4つの運動量

特殊相対論では、四元運動量（運動量エネルギーまたはモメンタリー^{[1]とも呼ばれる）は}、古典的な三次元運動量を四次元時空に一般化したものである。運動量は三次元のベクトルであり、同様に四元運動量は時空における四元ベクトルである。相対論的エネルギーEと三元運動量p = ( p _x , p _y , p _z ) = γm v（vは粒子の三元速度、 γ はローレンツ因子）を持つ粒子の反変四元運動量は、 $${\displaystyle p=\left(p^{0},p^{1},p^{2},p^{3}\right)=\left({\frac {E}{c}},p_{x},p_{y},p_{z}\right).}$$

上記の量m v は粒子の通常の非相対論的運動量であり、 m はその静止質量です。 4 元運動量はローレンツ共変ベクトルであるため、相対論的計算に役立ちます。 これは、ローレンツ変換によってどのように変換されるかを簡単に追跡できることを意味します。

4 元運動量のミンコフスキー ノルムの 2 乗を計算すると、粒子の固有質量の 2 乗に等しい (光速cの因数まで)ローレンツ不変量が得られます。 ここで、 は特殊相対論の計量テンソルで、明確さの計量シグネチャは(–1, 1, 1, 1)に選択されています。ノルムが負であることは、運動量が質量を持つ粒子の時間的4 元ベクトルであることを反映しています。シグネチャのもう 1 つの選択は、特定の式で符号を反転します (ここでのノルムの場合など)。この選択は重要ではありませんが、一貫性を保つために、一度選択すると全体を通して維持する必要があります。 $${\displaystyle p\cdot p=\eta _{\mu \nu }p^{\mu }p^{\nu }=p_{\nu }p^{\nu }=-{E^{2} \over c^{2}}+|\mathbf {p} |^{2}=-m^{2}c^{2}}$$$${\displaystyle \eta _{\mu \nu }={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}$$

ミンコフスキーノルムはローレンツ不変です。つまり、その値はローレンツ変換や異なる参照系へのブースティングによって変化しません。より一般的には、任意の 2 つの 4 元運動量pとqに対して、量p ⋅ q は不変です。

質量のある粒子の場合、4 元運動量は粒子の不変質量 mに粒子の4 元速度を乗じて求められます。ここで、 4 元速度uは 、 はローレンツ因子 (速度 に関連)、cは光速です。 $${\displaystyle p^{\mu }=mu^{\mu },}$$$${\displaystyle u=\left(u^{0},u^{1},u^{2},u^{3}\right)=\gamma _{v}\left(c,v_{x},v_{y},v_{z}\right),}$$$${\displaystyle \gamma _{v}:={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$$${\displaystyle v}$

4元運動量の正しい表現を得るには、いくつかの方法があります。1つの方法は、まず4元速度u = dx / dτを定義し、それが正しい単位と正しい動作を持つ4元ベクトルであると仮定して、単にp = mu を定義することです。もう1つの、より満足のいくアプローチは、最小作用の原理から始めて、ラグランジアンフレームワークを使用して、エネルギーの表現を含む4元運動量を導き出すことです。^{[2]以下に詳述する観察を使用して、}作用 Sから4元運動量をすぐに定義できます。一般に、一般化座標 q _iと正準運動量 p _iを持つ閉系の場合、^[3] は（現在の計量規則でx ⁰ = ct、x ¹ = x、x ² = y、x ³ = zおよびx ₀ = − x ⁰、x ₁ = x ¹、x ₂ = x ²、x ₃ = x ³を思い出すと） 共変 4 元ベクトルであり、3 元ベクトル部分は正準運動量（の負）である。 $${\displaystyle p_{i}={\frac {\partial S}{\partial q_{i}}}={\frac {\partial S}{\partial x_{i}}},\quad E=-{\frac {\partial S}{\partial t}}=-c\cdot {\frac {\partial S}{\partial x_{0}}},}$$$${\displaystyle p_{\mu }=-{\frac {\partial S}{\partial x^{\mu }}}=\left({E \over c},-\mathbf {p} \right)}$$

作用Sは次のように表される。 ここでLは自由粒子の 相対論的ラグランジアンである。このことから、$${\displaystyle S=-mc\int ds=\int Ldt,\quad L=-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}},}$$

$${\displaystyle \delta S=\left[-mu_{\mu }\delta x^{\mu }\right]_{t_{1}}^{t_{2}}+m\int _{t_{1}}^{t_{2}}\delta x^{\mu }{\frac {du_{\mu }}{ds}}ds=-mu_{\mu }\delta x^{\mu }={\frac {\partial S}{\partial x^{\mu }}}\delta x^{\mu }=-p_{\mu }\delta x^{\mu },}$$

