フロベニウス法

数学において、フェルディナント・ゲオルク・フロベニウスにちなんで名付けられたフロベニウス法は、 およびの形式の 線形2階常微分方程式の無限級数解を求める方法です。 $${\displaystyle z^{2}u''+p(z)zu'+q(z)u=0}$$${\textstyle u'\equiv {\frac {du}{dz}}}$${\textstyle u''\equiv {\frac {d^{2}u}{dz^{2}}}}$

正規特異点 の近傍において。 ${\displaystyle z=0}$

で割ると、形式の微分方程式が得られますが 、 p ( z )/ z または q ( z )/ z 2 のいずれかが z = 0 で解析的でない場合は、通常のべき級数法では解くことができません。フロベニウス法では、 p ( z )とq ( z )自体が⁰で解析的 で あるか、または他の場所では解析的であり、0 での極限が両方とも存在する（そして有限である）ことを条件に、このような微分方程式のべき級数解を作成できます。 ${\displaystyle z^{2}}$$${\displaystyle u''+{\frac {p(z)}{z}}u'+{\frac {q(z)}{z^{2}}}u=0}$$

フロベニウスの貢献^{[1]は、関係する級数解の可能なすべての}形式（下記参照）という点においてはそれほど大きくない。これらの形式はすべて、以前に^{[2]フックス[ 3]}によって確立されていた。^[4]指標多項式（下記参照）とその役割もフックスによって確立されていた。^[2]

フロベニウスによる理論への最初の貢献は、解析的冪級数に独立変数の任意の冪rを乗じた形をとる最初の線形独立解に関して、一般化冪級数の係数は再帰関係に従い、常に簡単に計算できるということを示したことである (下記参照) 。

フロベニウスの2番目の貢献は、指数方程式の根が整数だけ異なる場合、2番目の線形独立解の一般形（下記参照）は、上記のパラメータrに関する微分^[5]に基づく手順によって得られることを示したことである。

^{フロベニウスの1873年の出版物[1]}の大部分は、解に含まれるすべての級数の収束の証明と、これらの級数の収束半径の確立に費やされました。

フロベニウスの方法は、次の形式のべき級数解を求めるものである。 $${\displaystyle u(z)=z^{r}\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k},\qquad (A_{0}\neq 0)}$$

差別化: $${\displaystyle u'(z)=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-1}}$$ $${\displaystyle u''(z)=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r-1)(k+r)A_{k}z^{k+r-2}}$$

上記の微分を元の常微分方程式に代入すると次のようになります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}&z^{2}\sum _{k=0}^{\infty }(k+r-1)(k+r)A_{k}z^{k+r- 2}+zp(z)\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-1}+q(z)\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r}\\={}&\sum _{k=0}^{\infty }(k+r-1)(k +r)A_{k}z^{k+r}+p(z)\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r}+q(z)\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r}\\={}&\sum _{k=0}^{\infty }[(k+r-1)(k+r)A_{k}z^ {k+r}+p(z)(k+r)A_{k}z^{k+r}+q(z)A_{k}z^{k+r}]\\={}&\合計 _{k=0}^{\infty }\left[(k+r-1)(k+r)+p(z)(k+r)+q(z)\right]A_{k}z ^{k+r}\\={}&\left[r(r-1)+p(z)r+q(z)\right]A_{0}z^{r}+\sum _{k =1}^{\infty }\left[(k+r-1)(k+r)+p(z)(k+r)+q(z)\right]A_{k}z^{k+r}=0\end{整列した$$

この式は 、 rの 2 次式である 指数多項式 として知られています。指数多項式の一般的な定義は、無限級数におけるzの最低のべき乗の係数です。この場合、これはr番目の係数になりますが、最小の指数は、与えられた微分方程式に応じてr  − 2、r  − 1 などになる可能性があります。この詳細は覚えておくことが重要です。微分方程式のすべての級数を同じインデックス値 (上記の式では k = 1) から開始するように同期させるプロセスでは、複雑な式になる可能性があります。ただし、指数根を解く際には、 z の最低のべき乗の係数のみに注意が向けられます 。 $${\displaystyle r\left(r-1\right)+p\left(0\right)r+q\left(0\right)=I(r)}$$

