正準量子化

物理学において、正準量子化とは、対称性などの古典理論の形式的な構造を可能な限り維持しようとしながら、古典 理論を量子化する手順です。

歴史的に、これはヴェルナー・ハイゼンベルクが量子力学に到達した方法とはまったく異なるが、ポール・ディラックは1926年の博士論文で量子化のための「古典的類推の方法」 ^[1] としてこれを導入し 、彼の古典的なテキストである量子力学の原理^[2]で詳細に説明した。「正準」 という言葉は、システムのダイナミクスが正準ポアソン括弧を介して生成される古典力学へのハミルトンアプローチに由来しており、この構造は正準量子化では部分的にしか保持されない 。

この方法は、量子電磁力学の構築において、ポール・ディラックによって量子場の理論の文脈でさらに使用されました。場の理論の文脈では、単一粒子の 半古典的な第一量子化とは対照的に、場の第二量子化とも呼ばれます。

量子物理学が最初に開発されたとき、電磁場は古典的なもののままで、粒子の運動の量子化のみを扱っていたため、量子力学という名前が付けられました。^[3]

その後、電磁場も量子化され、粒子自体も量子化された場を通して表現されるようになり、量子電気力学（QED）と量子場理論一般が発展しました。^[4]したがって、慣例により、粒子量子力学の元の形式は第一量子化で示され、量子場理論は第二量子化の言語で定式化されます。

以下の説明は、ディラックの量子力学の論文に基づいています。^[2]粒子の古典力学 では、座標 ( x ) と運動量 ( p ) と呼ばれる動的変数があります。これらは古典システムの状態を指定します。古典力学の正準構造(シンプレクティック構造とも呼ばれる) は、これらの変数を囲むポアソン括弧( { x , p } = 1など)で構成されます。これらの括弧を保存する変数の変換はすべて、古典力学の正準変換として許可されています。運動自体がそのような正準変換です。

対照的に、量子力学では、粒子のすべての重要な特徴は、量子状態と呼ばれる状態に含まれています。観測可能量は、そのような 量子状態のヒルベルト空間に作用する演算子によって表されます。 ${\displaystyle |\psi \rangle }$

固有状態の 1 つに作用する演算子の固有値は、このように表現される粒子の測定値を表します。たとえば、エネルギーは状態 に作用するハミルトニアン演算子によって読み取られ、次の式が生成されます 。 ここで、E _{n は}この固有状態に関連付けられた特性エネルギーです。 ${\displaystyle {\hat {H}}}$${\displaystyle |\psi _{n}\rangle }$$${\displaystyle {\hat {H}}|\psi _{n}\rangle =E_{n}|\psi _{n}\rangle ,}$$${\displaystyle |\psi _{n}\rangle }$

任意の状態は、エネルギーの固有状態の線形結合として表すことができます。たとえば、 a _nは定数係数です。 $${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}|\psi _{n}\rangle ,}$$

古典力学と同様に、すべての動的演算子は、それぞれ位置演算子と運動量演算子の関数、および で表すことができます。この表現とより一般的な波動関数表現の関係は、位置 にある粒子を表す位置演算子の固有状態によって与えられます。位置演算子はヒルベルト空間の要素で表され、 を満たします。このとき、となります。 ${\displaystyle {\hat {X}}}$${\displaystyle {\hat {P}}}$${\displaystyle {\hat {X}}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle |x\rangle }$${\displaystyle {\hat {X}}|x\rangle =x|x\rangle }$${\displaystyle \psi (x)=\langle x|\psi \rangle }$

同様 に、運動量演算子の固有状態は運動量表現を指定します。${\displaystyle |p\rangle }$${\displaystyle {\hat {P}}}$${\displaystyle \psi (p)=\langle p|\psi \rangle }$

これらの演算子間の中心的な関係は、古典力学の 上記のポアソン括弧の量子アナログである正準交換関係である。 $${\displaystyle [{\hat {X}},{\hat {P}}]={\hat {X}}{\hat {P}}-{\hat {P}}{\hat {X}}=i\hbar .}$$

この関係は、 Δ x Δ p ≥ ħ /2の形式で 不確定性原理をコード化し（そして形式的に導きます）、この代数構造は、古典力学の正準構造の量子アナログと考えることができます。

