ゾーン球面関数

数学において、帯状球面関数（ぞうけいかん、英語: zonal spherical function）または単に球面関数（spherical function）は、局所コンパクト群 G上の関数で、コンパクト部分群K（最大コンパクト部分群であることが多い）であり、 Gの既約表現におけるK不変ベクトルの行列係数として生じる。重要な例は、球面主級数の行列係数、つまり、 Gのユニタリ表現のL ² ( G / K )への分解で現れる既約表現である。この場合、Gの可換子は、右畳み込みによって作用するKに関するG上の双不変関数の代数によって生成される。さらにG / Kが対称空間である場合、たとえば、Gが有限中心を持つ連結な半単純リー群であり、K が最大コンパクト部分群である場合、可換である。球面主級数の行列係数は、コンパクト台の双不変関数によって生成される対応するC* 代数（ヘッケ代数と呼ばれることが多い）の スペクトルを正確に記述する。双不変L ¹関数の可換バナッハ *-代数のスペクトルはより大きくなります。Gが最大コンパクト部分群Kを持つ半単純リー群である場合、追加の指標は球面主級数の解析接続によって得られる補級数の行列係数から得られます。

ゾーン球面関数は、実半単純群についてはHarish-Chandraによって明示的に決定されている。特殊線型群については、 Israel GelfandとMark Naimarkが独立に発見した。複素群については、 G がKの複素化であり、公式がK上のワイル指標公式の解析接続に関係するため、理論は大幅に簡略化される。ゾーン球面関数の抽象関数解析理論は、 Roger Godementによって初めて開発された。群論的解釈とは別に、半単純リー群 G のゾーン球面関数は、対称空間G / K 上の微分作用素として、 Gの普遍包絡代数の中心のL ² ( G / K )への自然な作用に対する同時固有関数の集合も提供する。半単純p 進リー群については、ゾーン球面関数とヘッケ代数の理論は、 Satake とIan G. Macdonaldによって初めて開発された。この設定におけるプランシュレルの定理とフーリエ反転公式の類似物は、特異常微分方程式に対するメーラー、ワイル、フォックの固有関数展開を一般化します。これらは、1960年代にハリシュ・チャンドラのc関数によって完全に一般化されました。

「ゾーン球面関数」という名前は、 G が2 次元球面に作用するSO(3, R ) であり、 K が点を固定する部分群である場合に由来します。この場合、ゾーン球面関数は、固定軸の周りの回転に対して不変な球面上の特定の関数と見なすことができます。

Gを局所コンパクト ユニ モジュラ位相群、Kをコンパクト 部分群とし、H ₁ = L ² ( G / K )とする。したがって、H _{1 は左平行移動による}Gのユニタリ表現πを許容する。これは正規表現の部分表現である。なぜなら、 H = L ² ( G )でGの左正規表現λと右正規表現ρがあり、Pが直交射影である場合、

${\displaystyle P=\int _{K}\rho (k)\,dk}$

HからH ₁へは、λ の制限によって与えられた Gの作用により、H _{1 は自然に}PHと同一視できます。

一方、フォン・ノイマンの交換定理^{[1]によれば、}

${\displaystyle \lambda (G)^{\prime }=\rho (G)^{\prime \prime },}$

ここでS'は演算子Sの集合の可換項を表すので、

${\displaystyle \pi (G)^{\prime }=P\rho (G)^{\prime \prime }P.}$

したがってπの可換項は、演算子によって フォン・ノイマン代数として生成される。

${\displaystyle P\rho (f)P=\int _{G}f(g)(P\rho (g)P)\,dg}$

ここでfはG上のコンパクト台の連続関数である。^[a]

しかし、P ρ( f ) Pは単にρ( F )のH ₁への制限であり、

${\displaystyle F(g)=\int _{K}\int _{K}f(kgk^{\prime })\,dk\,dk^{\prime }}$

は、両辺で f をKで平均することによって得られるコンパクトな台のK双不変連続関数です。

したがって、πの可換性は、 G上のコンパクト台のK双不変連続関数であるC _c ( K \ G / K )内の Fに対する演算子ρ( F )の制限によって生成されます。

