の z 方向へのローレンツ ブーストの作用を、（何らかの直交座標系で）天球の空間的投影に対して行う。繰り返しになるが、ローレンツ ブースト行列を全空間に適用した後、天球はt = 1| x | = 1 この零ベクトルの実数スカラー倍の集合は、原点を通る零線と呼ばれ、特定の場所と時間（ミンコフスキー時空の原点と同一視できる任意の事象）にいる観測者から、星などの様々な遠方の物体への 視線を表します。そして、 天球上 の点（あるいは視線）は、特定のエルミート行列と同一視されます。
射影幾何学と2次元球面の様々な視点 この図は射影幾何学の言葉で明確に現れる。制限付きローレンツ群は射影天球 に作用する。これは、非ゼロ零ベクトルの空間であり、t > 0 {\displaystyle t>0} （ t 、 x 、 y 、 z ） ～ （ t ′ 、 x ′ 、 y ′ 、 z ′ ） {\displaystyle (t,x,y,z)\sim (t',x',y',z')} （ t ′ 、 x ′ 、 y ′ 、 z ′ ） = （ λ t 、 λ x 、 λ y 、 λ z ） {\displaystyle (t',x',y',z')=(\lambda t,\lambda x,\lambda y,\lambda z)} λ > 0 {\displaystyle \lambda >0} t {\displaystyle t}
メビウスの法則から見ると、SL(2, C ) は複素射影空間C P 1 SL(2, C ) 上の商空間につながります。
最後に、これら2つは複素射影ベクトルを使用してヌルベクトルを構築することで結び付けることができます。ξ {\displaystyle \xi } はC P 1 2 × 2 {\displaystyle 2\times 2} ブロッホ球面 として知られています。
リー代数 他のリー群と同様に、ローレンツ群の多くの側面を研究する上で有用な方法は、そのリー代数 を用いることである。ローレンツ群SO(1, 3)は 行列リー群 であるため、対応するリー代数はs o （ 1 、 3 ） {\displaystyle {\mathfrak {so}}(1,3)} [ 5 ]のように計算できます。
s o （ 1 、 3 ） = { 4 × 4 R 値行列 X ∣ e t X ∈ S O （ 1 、 3 ） f o r 1 l l t } {\displaystyle {\mathfrak {so}}(1,3)=\left\{4\times 4\,\,\,\mathbf {R} {\text{-valued matrices}}\,X\mid e^{tX}\in \mathrm {SO} (1,3)\,\mathrm {for} \,\mathrm {all} \,t\right\}} もしη {\displaystyle \eta } は対角成分が(1, −1, −1, −1) である対角行列であり、リー代数はo （ 1 、 3 ） {\displaystyle {\mathfrak {o}}(1,3)} 4 × 4 {\displaystyle 4\times 4} X {\displaystyle X} [ 6 ]
η X η = − X T {\displaystyle \eta X\eta =-X^{\textsf {T}}} 具体的には、s o （ 1 、 3 ） {\displaystyle {\mathfrak {so}}(1,3)} 4 × 4 {\displaystyle 4\times 4}
（ 0 1 b c 1 0 d e b − d 0 f c − e − f 0 ） {\displaystyle {\begin{pmatrix}0&a&b&c\\a&0&d&e\\b&-d&0&f\\c&-e&-f&0\end{pmatrix}}} どこ1 、 b 、 c 、 d 、 e 、 f {\displaystyle a,b,c,d,e,f} s o （ 1 、 3 ） {\displaystyle {\mathfrak {so}}(1,3)} 1 {\displaystyle a} b {\displaystyle b} c {\displaystyle c} s o （ 3 ） {\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}
完全ローレンツ群O(1, 3) 、固有ローレンツ群SO(1, 3) 、および固有正時ローレンツ群SO + (1, 3) (恒等関数に関連する成分) はすべて同じリー代数を持ち、これは通常 と表記されます。 s o （ 1 、 3 ） {\displaystyle {\mathfrak {so}}(1,3)}
ローレンツ群の恒等成分はSL(2, C ) の有限商と同型であるため（ローレンツ群とメビウス群の関係については上記のセクションを参照）、ローレンツ群のリー代数は次のリー代数と同型である。 s l （ 2 、 C ） {\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbf {C} )} s l （ 2 、 C ） {\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbf {C} )}
ブーストと回転を生成する装置 ローレンツ群はR 4 微分同相群 の部分群と考えることができ、したがってそのリー代数はR 4 キリングベクトルであり、これはリー代数を計算するための 左不変ベクトル場 の便利な代替手段となる。6 つの生成元 を書き出すことができる。
