6-j シンボル

ウィグナーの6- j記号は、1940 年にユージン・ポール・ウィグナーによって導入され、1965 年に発表されました。これらは、4 つのウィグナー 3- j記号の積の和として定義されます。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}&=\sum _{m_{1},\dots ,m_{6}}(-1)^{\sum _{k=1}^{6}(j_{k}-m_{k})}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\-m_{1}&-m_{2}&-m_{3}\end{pmatrix}}\times \\&\times {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{5}&j_{6}\\m_{1}&-m_{5}&m_{6}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}j_{4}&j_{2}&j_{6}\\m_{4}&m_{2}&-m_{6}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}j_{4}&j_{5}&j_{3}\\-m_{4}&m_{5}&m_{3}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$

総和は、 3- jシンボルの選択規則によって許可される6 つのm _iすべてについて行われます。

これらは、3つの角運動量を再結合するために使用されるラカーW係数と密接に関連していますが、ウィグナー6- j記号は対称性が高く、再結合係数を保存するより効率的な手段を提供します。^{[ 1 ]} 両者の関係は次のように表されます。

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{4}+j_{5}}W(j_{1}j_{2}j_{5}j_{4};j_{3}j_{6}).}$

6- j記号は、列の任意の順列に対して不変です。

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{2}&j_{1}&j_{3}\\j_{5}&j_{4}&j_{6}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{3}&j_{2}\\j_{4}&j_{6}&j_{5}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{3}&j_{2}&j_{1}\\j_{6}&j_{5}&j_{4}\end{Bmatrix}}=\cdots }$

6- j記号は、任意の 2 つの列で上引数と下引数を入れ替えても不変です。

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{4}&j_{5}&j_{3}\\j_{1}&j_{2}&j_{6}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{5}&j_{6}\\j_{4}&j_{2}&j_{3}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{4}&j_{2}&j_{6}\\j_{1}&j_{5}&j_{3}\end{Bmatrix}}.}$

これらの式は、関連する6辺の四面体ユツィスグラフを不変に保つ自己同型群の24の対称操作を反映しています。これらの操作には、2つの頂点を交換する鏡像操作と、隣接する2つの辺を交換する操作が含まれます。

6- jシンボル

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}}$

j ₁、j ₂、j ₃が三角形条件を満たさない限り、はゼロになります。

${\displaystyle j_{1}=|j_{2}-j_{3}|,\ldots ,j_{2}+j_{3}}$

上引数と下引数を入れ替える対称関係と組み合わせると、三角形の条件は ( j ₁ , j ₅ , j ₆ )、( j ₄ , j ₂ , j ₆ )、および ( j ₄ , j ₅ , j ₃ ) についても満たされなければならないことがわかります。さらに、各三角形の要素の合計は整数でなければなりません。したがって、各三角形の要素はすべて整数であるか、1 つの整数と 2 つの半整数のいずれかです。

j ₆ = 0の場合、6- j記号の式は次のようになります。

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&0\end{Bmatrix}}={\frac {\delta _{j_{2},j_{4}}\delta _{j_{1},j_{5}}}{\sqrt {(2j_{1}+1)(2j_{2}+1)}}}(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}{\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\end{Bmatrix}}.}$

三角形デルタ{ j ₁ j ₂ j ₃ } は、三角形条件 (     j ₁ , j ₂ , j ₃ ) が三角形条件を満たす場合に 1 となり、そうでない場合は 0 となります。対称関係を利用することで、別のjが 0 の場合の式を求めることができます。

j ₆ = e = 0、1/2、1、3/2、2の値は、ラカー W 係数から簡単に取得できます (Brink & Satchler 1994、表 4、 j ₆ = e = 0、1/2、および 1; Biedenharn、Blatt、& Rose、1952、j ₆ = e = 0、1/2、1、3/2、および 2。j 6 = 1/2 および 1 の値は以下に示されています。他のj ₆の値の再結合の式は、_6つのj記号の対称性と適切な置換を使用することで、これらから簡単に推測できます。

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{2}+{\frac {1}{2}}&j_{1}+{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{Bmatrix}}=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}+1}\left[{\frac {(j_{1}+j_{2}+j_{3}+2)(j_{1}+j_{2}-j_{3}+1)}{(2j_{1}+1)(2j_{1}+2)(2j_{2}+1)(2j_{2}+2)}}\right]^{1/2}}$

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{2}+{\frac {1}{2}}&j_{1}-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{Bmatrix}}=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}\left[{\frac {(j_{3}+j_{1}-j_{2})(j_{2}+j_{3}-j_{1}+1)}{(2j_{1})(2j_{1}+1)(2j_{2}+1)(2j_{2}+2)}}\right]^{1/2}}$

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{2}-1&j_{1}-1&1\end{Bmatrix}}=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}\left[{\frac {(j_{1}+j_{2}+j_{3})(j_{1}+j_{2}+j_{3}+1)(j_{1}+j_{2}-j_{3})(j_{1}+j_{2}-j_{3}-1)}{(2j_{1}-1)(2j_{1})(2j_{1}+1)(2j_{2}-1)(2j_{2})(2j_{2}+1)}}\right]^{1/2}}$

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{2}-1&j_{1}&1\end{Bmatrix}}=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}\left[{\frac {2(j_{1}+j_{2}+j_{3}+1)(j_{1}+j_{2}-j_{3})(j_{2}+j_{3}-j_{1})(j_{1}-j_{2}+j_{3}+1)}{(2j_{1})(2j_{1}+1)(2j_{1}+2)(2j_{2}-1)(2j_{2})(2j_{2}+1)}}\right]^{1/2}}$

