数理ファイナンス

数理ファイナンスは、定量ファイナンスや金融数学とも呼ばれ、金融分野における数学的モデリングを扱う応用数学の一分野です。

一般的に、金融には高度な定量的手法を必要とする2つの別々の分野があります。1つはデリバティブの価格設定、もう1つはリスクおよびポートフォリオ管理です。 ^{[1]数理ファイナンスは、}計算ファイナンスや金融工学 の分野とかなり重複しています。後者は、多くの場合確率的資産モデルの助けを借りて、アプリケーションとモデリングに重点を置いていますが、前者は分析に加えて、モデルの実装ツールの構築に重点を置いています。また、ポートフォリオを管理する際に従来のファンダメンタル分析ではなく、統計モデルと数値モデル（最近では機械学習）に依存する定量的投資も関連しています。

1900年に発表されたフランスの数学者ルイ・バシュリエの博士論文は、数理ファイナンスに関する最初の学術論文とみなされています。しかし、数理ファイナンスが学問分野として登場したのは、フィッシャー・ブラック、マイロン・ショールズ、ロバート・マートンのオプション価格理論の研究に続いて、1970年代のことでした。数理投資は、統計的手法を使用してブラックジャックのカードカウントを最初に発明し、その原理を現代のシステマティック投資に適用した数学者エドワード・ソープの研究に端を発しています。 ^[2]

この主題は金融経済学の分野と密接な関係があり、金融​​数学に関係する基礎理論の多くに関係している。訓練を受けた経済学者は観察された経験的関係に基づいて構築された複雑な経済モデルを使用するが、対照的に、数理ファイナンス分析は、観察された市場価格を入力として、必ずしも金融理論へのリンクを確立することなく、数学的または数値的モデルを導出し、拡張する。オプションの評価、金融モデリング、資産価格設定を参照。裁定取引のない価格設定の基本定理は数理ファイナンスの重要な定理の1つであり、ブラック・ショールズ方程式と公式は重要な結果の1つである。^[3]

現在、多くの大学が数理ファイナンスの学位および研究プログラムを提供しています。

金融には、デリバティブの価格設定とリスクおよびポートフォリオ管理という、高度な定量的手法を必要とする 2 つの分野があります。主な違いの 1 つは、リスク中立確率 (または裁定価格設定確率) ("Q" で表示) や実際の確率 (または保険数理上の確率) ("P" で表示) など、異なる確率を使用することです。

デリバティブの価格設定の目的は、需要と供給の法則によって価格が決まる、より流動性の高い証券の観点から、特定の証券の公正な価格を決定することです。もちろん、「公正」の意味は、証券の購入を検討するか、売却を検討するかによって異なります。価格設定の対象となる証券の例としては、プレーンバニラオプション、エキゾチック オプション、転換社債など があります。

公正な価格が決定されれば、売り手側のトレーダーは証券のマーケット メイクを行うことができる。したがって、デリバティブの価格設定は、証券の現在の市場価値を定義するための複雑な「外挿」作業であり、その後、売り手側のコミュニティによって使用される。定量的なデリバティブの価格設定は、ルイ バシュリエによる「投機の理論」(1900 年出版の「Théorie de la spéculation」)で、最も基本的かつ最も影響力のあるプロセスであるブラウン運動と、そのオプションの価格設定への応用が導入されて始まった。^{[4] [5]}ブラウン運動は、ランジュバン方程式と離散ランダム ウォークを使用して導出される。^[6]バシュリエは、株価の対数の時系列の変化を、短期的な変化が有限の分散を持つランダム ウォークとしてモデル化した。これにより、長期的な変化はガウス分布に従う。^[7]

この理論は、フィッシャー・ブラックとマイロン・ショールズが、ロバート・C・マートンの基本的な貢献とともに、2番目に影響力のあるプロセスである幾何ブラウン運動をオプション価格設定に適用するまで、眠ったままでした。これにより、M・ショールズとR・マートンは1997年のノーベル経済学賞を受賞しました。ブラックは1995年に亡くなったため、受賞資格がありませんでした。^[8]

次の重要なステップは、ハリソンとプリスカ（1981）による資産価格設定の基本定理であった。それによれば、適切に正規化された証券の現在の価格P _{0 は}裁定取引がなく、したがって将来の進化を記述する一定の期待値を持つ確率過程 P _{t が}存在する場合にのみ真に公正であるという。^[9]

（ 1 ）を満たすプロセスは「マルチンゲール」と呼ばれる。マルチンゲールはリスクに報酬を与えない。したがって、正規化された証券価格プロセスの確率は「リスク中立」と呼ばれ、通常は黒板フォントの文字「 」で示される。 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

関係式（１）はすべての時間tに対して成り立つ必要がある。したがって、デリバティブの価格設定に使用されるプロセスは、当然連続時間で設定される。

デリバティブの価格設定のQの世界で活動するクオンツは、モデル化する特定の商品に関する深い知識を持つ専門家です。

証券は個別に価格設定されるため、Qの世界の問題は本質的に低次元です。キャリブレーションはQの世界の主な課題の1つです。連続時間パラメトリックプロセスが(1 )のような関係を通じて取引される証券のセットにキャリブレーションされると、同様の関係を使用して新しいデリバティブの価格が定義されます。