N 粒子システム、つまり N 個の同一粒子(質量、電荷、スピンなどの同じ量子数で特徴付けられる粒子) を含むシステムの場合、単一粒子の状態関数をN 粒子の状態関数に拡張する必要があります。古典力学と量子力学の基本的な違いは、同一粒子の区別不能性の概念に関係しています。量子物理学では、ボソンとフェルミオンと呼ばれる 2 種類の粒子のみが可能であり、各粒子の種類に対して次の規則が適用されます。 ${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )}$${\displaystyle \psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\dots ,\mathbf {r} _{N})}$

• ボソンの場合:$${\displaystyle \psi (\mathbf {r} _{1},\dots ,\mathbf {r} _{j},\dots ,\mathbf {r} _{k},\dots ,\mathbf {r} _{N})=+\psi (\mathbf {r} _{1},\dots ,\mathbf {r} _{k},\dots ,\mathbf {r} _{j},\dots ,\mathbf {r} _{N}),}$$
• フェルミオンの場合:$${\displaystyle \psi (\mathbf {r} _{1},\dots ,\mathbf {r} _{j},\dots ,\mathbf {r} _{k},\dots ,\mathbf {r} _{N})=-\psi (\mathbf {r} _{1},\dots ,\mathbf {r} _{k},\dots ,\mathbf {r} _{j},\dots ,\mathbf {r} _{N}),}$$

ここで、状態関数の2 つの座標を交換しました。通常の波動関数は、スレーター行列式と同一粒子理論を使用して得られます。この基礎を使用して、さまざまな多粒子問題を解くことができます。 ${\displaystyle (\mathbf {r} _{j},\mathbf {r} _{k})}$

ディラックの本^[2]には、ポアソン括弧を交換子 に 置き換えるという彼の有名な規則が詳しく記載されています 。

この提案は、古典位相空間上の関数を量子ヒルベルト空間上の 演算子にマッピングする「量子化マップ」を求めるべきだと言っていると解釈できるかもしれない。現在では、すべての関数と に対して上記の恒等式を正確に満たすような合理的な量子化マップは存在しないことがわかっている。^[要出典]${\displaystyle Q}$${\displaystyle f}$${\displaystyle Q_{f}}$$${\displaystyle Q_{\{f,g\}}={\frac {1}{i\hbar }}[Q_{f},Q_{g}]}$$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$

上記の不可能性の主張の具体的なバージョンは、グローネウォルドの定理（オランダの理論物理学者ヒルブランド・J・グローネウォルドにちなんで）であり、ここでは簡単のため自由度が 1 のシステムについて記述する。写像 について、次の「基本ルール」を受け入れることにする。まず、定数関数 1 を恒等演算子に送る。次に、通常の位置演算子および運動量演算子 および に、および を代入する。最後に、多項式 をおよびの「多項式」 、つまりとの積の有限線形結合に代入する。この結合は任意の順序で行うことができる。グローネウォルドの定理の最も単純な形式では、上記の基本ルールを満たし、 すべての多項式およびに対する括弧条件も満たす写像は存在しない、という 。 ${\displaystyle Q}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle x}$${\displaystyle p}$${\displaystyle X}$${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle x}$${\displaystyle p}$${\displaystyle X}$${\displaystyle P}$${\displaystyle X}$${\displaystyle P}$$${\displaystyle Q_{\{f,g\}}={\frac {1}{i\hbar }}[Q_{f},Q_{g}]}$$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$

実際には、このような写像が存在しないことは、4 次多項式に到達するまでに既に発生します。2 つの 4 次多項式のポアソン括弧は次数 6 であるため、4 次多項式上の写像が括弧条件を満たすことを要求することは必ずしも意味がありません。ただし、およびが次数 3 のときに括弧条件が成立することを要求できます。Groenewold の定理^[5]は次のように述べられます。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$

証明は以下のように概説できる。^{[6] [7]}まず、が次数2以下で が次数2以下である場合に常に括弧条件を満たす、 が次数3以下の多項式上に量子化写像を見つけようとするとしよう。そのような写像は正確に1つ存在し、それがワイル量子化である。ここで、不可能性の結果は、同じ 次数4の多項式を2つの異なる方法 で次数3の多項式のポアソン括弧として書き表すことによって得られる。具体的には、 となる 。一方、 次数3の多項式上に量子化写像が存在する場合、それはワイル量子化でなければならないことは既に確認している。つまり、上記のすべての3次多項式の唯一の可能な量子化を既に決定している。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$$${\displaystyle x^{2}p^{2}={\frac {1}{9}}\{x^{3},p^{3}\}={\frac {1}{3}}\{x^{2}p,xp^{2}\}}$$