これらの関数は畳み込みと畳み込み の下で*代数を形成する

${\displaystyle F^{*}(g)={\overline {F(g^{-1})}},}$

ペア ( G , K ) のヘッケ代数と呼ばれることが多い。

A ( K \ G / K )はH1_上の演算子ρ( F )によって生成されるC*代数を表すものとする。

対( G , K )は、次の代数のうちの1つ、つまりすべてが可換であるとき、ゲルファント対^[2]であると言われる。

• ${\displaystyle \pi(G)^{\プライム }}$
• ${\displaystyle C_{c}(K\backslash G/K)}$
• ${\displaystyle A(K\backslash G/K).}$

A ( K \ G / K ) は可換C* 代数なので、ゲルファント・ナイマークの定理により、 C ₀ ( X )という形式を持ちます。ここで、X はA ( K \ G / K ) からCへのノルム連続 * 準同型写像の局所コンパクト空間です。

Xの*準同型をG上のK双不変一様有界関数として具体的に実現すると、次のようになる。^{[2] [3] [4] [5] [6]}

見積もりの​​ため

${\displaystyle \|\pi (F)\|\leq \int _{G}|F(g)|\,dg\equiv \|F\|_{1},}$

C _c ( K \ G / K ) のA ( K \ G / K )における表現 π は、連続性により、K 二不変可積分関数の* 代数である L ¹ ( K \ G / K )に拡張されます。この像はA ( K \ G / K ) の稠密な * 部分代数を形成します。演算子ノルムに対して連続な * 準同型 χ の制限は、ノルム ||·|| ₁に対しても連続です。L ¹のバナッハ空間双対はL ^∞なので、

${\displaystyle \chi (\pi (F))=\int _{G}F(g)h(g)\,dg,}$

G上の一意に一様で有界なK双不変関数hに対して成り立ちます。これらの関数h は、ペア ( G、K ) のゾーン球面関数とまったく同じです。

ゾーン球面関数hは以下の性質を持つ: ^[2]

1. hはG上で一様連続である
2. ${\displaystyle h(x)h(y)=\int _{K}h(xky)\,dk\,\,(x,y\in G).}$
3. h (1) =1 (正規化)
4. hはG上の正定値関数である
5. f * hはC _c ( K \ G / K )内のすべてのfに対してhに比例します。

これらは、 hによって定義される有界線形関数 χ が準同型であるという事実から容易に導かれる結果です。特性 2、3、4 または特性 3、4、5 は、ゾーン球面関数を特徴付けます。より一般的なゾーン球面関数のクラスは、条件から正定値性を削除することで取得できますが、これらの関数については、ユニタリ表現との関連はなくなります。半単純リー群については、 G / K上の不変微分演算子の固有関数としてさらに特徴付けられます (以下を参照)。

実際、ゲルファント・ナイマーク・シーガル構成の特別な場合として、 Kによって固定された単位ベクトルvを持つGの既約表現σと、次式で与えられる 帯状球面関数 hとの間には一対一対応がある。

${\displaystyle h(g)=(\sigma (g)v,v).}$

このような既約表現は、クラス 1 を持つと説明されることが多い。これらは、H ₁上の誘導表現π を分解するために必要な既約表現とまったく同じである。各表現 σ は、連続性によってA ( K \ G / K )に一意に拡張されるため、各ゾーン球面関数は次式を満たす。

${\displaystyle \left|\int _{G}f(g)h(g)\,dg\right|\leq \|\pi (f)\|}$

が成り立つ。さらに、可換写像π(G)'は可換なので、*準同型写像空間X上には、次のよう な唯一の確率測度μが存在する。

${\displaystyle \int _{G}|f(g)|^{2}\,dg=\int _{X}|\chi (\pi (f))|^{2}\,d\mu (\chi ).}$

μ はプランシュレル測度と呼ばれる。π( G )' はGによって生成されるフォン・ノイマン代数の中心であるため、既約表現 σ _χによるH _1の直接積分分解に関連する測度も与える。

