カシミール要素

数学において、カシミール元（カシミール不変量またはカシミール演算子とも呼ばれる）は、リー代数の普遍包絡代数の中心の重要な元である。典型的な例としては、3次元回転群のカシミール元である角運動量二乗演算子がある。

より一般的には、カシミール元は普遍包絡代数の中心の任意の元を指すために使用できます。これらの元の代数は、ハリシュ-チャンドラ同型性を通じて多項式代数に同型であることが知られています。

カシミール要素は、 1931年に剛体力学の記述でこれを特定したヘンドリック・カシミールにちなんで名付けられました。 ^[1]

最も一般的に使用されるカシミール不変量は、2 次不変量です。これは定義が最も簡単なので、最初に示します。ただし、より高次の同次対称多項式に対応する、より高次のカシミール不変量もあります。

が-次元リー代数であるとする。Bを の非退化双線型形式で、のそれ自身への随伴作用に対して不変であるとする。つまり、内のすべてのX、Y、Zに対して となる。( Bの最も一般的な選択は、が半単純である場合のキリング形式である。) ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle B(\operatorname {ad} _{X}Y,Z)+B(Y,\operatorname {ad} _{X}Z)=0}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \{X_{i}\}_{i=1}^{n}}$

の任意の基底であり、 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \{X^{i}\}_{i=1}^{n}}$

をBに関する双対基底とする。Bのカシミール元は、次式で与えられる 普遍包絡代数の元である。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \オメガ}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$

${\displaystyle \Omega =\sum _{i=1}^{n}X_{i}X^{i}.}$

定義はリー代数の基底の選択に依存しているが、Ωがこの選択に依存しないことを示すのは簡単である。一方、Ω は 双線型形式Bに依存している。 Bの不変性は、カシミール元がリー代数のすべての元と可換であり、したがって普遍包絡代数の中心にあることを意味する。^[2]${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$

ベクトル空間V（無限次元でもよい）上のρの表現 が与えられたとき、 ρのカシミール不変量はρ (Ω)と定義され、これはV上の線型作用素で、次の式で与えられる。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \rho (\Omega )=\sum _{i=1}^{n}\rho (X_{i})\rho (X^{i}).}$

この構成の特定の形式は、微分幾何学と大域解析において重要な役割を果たします。リー代数を持つ連結リー群Gが微分可能多様体Mに作用するとします。M上の滑らかな関数の空間上のGの対応する表現 ρ を考えます。すると、 の元は M 上の 1 階微分作用素によって表されます。この状況では、 ρ のカシミール不変量は、上記の式で定義されるM上の G 不変 2 階微分作用素です。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

さらに特殊化すると、M がリーマン計量を持ち、その上でG が等長変換によって推移的に作用し、ある点の安定化部分群G _{x が}Mのxにおける接空間に既約に作用する場合、 ρのカシミール不変量は計量から生じる ラプラシアン演算子のスカラー倍になります。

より一般的なカシミール不変量も定義される可能性があり、これはフレドホルム理論における擬微分作用素の研究でよく見られます。

普遍包絡代数に関する記事では、カシミール演算子の詳細かつ正確な定義と、その特性のいくつかについて解説しています。すべてのカシミール演算子は、随伴表現の対称代数における対称同次多項式に対応します。 ${\displaystyle \operatorname {ad} _{\mathfrak {g}}.}$

${\displaystyle C_{(m)}=\kappa ^{ij\cdots k}X_{i}\otimes X_{j}\otimes \cdots \otimes X_{k}}$

ここで、mは対称テンソルの位数であり、ベクトル空間の基底を形成する。これは対称同次多項式に対応する。 ${\displaystyle \kappa ^{ij\cdots k}}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}.}$

${\displaystyle c_{(m)}=\kappa ^{ij\cdots k}t_{i}t_{j}\cdots t_{k}}$

体K上の多項式代数のm 個の不定変数における対称性の理由はPBW 定理に従い、普遍包絡代数に関する記事でより詳細に説明されています。 ${\displaystyle t_{i}}$ ${\displaystyle K[t_{i},t_{j},\cdots,t_{k}]}$

さらに、カシミール要素は普遍包絡代数の中心に属していなければならない、つまり、

${\displaystyle [C_{(m)},X_{i}]=0}$

すべての基底要素に対して、 対応する対称テンソルに関して、この条件はテンソルが不変であることと同等である。 ${\displaystyle X_{i}.}$${\displaystyle \kappa ^{ij\cdots k}}$

