性格（数学）

数学において、指標とは（最も一般的には）群から体（複素数など）への特殊な関数を指します。少なくとも2つの異なる、しかし重複する意味があります。^{[ 1 ]}「指標」という言葉の他の用法は、ほぼ常に限定されます。

群G上の乗法指標(または線形指標、あるいは単に指標)は、 Gから体( Artin 1966 )の乗法群(通常は複素数体)への群準同型写像である。Gが任意の群である場合、これらの準同型写像の集合 Ch( G ) は、点ごとの乗法に関してアーベル群を形成する。

この群は、 Gの指標群と呼ばれます。場合によっては、単位指標のみが考慮されます（したがって、像は単位円内にあります）。このような他の準同型写像は、準指標と呼ばれます。ディリクレ指標は、この定義の特殊な場合と見なすことができます。

乗法的な文字は線形独立である、つまり$\displaystyle \chi _{1},\chi _{2},\ldots ,\chi _{n}}$グループGの異なる文字が同じフィールドにある場合、${\displaystyle a_{1}\chi _{1}+a_{2}\chi _{2}+\dots +a_{n}\chi _{n}=0}$したがって、${\displaystyle a_{1}=a_{2}=\cdots =a_{n}=0}$。

キャラクター​${\displaystyle \chi :G\to F}$ 表現の${\displaystyle \phi \colon G\to \mathrm {GL} (V)}$体F上の有限次元ベクトル空間V上の群Gの表現のトレースは、${\displaystyle \phi }$( Serre 1977 )すなわち

${\displaystyle \chi _{\phi }(g)=\operatorname {Tr} (\phi (g))}$のために${\displaystyle g\in G}$

一般に、トレースは群準同型ではなく、またトレースの集合も群を形成しません。1次元表現の指標は1次元表現と同一であるため、上記の乗法指標の概念は高次元指標の特殊な場合と見なすことができます。指標を用いた表現の研究は「指標理論」と呼ばれ、この文脈では1次元指標は「線形指標」とも呼ばれます。

• キャラクターグループ
• ディリクレ特性
• ハリシュ・チャンドラのキャラクター
• ヘッケというキャラクター
• 極小文字
• 交互の文字
• 特性化（数学）
• ポントリャーギンの二重性
• ベース（トポロジー）§ 重みと特性

• アルティン、エミール（1966）、「ガロア理論」、ノートルダム数学講義、第2号、アーサー・ノートン・ミルグラム（ドーバー出版、1997年再版）、ISBN 978-0-486-62342-9 ノートルダム大学で行われた講義
• Serre, Jean-Pierre (1977), 『有限群の線形表現』、Graduate Texts in Mathematics、第 42巻、Leonard L. Scottによるフランス語第2版からの翻訳、ニューヨーク-ハイデルベルク：Springer-Verlag、doi：10.1007/978-1-4684-9458-7、ISBN 0-387-90190-6MR 0450380​ 

• 「群の特性」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]