R 4 i J − y ∂ x + x ∂ y ≡ 私 J z 、 − z ∂ y + y ∂ z ≡ 私 J x 、 − x ∂ z + z ∂ x ≡ 私 J y ; {\displaystyle -y\partial _{x}+x\partial _{y}\equiv iJ_{z}~,\qquad -z\partial _{y}+y\partial _{z}\equiv iJ_{x}~,\qquad -x\partial _{z}+z\partial _{x}\equiv iJ_{y}~;} R 4 i K x ∂ t + t ∂ x ≡ 私 K x 、 y ∂ t + t ∂ y ≡ 私 K y 、 z ∂ t + t ∂ z ≡ 私 K z 。 {\displaystyle x\partial _{t}+t\partial _{x}\equiv iK_{x}~,\qquad y\partial _{t}+t\partial _{y}\equiv iK_{y}~,\qquad z\partial _{t}+t\partial _{z}\equiv iK_{z}.} 係数i
ここで、1階線形 偏微分演算子 の形式で記述されたベクトル場 から1パラメータ群を取得する方法を簡単に思い出しておくと役立つかもしれません。
L = − y ∂ x + x ∂ y 。 {\displaystyle {\mathcal {L}}=-y\partial _{x}+x\partial _{y}.} 対応する初期値問題（r = （ x 、 y ） {\displaystyle r=(x,y)} λ {\displaystyle \lambda } ∂ λ r = L r {\displaystyle \partial _{\lambda }r={\mathcal {L}}r}
∂ x ∂ λ = − y 、 ∂ y ∂ λ = x 、 x （ 0 ） = x 0 、 y （ 0 ） = y 0 。 {\displaystyle {\frac {\partial x}{\partial \lambda }}=-y,\;{\frac {\partial y}{\partial \lambda }}=x,\;x(0)=x_{0},\;y(0)=y_{0}.} 解は次のように書ける
x （ λ ） = x 0 コス （ λ ） − y 0 罪 （ λ ） 、 y （ λ ） = x 0 罪 （ λ ） + y 0 コス （ λ ） {\displaystyle x(\lambda )=x_{0}\cos(\lambda )-y_{0}\sin(\lambda ),\;y(\lambda )=x_{0}\sin(\lambda )+y_{0}\cos(\lambda )} または
[ t x y z ] = [ 1 0 0 0 0 コス （ λ ） − 罪 （ λ ） 0 0 罪 （ λ ） コス （ λ ） 0 0 0 0 1 ] [ t 0 x 0 y 0 z 0 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}t\\x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&\cos(\lambda )&-\sin(\lambda )&0\\0&\sin(\lambda )&\cos(\lambda )&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}t_{0}\\x_{0}\\y_{0}\\z_{0}\end{bmatrix}}} ここで、z軸を中心とした1パラメータ行列群exp( iλJ z
群パラメータλ に関して微分し、その結果をλ =0
私 J z = [ 0 0 0 0 0 0 − 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 ] 、 {\displaystyle iJ_{z}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&-1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}~,} これは、最初に用いたベクトル場に対応します。これは、リー代数の要素の行列表現とベクトル場表現の間をどのように変換するかを示しています。指数写像は 、ローレンツ群だけでなく、一般のリー群においてもこの特別な役割を果たします。
前のセクションの手順を逆に行うと、6 つのジェネレーターに対応するメビウス変換は、それぞれη /2iθ /2パウリ行列に掛けて指数関数化することによって得られることがわかります。
σ 1 = [ 0 1 1 0 ] 、 σ 2 = [ 0 − 私 私 0 ] 、 σ 3 = [ 1 0 0 − 1 ] 。 {\displaystyle \sigma _{1}={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}},\;\;\sigma _{2}={\begin{bmatrix}0&-i\\i&0\end{bmatrix}},\;\;\sigma _{3}={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}.}
別の生成セットは、メビウス群への同型写像によって生じます。次の表は、6 つの生成元を示しています。
最初の列は、メビウス作用による流れの生成子（リーマン球面からの立体投影後）をユークリッド平面上の実ベクトル場として示している。 2列目には、対応する1パラメータのメビウス変換の部分群が示されています。 3列目には、対応する1パラメータのローレンツ変換部分群（前の1パラメータ部分群の準同型写像による像）が示されています。 第4列には、ミンコフスキー時空上の実ベクトル場として、ローレンツ作用の下での流れの対応する生成子が示されている。 ジェネレーターは以下で構成されていることに注意してください。