連続時間Q過程を扱うために必要な主な定量的ツールは、伊藤の確率計算、シミュレーション、偏微分方程式（PDE）である。^[10]

リスクおよびポートフォリオ管理は、特定の将来の投資期間におけるすべての証券の市場価格の統計的に導き出された確率分布をモデル化することを目的としています。市場価格のこの「実際の」確率分布は、通常、デリバティブの価格設定で使用される「リスク中立」確率「 」ではなく、黒板フォントの文字「 」で示されます。P 分布に基づいて、バイサイド コミュニティは、ポートフォリオとして考慮されるポジションの予測損益プロファイルを改善するために、どの証券を購入するかを決定します。このプロセスの要素はますます自動化されています。関連記事の一覧については、 金融の概要 § 定量投資を参照してください。${\displaystyle \mathbb {P} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

マーコウィッツとシャープは、その先駆的な研究により、マートン・ミラーとともに1990年のノーベル経済学賞を共同受賞した。金融分野の研究で受賞するのはこれが初めてである。

マーコウィッツとシャープのポートフォリオ選択の研究は、投資管理に数学を導入しました。時とともに、数学はより洗練されていきました。ロバート・マートンとポール・サミュエルソンのおかげで、1期間モデルは連続時間のブラウン運動モデルに置き換えられ、平均分散最適化に暗黙的に含まれる2次効用関数は、より一般的な増加する凹型効用関数に置き換えられました。^[11]さらに、近年では、焦点は推定リスク、つまり高度な時系列分析だけで市場パラメータの完全に正確な推定値を提供できると誤って想定することの危険性に移っています。^[12]金融リスク管理の§投資管理を 参照してください。

金融市場と、価格が時間とともにどのように変化するかの研究には、多大な努力が払われてきました。 ダウ・ジョーンズ社とウォール・ストリート・ジャーナルの創始者の一人であるチャールズ・ダウは、この主題に関して、現在ではダウ理論と呼ばれている一連の考え方を発表しました。これは、将来の変化を予測しようとするいわゆるテクニカル分析法の基礎となっています。「テクニカル分析」の信条の 1 つは、市場の動向が、少なくとも短期的には将来の兆候を示すというものです。テクニカル分析者の主張は、多くの学者によって異論が唱えられています。^[要出典]

長年にわたり、ますます洗練された数学モデルとデリバティブの価格設定戦略が開発されてきたが、2007年から2010年の金融危機によってその信頼性は損なわれた。数理ファイナンスの現代の実践は、この分野の専門家、特にポール・ウィルモットやナシム・ニコラス・タレブの著書『ブラック・スワン』から批判を受けている。^[13]タレブは、金融資産の価格は現在使用されている単純なモデルでは特徴づけることができず、現在の実践の多くはよく言っても無意味であり、最悪の場合、危険なほど誤解を招くものであると主張する。ウィルモットとエマニュエル・ダーマンは2009年1月に金融モデラーの宣言^[14]を発表し、最も深刻な懸念のいくつかに対処している。現在、新経済思考研究所などの団体が新しい理論と方法の開発を試みている。^[15]

一般的に、有限分散の分布で変化をモデル化することは、不適切であると言われるようになってきています。^[16] 1960年代に、ブノワ・マンデルブロは、価格の変化はガウス分布に従わず、むしろレヴィのアルファ安定分布でモデル化した方がよいことを発見しました。^[17]変化の規模、つまりボラティリティは、時間間隔の長さの1/2を少し超える累乗に依存します。推定標準偏差を持つガウス分布を使用して計算するよりも、大きな上下の変化が発生する可能性が高くなります。しかし、問題は、パラメータ化がはるかに難しくなり、リスク管理の信頼性が低下するため、問題が解決されないことです。^[13]

おそらくより根本的なことは、数理ファイナンスモデルは短期的には利益を生み出すかもしれないが、この種のモデリングは、観察された関係は本質的に構造的ではない可能性があり、したがって因果分析と計量経済学を使用して関係を特定しない限り、公共政策や利益のために利用することができない可能性があるという、現代マクロ経済学の中心的信条であるルーカス批判（または合理的期待）としばしば矛盾するということだろう。^{[18]したがって、数理ファイナンスモデルは、}銀行取り付け騒ぎを引き起こす自己実現的パニックなど、現代のマクロ経済の動きをモデル化するために不可欠な人間心理の複雑な要素を組み込んでいない。

• Nicole El Karoui、「金融数学の未来」、ParisTech Review、2013 年 9 月 6 日
• ハロルド・マーコウィッツ、「ポートフォリオの選択」、The Journal of Finance、7、1952年、77-91ページ
• ウィリアム F. シャープ、投資、プレンティス・ホール、1985 年
• ピエール・ヘンリー・ラボデール (2017)。「モデルフリーヘッジ：マルチンゲール最適輸送観点」。チャップマン＆ホール/CRC。