議論は、 と一致しない を力ずくで計算することによって終了します。 したがって、 の値に対して 2 つの矛盾する要件があります。 $${\displaystyle {\frac {1}{9}}[Q(x^{3}),Q(p^{3})]}$$$${\displaystyle {\frac {1}{3}}[Q(x^{2}p),Q(xp^{2})].}$$${\displaystyle Q(x^{2}p^{2})}$

Qが古典位相空間における関数fに作用する量子化写像を表す場合、通常、以下の特性が望ましいと考えられる: ^[8]

1. ${\displaystyle Q_{x}\psi =x\psi }$および   （基本的な位置/運動量演算子）${\displaystyle Q_{p}\psi =-i\hbar \partial _{x}\psi ~~}$
2. ${\displaystyle f\longmapsto Q_{f}~~}$   線形マップである
3. ${\displaystyle [Q_{f},Q_{g}]=i\hbar Q_{\{f,g\}}~~}$   （ポアソン括弧）
4. ${\displaystyle Q_{g\circ f}=g(Q_{f})~~}$   （フォン・ノイマンの法則）。

しかし、これら4つの特性は互いに矛盾しているだけでなく、どの3つも矛盾しているのです！^[9] 結局のところ、自己無撞着で自明でない解につながるこれらの特性のペアは2と3のみであり、場合によっては1と3または1と4でもある。特性1と2を、3が ħ →0の限界でのみ漸近的に真であるというより弱い条件（モヤル括弧 を参照）とともに受け入れると、変形量子化につながり、ほとんどの物理学で利用されている標準理論と同様に、何らかの無関係な情報が提供されなければなりません。特性1、2、3を受け入れながら、量子化可能な観測量の空間を制限して、上記の例の3次項などの項を除外すると、幾何量子化に相当します。

量子力学は、粒子の数が固定された非相対論的なシステムを記述することには成功しましたが、光子の集合体として考えられる電磁場など、粒子が生成または破壊されるシステムを記述するには、新しい枠組みが必要でした。最終的には、特殊相対論は単一粒子の量子力学と矛盾することが認識され、現在ではすべての粒子が量子場によって相対論的に記述されています。

正準量子化手順を電磁場などの場に適用すると、古典的な場の変数は量子演算子になります。したがって、場の振幅を構成する通常モードは単純な振動子であり、それぞれが 上記の標準的な第 1 量子化で曖昧さなく量子化されます。結果として生じる量子は、個々の粒子または励起と同一視されます。たとえば、電磁場の量子は光子と同一視されます。第 1 量子化とは異なり、従来の第 2 量子化は完全に曖昧さがなく、事実上関数です。これは、その振動子の構成セットが明確に量子化されているためです。

歴史的に、単一粒子の古典理論を量子化すると波動関数が生じます。場の古典的な運動方程式は、通常、その場の量子のうちの 1 つの波動関数の (量子) 方程式と形式が同じです。たとえば、クライン・ゴードン方程式は、自由スカラー場の古典的な運動方程式ですが、スカラー粒子の波動関数の量子方程式でもあります。これは、場を量子化することは、すでに量子化されている理論を​​量子化することと似ているように見えたことを意味し、初期の文献では「第二量子化」という架空の用語が生まれました。この用語は、現代の詳細な解釈は異なりますが、今でも場の量子化を説明するために使用されています。

相対論的場の正準量子化の欠点の 1 つは、時間依存性を決定するためにハミルトニアンに依存することで、相対論的不変性がもはや明白ではなくなることです。したがって、相対論的不変性が失われていないことを確認する必要があります。代わりに、ファインマン積分アプローチは相対論的場の量子化に使用でき、明白に不変です。凝縮物質物理学 で使用されるような非相対論的場の理論では、ローレンツ不変性は問題になりません。