2つの放物線（零回転） 双曲線（∂ z {\displaystyle \partial _{z}} 3つの楕円（それぞれx軸 、y軸 、z 軸を中心とした回転）
実例：y軸を中心とした回転 始めに
σ 2 = [ 0 私 − 私 0 ] 。 {\displaystyle \sigma _{2}={\begin{bmatrix}0&i\\-i&0\end{bmatrix}}.} 指数化する:
exp （ 私 θ 2 σ 2 ） = [ コス （ θ 2 ） − 罪 （ θ 2 ） 罪 （ θ 2 ） コス （ θ 2 ） ] 。 {\displaystyle \exp \left({\frac {i\theta }{2}}\,\sigma _{2}\right)={\begin{bmatrix}\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)&-\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\\\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)&\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)\end{bmatrix}}.} SL(2, C ) のこの要素は、(楕円型)メビウス変換の1パラメータ部分群を表します。
ξ ↦ ξ ′ = コス （ θ 2 ） ξ − 罪 （ θ 2 ） 罪 （ θ 2 ） ξ + コス （ θ 2 ） 。 {\displaystyle \xi \mapsto \xi '={\frac {\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)\,\xi -\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)}{\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\,\xi +\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)}}.} 次、
d ξ ′ d θ | θ = 0 = − 1 + ξ 2 2 。 {\displaystyle \left.{\frac {d\xi '}{d\theta }}\right|_{\theta =0}=-{\frac {1+\xi ^{2}}{2}}.} C S 2
− 1 + ξ 2 2 ∂ ξ 。 {\displaystyle -{\frac {1+\xi ^{2}}{2}}\,\partial _{\xi }.} 書き込みξ = u + 私 v {\displaystyle \xi =u+iv} これはR2 。
− 1 + u 2 − v 2 2 ∂ u − u v ∂ v 。 {\displaystyle -{\frac {1+u^{2}-v^{2}}{2}}\,\partial _{u}-uv\,\partial _{v}.} SL(2, C ) の要素に戻り、アクションを書き出すX ↦ P X P † {\displaystyle X\mapsto PXP^{\dagger }} SO + (1, 3)の要素であることがわかります。
[ 1 0 0 0 0 コス （ θ ） 0 罪 （ θ ） 0 0 1 0 0 − 罪 （ θ ） 0 コス （ θ ） ] 。 {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&\cos(\theta )&0&\sin(\theta )\\0&0&1&0\\0&-\sin(\theta )&0&\cos(\theta )\end{bmatrix}}.} θ = 0 でθ R 1,3
z ∂ x − x ∂ z 。 {\displaystyle z\partial _{x}-x\partial _{z}.\,\!} これは明らかに、 y
ローレンツ群のサブグループ ローレンツ群のリー代数の部分代数は共役を除いて列挙でき、そこから制限ローレンツ群の閉部分群を 共役を除いて列挙できる。（詳細は下記に引用されているホールの著書を参照。）これらは生成子を用いて容易に表現できる。X n {\displaystyle X_{n}}
1次元部分代数はもちろん、ローレンツ群の要素の4つの共役類に対応する。
X 1 {\displaystyle X_{1}} 放物線SO(0, 1) の1パラメータ部分代数を生成する。X 3 {\displaystyle X_{3}} SO(1, 1) を生成する。X 4 {\displaystyle X_{4}} SO(2) を生成する。X 3 + 1 X 4 {\displaystyle X_{3}+aX_{4}} 1 ≠ 0 {\displaystyle a\neq 0} （厳密に言えば、最後のクラスは無限に多くのクラスに対応します。なぜなら、異なるクラスは無限に多くのクラスに対応しているからです。）1 {\displaystyle a}
X 1 、 X 2 {\displaystyle X_{1},X_{2}} X 1 、 X 3 {\displaystyle X_{1},X_{3}} アフィン群 Aff(1) のリー代数と同型な非可換部分代数を生成する。X 3 、 X 4 {\displaystyle X_{3},X_{4}} 3次元部分代数はビアンキ分類 スキームを使用する。