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{2}+1&j_{1}-1&1\end{Bmatrix}}=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}\left[{\frac {(j_{1}-j_{2}+j_{3}-1)(j_{1}-j_{2}+j_{3})(j_{2}+j_{3}-j_{1}+1)(j_{2}+j_{3}-j_{1}+2)}{(2j_{1}-1)(2j_{1})(2j_{1}+1)(2j_{2}+1)(2j_{2}+2)(2j_{2}+3)}}\right]^{1/2}}$

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{2}&j_{1}&1\end{Bmatrix}}=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}+1}{\frac {j_{1}(j_{1}+1)+j_{2}(j_{2}+1)-j_{3}(j_{3}+1)}{[(2j_{1})(2j_{1}+1)(2j_{1}+2)(j_{2})(j_{2}+1)(2j_{2}+1)]^{1/2}}}}$

実際には、6j シンボルの表を使用する代わりに、以下の外部リンクに記載されている利用可能な計算機やコンピュータ コードを使用するか、特定の引数については、一連の表 (Varshalovic、Moskalev、& Khersonskii 1988、第 9 章) を参照します。

6- jの記号は、次の直交関係を満たします。

${\displaystyle \sum _{j_{3}}(2j_{3}+1){\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}'\end{Bmatrix}}={\frac {\delta _{j_{6}^{}j_{6}'}}{2j_{6}+1}}{\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}j_{4}&j_{2}&j_{6}\end{Bmatrix}}.}$

6- jシンボルの漸近挙動に関する注目すべき公式は、最初に Ponzano と Regge ^{[ 2 ]}によって予想され、後に Roberts ^{[ 3 ]}によって証明されました。漸近公式は、6 つの量子数j ₁、 ...、j ₆がすべて大きい場合に当てはまり、6- jシンボルに正四面体の幾何学を関連付けます。6- jシンボルが量子数j ₁、 ...、j ₆によって決定される場合、関連付けられた正四面体の辺の長さはJ _i = j _i +1/2 (i=1,...,6) であり、漸近公式は次のように与えられます。

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}\sim {\frac {1}{\sqrt {12\pi |V|}}}\cos {\left(\sum _{i=1}^{6}J_{i}\theta _{i}+{\frac {\pi }{4}}\right)}.}$

表記法は次のとおりです。各θ _{i は}、関連する四面体の辺J _iに関する外部二面角であり、振幅係数はこの四面体の体積Vで表されます。

表現論において、6- j記号はテンソル圏における結合子同型写像の行列係数である。^{[ 4 ]} 例えば、群（または量子群）の 3 つの表現V _i、V _j、V _kが与えられた場合、自然な同型写像が存在する。

${\displaystyle (V_{i}\otimes V_{j})\otimes V_{k}\to V_{i}\otimes (V_{j}\otimes V_{k})}$

テンソル積表現の、対応する双代数の共結合性によって誘導される。モノイド圏を定義する公理の 1 つは、結合子が五角形の恒等式を満たすことであり、これは 6- j記号のビーデンハーン-エリオット恒等式と同等である。

モノイド圏が半単純な場合、既約対象にのみ注目し、多重度空間を定義することができる。

${\displaystyle H_{i,j}^{\ell }=\operatorname {Hom} (V_{\ell },V_{i}\otimes V_{j})}$

したがって、テンソル積は次のように分解されます。

${\displaystyle V_{i}\otimes V_{j}=\bigoplus _{\ell }H_{i,j}^{\ell }\otimes V_{\ell }}$

ここで、和は既約対象のすべての同型類について取られる。すると：

${\displaystyle (V_{i}\otimes V_{j})\otimes V_{k}\cong \bigoplus _{\ell ,m}H_{i,j}^{\ell }\otimes H_{\ell ,k}^{m}\otimes V_{m}\qquad {\text{while}}\qquad V_{i}\otimes (V_{j}\otimes V_{k})\cong \bigoplus _{m,n}H_{i,n}^{m}\otimes H_{j,k}^{n}\otimes V_{m}}$

結合法則同型性はベクトル空間同型性を誘導する

${\displaystyle \Phi _{i,j}^{k,m}:\bigoplus _{\ell }H_{i,j}^{\ell }\otimes H_{\ell ,k}^{m}\to \bigoplus _{n}H_{i,n}^{m}\otimes H_{j,k}^{n}}$

そして、6j個のシンボルは、以下のコンポーネントマップとして定義されます。

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}i&j&\ell \\k&m&n\end{Bmatrix}}=(\Phi _{i,j}^{k,m})_{\ell ,n}}$

多重度空間が正準基底要素を持ち、次元が最大で 1 の場合 (従来の設定におけるSU (2) の場合のように)、これらの成分マップは数値として解釈でき、6- j記号は通常の行列係数になります。

抽象的に言えば、6- j記号は、結合子を用いてモノイド構造を再構成できるため、半単純モノイド圏からそのグロタンディーク環に移行する際に失われる情報そのものです。有限群の表現の場合、指標表（基礎となるアーベル圏とグロタンディーク環構造を決定する）だけでは同型を除いて群を決定できないのに対し、対称モノイド圏構造は田中・クライン双対性によって群を決定できることがよく知られています。特に、位数 8 の 2 つの非アーベル群は、同値なアーベル表現圏と同型のグロタンディーク環を持ちますが、それらの表現圏の 6- j記号は異なっており、つまり、それらの表現圏はモノイド圏として同値ではありません。したがって、6- j記号は中間レベルの情報を提供し、実際には、群が奇数位数または単純である場合など、多くの場合に群を一意に決定します。^{[ 5 ]}

• クレブシュ・ゴルダン係数
• 3-j シンボル
• ラカーW係数
• 9-j シンボル
• 古典的リー群の表現

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