Gが連結 リー群である場合、カルタン、マルチェフ、岩沢、シュヴァレーの研究により、G は共役を除いて一意な最大コンパクト部分群を持つ。 ^{[7] [8]}この場合、 Kは連結であり、商G / K はユークリッド空間に微分同相である。Gがさらに半単純である場合、これは対称空間G / Kに関連付けられたカルタン分解、つまり可逆行列の極分解の一般化を使用して直接見ることができる。実際、 τ がGの固定点部分群Kに関連付けられた周期 2 の自己同型である場合、

${\displaystyle G=P\cdot K,}$

どこ

${\displaystyle P=\{g\in G|\tau (g)=g^{-1}\}.}$

指数写像の下で、P はGのリー代数における τ の -1 固有空間に微分同相である。 τ はK を保存するので、ヘッケ代数C _c ( K \ G / K ) の自己同型を誘導する。 一方、F がC _c ( K \ G / K )にある場合、

F (τ g ) = F ( g ⁻¹ )、

τ は反自己同型性を誘導する。なぜなら反転がそうするからである。したがって、Gが半単純なとき、

• ヘッケ代数は可換である
• ( G , K ) はゲルファンド対です。

より一般的には、同じ議論から、( G , K )がゲルファンド対となるためのゲルファンドの次の基準が導かれる: ^[9]

• Gはユニモジュラ局所コンパクト群である。
• KはGの周期2の自己同型 τ の不動点として生じるコンパクト部分群である。
• G = K · P (必ずしも直積ではない)、ここでPは上記のように定義されます。

これに該当する最も重要な 2 つの例は次のとおりです。

• Gはτが周期2の自己同型であるコンパクト連結半単純リー群である。^{[10] [11]}
• G は半直積であり、Aは2次元捩れのない局所コンパクトなアーベル群であり、 τ( a · k )= k · a ^{−1 （} aがAに属し、k がKに属する場合）である。${\displaystyle A\rtimes K}$

３つのケースは３種類の対称空間 G / Kをカバーしている：^[5]

1. 非コンパクト型、K が非コンパクト実半単純リー群Gの最大コンパクト部分群である場合。
2. コンパクト型、K がコンパクト半単純リー群Gの周期 2 自己同型の不動点部分群である場合。
3. ユークリッド型、A はKの直交作用を持つ有限次元ユークリッド空間である。

G をコンパクトな半単純連結かつ単連結なリー群とし、 τ を不動点部分群K = G ^τを持つGの周期 2 自己同型とする。この場合、Kは連結コンパクトリー群である。^[5]さらに、T をτ に関して不変なGの最大トーラスとし、 T P はP内の最大トーラスであるとし、^[12] ${\displaystyle \cap}$

${\displaystyle S=K\cap T=T^{\tau }.}$

S はトーラスと基本アーベル 2 群の直積です。

1929 年にエリー・カルタンは、 L ² ( G / K ) をGの有限次元既約表現の直和に分解する規則を発見しましたが、これは 1970 年にシグルドゥル・ヘルガソンによって厳密に証明されました。 L ² ( G / K ) 上のGの可換項は可換であるため、各既約表現は重複度 1 で出現します。コンパクト群のフロベニウスの相互性により、発生する既約表現Vは、 K によって固定された非ゼロベクトルを許容するものとまったく同じです。

コンパクト半単純群の表現論から、Gの既約表現は最大の重みによって分類される。これは、最大トーラスTのTへの準同型によって指定される。

カルタン・ヘルガソン定理^{[13] [14]}は、

対応する既約表現は球面表現と呼ばれます。

この定理は岩沢分解^[5]を用いて証明できる。

${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {a}}\oplus {\mathfrak {n}},}$

ここで、、はG、K、A = T Pのリー代数の複素化であり、 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle \cap}$

${\displaystyle {\mathfrak {n}}=\bigoplus {\mathfrak {g}}_{\alpha },}$

τによって固定されない正の根αに対応するTのすべての固有空間にわたって合計されます。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

V を最高重みベクトルv ₀とK固定ベクトルv _Kを持つ球面表現とする。v _{0 は}可解リー代数の固有ベクトルなので、ポアンカレ・バーコフ・ウィットの定理は、 v ₀によって生成されるK加群がV全体である ことを意味する。Q が、ハール測度に関してG上で平均化することによって得られるV内のKの固定点への直交射影である場合、次の式が成り立つ。 ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\oplus {\mathfrak {n}}}$