ここで、2番目のステップでは、上記の観察と同様に、場の方程式du ^μ / ds = 0、( δx ^μ ) _{t 1} = 0、および( δx ^μ ) _{t 2} ≡ δx ^μを使用します。最後の3つの式を比較して、 norm − m ² c ²と、相対論的エネルギーの有名な結果 を見つけます 。$${\displaystyle p^{\mu }=-\partial ^{\mu }[S]=-{\frac {\partial S}{\partial x_{\mu }}}=mu^{\mu }=m\left({\frac {c}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}},{\frac {v_{x}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}},{\frac {v_{y}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}},{\frac {v_{z}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\right),}$$

ここでm _rは現在では流行っていない相対論的質量である。運動量とエネルギーの式を直接比較すると、

これは質量のない粒子にも当てはまります。エネルギーと三元運動量の式を2乗して関係づけると、エネルギーと運動量の関係が得られます。

ノルムを式に代入すると 、相対論的ハミルトン・ヤコビ方程式が得られる。^[4]$${\displaystyle p_{\mu }\leftrightarrow -{\frac {\partial S}{\partial x^{\mu }}}}$$

ラグランジアンから直接結果を導き出すことも可能です。定義により、^[5] は閉じた（時間に依存しないラグランジアン）システムの標準的な運動量とエネルギーの公式を構成します。このアプローチでは、エネルギーと運動量が4次元ベクトルの一部であることがあまり明確ではありません。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {p} &={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} }}=\left({\partial L \over \partial {\dot {x}}},{\partial L \over \partial {\dot {y}}},{\partial L \over \partial {\dot {z}}}\right)=m(\gamma v_{x},\gamma v_{y},\gamma v_{z})=m\gamma \mathbf {v} =m\mathbf {u} ,\\[3pt]E&=\mathbf {p} \cdot \mathbf {v} -L={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}},\end{aligned}}}$$

エネルギーと 3 次運動量は、ラグランジアン フレームワーク内の孤立システムでは別々に保存される量です。したがって、4 次運動量も保存されます。これについては、以下で詳しく説明します。

もっと平凡なアプローチには、電気力学で予想される動作が含まれます。^[6]このアプローチでは、出発点は、粒子の静止フレームにおけるローレンツ力の法則とニュートンの第二法則の適用です。次に、電荷の不変性を含む電磁場テンソルの変換特性を使用して実験フレームに変換し、結果として得られる式 (再びローレンツ力の法則) をニュートンの第二法則の精神で解釈して、相対論的な 3 運動量の正しい式を導きます。もちろん、欠点は、結果がすべての粒子 (荷電しているかどうかに関係なく) に当てはまるかどうかがすぐにはわからないことと、完全な 4 元ベクトルが得られないことです。

電磁気学を避け、よく訓練された物理学者がビリヤードのボールを投げ、速度の加算公式の知識を活用し、運動量保存を仮定する、よく調整された思考実験を使用することも可能です。 ^{[7] [8]}これも3つのベクトル部分のみを与えます。

上記のように、保存則は 3 つあります (独立しておらず、最後の 2 つは最初の法則を意味し、その逆も同様です)。

• 4 次運動量 p (共変または反変) は保存されます。
• 全エネルギー E = p ⁰ cは保存されます。
• 3 次元の運動 量 は保存されます (古典的な非相対論的運動量と混同しないでください)。${\displaystyle \mathbf {p} =\left(p^{1},p^{2},p^{3}\right)}$${\displaystyle m\mathbf {v} }$

粒子系の不変質量は粒子の静止質量の合計よりも大きくなる場合があることに注意してください。これは、系の質量中心座標系における運動エネルギーと、粒子間の力による位置エネルギーが不変質量に寄与するためです。たとえば、4 運動量(5 GeV/ c , 4 GeV/ c , 0, 0)と(5 GeV/ c , −4 GeV/ c , 0, 0)を持つ 2 つの粒子は、それぞれ個別に (静止) 質量 3  GeV/ c ²を持ちますが、それらの合計質量 (系質量) は 10  GeV/ c ² です。これらの粒子が衝突してくっつくと、複合オブジェクトの質量は 10 GeV/ c ²になります。

不変質量保存則の素粒子物理学における実際的な応用の 1 つは、重い粒子の崩壊で生成される 2 つの娘粒子の4 次運動量p _Aとp _{Bを 4 次運動量}p _Cと組み合わせて、重い粒子の質量を求めることです。4 次運動量の保存により、 p _C ^μ = p _A ^μ + p _B ^μとなり、重い粒子の質量Mは− P _C ⋅ P _C = M ² c ²で与えられます。娘粒子のエネルギーと 3 次運動量を測定することで、2 粒子系の不変質量を再構築できます。この質量はMに等しくなければなりません。この手法は、たとえば、高エネルギー粒子衝突型加速器でのZ′ ボソンの実験的探索で使用されます。この場合、 Z′ ボソンは、電子-陽電子またはミューオン -反ミューオン対の不変質量スペクトルの隆起として現れます。

