表現論

ベクトル空間Vはφの表現空間と呼ばれ、その次元(有限の場合) は表現の次元( ^{[ 18 ]}のように次数と呼ばれることもある) と呼ばれます。準同型φが文脈から明らかな場合は、 V自体を表現と呼ぶのが一般的です。そうでない場合は、表記 ( V , φ ) を使用して表現を表すことができます。

Vが有限次元nの場合、 Vの基底を選択してV をF ⁿと同一視し、それによって体Fの要素を持つ行列表現を復元することができます。

有効または忠実な表現とは、準同型φが単射である表現( V , φ )のことである。

もし${\displaystyle V}$そして${\displaystyle W}$はベクトル空間である${\displaystyle \mathbb {F} }$表現を備えた${\displaystyle \varphi }$そして${\displaystyle \psi }$グループの${\displaystyle G}$すると、同変写像は${\displaystyle V}$に${\displaystyle W}$線形マップ${\displaystyle \alpha :V\rightarrow W}$そのため $${\displaystyle \alpha (g\cdot v)=g\cdot \alpha (v)}$$ すべての人々のために${\displaystyle g}$で${\displaystyle G}$そして${\displaystyle v}$で${\displaystyle V}$。 に関しては${\displaystyle \varphi :G\rightarrow {\text{GL}}(V)}$そして${\displaystyle \psi :G\rightarrow {\text{GL}}(W)}$、 これはつまり $${\displaystyle \alpha \circ \varphi (g)=\psi (g)\circ \alpha }$$ すべての人々のために${\displaystyle g}$で${\displaystyle G}$つまり、次の図は可換である。

結合代数またはリー代数の表現に対する同変写像も同様に定義される。${\displaystyle \alpha }$可逆であれば同型写像であると言われ、その場合${\displaystyle V}$そして${\displaystyle W}$（あるいは、より正確には、${\displaystyle \varphi }$そして${\displaystyle \psi }$) は同型表現であり、等価表現とも呼ばれます。同変写像は、表現の絡み合い写像と呼ばれることもあります。また、群の場合も同様です。${\displaystyle G}$時には、${\displaystyle G}$-マップまたは${\displaystyle G}$-線形マップ。^{[ 19 ]}

同型表現は、実際的な目的においては「同じ」であり、表現される群や代数について同じ情報を提供する。したがって、表現論は同型性まで表現を分類しようとする。

もし${\displaystyle (V,\psi )}$（例えば）グループの表現${\displaystyle G}$、 そして${\displaystyle W}$は、の線形部分空間である。${\displaystyle V}$それは、${\displaystyle G}$すべての${\displaystyle w\in W}$そして${\displaystyle g\in G}$、${\displaystyle g\cdot w\in W}$（セルはこれらをこう呼ぶ）${\displaystyle W}$安定している${\displaystyle G}$^{[ 18 ]}）${\displaystyle W}$は部分表現と呼ばれます。$${\displaystyle \phi :G\to {\text{Aut}}(W)}$$どこ${\displaystyle \phi (g)}$制限は${\displaystyle \psi (g)}$に${\displaystyle W}$、${\displaystyle (W,\phi )}$は${\displaystyle G}$そして、${\displaystyle W\hookrightarrow V}$同変写像である。商空間${\displaystyle V/W}$また、表現することもできます${\displaystyle G}$。 もし${\displaystyle V}$には、自明な部分空間{0} と2 つの部分表現が正確に存在します。${\displaystyle V}$それ自体であれば、表現は既約であると言われる。${\displaystyle V}$適切な非自明な部分表現を持つ場合、その表現は還元可能であると言われる。^{[ 20 ]}

既約表現の定義はシュールの補題を意味する：同変写像$${\displaystyle \alpha$$ :(V,\psi )\to (V',\psi ')} は 既約表現間の写像であり、その核と像は部分表現であるため、ゼロ写像または同型写像のいずれかである。特に、${\displaystyle V=V'}$これは、同変自己準同型が${\displaystyle V}$基礎となる体F上に結合的な除法代数を形成する。Fが代数的に閉じている場合、既約表現の同変な自己準同型写像は単位元のスカラー倍のみである。

