擬似スカラー

線型代数学において、擬スカラーはスカラーのように振舞う量であるが、パリティ反転^{[1] [2]}によって符号が変わるのに対し、真のスカラーはそうではない。

擬似スカラーは、通常のベクトルと乗算すると擬似ベクトル(または軸ベクトル)になります。同様の構成で擬似テンソルが作成されます。擬似スカラーは、擬似ベクトルと通常のベクトルのスカラー積からも生成されます。擬似スカラーの典型的な例はスカラー三重積で、これは三重積内のベクトルの 1 つと他の 2 つのベクトル (後者は擬似ベクトル) 間の スカラー積として表すことができます。

物理学では、擬似スカラーはスカラーに類似した物理量を表します。どちらも適切な回転の下で不変の単一の値をとる物理量です。ただし、パリティ変換の下では、擬似スカラーは符号が反転しますが、スカラーは反転しません。平面を介した反射は回転とパリティ変換の組み合わせであるため、擬似スカラーも反射の下で符号が変わります。

物理学における最も強力な考え方の 1 つは、物理法則を記述するために使用される座標系を変更しても物理法則は変化しないというものです。座標軸が反転されると擬似スカラーの符号が反転するということは、擬似スカラーが物理量を記述するのに最適なオブジェクトではないことを示しています。3D 空間では、擬似ベクトルによって記述される量は、反転に対して不変である 2 次反対称テンソルです。擬似ベクトルはその量のより単純な表現かもしれませんが、反転に対して符号が変化するという問題があります。同様に、3D 空間では、スカラーのホッジ デュアルは、3 次元のレヴィ チヴィタ擬似テンソル(または「順列」擬似テンソル) の定数倍に等しくなります。一方、擬似スカラーのホッジ デュアルは、3 次反対称 (純粋) テンソルです。レヴィ・チヴィタ擬似テンソルは、完全に反対称な3 次擬似テンソルです。擬似スカラーの双対は 2 つの「擬似量」の積であるため、結果として得られるテンソルは真のテンソルであり、軸の反転によって符号が変わることはありません。状況は、擬似ベクトルと 2 次反対称テンソルの場合と似ています。擬似ベクトルの双対は、2 次反対称テンソルです (逆も同様です)。テンソルは座標反転に対して不変の物理量ですが、擬似ベクトルは不変ではありません。

この状況は任意の次元に拡張できます。一般に、n次元空間では、 r次テンソルのホッジ双対は( n − r )次反対称擬テンソルになり、その逆も同様です。特に、特殊相対論の 4 次元時空では、擬スカラーは 4 次テンソルの双対であり、4 次元のレヴィ・チヴィタ擬テンソルに比例します。

• 2 次元の非圧縮流体の流れの流れ関数 。${\displaystyle \psi (x,y)}$${\displaystyle \mathbf {v} \left(x,y\right)=\left\langle \partial _{y}\psi ,-\partial _{x}\psi \right\rangle }$
• 磁荷は、物理的に存在するかどうかに関係なく、数学的に定義されている擬似スカラーです。
• 磁束はベクトル（表面法線）と擬似ベクトル（磁場）のドット積の結果です。
• ヘリシティは、スピン擬似ベクトルを運動量の方向（真のベクトル）に投影（ドット積）したものです。
• 擬スカラー粒子、すなわちスピン 0 および奇パリティを持つ粒子、つまり、パリティ反転によって符号が変わる波動関数を持つ固有スピンを持たない粒子。例としては擬スカラー中間子がある。

幾何代​​数における擬スカラーは代数の最高位の要素である。例えば、2次元では2つの直交基底ベクトル があり、それに関連する最高位の基底要素は ${\displaystyle e_{1}}$${\displaystyle e_{2}}$

${\displaystyle e_{1}e_{2}=e_{12}.}$

したがって擬スカラーはe ₁₂の倍数です。要素e _{12 は-1 に二乗され、すべての偶数要素と交換されます。したがって、}複素数の虚数スカラーiのように動作します。これらのスカラーのような特性から擬スカラーの名前が付けられています。

この設定では、擬似スカラーはパリティ反転によって符号が変わる。

( e ₁ , e ₂ ) → ( u ₁ , u ₂ )

は直交変換を表す基底変換であり、

e ₁ e ₂ → u ₁ u ₂ = ± e ₁ e ₂、

ここで、符号は変換の行列式に依存します。したがって、幾何代数における擬スカラーは物理学における擬スカラーに対応します。