量子力学的には、場の変数（例えば、与えられた点における場の振幅）は、ヒルベルト空間上の演算子によって表される。一般に、すべての観測量はヒルベルト空間上の演算子として構築され、演算子の時間発展はハミルトニアンによって支配され、ハミルトニアンが正の演算子でなければならない。ハミルトニアンによって消滅する状態は、他のすべての状態を構築するための基礎となる真空状態として識別されなければならない。相互作用しない（自由）場の理論では、真空は通常、粒子を含まない状態として識別される。相互作用する粒子を含む理論では、真空の識別は、量子場の理論における物理的真空が実際には決して空ではないことを意味する真空分極のために、より微妙である。詳細については、量子力学的真空および量子色力学の真空に関する記事を参照のこと。正準量子化の詳細は、量子化される場と、それが自由場か相互作用場かによって決まる。 ${\displaystyle |0\rangle }$

スカラー場理論は、正準量子化手順の良い例を提供します。^{[10]古典的には、スカラー場は}振動子の 通常モード の無限の集合です。空間方向が円周2πの円にコンパクト化され、運動量が離散的になる 1+1次元の時空を考えれば十分です。${\displaystyle \mathbb {R} \times S_{1},}$

古典的なラグランジアン密度は、ラベルxでラベル付けされた結合調和振動子の無限大を記述します。これは、古典的なフィールドφで表されます。 ここで、 V ( φ )は、ポテンシャル項であり、3次以上の多項式または単項式と見なされることがよくあります。作用汎関数は、 作用L を使用したルジャンドル変換によって得られる正準運動量は、古典的なハミルトニアンは、次のように求められます 。$${\displaystyle {\mathcal {L}}(\phi )={\tfrac {1}{2}}(\partial _{t}\phi )^{2}-{\tfrac {1}{2}}(\partial _{x}\phi )^{2}-{\tfrac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}-V(\phi ),}$$$${\displaystyle S(\phi )=\int {\mathcal {L}}(\phi )dxdt=\int L(\phi ,\partial _{t}\phi )dt\,.}$$${\displaystyle \pi =\partial _{t}\phi }$$${\displaystyle H(\phi ,\pi )=\int dx\left[{\tfrac {1}{2}}\pi ^{2}+{\tfrac {1}{2}}(\partial _{x}\phi )^{2}+{\tfrac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}+V(\phi )\right].}$$

正準量子化は、変数 φと πを、時刻 t = 0において、 次式で与えられる正準交換関係を持つ演算子として扱います。φと π から構成される演算子 は、ハミルトニアンによって生成される時間発展を介して、他の時刻で正式に定義できます。 $${\displaystyle [\phi (x),\phi (y)]=0,\ \ [\pi (x),\pi (y)]=0,\ \ [\phi (x),\pi (y)]=i\hbar \delta (x-y).}$$$${\displaystyle {\mathcal {O}}(t)=e^{itH}{\mathcal {O}}e^{-itH}.}$$

しかし、φとπ はもはや可換ではないので、この表現は量子レベルでは曖昧である。問題は、ヒルベルト空間上の関連演算子の表現を構築し、このヒルベルト空間上の量子演算子として 正演算子H を、前の式で与えられた演算子のこの発展を与えるような方法で構築し、 H がゼロの固有値を持つ真空状態を含むことを示すことである。実際には、この構築は相互作用する場の理論にとって難しい問題であり、構成的量子場の理論の方法によっていくつかの単純なケースでのみ完全に解決されている。これらの問題の多くは、スカラー場の理論に関する記事で特定のV ( φ )について説明されているファインマン積分を使用して回避できる。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle |0\rangle }$

V ( φ ) = 0の自由場の場合 、量子化の手順は比較的簡単です。場を フーリエ変換すると、次の式が得られます。 場の実在性は、次の式が得られることを意味します。 古典ハミルトニアンは、次のようにフーリエモードで展開できます 。 ここで。$${\displaystyle \phi _{k}=\int \phi (x)e^{-ikx}dx,\ \ \pi _{k}=\int \pi (x)e^{-ikx}dx.}$$$${\displaystyle \phi _{-k}=\phi _{k}^{\dagger },~~~\pi _{-k}=\pi _{k}^{\dagger }.}$$$${\displaystyle H={\frac {1}{2}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left[\pi _{k}\pi _{k}^{\dagger }+\omega _{k}^{2}\phi _{k}\phi _{k}^{\dagger }\right],}$$${\displaystyle \omega _{k}={\sqrt {k^{2}+m^{2}}}}$

