電磁テンソル

ファラデー微分2形式は次のように表される。

$${\displaystyle {\begin{aligned}F={}&(E_{x}/c)\ dx\wedge dt+(E_{y}/c)\ dy\wedge dt+(E_{z}/c)\ dz\wedge dt\\&+B_{x}\ dy\wedge dz+B_{y}\ dz\wedge dx+B_{z}\ dx\wedge dy,\end{aligned}}}$$

どこ${\displaystyle dt}$時間要素に光速を掛けたもの${\displaystyle c}$。

これは、 1形式原始関数の外微分であり、4次元ポテンシャルの共変形式である^{[ 4 ]： 315である。}

$${\displaystyle A=(\phi /c)\,dt-A_{x}\,dx-A_{y}\,dy-A_{z}\,dz,}$$

どこ${\displaystyle \phi (\mathbf {x} ,t)}$もっている${\displaystyle -{\boldsymbol {\nabla }}\phi =\mathbf {E} }$（${\displaystyle \phi }$は、非回転/保存ベクトル場のスカラーポテンシャルである。${\displaystyle \mathbf {E} }$） そして${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {x} ,t)}$もっている$\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} =\mathbf {B} }$（${\displaystyle \mathbf {A} }$はソレノイドベクトル場のベクトルポテンシャルである。${\displaystyle \mathbf {B} }$)

電場と磁場は、電磁テンソルの成分から求めることができる。その関係は、デカルト座標系で最も単純になる。

$${\displaystyle E_{i}=cF_{0i},}$$ ここでcは光速であり、 $${\displaystyle B_{i}=-{\tfrac {1}{2}}\varepsilon _{ijk}F^{jk},}$$ どこ${\displaystyle \varepsilon _{ijk}}$はレヴィ・チヴィタテンソルです。これは特定の参照系における場を表します。参照系が変更されると、電磁テンソルの成分は共変的に変換され、新しい参照系における場は新しい成分によって表されます。

メトリックシグネチャ(+,−,−,−)を持つ反変行列形式で、 ^{[ 4 ] : 313}$${\displaystyle F^{\mu \nu }={\begin{bmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_{z}&B_ {y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{bmatrix}}.}$$

共変形式は、インデックスを下げることによって与えられます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}F_{\mu \nu }&=\eta _{\alpha \nu }F^{\beta \alpha }\eta _{\mu \beta }\\[1ex]&={\begin{bmatrix}0&E_{x}/c&E_{y}/c&E_{z}/c\\-E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\-E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\-E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$$ ファラデーテンソルのホッジ双対は $${\displaystyle {\begin{aligned}G^{\alpha \beta }&={\tfrac {1}{2}}\varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }F_{\gamma \delta }\\[1ex]&={\begin{bmatrix}0&-B_{x}&-B_{y}&-B_{z}\\B_{x}&0&E_{z}/c&-E_{y}/c\\B_{y}&-E_{z}/c&0&E_{x}/c\\B_{z}&E_{y}/c&-E_{x}/c&0\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$$

この記事では、以降、電場または磁場について言及する場合、デカルト座標系を前提とし、電場と磁場は上記の式のように、その座標系の基準フレームに対するものであるものとします。

フィールドテンソルの行列形式は次の特性をもたらします: ^{[ 2 ]}

1. 反対称性：$${\displaystyle F^{\mu \nu }=-F^{\nu \mu }}$$
2. 6 つの独立した成分:デカルト座標では、これらは単に電場 ( E _x、 E _y、 E _z ) と磁場 ( B _x、 B _y、 B _z ) の 3 つの空間成分です。
3. 内積：電場強度テンソルの内積を計算すると、ローレンツ不変量が得られる。$${\displaystyle F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }=2\left(B^{2}-{\frac {E^{2}}{c^{2}}}\right)}$$つまり、この数値は参照系が変わっても変化しないということである。
4. 擬スカラー不変量：テンソルの積${\displaystyle F^{\mu \nu }}$ホッジのデュアルと共に${\displaystyle G^{\mu \nu }}$ローレンツ不変量を与える：$${\displaystyle G_{\gamma \delta }F^{\gamma \delta }={\frac {1}{2}}\varepsilon _{\alpha \beta \gamma \delta }F^{\alpha \beta }F^{\gamma \delta }=-{\frac {4}{c}}\mathbf {B} \cdot \mathbf {E} \,}$$どこ${\displaystyle \varepsilon _{\alpha \beta \gamma \delta }}$はランク4のレビ・チヴィタ記号です。上記の記号は、レビ・チヴィタ記号に使用される慣例によって異なります。ここで使用されている慣例は${\displaystyle \varepsilon _{0123}=-1}$これと前述のローレンツ不変量は、交差場の場合には消滅する。
5. 決定要因：$${\displaystyle \det F={\frac {1}{c^{2}}}\left(\mathbf {B} \cdot \mathbf {E} \right)^{2}}$$これは上記の不変量の二乗に比例する。
6. トレース：$${\displaystyle \operatorname {tr} F={F^{\mu }}_{\mu }=0}$$

このテンソルは、 4つのベクトル解析方程式であるマクスウェル方程式を2つのテンソル場方程式に簡略化および縮約します。静電気学および電気力学において、ガウスの法則とアンペールの周回積分法則はそれぞれ次のようになります。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {E} &={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}},&\nabla \times \mathbf {B} &={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+\mu _{0}\mathbf {J} \end{aligned}}}$$

そして、非斉次マクスウェル方程式に帰着する。

$${\displaystyle \partial _{\alpha }F^{\beta \alpha }=-\mu _{0}J^{\beta },}$$ どこ${\displaystyle J^{\alpha }=(c\rho ,\mathbf {J} )}$は4つの電流です。