X 1 、 X 2 、 X 3 {\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3}} ユークリッド相似 群Hom(2) のリー代数と同型なビアンキ V 部分代数を生成する。X 1 、 X 2 、 X 4 {\displaystyle X_{1},X_{2},X_{4}} 群 E (2) のリー代数と同型なビアンキ VII 0 部分代数を生成する。X 1 、 X 2 、 X 3 + 1 X 4 {\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3}+aX_{4}} 1 ≠ 0 {\displaystyle a\neq 0} Bianchi VII の部分 代数を生成し、X 1 、 X 3 、 X 5 {\displaystyle X_{1},X_{3},X_{5}} 双曲平面 の等長変換群であるSL(2, R ) のリー代数と同型なビアンキVIII 部分代数を生成する。X 4 、 X 5 、 X 6 {\displaystyle X_{4},X_{5},X_{6}} SO(3) のリー代数と同型なビアンキIX 部分代数を生成する。ビアンキ型とは、イタリアの数学者 ルイージ・ビアンキ による3次元リー代数の分類を指す。
4次元部分代数はすべて共役である
X 1 、 X 2 、 X 3 、 X 4 {\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},X_{4}} ユークリッド相似 群Sim(2) のリー代数と同型な部分代数を生成する。部分代数は格子を形成し（図を参照）、各部分代数は指数演算によって制限付きリー群の閉部分群 を生成する。これらから、クライン4群のいずれかの要素を乗じることで、共役を除いてローレンツ群のすべての部分群を構成できる。
リー代数SO(1, 3) の部分代数の束（共役を除いて）。 連結リー群と同様に、制限ローレンツ群の閉部分群の剰余空間、すなわち同次空間は 、数学的に非常に興味深い。以下に、その簡単な説明をいくつか示す。
群Sim(2)は ヌル線 、つまりリーマン球面上の点の安定化群です。したがって、同次空間SO + (1, 3) / Sim(2) は球面S 2 上の共形幾何学 を表すクライン幾何学 です。 ユークリッド群SE(2)の（恒等成分）は ヌルベクトル の安定化因子であるため、均質空間SO + (1, 3) / SE(2)は質量のない粒子の 運動量空間 となります。幾何学的には、このクライン幾何学はミンコフスキー時空における光円錐の退化幾何学を表します。 回転群SO(3)は 時間的ベクトル の安定化群であるため、均質空間SO + (1, 3) / SO(3)は質量粒子の 運動量空間 であり、幾何学的には、この空間は 3 次元双曲空間 H 3
高次元への一般化 ローレンツ群の概念は、任意の次元の時空に自然に一般化できる。数学的には、( n + 1)次元ミンコフスキー空間のローレンツ群は、二次形式を保存するR n +1 不定直交群 O( n , 1)である。
（ x 1 、 x 2 、 … 、 x n 、 x n + 1 ） ↦ x 1 2 + x 2 2 + ⋯ + x n 2 − x n + 1 2 。 {\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},x_{n+1})\mapsto x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}-x_{n+1}^{2}.} グループO(1, n ) は二次形式を保持する
（ x 1 、 x 2 、 … 、 x n 、 x n + 1 ） ↦ x 1 2 − x 2 2 − ⋯ − x n + 1 2 {\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},x_{n+1})\mapsto x_{1}^{2}-x_{2}^{2}-\cdots -x_{n+1}^{2}} O(1, n )は O( n , 1) と同型であり、ローレンツ群のどちらの表現も理論物理学の分野で用いられている。前者は重力に関する文献でより一般的であり、後者は素粒子物理学の文献でより一般的である。
この二次形式の選択を備えたベクトル空間R n +1の一般的な表記はR 1, n
4 次元 ( n = 3n O( n , 1) は 4 つの連結成分を持ち、( n + 1) 次元ミンコフスキー空間の天球( n − 1) 球面上で共形変換によって作用します。単位成分SO + ( n , 1)は、双曲 n H n 上のSO( n ) バンドルです。
低次元の場合n = 1n = 2n = 3の「おもちゃのモデル」としてよく利用される一方、高次元のローレンツ群は、隠れた次元の存在を仮定する弦理論 などの物理理論で使用されます。ローレンツ群O( n , 1)は、 n ド・ジッター空間 dS n の等長変換群でもあり、これは均質空間O( n , 1) / O( n − 1, 1) として実現できます。特に、O(4, 1)は、宇宙論モデルである ド・ジッター宇宙 dS 4 の等長変換群です。
注記 ↑ 一部の著者は、 SO + SO(1, 3) またはO( 1, 3 ) と表記していることに注意してください。 ↑ 具体的な導出については、ワイル方程式 に関する記事を参照してください。