これを用いると、 z ^{k + r}の係数の一般的な表現は次のようになる。 $${\displaystyle I(k+r)A_{k}+\sum _{j=0}^{k-1}{(j+r)p^{(kj)}(0)+q^{(kj)}(0) \over (kj)!}A_{j},}$$

これらの係数は微分方程式の解であるためゼロでなければならないので、

$${\displaystyle {\begin{aligned}I(k+r)A_{k}+\sum _{j=0}^{k-1}{(j+r)p^{(kj)}(0)+q^{(kj)}(0) \over (kj)!}A_{j}&=0\\[4pt]\sum _{j=0}^{k-1}{(j+r)p^{(kj)}(0)+q^{(kj)}(0) \over (kj)!}A_{j}&=-I(k+r)A_{k}\\[4pt]{1 \over -I(k+r)}\sum _{j=0}^{k-1}{(j+r)p^{(kj)}(0)+q^{(kj)}(0) \over (kj)!}A_{j}&=A_{k}\end{aligned}}}$$

上記のA _kの級数解 は 、 $${\displaystyle U_{r}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r}}$$$${\displaystyle z^{2}U_{r}(z)''+p(z)zU_{r}(z)'+q(z)U_{r}(z)=I(r)z^{ r}}$$

U _r ( z )におけるrの指示多項式の根の 1 つを選択すると、微分方程式の解が得られます。根の差が整数でない場合は、もう一方の根で線形独立な別の解が得られます。

解決しましょう $${\displaystyle z^{2}f''-zf'+(1-z)f=0}$$

全体をz ²で割ると、z = 0 で必要な特異点を持つ ようになります  。 $${\displaystyle f''-{1 \over z}f'+{1-z \over z^{2}}f=f''-{1 \over z}f'+\left({1 \over z^{2}}-{1 \over z}\right)f=0}$$

シリーズソリューションを使用する $${\displaystyle {\begin{aligned}f&=\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r}\\f'&=\sum _{k=0}^ {\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-1}\\f''&=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)(k+r-1)A_{k}z^{k+r-2}\end{整列}}}$$

さて、代入すると $${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=0}^{\infty }&(k+r)(k+r-1)A_{k}z^{k+r-2}-{\frac {1}{z}}\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-1}+\left({\frac {1}{z^{2}}}-{\frac {1}{z}}\right)\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)(k+r-1)A_{k}z^{k+r-2}-{\frac {1}{z}}\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-1}+{\frac {1}{z^{2}}}\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r}-{\frac {1}{z}}\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)(k+r-1)A_{k}z^{k+r-2}-\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-2}+\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r-2}-\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r-1}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)(k+r-1)A_{k}z^{k+r-2}-\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-2}+\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r-2}-\sum _{k-1=0}^{\infty }A_{k-1}z^{k-1+r-1}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)(k+r-1)A_{k}z^{k+r-2}-\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-2}+\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r-2}-\sum _{k=1}^{\infty }A_{k-1}z^{k+r-2}\\&=\left\{\sum _{k=0}^{\infty }\left((k+r)(k+r-1)-(k+r)+1\right)A_{k}z^{k+r-2}\right\}-\sum _{k=1}^{\infty }A_{k-1}z^{k+r-2}\\&=\left\{\left(r(r-1)-r+1\right)A_{0}z^{r-2}+\sum _{k=1}^{\infty }\left((k+r)(k+r-1)-(k+r)+1\right)A_{k}z^{k+r-2}\right\}-\sum _{k=1}^{\infty }A_{k-1}z^{k+r-2}\\&=(r-1)^{2}A_{0}z^{r-2}+\left\{\sum _{k=1}^{\infty }(k+r-1)^{2}A_{k}z^{k+r-2}-\sum _{k=1}^{\infty }A_{k-1}z^{k+r-2}\right\}\\&=(r-1)^{2}A_{0}z^{r-2}+\sum _{k=1}^{\infty }\left((k+r-1)^{2}A_{k}-A_{k-1}\right)z^{k+r-2}\end{aligned}}}$$