既約表現は多くの群の表現論の構成要素である。${\displaystyle V}$が既約でない場合、それは何らかの意味で「より単純」な部分表現と商から構築されます。たとえば、${\displaystyle V}$表現が有限次元である場合、部分表現と商表現の両方の次元は小さくなります。表現が部分表現を持つが、非自明な既約成分が1つしかない反例があります。たとえば、加法群${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}$二次元表現を持つ $${\displaystyle \phi (a)={\begin{bmatrix}1&a\\0&1\end{bmatrix}}}$$ このグループにはベクトルがあります${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}}^{\mathsf {T}}}$この準同型写像によって固定されるが、補空間は $${\displaystyle {\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}\mapsto {\begin{bmatrix}a\\1\end{bmatrix}}}$$還元不可能な部分表現を1つだけ与える。これはすべての単冪群 に当てはまる。^{[ 21 ]： 112}

( V , φ )と( W , ψ )が（例えば）群Gの表現である場合、VとWの直和は、以下の式を通して、標準的な方法で表現となる。

${\displaystyle g\cdot (v,w)=(g\cdot v,g\cdot w).}$

2つの表現の直和は、それぞれの表現が単独で持つ情報以上の情報を群Gについて持ちません。表現が2つの真の非自明な部分表現の直和である場合、それは分解可能であると言われます。そうでない場合、それは分解不可能であると言われます。

好ましい条件下では、すべての有限次元表現は既約表現の直和で表されます。このような表現は半単純であると言われます。この場合、既約表現だけを理解すれば十分です。この「完全還元性」現象が発生する例（少なくとも標数ゼロの体上）としては、有限群（マシュケの定理を参照）、コンパクト群、半単純リー代数などが挙げられます。

完全還元性が成り立たない場合、部分表現による商の拡張を用いることで、既約表現から非分解表現をどのように構築できるかを理解する必要がある。

仮定する${\displaystyle \phi _{1}:G\rightarrow \mathrm {GL} (V_{1})}$そして${\displaystyle \phi _{2}:G\rightarrow \mathrm {GL} (V_{2})}$グループの表現${\displaystyle G}$そうすれば表現を形成できる${\displaystyle \phi _{1}\otimes \phi _{2}}$Gがテンソル積ベクトル空間に作用する場合${\displaystyle V_{1}\otimes V_{2}}$以下の通りです。^{[ 22 ]}

${\displaystyle (\phi _{1}\otimes \phi _{2})(g)=\phi _{1}(g)\otimes \phi _{2}(g)}$。

もし${\displaystyle \phi _{1}}$そして${\displaystyle \phi _{2}}$がリー代数の表現である場合、使用すべき正しい式は^{[ 23 ]です。}

${\displaystyle (\phi _{1}\otimes \phi _{2})(X)=\phi _{1}(X)\otimes I+I\otimes \phi _{2}(X)}$。

この積は、余代数上の余積として認識できます。一般に、既約表現のテンソル積は既約ではありません。テンソル積を既約表現の直和として分解するプロセスは、クレブシュ・ゴルダン理論として知られています。

群SU(2)の表現論（あるいは同等に、その複素化されたリー代数の表現論）の場合${\displaystyle \mathrm {sl} (2;\mathbb {C} )}$）、分解は容易に計算できる。^{[ 24 ]}既約表現はパラメータによってラベル付けされる。${\displaystyle l}$それは非負整数または半整数です。その場合、表現の次元は${\displaystyle 2l+1}$ラベル付きの2つの表現のテンソル積を取ると仮定します。${\displaystyle l_{1}}$そして${\displaystyle l_{2},}$ここで我々は仮定する${\displaystyle l_{1}\geq l_{2}}$すると、テンソル積はラベルを持つ各表現の1つのコピーの直接和として分解される。${\displaystyle l}$、 どこ${\displaystyle l}$範囲は${\displaystyle l_{1}-l_{2}}$に${\displaystyle l_{1}+l_{2}}$1刻みで。例えば、${\displaystyle l_{1}=l_{2}=1}$すると、${\displaystyle l}$発生する値は0、1、2です。したがって、次元のテンソル積表現は次のようになります。${\displaystyle (2l_{1}+1)\times (2l_{2}+1)=3\times 3=9}$1次元表現の直接和として分解される${\displaystyle (l=0),}$3次元表現${\displaystyle (l=1),}$そして5次元表現${\displaystyle (l=2)}$。