${\displaystyle \displaystyle {v_{K}=cQv_{0}}}$

ゼロでない定数cに対して。v _KはSによって固定され、v _{0 は}Sの固有ベクトルであるため、サブグループS は実際にv _{0 を}固定する必要があり、これはS上の自明性条件と同等の形式です。

逆にv _0がSによって固定されている場合、行列係数は ^[15]で示される。

${\displaystyle \displaystyle {f(g)=(gv_{0},v_{0})}}$

はK上で非負である。f (1) > 0なので、( Qv ₀ , v ₀ ) > 0となり、 Qv _0はKによって固定された非ゼロベクトルとなる。

Gが非コンパクト半単純リー群である場合、その最大コンパクト部分群K はカルタン分解の成分 P に共役として作用する。A が P に含まれる Gの最大アーベル部分群である場合、 Aは指数写像の下でそのリー代数に微分同相であり、行列の極分解のさらなる一般化として、 Pのすべての要素はKの下でAの要素と共役であるため、^[16]

G = KAK。

関連する岩澤分解もある。

G =カン、

ここでN は閉じた冪零部分群であり、指数写像の下でそのリー代数に微分同相であり、Aによって正規化される。したがって、 S = AN はGの閉じた可解部分群であり、NとAの半直積であり、G = KS である。

Hom( A , T )におけるαがAの指標ならば、αはN上で自明であると定義することでSの指標に拡張される。対応するGのユニタリ誘導表現σが^L2 ( G / S )=L2 ⁽ K )上に存在し、[ 17 ^]いわゆる（球面）主級数表現と呼ばれる。

この表現は、次のように明示的に記述できる。GやKとは異なり、可解リー群Sはユニモジュラではない。dxをS上の左不変ハール測度、ΔS_をSのモジュラ関数とする。すると^[5]

${\displaystyle \int _{G}f(g)\,dg=\int _{S}\int _{K}f(x\cdot k)\,dx\,dk=\int _{S}\int _{K}f(k\cdot x)\Delta _{S}(x)\,dx\,dk.}$

主級数表現σはL ² ( K )上で次のように実現される^[18]

${\displaystyle (\sigma (g)\xi )(k)=\alpha ^{\prime }(g^{-1}k)^{-1}\,\xi (U(g^{-1}k)),}$

どこ

${\displaystyle g=U(g)\cdot X(g)}$

は、 KにU ( g ) 、SにX ( g )を持つgの岩沢分解であり、

${\displaystyle \alpha ^{\prime }(kx)=\Delta _{S}(x)^{1/2}\alpha (x)}$

k はKに含まれ、x はSに含まれる。

表現 σ は既約なので、v がK上の定数関数 1 を表し、Kによって固定されている場合、

${\displaystyle \varphi _{\alpha }(g)=(\sigma (g)v,v)}$

Gのゾーン球面関数を定義します。

上記の内積を計算すると、帯状球面関数の ハリシュ・チャンドラの公式が得られる。

K上の積分として。

ハリシュ＝チャンドラは、これらの帯状球面関数が、 L ² ( G / K )上の右畳み込みによって作用するC _c ( K \ G / K )によって生成されるC* 代数の指標をすべて使い果たすことを証明した。また、2 つの異なる指標 α と β が同じ帯状球面関数を与えるのは、α = β· s （ただし、s はAのワイル群に含まれる）の場合のみであることを示した。

${\displaystyle W(A)=N_{K}(A)/C_{K}(A),}$

KにおけるAの正規化群をその中心化群、つまり有限反射群で割った商。

この式がゾーン球面関数を定義することは、表現論を使わずに直接検証することもできる^{[2] 。一般の半単純リー群について、すべてのゾーン球面式がこのようにして生じることを証明するには、} G / K上のG不変微分作用素とそれらの同時固有関数の詳細な研究が必要である(以下を参照)。^{[4] [5]}複素半単純群の場合、Harish-Chandra とFelix Berezin は独立して、式が大幅に簡略化され、より直接的に証明できることに気付いた。^{[5] [19] [20] [21] [22]}