したがって、このハミルトニアンは、それぞれが標準的な方法で量子化された古典的な通常モード振動子励起φ _kの無限和として認識できるため、自由量子ハミルトニアンは同一に見えます。φ _kは、標準的な交換関係[ φ _k、π _k ^† ] = [ φ _k ^†、π _k ] = iħに従い、その他はすべて消滅する演算子になっています。したがって、これらすべての振動子の集合ヒルベルト空間は、これらのモードから構築された生成演算子と消滅演算子を使用して構築され、 すべてのkに対して[ a _k、a _k ^† ] = 1 となり、その他すべての交換子が消滅します。 $${\displaystyle a_{k}={\frac {1}{\sqrt {2\hbar \omega _{k}}}}\left(\omega _{k}\phi _{k}+i\pi _{k}\right),\ \ a_{k}^{\dagger }={\frac {1}{\sqrt {2\hbar \omega _{k}}}}\left(\omega _{k}\phi _{k}^{\dagger }-i\pi _{k}^{\dagger }\right),}$$

真空はa _kのすべてによって消滅するものとされ、 は、生成演算子a _k ^{†の無限の集合の任意の組み合わせを に適用することによって構築されるヒルベルト空間です。このヒルベルト空間は}フォック空間 と呼ばれます。各 kに対して、この構築は量子調和振動子と同一です。量子場は量子振動子の無限の配列です。量子ハミルトニアンは、次のようになります。ここで、 N k_は、運動量kの状態にある粒子の数を与える数演算子として解釈できます。 ${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle |0\rangle }$$${\displaystyle H=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\hbar \omega _{k}a_{k}^{\dagger }a_{k}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\hbar \omega _{k}N_{k},}$$

このハミルトニアンは、各調和振動子のゼロ点エネルギーħω _k /2を減算することで前の式と異なります。これは、上記の累乗演算による演算子の時間発展に影響を与えることなく、 H が真空を消滅させる必要があるという条件を満たします。このゼロ点エネルギーの減算は、ハミルトニアンの展開ですべての生成演算子が消滅演算子の左側に現れることを要求するのと同等であるため、量子演算子の順序付けの曖昧さの解決であると考えることができます。この手順は、ウィック順序付けまたは通常順序付けとして知られています。

他のすべての場は、この手順を一般化することで量子化できます。ベクトル場やテンソル場は単に成分が多く、独立した成分ごとに独立した生成演算子と破壊演算子を導入する必要があります。場が内部対称性を持つ場合、この対称性に関連する場の各成分にも生成演算子と破壊演算子を導入する必要があります。ゲージ対称性がある場合、等価構成を過剰に数えることを避けるために、場の独立した成分の数を慎重に分析する必要があり、必要に応じてゲージ固定を適用できます。

交換関係は、任意の状態の占有数が無制限であるボソンを量子化する場合にのみ有用であることが判明しています。パウリの排他原理を満たすフェルミオンを量子化するには、反交換子が必要です。これらは、{ A、B } = AB + BAによって定義されます。

フェルミオンを量子化すると、場は生成消滅演算子θ _k ^†、θ _kで展開され、次の式を満たす。 $${\displaystyle \{\theta _{k},\theta _{l}^{\dagger }\}=\delta _{kl},\ \ \{\theta _{k},\theta _{l}\}=0,\ \ \{\theta _{k}^{\dagger },\theta _{l}^{\dagger }\}=0.}$$

状態はθ _kによって消滅する真空上に構築され、フォック空間は生成演算子θ _k ^†のすべての積を|0⟩に適用することによって構築されます。反交換関係により、 パウリの排他原理は満たされます。${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle (\theta _{k}^{\dagger })^{2}|0\rangle =0}$

上記のスカラー場状態の構築では、ポテンシャルがφ = 0 で最小化されると仮定しました。そのため、ハミルトニアンを最小化する真空は⟨ φ ⟩ = 0 を満たし、場の真空期待値(VEV) がゼロであることを示します。自発的な対称性の破れを伴うケースでは、ポテンシャルが値 φ = vで最小化されるため、ゼロ以外の VEV を持つ可能性があります。これは、たとえば、g > 0およびm ² > 0でV ( φ ) = gφ ⁴ − 2 m ² φ ²の場合に発生し、この場合、最小エネルギーはv = ± m / √ gで見つかります。これらの真空の 1 つにおけるvの値は、場φの凝縮体と見なすことができます。すると、シフトした場φ ( x , t ) − vに対して正準量子化が実行され、シフトした場を量子化することによってシフトした真空に関する粒子の状態が定義されます。この構成は、素粒子物理学の標準モデルのヒッグス機構で利用されています。