${\displaystyle f_{ij}^{\;\;k}\kappa ^{jl\cdots m}+f_{ij}^{\;\;l}\kappa ^{kj\cdots m}+\cdots +f_{ij}^{\;\;m}\kappa ^{kl\cdots j}=0}$

ここで、 はリー代数の構造定数、すなわちです。 ${\displaystyle f_{ij}^{\;\;k}}$${\displaystyle [X_{i},X_{j}]=f_{ij}^{\;\;k}X_{k}}$

単純なリー代数では、すべての不変双線型形式はキリング形式の倍数であるため、対応するカシミール元は定数を除いて一意に定義されます。一般的な半単純なリー代数では、不変双線型形式の空間には各単純な要素に対して 1 つの基底ベクトルがあり、したがって、対応するカシミール演算子の空間についても同じことが当てはまります。

がリー代数 を持つコンパクト リー群である場合、 上の非退化不変双線型形式の選択は、上の双不変リーマン計量の選択に対応します。 の普遍包絡代数を上の左不変微分作用素と同一視すると、 上の双線型形式のカシミール要素は、のラプラシアン(対応する双不変計量に関して) にマッピングされます。${\displaystyle G}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle G}$

ラカの定理^[3]によれば、半単純リー代数の場合、普遍包絡代数の中心の次元はその階数に等しい。カシミール作用素は一般の半単純リー群上のラプラシアンの概念を与えるが、階数> 1の場合、ラプラシアンの一意な類似物は存在しない。

定義により、普遍包絡代数の中心の任意の要素は、代数の他のすべての要素と可換である。シューアの補題により、リー代数の任意の既約表現において、任意のカシミール要素は恒等表現に比例する。すべてのカシミール要素の固有値は、リー代数の表現を分類するために使用できる（したがって、リー群の表現も分類できる）。^{[4] [説明が必要]}

物理的な質量とスピンは、量子力学で見つかる他の多くの量子数と同様に、これらの固有値の例です。表面的には、トポロジカル量子数はこのパターンの例外を形成しますが、より深い理論は、これらが同じ現象の2つの側面であることを示唆しています。^{[誰によると? ] [引用が必要]}。

を有限次元の最高重みモジュールの重みとします。このとき、2次カシミール要素は定数によって 作用します。${\displaystyle L(\lambda )}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle L(\lambda )}$

${\displaystyle \langle \lambda ,\lambda +2\rho \rangle =\langle \lambda +\rho ,\lambda +\rho \rangle -\langle \rho ,\rho \rangle ,}$

ここで、 は正の根の和の半分で定義される重みです。^[5]が自明でない 場合（つまり の場合）、この定数はゼロではありません。結局のところ、が優勢なので、 の場合、 となり、であることを示します。この観察は、完全還元性に関するワイルの定理の証明で重要な役割を果たします。カルタンの基準を使用して、より抽象的な方法（固有値の明示的な式を使用せずに）で固有値がゼロでないことを証明することもできます。ハンフリーズの本のセクション 4.3 と 6.2 を参照してください。 ${\displaystyle \rho }$${\displaystyle L(\lambda )}$${\displaystyle \lambda \neq 0}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda \neq 0}$${\displaystyle \langle \lambda ,\lambda \rangle >0}$${\displaystyle \langle \lambda ,\rho \rangle \geq 0}$${\displaystyle \langle \lambda ,\lambda +2\rho \rangle >0}$

次数のカシミール要素は、を介して同じ次数の対称不変テンソルに対応します。カシミール要素を構築して関連付けることは、対称不変テンソルに対して同じことを行うことと同じです。 ${\displaystyle m}$${\displaystyle C_{(m)}=\kappa ^{i_{1}i_{2}\cdots i_{m}}X_{i_{1}}X_{i_{2}}\cdots X_{i_{m}}}$

対称不変テンソルは定義表現における対称化されたトレースとして構築されることがある^[6]

${\displaystyle k_{i_{1}i_{2}\cdots i_{m}}^{(m)}={\text{Tr}}\left(X_{(i_{1}}X_{i_{2}}\cdots X_{i_{m})}\right)}$