残りの正定値ゾーン球面関数は、α を Hom( A , T ) ではなく Hom( A , C *) に代入した Harish-Chandra の公式によって与えられます。特定の α のみが許可され、対応する既約表現は球面主級数の解析接続として生じます。このいわゆる「相補級数」は、 G = SL(2, R )については Bargmann (1947) によって、 G = SL(2, C )については Harish-Chandra (1947) と Gelfand & Naimark (1947) によって最初に研究されました。その後 1960 年代に、球面主級数の解析接続による相補級数の構成が、一般の半単純リー群に対して Ray Kunze、 Elias Stein、Bertram Kostantによって体系的に開発されました。^{[23] [24] [25]これらの既約表現は}調律されていないため、通常G（またはG / K ）上の調和解析には必要とされない。

ハリシュ＝チャンドラは^、ゾーン球面関数は、 G 上の不変微分作用素の代数である D ( G / K ) の固有関数である、 G / K 上の正規化された正定値 K 不変関数として特徴付けられることを証明した[ 4 ] [ ⁵ ]。この代数はG / Kに作用し、左平行移動によってGの自然作用と可換である。これは、 Kの随伴作用で固定されたGの普遍包絡代数の部分代数と同一視できる。 L ² ( G / K ) 上のGの可換子と対応するヘッケ代数に関しては、この作用素の代数は可換である。実際、これは可換子 π( G )'、つまりアーベル・フォン・ノイマン代数に関連する測定可能作用素の代数の部分代数である。ハリシュ＝チャンドラが証明したように、これはAのリー代数上のW ( A ) 不変多項式の代数に同型であり、 A 自体は有限反射群の多項式不変量に関するシュヴァレー＝シェパード＝トッドの定理により多項式環となる。 G / K上の最も単純な不変微分演算子はラプラシアン演算子である。この演算子は、符号を除けば、 Gの普遍包絡代数の中心にあるカシミール演算子の π による像にすぎない。

したがって、 G上の正規化された正定値K双不変関数fは、D ( G / K )内の各Dに対して定数_λDが存在し、

${\displaystyle \displaystyle \pi (D)f=\lambda _{D}f,}$

つまり、fは演算子π( D )の同時固有関数である。

ψ がゾーン球面関数である場合、 G / K上の関数として見なすと、そこのラプラシアンの固有関数、つまり実解析係数を持つ楕円微分演算子になります。解析楕円正則性により、 ψ はG / K上の実解析関数であり、したがってGです。

ハリシュ＝チャンドラは不変作用素の構造に関するこれらの事実を利用して、彼の公式が実半単純リー群のすべてのゾーン球面関数を与えることを証明した。^{[26] [27] [28]}実際、可換項の可換性は不変微分作用素の代数の同時固有空間がすべて次元 1 を持つことを意味し、この代数の多項式構造は同時固有値がハリシュ＝チャンドラの公式にすでに関連付けられているものと正確に一致することを強制する。

群G = SL(2, C )は、コンパクト リー群K = SU(2)の複素化であり、ローレンツ群の二重被覆である。ローレンツ群の無限次元表現は、1945 年にディラックによって初めて研究され、彼は離散級数表現を検討し、これをエクスパンサーと名付けた。その後すぐに、ハリシュ＝チャンドラ、ゲルファンド＝ナイマーク、バルグマンによって体系的な研究が行われた。ゾーン球面関数に対応するクラス 1 の既約表現は、ラプラシアン演算子のラジアル成分を使用して簡単に決定できる。^[5]

実際、任意のユニモジュラ複素2×2行列gは、 vがユニタリでpが正であるとき、一意の極分解 g = pvを許容します。また、 p = uau *で、uがユニタリで、aが正の要素を持つ対角行列です。したがって、g = uawでw = u * vであるため、G上の任意のK双不変関数は対角行列の関数に対応します。

${\displaystyle a={\begin{pmatrix}e^{r/2}&0\\0&e^{-r/2}\end{pmatrix}},}$

ワイル群の下で不変である。G / Kを3次元双曲空間と同一視すると、ゾーン双曲関数 ψ はラプラシアンの固有関数であるラジアル関数に対応する。しかし、ラジアル座標rに関して、ラプラシアンは^[29]で与えられる。

