クレブシュ・ゴルダン係数

物理学において、クレブシュ・ゴルダン（CG）係数は、量子力学における角運動量結合に現れる数値です。これらは、非結合テンソル積基底における全角運動量固有状態の展開係数として現れます。より数学的に言えば、CG係数は表現論、特にコンパクトリー群において、 2つの既約表現のテンソル積の明示的な直和分解（すなわち、既約成分の数と種類が抽象的に既知である場合に、既約表現を既約表現に分解する）を行うために使用されます。この名称は、不変式論において同様の問題に遭遇したドイツの数学者アルフレッド・クレブシュとポール・ゴルダンに由来します。

ベクトル解析の観点から、 SO(3)群に関連するCG係数は、球面調和関数とその複素共役の積の積分によって簡単に定義できます。量子力学的な意味でのスピンの加算は、このアプローチから直接読み取ることができます。球面調和関数は全角運動量とその軸への射影の固有関数であり、積分はヒルベルト空間の内積に対応します。^{[ 1 ]}角運動量の形式的な定義から、クレブシュ・ゴルダン係数の漸化式を見つけることができます。また、それらを直接計算するための複雑な明示的な公式も存在します。^{[ 2 ]}

以下の式ではディラックのブラケット記法を用い、コンドン・ショートリー位相規約^{[ 3 ]}を採用する。

角運動量演算子は、交換関係を満たす自己共役演算子j _x、j _y、およびj _{zである。}$${\displaystyle {\begin{aligned}&[\mathrm {j} _{k},\mathrm {j} _{l}]\equiv \mathrm {j} _{k}\mathrm {j} _{l}-\mathrm {j} _{l}\mathrm {j} _{k}=i\hbar \varepsilon _{klm}\mathrm {j} _{m}&k,l,m&\in \{\mathrm {x,y,z} \},\end{aligned}}}$$ ここで、ε _klmはレヴィ・チヴィタ記号である。これら 3 つの演算子は、ベクトル演算子、ランク 1 のデカルトテンソル演算子を定義する。 $${\displaystyle \mathbf {j} =(\mathrm {j_{x}} ,\mathrm {j_{y}} ,\mathrm {j_{z}} ).}$$ これは球面ベクトルとも呼ばれ、球面テンソル演算子でもある。球面テンソル演算子がデカルトテンソル演算子と一致するのは、階数が1の場合に限られる。

この概念をさらに発展させることで、別の演算子j ^{2 をj と}j自身 の内積として定義することができる。$${\displaystyle \mathbf {j} ^{2}=\mathrm {j_{x}^{2}} +\mathrm {j_{y}^{2}} +\mathrm {j_{z}^{2}} .}$$これはカシミール演算子 の例です。これは対角行列であり、その固有値は角運動量代数の特定の既約表現を特徴づけます。${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3,\mathbb {R} )\cong {\mathfrak {su}}(2)}$これは物理的には、表現が作用する状態の全角運動量の二乗として解釈される。

また、昇順演算子( j ₊ ) と降順演算子( j ₋ ) を定義することもできます。これらは、いわゆるラダー演算子です。 $${\displaystyle \mathrm {j_{\pm }} =\mathrm {j_{x}} \pm i\mathrm {j_{y}} .}$$

上記の定義から、 j ^{2 は}j _x、j _y、およびj _zと可換であることが示せる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}&[\mathbf {j} ^{2},\mathrm {j} _{k}]=0&k&\in \{\mathrm {x} ,\mathrm {y} ,\mathrm {z} \}.\end{aligned}}}$$

2 つのエルミート演算子が可換である場合、共通の固有状態の集合が存在します。慣例として、j ²とj _{zが選択されます。可換関係から、可能な固有値を求めることができます。これらの固有状態は}| j m ⟩で表され、ここでjは角運動量量子数、mはz 軸への角運動量射影です。

これらは球面基底を構成し、完全であり、以下の固有値方程式を満たします。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {j} ^{2}|j\,m\rangle &=\hbar ^{2}j(j+1)|j\,m\rangle ,&j&\in \{0,{\tfrac {1}{2}},1,{\tfrac {3}{2}},\ldots \}\\\mathrm {j_{z}} |j\,m\rangle &=\hbar m|j\,m\rangle ,&m&\in \{-j,-j+1,\ldots ,j\}.\end{aligned}}}$$