物体の質量が変化しない場合、その4元運動量と対応する4元加速度 A ^μのミンコフスキー内積は単にゼロになります。4元加速度は、4元運動量の固有時間微分を粒子の質量で割った値に比例するため、 $${\displaystyle p^{\mu }A_{\mu }=\eta _{\mu \nu }p^{\mu }A^{\nu }=\eta _{\mu \nu }p^{\mu }{\frac {d}{d\tau }}{\frac {p^{\nu }}{m}}={\frac {1}{2m}}{\frac {d}{d\tau }}p\cdot p={\frac {1}{2m}}{\frac {d}{d\tau }}\left(-m^{2}c^{2}\right)=0.}$$

電荷qの荷電粒子が、電磁4元ポテンシャルで与えられる電磁場中を運動する場合、 φはスカラーポテンシャル、A = ( A _x , A _y , A _z )はベクトルポテンシャルであり 、 （ゲージ不変ではない）正準運動量4元ベクトルPの成分は、 $${\displaystyle A=\left(A^{0},A^{1},A^{2},A^{3}\right)=\left({\phi \over c},A_{x},A_{y},A_{z}\right)}$$$${\displaystyle P^{\mu }=p^{\mu }+qA^{\mu }.}$$

これにより、静電ポテンシャル内の荷電粒子からの位置エネルギーと、磁場内を移動する荷電粒子に働くローレンツ力が、相対論的量子力学にコンパクトに組み込まれるようになります。

曲がった時空に物質が連続的に分布する運動物理システムがある場合、4元運動量の基本表現は共変指数を持つ4元ベクトルである: ^[9]

${\displaystyle P_{\mu }=\left({\frac {E}{c}},-\mathbf {P} \right).}$

4元運動量は、物理系のエネルギーと相対論的運動量によって表現されます。同時に、4元運動量は、積分型の2つの非局所的な4元ベクトルの合計として表すことができます。 ${\displaystyle P_{\mu }}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \mathbf {P} }$${\displaystyle P_{\mu }}$

${\displaystyle P_{\mu }=p_{\mu }+K_{\mu }.}$

4 ベクトルは、粒子に対する場の作用に関連する一般化された 4 運動量です。4 ベクトルは、場に対する粒子の作用から生じる場の 4 運動量です。 ${\displaystyle p_{\mu }}$${\displaystyle K_{\mu }}$

システムのラグランジアン密度が与えられれば、エネルギーと運動量、および 4 次元ベクトルの成分を計算できます。システムのエネルギーと運動量については次の式が得られます。 ${\displaystyle E}$${\displaystyle \mathbf {P} }$${\displaystyle p_{\mu }}$${\displaystyle K_{\mu }}$${\displaystyle {\mathcal {L}}={\mathcal {L}}_{p}+{\mathcal {L}}_{f}}$

${\displaystyle E=\int _{V}{\frac {\partial }{\partial \mathbf {v} }}\left({\frac {{\mathcal {L}}_{p}}{u^{0}}}\right)\cdot \mathbf {v} u^{0}{\sqrt {-g}}dx^{1}dx^{2}dx^{3}-\int _{V}\left({\mathcal {L}}_{p}+{\mathcal {L}}_{f}\right){\sqrt {-g}}dx^{1}dx^{2}dx^{3}+\sum _{n=1}^{N}\left(\mathbf {v} _{n}\cdot {\frac {\partial L_{f}}{\partial \mathbf {v} _{n}}}\right).}$

${\displaystyle \mathbf {P} =\int _{V}{\frac {\partial }{\partial \mathbf {v} }}\left({\frac {{\mathcal {L}}_{p}}{u^{0}}}\right)u^{0}{\sqrt {-g}}dx^{1}dx^{2}dx^{3}+\sum _{n=1}^{N}{\frac {\partial L_{f}}{\partial \mathbf {v} _{n}}}.}$

ここでは、4 元の流れを持つ項を含むラグランジアン密度の部分です。は物質粒子の速度です。は粒子の 4 元速度の時間成分です。は計量テンソルの行列式です。はラグランジアン密度に関連付けられたラグランジアン部分です。は数 の物質粒子の速度です。 ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{p}}$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle u^{0}}$${\displaystyle g}$${\displaystyle L_{f}=\int _{V}{\mathcal {L}}_{f}{\sqrt {-g}}dx^{1}dx^{2}dx^{3}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{f}}$${\displaystyle \mathbf {v} _{n}}$${\displaystyle n}$

• 4つの力
• 4段階
• パウリ・ルバンスキー擬似ベクトル

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• Landau, LD; Lifshitz, EM (2000)。『場の古典理論』。第4版。英語版、訂正を加えて再版。ロシア語版からMorton Hamermeshにより翻訳。オックスフォード：Butterworth Heinemann。ISBN 9780750627689。
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• サード、RD (1970)。相対論的力学 - 特殊相対論と古典粒子動力学。ニューヨーク：WAベンジャミン。ISBN 978-0805384918。
• Lewis, GN ; Tolman, RC (1909). 「相対性原理と非ニュートン力学」Phil. Mag . 6. 18 (106): 510–523. doi :10.1080/14786441008636725.ウィキソース版