${\displaystyle L=-\partial _{r}^{2}-2\coth r\partial _{r}.}$

f ( r ) = sinh ( r )·ψ( r )と設定すると、 fはrの奇関数であり、の固有関数であることがわかります。 ${\displaystyle \partial_{r}^{2}}$

したがって

どこが本当なのか。 ${\displaystyle \ell}$

一般化ローレンツ群SO( N ,1)に対する同様の基本的な扱いは、Takahashi(1963)とFaraut & Korányi(1994)に記載されている(SO0(3,1)=SL(2,C)/±Iであることを思い出し^てください)。

Gが複素半単純リー群である場合、それはその最大コンパクト部分群Kの複素化である。および がそれらのリー代数である場合、 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus i{\mathfrak {k}}.}$

Tをリー代数を持つKの最大トーラスとする。すると ${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$

${\displaystyle A=\exp i{\mathfrak {t}},\,\,P=\exp i{\mathfrak {k}}.}$

させて

${\displaystyle W=N_{K}(T)/T}$

をKにおけるTのワイル群とする。Hom( T , T )の指標は重みと呼ばれ、 Hom( , R ) =の重み格子Λの元と同一視できることを思い出してほしい。重みには自然な順序があり、Kのすべての有限次元既約表現 ( π , V ) は一意の最高重み λ を持つ。Kの随伴表現の重みは根と呼ばれ、ρ は正の根αの和の半分を表すのに使われる。ワイルの指標公式は、 Tにおけるz = exp Xに対して${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$${\displaystyle {\mathfrak {t}}^{*}}$${\displaystyle {\mathfrak {k}}\ominus {\mathfrak {t}}}$

${\displaystyle \displaystyle \chi _{\lambda }(e^{X})\equiv {\rm {Tr}}\,\pi (z)=A_{\lambda +\rho }(e^{X})/A_{\rho }(e^{X}),}$

ここで、μ が の場合、A _{μ は}反対称化を表す。 ${\displaystyle {\mathfrak {t}}^{*}}$

${\displaystyle \displaystyle A_{\mu }(e^{X})=\sum _{s\in W}\varepsilon (s)e^{i\mu (sX)},}$

ε は有限反射群Wの符号特性を表す。

ワイルの分母公式は分母A _ρを積として表します。

${\displaystyle \displaystyle A_{\rho }(e^{X})=e^{i\rho (X)}\prod _{\alpha >0}(1-e^{-i\alpha (X)}),}$

ここで、積は正の根の上にあります。

ワイルの次元公式は、

${\displaystyle \displaystyle \chi _{\lambda }(1)\equiv {\rm {dim}}\,V={\prod _{\alpha >0}(\lambda +\rho ,\alpha ) \over \prod _{\alpha >0}(\rho ,\alpha )}.}$

ここで、上の内積は上のキリング形式に関連付けられた内積です。 ${\displaystyle {\mathfrak {t}}^{*}}$${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$

今

• Kのあらゆる既約表現は複素化Gに正則拡張される
• Kのすべての既約指標 χ _λ ( k ) は、 Kとの複素化に正則拡張されます。${\displaystyle {\mathfrak {t}}^{*}}$
• Hom( A , T )=内の任意のλに対して、帯状球面関数φλが存在_する。${\displaystyle i{\mathfrak {t}}^{*}}$

ベレジン・ハリシュ・チャンドラ公式^[5]は、 Xが${\displaystyle i{\mathfrak {t}}}$

言い換えると：

• 複素半単純リー群上のゾーン球面関数は、正規化された指標の公式の解析接続によって与えられる。

この公式の最も簡単な証明の一つ^[30]は、 G上のラプラシアンのA上の放射状成分を用いるもので、これはK上のラプラシアンのT上の放射状成分を用いた、ワイル特徴公式のフロイデンタールの古典的な証明をヘルガソンが書き直したものと形式的には平行している。^[31]

後者の場合、K上の類関数はT上のW不変関数と同一視できる。T上のΔ _{Kのラジアル成分は、 Δ K}をT上のW不変関数に制限する式であり、次の式で与えられる。

${\displaystyle \displaystyle \Delta _{K}=h^{-1}\circ \Delta _{T}\circ h+\|\rho \|^{2},}$