昇降演算子を使用してmの値を変更することができます。 $${\displaystyle \mathrm {j} _{\pm }|j\,m\rangle =\hbar C_{\pm }(j,m)|j\,(m\pm 1)\rangle ,}$$ ここで、はしご係数は次のように与えられる。

原則として、定義において（複素数である可能性のある）位相因子を導入することもできる。${\displaystyle C_{\pm }(j,m)}$この記事で選択した方法は、コンドン・ショートリー位相規約に準拠しています。角運動量状態は直交しており（エルミート演算子に関する固有値が異なるため）、正規化されていると仮定します。 $${\displaystyle \langle j\,m|j'\,m'\rangle =\delta _{j,j'}\delta _{m,m'}。}$$

ここで、斜体で表記されたjとm は、粒子または系の整数または半整数の角運動量量子数を表します。一方、ローマ字のj _x、j _y、j _z、j ₊、j ₋、およびj ²は演算子を表します。${\displaystyle \delta }$記号はクロネッカーデルタです。

ここでは、物理的に異なる2つの角運動量j ₁とj ₂を持つ系を考察する。例としては、1つの電子のスピン角運動量と軌道角運動量、2つの電子のスピン、または2つの電子の軌道角運動量などが挙げられる。数学的には、これは角運動量演算子が空間に作用することを意味する。${\displaystyle V_{1}}$寸法${\displaystyle 2j_{1}+1}$また、空間上でも${\displaystyle V_{2}}$寸法${\displaystyle 2j_{2}+1}$次に、テンソル積空間に作用する「全角運動量」演算子の族を定義します。${\displaystyle V_{1}\otimes V_{2}}$次元を持つ${\displaystyle (2j_{1}+1)(2j_{2}+1)}$この空間に対する全角運動量演算子の作用は、SU(2)リー代数の表現を構成するが、それは可約な表現である。この可約な表現を既約な部分に還元することが、クレブシュ・ゴルダン理論の目標である。

V _{1 を}、状態によって張られる (2 j ₁ + 1)次元ベクトル空間とする。$${\displaystyle {\begin{aligned}&|j_{1}\,m_{1}\rangle ,&m_{1}&\in \{-j_{1},-j_{1}+1,\ldots ,j_{1}\}\end{aligned}},}$$V _{2 は} 、状態によって張られる (2 j ₂ + 1)次元ベクトル空間です。$${\displaystyle {\begin{aligned}&|j_{2}\,m_{2}\rangle ,&m_{2}&\in \{-j_{2},-j_{2}+1,\ldots ,j_{2}\}\end{aligned}}.}$$

これらの空間のテンソル積V ₃ ≡ V ₁ ⊗ V ₂は、(2 j ₁ + 1) (2 j ₂ + 1)次元の非結合基底 を持つ。$${\displaystyle |j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle \equiv |j_{1}\,m_{1}\rangle \otimes |j_{2}\,m_{2}\rangle ,\quad m_{1}\in \{-j_{1},-j_{1}+1,\ldots ,j_{1}\},\quad m_{2}\in \{-j_{2},-j_{2}+1,\ldots ,j_{2}\}.}$$角運動量演算子は、 V _{3 の}状態に対して次のように 作用するように定義されます。$${\displaystyle (\mathbf {j} _{1}\otimes 1)|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle \equiv \mathbf {j} _{1}|j_{1}\,m_{1}\rangle \otimes |j_{2}\,m_{2}\rangle }$$ そして $${\displaystyle (1\otimes \mathrm {\mathbf {j} } _{2})|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle \equiv |j_{1}\,m_{1}\rangle \otimes \mathbf {j} _{2}|j_{2}\,m_{2}\rangle ,}$$ ここで、1は恒等演算子を表す。

全角運動量演算子^{[ nb 1 ]}は、 V ₁ ⊗ V ₂に作用する2つの表現の余積（またはテンソル積）によって定義される。

全角運動量演算子は、全く同じ交換関係を満たすことが示される。 $${\displaystyle [\mathrm {J} _{k},\mathrm {J} _{l}]=i\hbar \varepsilon _{klm}\mathrm {J} _{m}~,}$$ ここでk、l、m ∈ { x、y、z }である。実際、前述の構成は、テンソル積表現に対するリー代数の作用を構成するための標準的な方法である^{[ 4 ] 。}

