カバーグループ

数学において、位相群Hの被覆群とは、 Gが位相群であり被覆写像p  : G → Hが連続群準同型であるようなHの被覆空間G のことである。写像p は被覆準同型と呼ばれる。頻繁に発生するケースは、二重被覆群、つまりH がGにおいて指数2を持つ位相二重被覆である。例としては、スピン群、ピン群、メタプレクティック群などがある。

大まかに説明すると、たとえばメタプレクティック群 Mp _{2 n が}シンプレクティック群Sp _{2 n}の二重被覆であると言うことは、メタプレクティック群には常にシンプレクティック群の 1 つの要素を表す 2 つの要素があることを意味します。

G をHの被覆群とする。被覆準同型の核 KはHの単位元上の繊維にすぎず、Gの離散 正規部分群である。核K がGで閉じているのは、 Gがハウスドルフである場合のみである（また、Hがハウスドルフである場合のみである）。逆に、G が任意の位相群であり、K がGの離散正規部分群である場合、商写像p  : G → G / Kは被覆準同型である。

Gが連結であれば、離散正規部分群であるK は必然的にGの中心にあり、したがって可換である。この場合、 H = G / Kの中心は次のように与えられる。

${\displaystyle \mathrm {Z} (H)\cong \mathrm {Z} (G)/K.}$

すべての被覆空間と同様に、Gの基本群はHの基本群に注入されます。位相群の基本群は常に可換であるため、すべての被覆群は正規被覆空間です。特に、G がパス連結である場合、商群π ₁ ( H ) / π ₁ ( G ) はKと同型です。群Kは、右乗法によってファイバー（単なる左剰余類）に単純に推移的に作用します。したがって、群GはH上の主Kバンドルです。

G がHの被覆群である場合、群GとHは局所同型です。さらに、任意の 2 つの連結された局所同型群H ₁とH _{2が与えられた場合、離散正規部分群}K ₁とK ₂を持つ位相群Gが存在し、H _{1 は}G / K ₁に同型で、H _{2 は}G / K ₂に同型です。

H を位相群、G をHの被覆空間とする。GとH が両方とも経路連結かつ局所経路連結である場合、 e ∈ H上のファイバー内の任意の元e * に対して、 e * を単位元とするG上の一意の位相群構造が存在し、その被覆写像p  : G → Hは準同型になる。

構築は以下のとおりです。aとb をGの要素とし、f​​ とg をそれぞれe *で始まりaとbで終わるG内のパスとします。パスh  : I → H をh ( t ) = p ( f ( t )) p ( g ( t ))で定義します。被覆空間のパス持ち上げ特性により、始点e * を持つGへのhの唯一の持ち上げが存在します。積ab は、このパスの終点として定義されます。構築により、p ( ab ) = p ( a ) p ( b )が得られます。この定義はパスfとgの選択とは独立していること、また群演算が連続していること を示さなければなりません。

あるいは、被覆写像G × G → H × Hの持ち上げ特性を利用して、群法則H × H → HをGに持ち上げることによって、 G上の群法則を構築することもできます。

連結されていないケースは興味深く、以下に引用する Taylor と Brown-Mucuk の論文で研究されています。本質的に、被覆写像が射であるような位相群でもある普遍被覆の存在には障害があります。この障害は、恒等関数におけるGの基本群の係数を持つGの成分群の 3 番目のコホモロジー群にあります。

Hがパス連結、局所パス連結、半局所単連結な群である場合、普遍被覆を持ちます。前述の構成により、普遍被覆は被覆写像が連続準同型である位相群にすることができます。この群はHの普遍被覆群と呼ばれます。以下に示すような、より直接的な構成もあります。

PH をHのパス群とする。つまり、PH は、コンパクト開位相とともに恒等式に基づくH内のパスの空間である。パスの積は、点ごとの乗算、すなわち ( fg ) ( t ) = f ( t ) g ( t )によって与えられる。これにより、PH は位相群の構造を持つ。各パスをその終点に送る自然な群準同型PH → Hが存在する。Hの普遍被覆は、ヌルホモトピックループの正規部分群によるPHの商として与えられる。射影PH → H は、被覆写像を与える商まで下がる。普遍被覆は単連結であり、核はHの基本群であることを示すことができる。つまり、短い完全列が得られる。

${\displaystyle 1\to \pi _{1}(H)\to {\tilde {H}}\to H\to 1}$

どこ〜HはHの普遍被覆です。具体的には、 Hの普遍被覆群は、パスの点ごとの乗算を含むH内のパスのホモトピー類の空間です。被覆マップは、各パス類をその終点に送ります。