静磁気学および磁気力学において、磁気に関するガウスの法則とマクスウェル・ファラデー方程式はそれぞれ次のとおりである。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {B} &=0,&\nabla \times \mathbf {E} &=-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\end{aligned}}}$$

これはビアンキ恒等式に帰着する。

$${\displaystyle \partial _{\gamma }F_{\alpha \beta }+\partial _{\alpha }F_{\beta \gamma }+\partial _{\beta }F_{\gamma \alpha }=0}$$

または、テンソルの反対称部分には角括弧を用いた添え字表記^{[注1]を使用する。}

$${\displaystyle \partial _{[\alpha }F_{\beta \gamma ]}=0}$$ ファラデーテンソルと4元ポテンシャルを関連付ける式を用いると、上記の反対称量が恒等的にゼロになることが証明できる（${\displaystyle \equiv 0}$このテンソル方程式は、同次マックスウェル方程式を再現します。

ハミルトニアン密度は通常の関係式で得られる。

$${\displaystyle {\mathcal {H}}(\phi ^{i},\pi _{i})=\pi _{i}{\dot {\phi }}^{i}(\phi ^{i},\pi _{i})-{\mathcal {L}}\,.}$$

ここ${\displaystyle \phi ^{i}=A^{i}}$は場であり、電磁場の運動量密度は

$${\displaystyle \pi _{i}=T_{0i}={\frac {1}{\mu _{0}}}F_{0}{}^{\alpha }F_{i\alpha }={\frac {1}{\mu _{0}c}}\mathbf {E} \times \mathbf {B} \,.}$$ノーターの定理 から、並進に関連する保存量は全運動量である。 $${\displaystyle \mathbf {P} =\sum _{\alpha }m_{\alpha }{\dot {\mathbf {x} }}_{\alpha }+{\frac {1}{\mu _{0}c}}\int _{\mathcal {V}}\mathrm {d} ^{3}x\,\mathbf {E} \times \mathbf {B} \,.}$$

電磁場のハミルトニアン密度は電磁応力エネルギーテンソルと関連している$${\displaystyle T^{\mu \nu }={\frac {1}{\mu _{0}}}\left[F^{\mu \alpha }F^{\nu }{}_{\alpha }-{\frac {1}{4}}\eta ^{\mu \nu }F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }\right]\,.}$$

として

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {H}}=T_{00}&={\frac {1}{2}}\left(\varepsilon _{0}\mathbf {E} ^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} ^{2}\right)\\[1ex]&={\frac {1}{8\pi }}\left(\mathbf {E} ^{2}+\mathbf {B} ^{2}\right)\,.\end{aligned}}}$$

ここで、物質のエネルギー密度は無視し、電磁場のみを仮定しており、最後の等式はCGS系を仮定している。クーロンゲージで電磁場と相互作用する非相対論的電荷の運動量 （${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {A} =\nabla _{i}A^{i}=0}$） は

$${\displaystyle \mathbf {p} _{\alpha }=m_{\alpha }{\dot {\mathbf {x} }}_{\alpha }+{\frac {q_{\alpha }}{c}}\mathbf {A} (\mathbf {x} _{\alpha })\,.}$$

物質＋電磁場系の全ハミルトニアンは

$${\displaystyle H=\int _{\mathcal {V}}d^{3}x\,T_{00}=H_{\text{mat}}+H_{\text{em}}\,.}$$

クーロンゲージにおける非相対論的点粒子の場合

$${\displaystyle {\begin{aligned}H_{\text{mat}}&=\sum _{\alpha }m_{\alpha }\left|{\dot {\mathbf {x} }}_{\alpha }\right|^{2}+\sum _{\alpha <\beta }{\frac {q_{\alpha }q_{\beta }}{\left|\mathbf {x} _{\alpha }-\mathbf {x} _{\beta }\right|}}\\[1ex]&=\sum _{\alpha }{\frac {1}{2m_{\alpha }}}\left[\mathbf {p} _{\alpha }-{\frac {q_{\alpha }}{c}}\mathbf {A} (\mathbf {x} _{\alpha })\right]^{2}+\sum _{\alpha <\beta }{\frac {q_{\alpha }q_{\beta }}{\left|\mathbf {x} _{\alpha }-\mathbf {x} _{\beta }\right|}}\,.\end{aligned}}}$$

ここで最後の項は同一である${\textstyle {\frac {1}{8\pi }}\int _{\mathcal {V}}d^{3}x\,\mathbf {E} _{\parallel }^{2}}$どこ${\displaystyle {E}_{\parallel i}={\nabla _{i}}A_{0}}$ そして

$${\displaystyle H_{\text{em}}={\frac {1}{8\pi }}\int _{\mathcal {V}}d^{3}x\left(\mathbf {E} _{\perp }^{2}+\mathbf {B} ^{2}\right)\,.}$$ 場所と ${\textstyle {E}_{\perp i}=-{\frac {1}{c}}\partial _{0}A_{i}}$。

量子電磁力学のラグランジアンは、相対性理論で確立された古典的なラグランジアンを超えて、光子（および電子）の生成と消滅を組み込んでいる。

$${\displaystyle {\mathcal {L}}={\bar {\psi }}\left(i\hbar c\,\gamma ^{\alpha }D_{\alpha }-mc^{2}\right)\psi -{\frac {1}{4\mu _{0}}}F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta },}$$

右側の最初の部分はディラックスピノルを含んでいます${\displaystyle \psi }$はディラック場を表します。量子場理論では、ゲージ場強度テンソルのテンプレートとして使用されます。局所相互作用ラグランジアンに加えて使用されることで、量子電磁力学における通常の役割を果たします。