したがって、全角運動量演算子に対しても 結合した固有状態の集合が存在する。$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {J} ^{2}|[j_{1}\,j_{2}]\,J\,M\rangle &=\hbar ^{2}J(J+1)|[j_{1}\,j_{2}]\,J\,M\rangle \\\mathrm {J_{z}} |[j_{1}\,j_{2}]\,J\,M\rangle &=\hbar M|[j_{1}\,j_{2}]\,J\,M\rangle \end{aligned}}}$$M ∈ {− J , − J + 1, ..., J } の場合。 [ j ₁ j ₂ ]の部分は省略するのが一般的であることに注意してください。

全角運動量量子数Jは、次の三角形条件を満たさなければならない。 $${\displaystyle |j_{1}-j_{2}|\leq J\leq j_{1}+j_{2},}$$ つまり、3つの非負の整数または半整数の値は、三角形の3辺に対応できるということである。^{[ 5 ]}

全角運動量固有状態の総数は、必然的にV ₃の次元に等しくなります。 $${\displaystyle \sum _{J=|j_{1}-j_{2}|}^{j_{1}+j_{2}}(2J+1)=(2j_{1}+1)(2j_{2}+1)~.}$$ この計算が示唆するように、テンソル積表現は、次元の既約表現のそれぞれ1つのコピーの直接和として分解されます。${\displaystyle 2J+1}$、 どこ${\displaystyle J}$範囲は${\displaystyle |j_{1}-j_{2}|}$に${\displaystyle j_{1}+j_{2}}$1ずつ増分する。^{[ 6 ]}例として、次の3次元表現に対応するテンソル積を考える。${\displaystyle j_{1}=1}$2次元表現で${\displaystyle j_{2}=1/2}$可能な値は${\displaystyle J}$すると${\displaystyle J=1/2}$そして${\displaystyle J=3/2}$したがって、6次元テンソル積表現は、2次元表現と4次元表現の直和として分解される。

ここでの目標は、前述の分解を明示的に記述すること、つまり、生じる各成分表現について、テンソル積空間における基底要素を明示的に記述することである。

全角運動量状態はV3の正規直交基底を_形成する。 $${\displaystyle \left\langle J\,M|J'\,M'\right\rangle =\delta _{J,J'}\delta _{M,M'}~.}$$

これらの規則を繰り返すことで、例えばn個の二重項 ( s = 1/2) を組み合わせてクレブシュ・ゴルダン分解級数 (カタランの三角形) を得ることができます。 $${\displaystyle \mathbf {2} ^{\otimes n}=\bigoplus _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }~\left({\frac {n+1-2k}{n+1}}{n+1 \choose k}\right)~(\mathbf {n} +\mathbf {1} -\mathbf {2} \mathbf {k} )~,}$$ どこ${\displaystyle \lfloor n/2\rfloor }$は整数床関数であり、太字の既約表現次元 ( 2 j +1 ) ラベルの前の数字は、表現縮小におけるその表現の多重度を示します。^{[ 7 ]}例えば、この式から、3 つのスピン 1/2 を加えると、1 つのスピン 3/2 と 2 つのスピン 1/2 が得られます。${\displaystyle {\mathbf {2} }\otimes {\mathbf {2} }\otimes {\mathbf {2} }={\mathbf {4} }\oplus {\mathbf {2} }\oplus {\mathbf {2} }}$。

結合状態は、非結合基底における完全性関係（同一性の解消）を介して展開することができる。

展開係数

$${\displaystyle \langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle }$$

はクレブシュ・ゴルダン係数です。著者によっては、⟨ j ₁ j ₂ ; m ₁ m ₂ | J M ⟩のように異なる順序で表記している場合もあります。別の一般的な表記法は ⟨ j ₁ m ₁ j ₂ m ₂ | J M ⟩ = C ^JM _{j 1 m 1 j 2 m 2}です。

演算子を適用する

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {J} &=\mathrm {j} \otimes 1+1\otimes \mathrm {j} \\\mathrm {J} _{\mathrm {z} }&=\mathrm {j} _{\mathrm {z} }\otimes 1+1\otimes \mathrm {j} _{\mathrm {z} }\end{aligned}}}$$

定義式の両辺から、クレブシュ・ゴルダン係数がゼロでないのは、

$${\displaystyle {\begin{aligned}|j_{1}-j_{2}|\leq J&\leq j_{1}+j_{2}\\M&=m_{1}+m_{2}.\end{aligned}}}$$