上の説明からわかるように、群が離散中心を持つ普遍被覆群（パス連結、局所パス連結、半局所単連結）を持つ場合、普遍被覆群によって覆われるすべての位相群の集合は、普遍被覆群の中心の部分群の格子に対応する格子を形成する。部分群の包含は商群の被覆に対応する。最大元は普遍被覆群である。〜H最小元はその中心を法とする普遍被覆群であるが、〜H/ Z(〜H)。

これは代数的には、最大要素としての普遍完全中心拡大（類推により「被覆群」と呼ばれる）と、最小要素としてのその中心を法とする群 に対応します。

これはリー群にとって特に重要です。なぜなら、これらの群はすべて特定のリー代数の（連結された）実現だからです。多くのリー群にとって、中心はスカラー行列の群であり、したがってその中心を法とする群はリー群の射影化です。これらの被覆はリー群の射影表現の研究において重要であり、スピン表現はスピン群の発見につながります。リー群の射影表現は、群の線形表現から得られる必要はありませんが、何らかの被覆群、特に普遍被覆群の線形表現からは得られます。有限類似物は、上で説明したように、被覆群またはシューア被覆につながりました。

重要な例は、中心が {±1} で基本群が Z であるSL ₂ ( R )から生じます。これは、商を中心で取ることによって得られる、中心のない射影特殊線型群PSL ₂ ( R ) の二重被覆です。岩沢分解により、両方の群は複素上半平面上の円束であり、その普遍被覆は、サーストンの 8 つの幾何学の 1 つを形成する半平面上の実線束です。半平面は収縮可能であるため、すべてのバンドル構造は自明です。普遍被覆における SL ₂ ( Z )の逆像は、 3 つのストランド上の組紐群と同型です。 ${\displaystyle {\mathrm {S} {\widetilde {\mathrm {L} _{2}(}}\mathbf {R} )}}$

上記の定義と構成はすべて、リー群の特殊なケースに適用されます。特に、多様体のすべての被覆は多様体であり、被覆準同型は滑らかな写像になります。同様に、リー群の任意の離散正規部分群が与えられた場合、商群はリー群であり、商写像は被覆準同型です。

2つのリー群が局所同型であるための必要十分条件は、それらのリー代数が同型である場合である。これは、リー群の準同型写像φ  : G → Hが被覆準同型であるための必要十分条件は、リー代数上の誘導写像

${\displaystyle \phi _{*}:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {h}}}$

同型です。

あらゆるリー代数に対して、リー代数⁠ ⁠を持つ唯一の単連結リー群Gが存在するため、連結リー群Hの普遍被覆群は、Hと同じリー代数を持つ(唯一の) 単連結リー群Gであることがわかります。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

• 円群 Tの普遍被覆群は、R → T  : x ↦ exp(2 πix )の写像によって与えられる被覆準同型を持つ実数( R 、 + )の加法群です。この写像の核は Z と同型です。
• 任意の整数nに対して、 z をz ⁿに送る円自身の被覆群T → Tが存在します。この準同型の核は、n乗根からなる巡回群です。
• 回転群SO(3)は普遍被覆として群SU(2)を持ち、これは四元数のバーソル群と同型である。核の位数が 2 であるため、これは二重被覆である。(タングロイドを参照。)
• ユニタリ群U( n )は、被覆準同型がp ( z , A )= zAで与えられるコンパクト群T ×SU( n )で覆われる。普遍被覆は R ×SU( n )である。
• 特殊直交群SO( n ) にはスピン群Spin( n )と呼ばれる二重被覆がある。n ≥ 3の場合、スピン群は SO( n )の普遍被覆である。
• n ≥ 2の場合、特殊線型群 SL( n , R )の普遍被覆は行列群ではありません（つまり、忠実な有限次元表現を持ちません）。

• ポンチャギン、レフ・S. (1986)。位相群。ロシア語からアーレン・ブラウンとPSV・ナイドゥによる翻訳（第3版）。ゴードン＆ブリーチサイエンス。ISBN 2-88124-133-6。
•  テイラー、ロバート L. (1954)。「非連結位相群の被覆群」。アメリカ数学会紀要。5 :753–768。doi : 10.1090 /S0002-9939-1954-0087028-0。JSTOR 2031861。MR 0087028  。
• Brown, Ronald; Mucuk, Osman (1994). 「非連結位相群の被覆群の再考」.ケンブリッジ哲学協会数学会報. 115 (1): 97–110. arXiv : math/0009021 . Bibcode :2000math......9021B. CiteSeerX  10.1.1.236.9436 . doi :10.1017/S0305004100071942.