群表現は有限群の研究において非常に重要なツールである。^{[ 25 ]}また、有限群理論を幾何学や結晶学に応用する際にも現れる。^{[ 26 ]}有限群の表現は一般理論の多くの特徴を示し、表現理論の他の分野やトピックへの道筋を示している。

標数ゼロの体上では、有限群Gの表現はいくつかの便利な性質を持つ。まず、Gの表現は半単純（完全に可約）である。これは、 G表現Wの任意の部分表現VがG不変補元を持つというマシュケの定理の結果である。証明の一つは、 WからVへの任意の射影π を選び、それを次のように定義される平均π _{Gで置き換えることである。}

${\displaystyle \pi _{G}(x)={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}g\cdot \pi (g^{-1}\cdot x).}$

π _Gは同変であり、その核は必要な補集合である。

有限次元のG表現は、指標理論を用いて理解することができる。表現φ : G → GL( V ) の指標は、次のように定義されるクラス関数χ _φ : G → Fである。

${\displaystyle \chi _{\varphi }(g)=\mathrm {Tr} (\varphi (g))}$

どこ${\displaystyle \mathrm {Tr} }$はトレースである。G の既約表現は、その指標によって完全に決定される。

マシュケの定理は、素数 p が G の位数と互いに素である限り、有限体などの正標数 p の体に対してより一般的に成り立つ。pと| G |が共通因子を持つ場合、半単純ではないG表現が存在し、それはモジュラー表現論と呼ばれる分野で研究されている。

平均化手法によれば、Fが実数または複素数である場合、任意のG表現は内積を保持する。${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$Vに関して、

${\displaystyle \langle g\cdot v,g\cdot w\rangle =\langle v,w\rangle }$

GのすべてのgとWのすべてのv、wに対して。したがって、任意のG表現はユニタリである。

ユニタリ表現は自動的に半単純である。なぜなら、部分表現の直交補空間を取ることでマシュケの定理を証明できるからである。有限群ではない群の表現を研究する場合、ユニタリ表現は有限群の実数表現と複素数表現の良い一般化となる。

マシュケの定理やユニタリ性など、平均化に基づく結果は、適切な積分概念を定義できれば、平均を積分に置き換えることで、より一般的な群に一般化できる。これは、ハール測度を用いることで、コンパクト位相群（コンパクトリー群を含む）に対して行うことができ、その結果得られる理論は抽象調和解析として知られている。

任意の体上の有限群のうち、優れた表現論を持つもう一つのクラスは、リー型有限群である。重要な例としては、有限体上の線形代数群が挙げられる。線形代数群とリー群の表現論は、これらの例を無限次元群に拡張するものであり、後者はリー代数表現と密接に関連している。有限群における指標論の重要性は、リー群とリー代数の表現における重み論にも類似している。

有限群Gの表現は、群代数F [ G ]を介して代数表現に直接結び付けられます。群代数 F [ G ] は、 Gの要素を基底とするF上のベクトル空間であり、群演算、線形性、および群演算とスカラー乗算が可換であるという要件によって定義される乗算演算を備えています。

有限群Gのモジュラー表現は、標数が | G |と互いに素でない体上の表現であり、そのためマシュケの定理はもはや成り立たない (| G | はFで可逆ではないため、それで割ることができない)。^{[ 27 ]}それにもかかわらず、リチャード・ブラウアーは指標理論の多くをモジュラー表現に拡張し、この理論は有限単純群の分類に向けた初期の進歩において重要な役割を果たした。特に、シロー 2 部分群が「小さすぎる」ため、純粋に群論的な方法では特徴付けができない単純群に対してはそうであった。^{[ 28 ]}