( r − 1) ² = 0から1 の二重根が得られます。この根を使用して、z ^{k + r − 2}の係数を 0 に設定します (解となるため)。これにより、次の式が得られます。 したがって、再帰関係が得られます。 $${\displaystyle (k+1-1)^{2}A_{k}-A_{k-1}=k^{2}A_{k}-A_{k-1}=0}$$$${\displaystyle A_{k}={\frac {A_{k-1}}{k^{2}}}}$$

いくつかの初期条件が与えられれば、再帰を完全に解くことも、べき級数形式で解を得ることもできます。

係数の比は有理関数なので、べき級数は一般化された超幾何級数として表すことができます。 ${\displaystyle A_{k}/A_{k-1}}$

前の例では、重複根を持つ指数多項式が使用されており、与えられた微分方程式に対して 1 つの解しか得られません。一般に、フロベニウス法では、指数方程式の根が整数 (ゼロを含む) で区切られていない場合、2 つの独立した解が得られます。

根が重複しているか、根が整数だけ異なる場合、2 番目の解は次を使用して見つけることができます。 ここで、 は最初の解 (不等根の場合は大きい方の根に基づく)、は小さい方の根、定数Cと係数を決定する必要があります。が選択されると (たとえば 1 に設定)、までのCと が決定されますが、は含まれません。 は任意に設定できます。これにより、 の残りの部分が決定されます。場合によっては、定数C を0 にする必要があります。 $${\displaystyle y_{2}=Cy_{1}\ln x+\sum _{k=0}^{\infty }B_{k}x^{k+r_{2}}}$$${\displaystyle y_{1}(x)}$${\displaystyle r_{2}}$${\displaystyle B_{k}}$${\displaystyle B_{0}}$${\displaystyle B_{k}}$${\displaystyle B_{r_{1}-r_{2}}}$${\displaystyle B_{k}.}$

例: 次の微分方程式 ( a = 1およびb = 2のKummer 方程式) を考えます。 指数方程式の根は -1 と 0 です。 2 つの独立した解は であり、どの解にも対数は現れないことがわかります。 解は、べき乗ゼロから始まるべき級数を持ちます。 べき級数で始まる再帰関係では、項の係数に制限はなく、任意に設定できます。 係数をゼロに設定すると、この微分方程式では他のすべての係数がゼロになり、解1/ zが得られます。 $${\displaystyle zu''+(2-z)u'-u=0}$$${\displaystyle 1/z}$${\displaystyle e^{z}/z,}$${\displaystyle (e^{z}-1)/z}$${\displaystyle z^{-1}}$${\displaystyle z^{0},}$

指数多項式の根が整数（ゼロを含む）だけ異なる場合、2番目の線形独立解に含まれるすべての級数の係数は、直列再帰関係から直接計算できます。^{[5]これらの直列関係は、パラメータ}rについて微分するというフロベニウスの独自の発明をさらに発展させ、このアプローチを使用してすべてのケースで級数の係数を実際に計算することによって構築できます。^[5]

• フックスの定理
• 正規特異点
• ローランシリーズ

• Weisstein、Eric W.「フロベニウス法」。MathWorld。
• テシュル、ジェラルド(2012)。『常微分方程式と動的システム』プロビデンス：アメリカ数学会。ISBN 978-0-8218-8328-0。(ドラフト版は https://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-ode/ でオンラインで入手可能)。第 4 章には、証明を含む完全な方法が記載されています。