ここで、インデックスはキリング形式によって上げ下げされ、すべての順列に対して対称化されます。

次のような反対称不変テンソルから対称不変テンソルを構築することもできる。

${\displaystyle \Omega _{i_{1}i_{2}\cdots i_{2m-1}}^{(2m-1)}=f_{i_{1}[i_{2}}^{j_{1}}\cdots f_{i_{2m-3}i_{2m-2}]}^{j_{m-1}}k_{j_{1}\cdots j_{m-1}i_{2m-1}}^{(m)}}$

対称不変テンソル^[7]

${\displaystyle t_{i_{1}i_{2}\cdots i_{m}}^{(m)}=\Omega _{j_{1}j_{2}\cdots j_{2m-2}i_{m}}^{(2m-1)}f_{i_{1}}^{j_{1}j_{2}}\cdots f_{i_{m-1}}^{j_{2m-2}j_{2m-3}}}$

は に対してトレースゼロです。このような不変テンソルはの場合の意味で互いに直交します。 ${\displaystyle m>2}$${\displaystyle t_{i_{1}i_{2}\cdots i_{m}}^{(m)}\left(t^{(n)}\right)^{i_{1}i_{2}\cdots i_{m}i_{m+1}\cdots i_{n}}=0}$${\displaystyle n>m}$

単純なリー代数 の場合、定義表現において、次のようになる 3次の完全対称テンソルを導入する。${\displaystyle A_{l}={\mathfrak {sl}}_{l+1}}$${\displaystyle d_{ijk}}$

${\displaystyle X_{i}X_{j}={\frac {2}{\ell +1}}\delta _{ij}+f_{ij}^{k}X_{k}+d_{ij}^{k}X_{k}}$

すると、サドベリー対称不変テンソルは^[6]

${\displaystyle d_{i_{1}i_{2}}^{(2)}=\delta _{i_{1}i_{2}}}$

${\displaystyle d_{i_{1}i_{2}i_{3}}^{(3)}=d_{i_{1}i_{2}i_{3}}}$

${\displaystyle d_{i_{1}i_{2}i_{3}i_{4}}^{(4)}=d_{(i_{1}i_{2}}{}^{j}d_{i_{3}i_{4})j}}$

${\displaystyle d_{i_{1}i_{2}i_{3}i_{4}i_{5}}^{(5)}=d_{(i_{1}i_{2}}{}^{j}d^{j}{}_{i_{3}}{}^{k}d_{i_{4}i_{5})k}}$

階数の単純なリー代数には、代数的に独立した対称不変テンソルが存在する。したがって、そのようなテンソルはいずれも与えられたテンソルで表現できる。対称不変テンソル間の完全な恒等式を導出する体系的な方法がある。^[6]${\displaystyle r}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r}$

リー代数 の場合、対称不変テンソルはに従う。^[7]これらのテンソルを やなど の他の族で再表現すると、これらの他の族内で非自明な関係が生じる。たとえば、サドベリーテンソルは で表現でき、関係は次のようになる^[7]${\displaystyle A_{l}}$${\displaystyle t^{(m)}}$${\displaystyle t^{(m>l+1)}=0}$${\displaystyle d^{(m)}}$${\displaystyle k^{(m)}}$${\displaystyle d^{(m>l+1)}}$${\displaystyle d^{(2)},\cdots ,d^{(l+1)}}$

${\displaystyle d_{i_{1}i_{2}i_{3}i_{4}}^{(4)}\ {\underset {l=2}{=}}\ {\frac {1}{3}}\delta _{(i_{1}i_{2}}\delta _{i_{3}i_{4})}}$

${\displaystyle d_{i_{1}i_{2}i_{3}i_{4}i_{5}}^{(5)}\ {\underset {l=2}{=}}\ {\frac {1}{3}}d_{(i_{1}i_{2}i_{3}}\delta _{i_{4}i_{5})}}$

${\displaystyle d_{i_{1}i_{2}i_{3}i_{4}i_{5}}^{(5)}\ {\underset {l=3}{=}}\ {\frac {2}{3}}d_{(i_{1}i_{2}i_{3}}\delta _{i_{4}i_{5})}}$

構造定数は対称不変テンソルに直接関係しない恒等式にも従う。例えば^[8]