モジュラー表現は群論への応用だけでなく、代数幾何学、符号理論、組み合わせ論、数論など、数学の他の分野でも自然に現れる。

群Gのユニタリ表現とは、実ヒルベルト空間または（通常は）複素ヒルベルト空間V上のGの線形表現φであり、φ ( g ) はすべてのg ∈ Gに対してユニタリ演算子である。このような表現は、特にヘルマン・ワイルの影響により、 1920 年代から量子力学で広く応用されており^{[ 29 ]}、これが理論の発展を促し、特にユージン・ウィグナーによるポアンカレ群の表現の解析を通じて発展した^{[ 30 ]}。ユニタリ表現の一般理論（応用上有用な特定の群だけでなく、任意の群Gに対して）を構築した先駆者の 1 人はジョージ・マッキーであり、 1950 年代と 1960 年代にはハリシュ・チャンドラらが広範な理論を開発した^{[ 31 ] 。}

主な目標は、 Gの既約ユニタリ表現の空間である「ユニタリ双対」を記述することです。^{[ 32 ]}この理論は、 Gが局所的にコンパクトな(ハウスドルフ)位相群であり、表現が強連続である場合に最もよく発展しています。^{[ 11 ]} Gがアーベル群の場合、ユニタリ双対は単に指標の空間ですが、 G がコンパクトな場合、ピーター・ワイルの定理は、既約ユニタリ表現が有限次元であり、ユニタリ双対が離散的であることを示しています。^{[ 33 ]}例えば、Gが円群S ¹の場合、指標は整数で与えられ、ユニタリ双対はZです。

非コンパクト群Gの場合、どの表現がユニタリであるかという問題は微妙な問題です。既約ユニタリ表現は「許容可能」（ハリシュ・チャンドラ加群として）でなければならず、どの許容可能な表現が非退化不変セスキリニア形式を持つかを検出するのは容易ですが、この形式が正定値であるかどうかを決定するのは困難です。実還元リー群（後述）のような比較的性質の良い群であっても、ユニタリ双対の有効な記述は表現論における重要な未解決問題として残っています。SL (2, R )やローレンツ群など、多くの特定の群については解決されています。^{[ 34 ]}

円群S ¹と整数Zの間の双対性、あるいはより一般的には、トーラスT ⁿとZ ⁿの間の双対性は、フーリエ級数の理論として解析学でよく知られており、フーリエ変換は同様に、実ベクトル空間上の指標空間が双対ベクトル空間であるという事実を表現している。したがって、ユニタリ表現論と調和解析は密接に関連しており、抽象調和解析はこの関係を利用して、局所的にコンパクトな位相群および関連空間上の関数の解析を展開している。 ^{[ 11 ]}

主な目標は、フーリエ変換とプランシュレル定理の一般形を提供することです。これは、ユニタリ双対上の測度と、G 上の二乗可積分関数の空間 L 2 ( G ) 上の G の正則表現と、ユニタリ双対上の L 2 関数の空間上の表現との間の同型性を構築すること^によって行われます。ポントリャーギン双対性と^ピーター・ワイル定理は、それぞれアーベル G とコンパクトGに対してこれを実現します。^{[ 33 ] [ 35 ]}

別のアプローチとしては、既約表現だけでなく、すべてのユニタリ表現を考慮する方法がある。これらは一つの圏を形成し、田中・クライン双対性を用いることで、ユニタリ表現の圏からコンパクト群を復元することができる。

群がアーベル群でもコンパクト群でもない場合、プランシュレルの定理やフーリエ反転の類似物を持つ一般的な理論は知られていないが、アレクサンダー・グロタンディークはタナカ・クライン双対性を線形代数群とタナカ圏の関係に拡張した。

調和解析は、群G上の関数の解析から、 Gの同次空間上の関数の解析へと拡張されてきた。この理論は特に対称空間においてよく発展しており、保型形式の理論を提供している（後述）。

リー群は、滑らかな多様体でもある群です。実数または複素数上の多くの古典的な行列群はリー群です。^{[ 36 ]}物理学や化学で重要な群の多くはリー群であり、それらの表現論はこれらの分野における群論の応用にとって非常に重要です。^{[ 9 ]}