どこ

${\displaystyle \displaystyle h(e^{X})=A_{\rho }(e^{X})}$

χがλの最も高い重みを持つ文字である場合、φ = h · χが次式を満たす 。${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$

${\displaystyle \Delta _{T}\varphi =(\|\lambda +\rho \|^{2}-\|\rho \|^{2})\varphi .}$

したがって、 φの フーリエ係数がゼロでない重みμごとに、

${\displaystyle \displaystyle \|\lambda +\rho \|^{2}=\|\mu +\rho \|^{2}.}$

フロイデンタールの古典的な議論によれば、 W内のいくつかのsに対して μ + ρ は必ずs (λ + ρ) という形式をとるので、 φ の反対称性から特性式が導かれます。

同様に、G上のK双不変関数はA上のW ( A ) 不変関数と同一視できる。 A上のΔ _Gのラジアル成分は、 A上のW ( A ) 不変関数へのΔ _Gの制限を表す式である。これは次の式で与えられる。

${\displaystyle \displaystyle \Delta _{G}=H^{-1}\circ \Delta _{A}\circ H-\|\rho \|^{2},}$

どこ

${\displaystyle \displaystyle H(e^{X})=A_{\rho }(e^{X})}$

Xの場合。 ${\displaystyle i{\mathfrak {t}}}$

帯状球面関数φに対するベレジン・ハリシュ・チャンドラ公式は、反対称関数を導入することによって確立できる。

${\displaystyle \displaystyle f=H\cdot \varphi ,}$

これはラプラシアン Δ _Aの固有関数です。Kは、単純な根に対応する SU(2) の準同型像である部分群のコピーによって生成されるため、その複素化Gは、SL(2, C )の対応する準同型像によって生成されます。SL(2, C )のゾーン球面関数の公式は、f が何らかのサブ格子に関する 上の周期関数であることを意味します。ワイル群による反対称性とフロイデンタールの議論は、ψ が乗法定数まで指定された形式を持つ必要があることを再び意味します。乗法定数は、ワイル次元公式を使用して決定できます。 ${\displaystyle i{\mathfrak {t}}}$

SL(2, R )のゾーン球面関数の理論は、1881 年のメーラーによる双曲幾何学の研究に端を発しています。メーラーはプランシュレルの定理の類似物を発見し、プランシュレルの定理は 1943 年にフォックによって再発見されました。対応する固有関数の展開はメーラー - フォック変換と呼ばれます。これは、1910 年にヘルマン ワイルによる常微分方程式のスペクトル理論に関する重要な研究によってすでに確固たる基盤に置かれていました。この場合のラプラシアンの放射状部分は超幾何微分方程式につながり、その理論はワイルによって詳細に扱われました。ワイルのアプローチはその後、より一般的な半単純リー群のゾーン球面関数と対応するプランシュレルの定理を研究するためにハリシュ - チャンドラによって一般化されました。ディラックの SL(2, R )の離散級数表現に関する研究に続いて、SL(2, R )のユニタリ既約表現の一般理論が、バーグマン、ハリシュ・チャンドラ、ゲルファンド・ナイマークによって独立に開発されました。クラス 1 の既約表現、または同等のゾーン球面関数の理論は、この理論の重要な特殊なケースを形成します。

群G = SL(2, R )は、ポアンカレ計量を持つ双曲面の対称群である3 次元ローレンツ群SO(2,1)の二重被覆である。これはメビウス変換によって作用する。上半平面は、ケーリー変換によって単位円板と同一視できる。この同一視の下で、G は、やはりメビウス変換によって作用する群SU(1,1)と同一視される。作用は推移的であるため、両方の空間はG / Kと同一視できる。ここで、K = SO(2)である。計量はGの下で不変であり、関連するラプラシアンはG不変であり、カシミール演算子の像と一致する。上半平面モデルでは、ラプラシアンは式^{[5] [6]で与えられる。}

${\displaystyle \displaystyle \Delta =-4y^{2}(\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2}).}$

sが複素数でz = x + iy （ y > 0）の場合、関数

${\displaystyle \displaystyle f_{s}(z)=y^{s}=\exp({s}\cdot \log y),}$

Δの固有関数である:

${\displaystyle \displaystyle \Delta f_{s}=4s(1-s)f_{s}.}$

Δ はGと可換なので、 f _sの任意の左平行移動は同じ固有値を持つ固有関数でもある。特に、Kについて平均すると、関数

はG / K上の Δ のK不変固有関数である。

${\displaystyle \displaystyle s={1 \over 2}+i\tau ,}$

τ が実数であるとき、これらの関数はG上のすべての帯状球面関数を与える。半単純リー群に対する Harish-Chandra のより一般的な公式と同様に、 φ _{s は}主級数においてKによって固定されたベクトルに対応する行列係数であるため、帯状球面関数である。他のものが存在しないことを証明するさまざまな議論がある。最も単純な古典的なリー代数的議論の 1 つ^{[5] [6] [32] [33] [34]は、 Δ が解析係数を持つ楕円演算子であるため、解析的楕円正則性により、任意の固有関数は必然的に実解析的であるということである。したがって、帯状球面関数がベクトル}vと表現 σの行列係数に対応する場合、ベクトルv はGの解析ベクトルであり、

${\displaystyle \displaystyle (\sigma (e^{X})v,v)=\sum _{n=0}^{\infty }(\sigma (X)^{n}v,v)/n!}$

X がの であるとき。ベクトルKで固定された既約ユニタリ表現の無限小形式は、Bargmann によって古典的に解明されました。^{[32] [33]それらは SL(2,} R )の主級数に正確に対応します。したがって、ゾーン球面関数は主級数表現に対応することがわかります。 ${\displaystyle i{\mathfrak {t}}}$

もう一つの古典的な議論^[35]は、ラジアル関数上のラプラシアンが次の形を持つことを示している。

${\displaystyle \displaystyle \Delta =-\partial _{r}^{2}-\coth(r)\cdot \partial _{r},}$

したがって、rの関数として、帯状球面関数 φ( r ) は常微分方程式を満たさなければならない。

${\displaystyle \displaystyle \varphi ^{\prime \prime }+\coth r\,\varphi ^{\prime }=\alpha \,\varphi }$

定数αに対してである。変数変換t = sinh rにより 、この方程式は超幾何微分方程式に変換される。複素指数のルジャンドル関数による一般解は^{[2] [36]}で与えられる。

ここでα = ρ(ρ+1)である。G上のゾーン球面関数の有界性と正定値性によりρに対するさらなる制限が課せられる。

モーゲンス・フレンステッド＝イェンセンによるもう一つのアプローチは、プランシュレル公式を含むSL(2, R )上のゾーン球面関数の特性を、 Rのプランシュレル公式とフーリエ反転公式の単純な帰結であるSL(2, C )の対応する結果から導くというものである。この「降下法」はより一般的に機能し、実半単純リー群の結果を、その複素化の対応する結果から降下させることによって導くことができる。^{[37] [38]}

• 必ずしも正定値ではないゾーン関数の理論。これらは上記と同じ式で与えられますが、複素パラメータsまたはρに制限はありません。これらは非ユニタリ表現に対応します。^[5]
• ハリシュ・チャンドラの球面関数に対する固有関数展開と反転公式。^[39]これは実半単純リー群に対するプランシュレル定理の重要な特殊ケースである
• ヘッケ代数の構造。ハリシュ＝チャンドラとゴデメントは、畳み込み代数として、C _c ^∞ ( K \ G / K )とC _c ^∞ ( A ) ^W（ワイル群の下での部分代数不変量）の間に自然な同型性があることを証明した。^{[3]これはSL(2,} R )に対して簡単に証明できる。^[6]
• ユークリッド運動群とコンパクトリー群の球面関数。^[5]
• p進リー群の球面関数。これらは佐竹とマクドナルドによって詳細に研究されました。^{[40] [41]彼らの研究と関連するヘッケ代数の研究は、}ラングランズ・プログラムの重要な要素である半単純p進リー群の広範な表現論の第一歩でした。

• 球面関数のプランシュレル定理
• 局所コンパクト群のヘッケ代数
• リー群の表現
• 非可換調和解析
• 緩和された表現
• 群上の正定値関数
• 対称空間
• ゲルファンドペア

• Casselman, William、球面関数に関するノート(PDF)