読書リスト Emil Artin (1957) Geometric Algebra 、第 III 章: Symplectic および Orthogonal Geometry via Internet Archive では、直交群O( p , q )について説明しています。 カルメリ、モシェ （1977）。群論と一般相対性理論、ローレンツ群の表現とその重力場への応用 。マグロウヒル、ニューヨーク。ISBN 978-0-07-009986-9 。第1章から第6章を参照のこと。 フランケル、セオドア （ 2011）[初版1997年]。物理学の幾何学：入門 （第3 版）。ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局 。doi ： 10.1017 / CBO9781139061377。ISBN 978-1-107-60260-1 。MR 2884939。Zbl 1250.58001。 フルトン、ウィリアム ；ハリス、ジョー （ 1991）。表現論入門。 大学院数学テキスト 、数学読本、第129巻。ニューヨーク ：シュプリンガー・フェルラーク。doi ：10.1007 /978-1-4612-0979-9。ISBN 978-0-387-97495-8 . MR 1153249 . OCLC 246650103 . SL(2, C ) の既約表現については、講義11を参照してください 。Gelfand, IM ; Minlos, RA ; Shapiro, Z.Ya. (1963), Representations of the Rotation and Lorentz Groups and their Applications , New York: Pergamon PressHall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction , Graduate Texts in Mathematics, vol. 222 (2nd ed.), Springer, ISBN 978-3319134666 Hall, GS (2004).一般相対性理論における対称性と曲率構造 . シンガポール: World Scientific. ISBN 978-981-02-1051-9 。 第6章を参照してください。 ハッチャー、アレン （2002）。代数トポロジー 。ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-79540-1 。オンライン版 も参照のこと。 2005年 7月3日 取得 。 第1.3節を参照してください 。回転群の位相については、第3D節を参照してください。 ミスナー、チャールズ ；ソーン、キップ・S ； ウィーラー、ジョン （1973）。重力 フリーマン社 。ISBN 978-0-7167-0344-0 。ネイバー、 グレゴリー（1992）。ミンコフスキー時空の幾何学 。ニューヨーク：シュプリンガー・フェルラーク。ISBN 978-0486432359 。ニーダム、トリスタン （1997）。『視覚的複素解析 』オックスフォード：オックスフォード大学出版局。ISBN 978-0-19-853446-4 。第3章を参照してください。 ワインバーグ、S. (2002) 『場の量子論 、ケンブリッジ大学出版局 、ISBN 978-0-521-55001-7 Wigner, EP (1939)、「不均質ローレンツ群のユニタリ表現について」、Annals of Mathematics 40 (1): 149–204 、Bibcode : 1939AnMat..40..149W、doi : 10.2307/1968551、JSTOR 1968551、MR 1503456、S2CID 121773411 
![{\displaystyle {\begin{aligned}Q_{4}&={\begin{bmatrix}1+{\frac {1}{2}}\vert \alpha \vert ^{2}&\operatorname {Re} (\alpha )&-\operatorname {Im} (\alpha )&-{\frac {1}{2}}\vert \alpha \vert ^{2}\\\operatorname {Re} (\alpha )&1&0&-\operatorname {Re} (\alpha )\\-\operatorname {Im} (\alpha )&0&1&\operatorname {Im} (\alpha )\\{\frac {1}{2}}\vert \alpha \vert ^{2}&\operatorname {Re} (\alpha )&-\operatorname {Im} (\alpha )&1-{\frac {1}{2}}\vert \alpha \vert ^{2}\end{bmatrix}}\\[6pt]&=\exp {\begin{bmatrix}0&\operatorname {Re} (\alpha )&-\operatorname {Im} (\alpha )&0\\\operatorname {Re} (\alpha )&0&0&-\operatorname {Re} (\alpha )\\-\operatorname {Im} (\alpha )&0&0&\operatorname {Im} (\alpha )\\0&\operatorname {Re} (\alpha )&-\operatorname {Im} (\alpha )&0\end{bmatrix}}~.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fe74e84f87ed4999b00c40a37587136c1737f14)
![{\displaystyle [M^{\mu \nu },M^{\rho \sigma }]=M^{\mu \sigma }\eta ^{\nu \rho }-M^{\nu \sigma }\eta ^{\mu \rho }+M^{\nu \rho }\eta ^{\mu \sigma }-M^{\mu \rho }\eta ^{\nu \sigma }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94a9022837b52dcbbcf58bf59339dd5754657dfe)