リー群の表現論は、まずコンパクト群を考察することによって展開できます。コンパクト群にはコンパクト表現論の結果が適用されます。^{[ 32 ]}この理論は、ワイルのユニタリトリックを使用して、半単純リー群の有限次元表現に拡張できます。各半単純実リー群Gは複素化を持ち、それは複素リー群G ^cであり、この複素リー群は最大コンパクト部分群Kを持ちます。G の有限次元表現は、Kの表現と密接に対応します。

一般リー群は、可解リー群と半単純リー群の半直積（レヴィ分解）である。^{[ 37 ]}可解リー群の表現の分類は一般には扱いにくいが、実際的な場合には容易な場合が多い。半直積の表現は、ウィグナーのポアンカレ群の表現の分類で使用される方法を一般化したマッキー理論と呼ばれる一般的な結果によって分析することができる。

体F上のリー代数は、ヤコビ恒等式を満たすリー括弧と呼ばれる歪対称双線形演算を備えたF上のベクトル空間です。リー代数は特に、単位元におけるリー群の接空間として現れ、「無限小対称性」として解釈されます。^{[ 37 ]}リー群の表現論に対する重要なアプローチは、対応するリー代数の表現論を研究することですが、リー代数の表現にも本質的な興味があります。^{[ 38 ]}

リー代数は、リー群と同様に、レヴィ分解によって半単純部分と可解部分に分けられますが、可解リー代数の表現論は一般に扱いが困難です。対照的に、半単純リー代数の有限次元表現は、エリー・カルタンの研究によって完全に理解されています。半単純リー代数 𝖌 の表現は、カルタン部分代数を選択することによって解析されます。カルタン部分代数は、本質的に、リー括弧がゼロ（「アーベル的」）である 𝖌 の一般的な最大部分代数 𝖍 です。𝖌 の表現は、 𝖍 の作用と指標の無限小類似物に対する固有空間である重み空間に分解できます。半単純リー代数の構造により、表現の解析は、発生しうる重みの容易に理解できる組み合わせ論に還元されます。^{[ 37 ]}

線形代数群（より一般的にはアフィン群スキーム）は、代数幾何学におけるリー群の類似物ですが、 RやCだけでなく、より一般的な体上で存在します。特に、有限体上では、リー型の有限群を生成します。線形代数群の分類はリー群の分類と非常によく似ていますが、その表現論はかなり異なり（そしてはるかに理解が進んでいません）、ザリスキ位相が比較的弱く、解析学の手法がもはや利用できないため、異なる手法が必要です。^{[ 41 ]}

不変理論は、群の表現を形成する関数への影響という観点から、代数多様体への作用を研究します。古典的には、この理論は、与えられた線形群からの変換の下で変化しない、つまり不変な多項式関数の明示的な記述の問題を扱っていました。現代のアプローチは、これらの表現の既約への分解を分析します。^{[ 42 ]}

無限群の不変理論は、線形代数の発展、特に二次形式と行列式の理論と密接に結びついています。相互に強い影響を与えているもう1つの分野は射影幾何学で、不変理論は分野を整理するために使用でき、1960年代には、デイヴィッド・マンフォードが幾何学的不変理論という形でこの分野に新たな息吹を吹き込みました。^{[ 43 ]}

半単純リー群の表現論は不変式論にルーツを持ち^{[ 36 ]}、表現論と代数幾何学の強い結びつきは、フェリックス・クラインのエルランゲン計画やエリー・カルタンの連結論に始まる微分幾何学にも多くの類似点があり、これらは群と対称性を幾何学の中心に据えている^{[ 44 ]} 。現代の発展は、表現論と不変式論をホロノミー、微分作用素、多変数複素理論など多様な分野に結びつけている。

保型形式は、モジュラー形式を、おそらく複数の複素変数を持つ、同様の変換特性を持つより一般的な解析関数に一般化したものです。 ^{[ 45 ]}この一般化には、モジュラー群PSL ₂ ( R )と選択された合同部分群を、半単純リー群Gと離散部分群Γに置き換えることが含まれます。モジュラー形式が上半空間H = PSL ₂ ( R )/SO(2) の商空間上の微分形式と見なせるのと同様に、保型形式はΓ\ G / K上の微分形式 (または同様の対象) と見なすことができます。ここでKは (通常) Gの極大コンパクト部分群です。ただし、商空間には通常特異点があるため、注意が必要です。半単純リー群をコンパクト部分群で割った商空間は対称空間であるため、保型形式の理論は対称空間上の調和解析と密接に関連しています。