この漸化式は、 1941年にエルサレム・ヘブライ大学の物理学者ジュリオ・ラカによって発見された。

全角運動量上昇演算子と下降演算子を適用する$${\displaystyle \mathrm {J} _{\pm }=\mathrm {j} _{\pm }\otimes 1+1\otimes \mathrm {j} _{\pm }}$$ 定義式の左辺に$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {J} _{\pm }|[j_{1}\,j_{2}]\,J\,M\rangle &=\hbar C_{\pm }(J,M)|[j_{1}\,j_{2}]\,J\,(M\pm 1)\rangle \\&=\hbar C_{\pm }(J,M)\sum _{m_{1},m_{2}}|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle \langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,(M\pm 1)\rangle \end{aligned}}}$$ 右辺に同じ演算子を適用すると、$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {J} _{\pm }&\sum _{m_{1},m_{2}}|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle \langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle \\=\hbar &\sum _{m_{1},m_{2}}{\Bigl (}C_{\pm }(j_{1},m_{1})|j_{1}\,(m_{1}\pm 1)\,j_{2}\,m_{2}\rangle +C_{\pm }(j_{2},m_{2})|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,(m_{2}\pm 1)\rangle {\Bigr )}\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle \\=\hbar &\sum _{m_{1},m_{2}}|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle {\Bigl (}C_{\pm }(j_{1},m_{1}\mp 1)\langle j_{1}\,(m_{1}\mp 1)\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle +C_{\pm }(j_{2},m_{2}\mp 1)\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,(m_{2}\mp 1)|J\,M\rangle {\Bigr )}.\end{aligned}}}$$

これらの結果を組み合わせると、クレブシュ・ゴルダン係数の漸化式が得られます。ここで、C _{± は}1で定義されています。 $${\displaystyle C_{\pm }(J,M)\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,(M\pm 1)\rangle =C_{\pm }(j_{1},m_{1}\mp 1)\langle j_{1}\,(m_{1}\mp 1)\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle +C_{\pm }(j_{2},m_{2}\mp 1)\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,(m_{2}\mp 1)|J\,M\rangle .}$$

M = Jという条件で上の符号を取ると、初期漸化式が得られる。$${\displaystyle 0=C_{+}(j_{1},m_{1}-1)\langle j_{1}\,(m_{1}-1)\,j_{2}\,m_{2}|J\,J\rangle +C_{+}(j_{2},m_{2}-1)\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,(m_{2}-1)|J\,J\rangle .}$$コンドン・ショートリー位相規約では、次の制約が追加される。

${\displaystyle \langle j_{1}\,j_{1}\,j_{2}\,(J-j_{1})|J\,J\rangle >0}$

（したがって、実数でもある）。これらの漸化式から、クレブシュ・ゴルダン係数⟨ j ₁ m ₁ j ₂ m ₂ | J M ⟩を求めることができる。正規化は、二乗和が 1 になるという条件によって固定される。これは、状態のノルム|[ j ₁ j ₂ ] J J ⟩が 1 になるという条件と同等である。

漸化式の下側の符号を使うと、M = J − 1となるすべてのクレブシュ・ゴルダン係数を求めることができます。この式を繰り返し使うことで、すべての係数が得られます。

この手順でクレブシュ・ゴルダン係数を求めると、コンドン・ショートリー位相規約において、それらがすべて実数であることが示される。

これらは、別の表記法を導入することで最も明確に記述できます。 $${\displaystyle \langle J\,M|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle \equiv \langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle }$$

最初の直交関係は $${\displaystyle \sum _{J=|j_{1}-j_{2}|}^{j_{1}+j_{2}}\sum _{M=-J}^{J}\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle \langle J\,M|j_{1}\,m_{1}'\,j_{2}\,m_{2}'\rangle =\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|j_{1}\,m_{1}'\,j_{2}\,m_{2}'\rangle =\delta _{m_{1},m_{1}'}\delta _{m_{2},m_{2}'}}$$ （${\textstyle \mathbf {1} =\sum _{x}|x\rangle \langle x|}$）そして2つ目は $${\displaystyle \sum _{m_{1},m_{2}}\langle J\,M|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle \langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J'\,M'\rangle =\langle J\,M|J'\,M'\rangle =\delta _{J,J'}\delta _{M,M'}.}$$

J = 0の場合、クレブシュ・ゴルダン係数は次のように与えられる。 $${\displaystyle \langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|0\,0\rangle =\delta _{j_{1},j_{2}}\delta _{m_{1},-m_{2}}{\frac {(-1)^{j_{1}-m_{1}}}{\sqrt {2j_{1}+1}}}.}$$