古典理論は、時空の空間的 葉理構造を使用して記述され、各スライスの状態は、シンプレクティック多様体の要素によって記述され、時間発展は、シンプレクティック多様体上のハミルトン関数によって生成されるシンプレクト同相写像によって与えられる。「演算子」の量子代数は、シンプレクティック空間上の滑らかな関数の代数の ħ 変形であり、位相空間定式化 で表現された交換子[ A、B ]のħ上のテイラー展開の主要項は、 iħ { A、B }である。（ここで、中括弧はポアソン括弧を表す。副主要項はすべて、ポアソン括弧の適切な量子変形であるモヤル括弧でエンコードされる。）一般に、関係する量（観測可能量）に対して、そのような括弧の引数を提供すると、 ħ変形は非常に非一意的である。量子化は「芸術」であり、物理的なコンテキストによって指定される。 (2つの異なる量子系は、同じ古典的極限ħ → 0の2つの異なる非同等な変形を表す場合がある。 )

さて、この量子代数のユニタリ表現を探します。このようなユニタリ表現に関しては、古典理論のシンプレクト同相写像は、(メタプレクティック)ユニタリ変換に変形します。特に、古典ハミルトニアンによって生成される時間発展シンプレクト同相写像は、対応する量子ハミルトニアンによって生成されるユニタリ変換に変形します。

さらに一般化すると、古典理論のシンプレクティック空間の代わりにポアソン多様体を考慮し、対応するポアソン代数またはポアソン超多様体のħ変形を実行します。

上で説明した変形量子化の理論とは対照的に、幾何量子化は実際のヒルベルト空間とその上の演算子を構築しようとします。シンプレクティック多様体 から始めて、 上の適切な線束の平方可積分セクションの空間からなる前量子ヒルベルト空間を最初に構築します。この空間では、すべての古典的な観測量を前量子ヒルベルト空間上の演算子にマッピングすることができ、交換子はポアソン括弧に正確に対応します。ただし、前量子ヒルベルト空間は の量子化を記述するには明らかに大きすぎます。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$

次に、分極、つまり（大まかに言えば）次元位相空間上の変数の選択に進みます。量子ヒルベルト空間は、選択された変数のみに依存するセクションの空間であり、他の方向では共変的に一定であるという意味です。選択された変数が実数の場合、従来のシュレーディンガー ヒルベルト空間のようなものが得られます。選択された変数が複素数の場合、シーガル-バルクマン空間のようなものが得られます。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle 2n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

• 対応原理
• 創造と消滅の演算子
• ディラックブラケット
• モヤルブラケット
• 位相空間定式化（量子力学）
• 幾何量子化

• シルヴァン・S・シュウェーバー：QED とそれを作った男たち、プリンストン大学出版、1994 年、ISBN 0-691-03327-7 

• アレクサンダー・アルトランド、ベン・シモンズ：凝縮物質場理論、ケンブリッジ大学出版、2009年、ISBN 978-0-521-84508-3 
• ジェームズ・D・ビョルケン、シドニー・D・ドレル：相対論的量子力学、ニューヨーク、マグロウヒル、1964年
• ホール、ブライアン C. (2013)、「数学者のための量子理論」、Graduate Texts in Mathematics、vol. 267、Springer、Bibcode :2013qtm..book.....H、ISBN 978-1461471158。
• 量子場理論入門、ME ペスキンと HD シュローダー著、ISBN 0-201-50397-2 
• フランツ・シュヴァーブル：Advanced Quantum Mechanics、ベルリン他、シュプリンガー、2009年ISBN 978-3-540-85061-8 

• 量子場理論の教育補助資料 このサイトの第 1 章と第 2 章へのリンクをクリックすると、第 2 量子化の広範かつ簡略化された入門書が見つかります。第 1 章のセクション 1.5.2 を参照してください。第 2 章のセクション 2.7 と章の概要を参照してください。