一般理論が発展する以前には、ヒルベルトモジュラー形式やジーゲルモジュラー形式など、多くの重要な特殊ケースが詳細に研究されていました。この理論における重要な成果には、セルバーグトレース公式や、ロバート・ラングランズによるリーマン・ロッホの定理を保型形式の空間の次元計算に適用できることの発見などがあります。その後、「保型表現」という概念が生まれ、 Gが代数群であり、アデリック代数群として扱われる場合を扱う上で、技術的に大きな価値があることが証明されました。その結果、保型形式の表現と数論的性質の関係を中心に、ラングランズ・プログラムという哲学全体が発展しました。^{[ 46 ]}

ある意味では、結合代数の表現は群とリー代数の表現を一般化したものである。群の表現は対応する群環または群代数の表現を誘導し、リー代数の表現はその普遍包絡代数の表現と一対一に対応する。しかし、一般的な結合代数の表現論は、群やリー代数の表現論が持つ優れた性質をすべて備えているわけではない。

集合X上の群Gの集合論的表現(群作用または置換表現とも呼ばれる)は、 GからXへの関数ρによって与えられ、Xから^Xへの関数の集合は、 Gのすべてのg ₁、g ₂および X のすべてのxに対して、次の式が成り立つ。

${\displaystyle \rho (1)[x]=x}$

${\displaystyle \rho (g_{1}g_{2})[x]=\rho (g_{1})[\rho (g_{2})[x]].}$

この条件と群の公理から、ρ ( g )はGのすべてのgに対して全単射（または置換）であることがわかります。したがって、置換表現をGからXの対称群S _Xへの群準同型として定義することもできます。

任意の群Gは、単一の対象を持つ圏と見なすことができ、この圏における射はGの要素に他なりません。任意の圏Cが与えられたとき、CにおけるGの表現は、 GからCへの関手です。このような関手は、 C内の対象Xと、 GからXの自己同型群Aut( X )への群準同型を選択します。

Cが体F上のベクトル空間の圏Vect F_である場合、この定義は線形表現と同等である。同様に、集合論的表現は、集合の圏におけるGの表現にすぎない。

別の例として、位相空間の圏Top を考えてみましょう。Top における表現は、 Gから位相空間Xの同相群への準同型写像です。

線形表現と密接に関連する3種類の表現方法は次のとおりです。

• 射影表現：射影空間の範疇に属する。これらは「スカラー変換を除いた線形表現」と表現できる。
• アフィン表現：アフィン空間のカテゴリーにおいて。例えば、ユークリッド群はユークリッド空間にアフィン的に作用する。
• ユニタリ群と反ユニタリ群の共表現：射が線形変換または反線形変換である複素ベクトル空間の圏において。

群は圏であるため、他の圏の表現についても考えることができます。最も単純な一般化は、対象が1つだけの圏であるモノイドです。群は、すべての射が可逆であるモノイドです。一般的なモノイドは、任意の圏において表現を持ちます。集合の圏では、これらはモノイド作用ですが、ベクトル空間やその他の対象上のモノイド表現も研究することができます。

より一般的に言えば、表現される圏が対象を一つしか持たないという仮定を緩和することができる。完全に一般的に言えば、これは単に圏間の関手の理論であり、それ以上のことは何も言えない。

表現論に大きな影響を与えた特別なケースが1つあります。それは、クィバーの表現論です。^{[ 15 ]}クィバーは、単に有向グラフ（ループと複数の矢印が許容される）ですが、グラフ内のパスを考慮することで、圏（および代数）にすることができます。このような圏/代数の表現は、表現論のいくつかの側面を明らかにしてきました。たとえば、群に関する非半単純表現論の問題を、場合によってはクィバーに関する半単純表現論の問題に還元することができます。