J = j ₁ + j ₂およびM = Jの 場合、$${\displaystyle \langle j_{1}\,j_{1}\,j_{2}\,j_{2}|(j_{1}+j_{2})\,(j_{1}+j_{2})\rangle =1.}$$

j ₁ = j ₂ = J / 2およびm ₁ = − m ₂の場合、 $${\displaystyle \langle j_{1}\,m_{1}\,j_{1}\,(-m_{1})|(2j_{1})\,0\rangle ={\frac {(2j_{1})!^{2}}{(j_{1}-m_{1})!(j_{1}+m_{1})!{\sqrt {(4j_{1})!}}}}.}$$

j ₁ = j ₂ = m ₁ = − m ₂の場合、 $${\displaystyle \langle j_{1}\,j_{1}\,j_{1}\,(-j_{1})|J\,0\rangle =(2j_{1})!{\sqrt {\frac {2J+1}{(J+2j_{1}+1)!(2j_{1}-J)!}}}.}$$

j ₂ = 1、m ₂ = 0の 場合、$${\displaystyle {\begin{aligned}\langle j_{1}\,m\,1\,0|(j_{1}+1)\,m\rangle &={\sqrt {\frac {(j_{1}-m+1)(j_{1}+m+1)}{(2j_{1}+1)(j_{1}+1)}}}\\\langle j_{1}\,m\,1\,0|j_{1}\,m\rangle &={\frac {m}{\sqrt {j_{1}(j_{1}+1)}}}\\\langle j_{1}\,m\,1\,0|(j_{1}-1)\,m\rangle &=-{\sqrt {\frac {(j_{1}-m)(j_{1}+m)}{j_{1}(2j_{1}+1)}}}\end{aligned}}}$$

j ₂ = 1/2の場合、 $${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle j_{1}\,\left(M-{\frac {1}{2}}\right)\,{\frac {1}{2}}\,{\frac {1}{2}}{\Bigg |}\left(j_{1}\pm {\frac {1}{2}}\right)\,M\right\rangle &=\pm {\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(1\pm {\frac {M}{j_{1}+{\frac {1}{2}}}}\right)}}\\\left\langle j_{1}\,\left(M+{\frac {1}{2}}\right)\,{\frac {1}{2}}\,\left(-{\frac {1}{2}}\right){\Bigg |}\left(j_{1}\pm {\frac {1}{2}}\right)\,M\right\rangle &={\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(1\mp {\frac {M}{j_{1}+{\frac {1}{2}}}}\right)}}\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle &=(-1)^{j_{1}+j_{2}-J}\langle j_{1}\,(-m_{1})\,j_{2}\,(-m_{2})|J\,(-M)\rangle \\&=(-1)^{j_{1}+j_{2}-J}\langle j_{2}\,m_{2}\,j_{1}\,m_{1}|J\,M\rangle \\&=(-1)^{j_{1}-m_{1}}{\sqrt {\frac {2J+1}{2j_{2}+1}}}\langle j_{1}\,m_{1}\,J\,(-M)|j_{2}\,(-m_{2})\rangle \\&=(-1)^{j_{2}+m_{2}}{\sqrt {\frac {2J+1}{2j_{1}+1}}}\langle J\,(-M)\,j_{2}\,m_{2}|j_{1}\,(-m_{1})\rangle \\&=(-1)^{j_{1}-m_{1}}{\sqrt {\frac {2J+1}{2j_{2}+1}}}\langle J\,M\,j_{1}\,(-m_{1})|j_{2}\,m_{2}\rangle \\&=(-1)^{j_{2}+m_{2}}{\sqrt {\frac {2J+1}{2j_{1}+1}}}\langle j_{2}\,(-m_{2})\,J\,M|j_{1}\,m_{1}\rangle \end{aligned}}}$$

これらの関係式を導出する便利な方法は、クレブシュ・ゴルダン係数を3を用いてウィグナー 3-j 記号に変換することである。ウィグナー 3-j 記号の対称性ははるかに単純である。

クレブシュ・ゴルダン係数は、より便利な対称関係を持つウィグナー3-j記号と関連している。

係数(−1) ^{2 j ₂}は、 ⟨ j ₁ j ₁ j ₂ ( J − j ₁ )| JJ ⟩ > 0というコンドン–ショートリー制約によるものであり、(−1) ^{J − M}は| JM ⟩の時間反転の性質によるものである。