${\displaystyle 3d_{ab}{}^{e}d_{cde}-f_{ac}{}^{e}f_{bde}-f_{ad}{}^{e}f_{bce}\ {\underset {l=2}{=}}\ \delta _{ac}\delta _{bd}+\delta _{ad}\delta _{bc}-\delta _{ab}\delta _{cd}}$

リー代数は、トレースがゼロの2行2列の複素行列から構成されます。3つの標準的な基底要素、、、があり、 ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}(\mathbb {C} )}$${\displaystyle e}$${\displaystyle f}$${\displaystyle h}$

${\displaystyle {\begin{aligned}e&={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}},&f&={\begin{bmatrix}0&0\\1&0\end{bmatrix}},&h&={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$

整流子は

${\displaystyle {\begin{aligned}[][e,f]&=h,&[h,f]&=-2f,&[h,e]&=2e.\end{aligned}}}$

カシミール要素は

$${\displaystyle \Omega =ef+fe+{\frac {1}{2}}h^{2}={\frac {1}{2}}h^{2}+h+2fe={\frac {3}{2}}I_{2}.}$$

リー代数は、3次元ユークリッド空間の回転群SO(3)のリー代数である。これは階数1の単純であり、したがって独立したカシミールを1つ持つ。回転群のキリング形式はクロネッカーデルタなので、カシミール不変量は代数の生成元の平方の和にすぎない。つまり、カシミール不変量は次のように与えられる。 ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$${\displaystyle L_{x},\,L_{y},\,L_{z}}$

${\displaystyle L^{2}=L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}.}$

の最大固有値が であり、 の可能な値がであるの既約表現を考える。カシミール演算子の不変性は、それが恒等演算子の倍数であることを意味する。この定数は明示的に計算することができ、次の結果が得られる^[9]${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$${\displaystyle L_{z}}$${\displaystyle \ell }$${\displaystyle \ell }$${\textstyle 0,\,{\frac {1}{2}},\,1,\,{\frac {3}{2}},\,\ldots }$${\displaystyle I}$

${\displaystyle L^{2}=L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}=\ell (\ell +1)I.}$

量子力学では、スカラー値は全角運動量と呼ばれます。回転群の有限次元行列値表現では、常に整数値（ボソン表現の場合）または半整数値（フェルミオン表現の場合） を取ります。${\displaystyle \ell }$${\displaystyle \ell }$

の与えられた値に対して、行列表現は-次元である。したがって、例えば、 の3次元表現はに対応し、生成子によって与えられる。 ${\displaystyle \ell }$${\displaystyle (2\ell +1)}$${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$${\displaystyle \ell =1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{x}&=i{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{pmatrix}};&L_{y}&=i{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\end{pmatrix}};&L_{z}&=i{\begin{pmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},\end{aligned}}}$

ここでの因子は、生成子が歪んだ自己随伴演算子であるべきであるという物理学の慣例（ここで使用されている）と一致するために必要である。^[10]${\displaystyle i}$

二次カシミール不変量は簡単に手計算で計算でき、その結果は

${\displaystyle L^{2}=L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}=2{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}}$

ときのように。 ${\displaystyle \ell (\ell +1)=2}$${\displaystyle \ell =1}$

これが、カシミール演算子の固有値がリー代数（および関連するリー群）の既約表現を分類するために使用されると言われる意味です。リー代数の 2 つの既約表現は、それらのカシミール要素が同じ固有値を持つ場合にのみ同等です。この場合、 の既約表現はの値によって完全に決定されます。または、それと同等に、 の値によって決定されます。同様に、2 次元表現には、スピン1 ⁄ 2に対応するパウリ行列によって与えられる基底があり、直接計算によってカシミールの公式を再度確認できます。 ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$${\displaystyle \ell }$${\displaystyle \ell (\ell +1)}$

• ハリシュ・チャンドラ同型
• パウリ・ルバンスキー擬似ベクトル
• クレプシュ・ゴルダン係数

• ハンフリーズ、ジェームズ E. (1978)。リー代数と表現理論入門。数学大学院テキスト。第 9 巻 (第 2 刷、改訂版)。ニューヨーク: Springer- Verlag。ISBN 0-387-90053-5。
• ジェイコブソン、ネイサン (1979)。リー代数。ドーバー出版。pp . 243–249。ISBN 0-486-63832-4。
• https://mathoverflow.net/questions/74689/motivating-the-casimir-element