これにより、以下の一般式が得られます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle &\equiv \delta (m_{1}+m_{2},M){\sqrt {\frac {(2J+1)(j_{1}+j_{2}-J)!(j_{1}-j_{2}+J)!(-j_{1}+j_{2}+J)!}{(j_{1}+j_{2}+J+1)!}}}\ \times {}\\[6pt]&\times {\sqrt {(j_{1}-m_{1})!(j_{1}+m_{1})!(j_{2}-m_{2})!(j_{2}+m_{2})!(J-M)!(J+M)!}}\ \times {}\\[6pt]&\times \sum _{k=K}^{N}{\frac {(-1)^{k}}{k!(j_{1}+j_{2}-J-k)!(j_{1}-m_{1}-k)!(j_{2}+m_{2}-k)!(J-j_{2}+m_{1}+k)!(J-j_{1}-m_{2}+k)!}},\end{aligned}}.}$

総和は、分母の各階乗の引数が非負である整数値kについて行われます。つまり、総和の範囲KとN は等しくなります。${\displaystyle K=\max(0,j_{2}-J-m_{1},j_{1}-J+m_{2}),}$上のもの${\displaystyle N=\min(j_{1}+j_{2}-J,j_{1}-m_{1},j_{2}+m_{2}).}$負の数の階乗は慣習的にゼロとみなされるため、たとえば、 3 j記号の値は、${\displaystyle j_{3}>j_{1}+j_{2}}$または${\displaystyle j_{1}<m_{1}}$自動的にゼロに設定されます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{2\pi }d\alpha \int _{0}^{\pi }\sin \beta \,d\beta \int _{0}^{2\pi }d\gamma \,D_{M,K}^{J}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{*}D_{m_{1},k_{1}}^{j_{1}}(\alpha ,\beta ,\gamma )D_{m_{2},k_{2}}^{j_{2}}(\alpha ,\beta ,\gamma )\\{}={}&{\frac {8\pi ^{2}}{2J+1}}\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle \langle j_{1}\,k_{1}\,j_{2}\,k_{2}|J\,K\rangle \end{aligned}}}$$

整数が関係する場合、係数は球面調和関数の積分と関連付けることができる。 $${\displaystyle \int _{4\pi }Y_{\ell _{1}}^{m_{1}}{}^{*}(\Omega )Y_{\ell _{2}}^{m_{2}}{}^{*}(\Omega )Y_{L}^{M}(\Omega )\,d\Omega ={\sqrt {\frac {(2\ell _{1}+1)(2\ell _{2}+1)}{4\pi (2L+1)}}}\langle \ell _{1}\,0\,\ell _{2}\,0|L\,0\rangle \langle \ell _{1}\,m_{1}\,\ell _{2}\,m_{2}|L\,M\rangle }$$

このことと球面調和関数の正規直交性から、CG係数は実際には2つの球面調和関数の積を1つの球面調和関数で展開した係数であることが導かれる。 $${\displaystyle Y_{\ell _{1}}^{m_{1}}(\Omega )Y_{\ell _{2}}^{m_{2}}(\Omega )=\sum _{L,M}{\sqrt {\frac {(2\ell _{1}+1)(2\ell _{2}+1)}{4\pi (2L+1)}}}\langle \ell _{1}\,0\,\ell _{2}\,0|L\,0\rangle \langle \ell _{1}\,m_{1}\,\ell _{2}\,m_{2}|L\,M\rangle Y_{L}^{M}(\Omega )}$$

$${\displaystyle \sum _{m}(-1)^{j-m}\langle j\,m\,j\,(-m)|J\,0\rangle =\delta _{J,0}{\sqrt {2j+1}}}$$

任意の群とその表現については、一般にクレブシュ・ゴルダン係数は知られていません。しかし、特殊ユニタリ群SU( n ) のクレブシュ・ゴルダン係数を生成するアルゴリズムは知られています。^{[ 8 ] [ 9 ]}特に、SU(3) クレブシュ・ゴルダン係数は、アップ、ダウン、ストレンジクォークを関連付けるフレーバー-SU(3) 対称性が存在するハドロン崩壊の特徴付けに役立つため、計算され、表にまとめられています。^{[ 10 ] [ 11 ] [ 12 ]} SU(N) クレブシュ・ゴルダン係数を表にまとめるウェブインターフェースはすぐに利用できます。

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• クレブシュ・ゴルダン係数（3jおよび6j）ウェブ計算ツール
• MacおよびWindows用のダウンロード可能なクレブシュ・ゴルダン係数計算ツール
• SU(N)クレブシュ・ゴルダン係数を表にまとめるためのウェブインターフェース