金融市場のブラウン運動モデル

金融市場のブラウン運動モデルは、ロバート・C・マートンとポール・A・サミュエルソンの研究に基づいており、ハロルド・マーコウィッツとウィリアム・F・シャープの1期間市場モデルの拡張であり、連続時間確率過程の観点から金融資産と市場、ポートフォリオ、利益と富の概念を定義することに関係しています。

このモデルでは、これらの資産は時間とともに継続的に変化する連続的な価格を持ち、ブラウン運動のプロセスによって駆動されます。^{[1]このモデルでは、資産が完全に分割可能であり、}市場が摩擦のない状態（つまり、購入または販売のいずれの場合でも取引コストが発生しない）であるという仮定が必要です。もう 1 つの仮定は、資産価格にジャンプがなく、市場にサプライズがないことです。この最後の仮定は、ジャンプ拡散モデルでは排除されます。

金融資産で構成される金融市場を考えてみましょう。債券またはマネーマーケットと呼ばれる資産の 1 つはリスクフリーですが、株式と呼ばれる残りの資産はリスクがあります。 ${\displaystyle N+1}$${\displaystyle N}$

金融市場は、次の条件を満たす市場 として定義されます。${\displaystyle {\mathcal {M}}=(r,\mathbf {b} ,\mathbf {\delta } ,\mathbf {\sigma } ,A,\mathbf {S} (0))}$

1. 確率空間。${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$
2. 時間間隔。${\displaystyle [0,T]}$
3. 拡張フィルタリングに適応した次元ブラウン運動過程。${\displaystyle D}$${\displaystyle \mathbf {W} (t)=(W_{1}(t)\ldots W_{D}(t))',}$${\displaystyle \;0\leq t\leq T}$${\displaystyle \{{\mathcal {F}}(t);\;0\leq t\leq T\}}$
4. 測定可能なリスクフリーのマネーマーケット金利プロセス。${\displaystyle r(t)\in L_{1}[0,T]}$
5. 測定可能な平均収益率プロセス。${\displaystyle \mathbf {b} :[0,T]\times \mathbb {R} ^{N}\rightarrow \mathbb {R} \in L_{2}[0,T]}$
6. 測定可能な配当収益率プロセス。${\displaystyle \mathbf {\delta } :[0,T]\times \mathbb {R} ^{N}\rightarrow \mathbb {R} \in L_{2}[0,T]}$
7. 測定可能なボラティリティプロセス。${\displaystyle \mathbf {\sigma } :[0,T]\times \mathbb {R} ^{N\times D}\rightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}\sum _{d=1}^{D}\int _{0}^{T}\sigma _{n,d}^{2}(s)ds<\infty }$
8. 測定可能で、有限の変化があり、特異に連続した確率的。${\displaystyle A(t)}$
9. 初期条件は によって与えられます。${\displaystyle \mathbf {S} (0)=(S_{0}(0),\ldots S_{N}(0))'}$

を確率空間とし、を 自然濾過を伴うD次元ブラウン運動確率過程とします。 ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},p)}$${\displaystyle \mathbf {W} (t)=(W_{1}(t)\ldots W_{D}(t))',\;0\leq t\leq T}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{\mathbf {W} }(t)\triangleq \sigma \left(\{\mathbf {W} (s);\;0\leq s\leq t\}\right),\quad \forall t\in [0,T].}$

が の測度0 (つまり、測度 の下では null ) の部分集合である場合、拡張フィルタリングを定義します。 ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle {\mathcal {F}}^{\mathbf {W} }(t)}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}(t)\triangleq \sigma \left({\mathcal {F}}^{\mathbf {W} }(t)\cup {\mathcal {N}}\right),\quad \forall t\in [0,T]}$

との違いは、後者が以下の意味で 両方とも左連続である点です。${\displaystyle \{{\mathcal {F}}^{\mathbf {W} }(t);\;0\leq t\leq T\}}$${\displaystyle \{{\mathcal {F}}(t);\;0\leq t\leq T\}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}(t)=\sigma \left(\bigcup _{0\leq s<t}{\mathcal {F}}(s)\right),}$

かつ右連続なので、次のようになります。

${\displaystyle {\mathcal {F}}(t)=\bigcap _{t<s\leq T}{\mathcal {F}}(s),}$

前者は左連続のみである。^[2]

債券（金融市場）の株式は、時刻 における 価格を持ち、連続かつ適応的で、有限変動を持ちます。有限変動があるため、ルベーグの分解定理により、絶対連続部分と特異連続部分に分解できます。定義: ${\displaystyle S_{0}(t)>0}$${\displaystyle t}$${\displaystyle S_{0}(0)=1}$${\displaystyle \{{\mathcal {F}}(t);\;0\leq t\leq T\}}$${\displaystyle S_{0}^{a}(t)}$${\displaystyle S_{0}^{s}(t)}$

${\displaystyle r(t)\triangleq {\frac {1}{S_{0}(t)}}{\frac {d}{dt}}S_{0}^{a}(t),}$そして

${\displaystyle A(t)\triangleq \int _{0}^{t}{\frac {1}{S_{0}(s)}}dS_{0}^{s}(s),}$

結果としてSDEは次のようになります。

${\displaystyle dS_{0}(t)=S_{0}(t)[r(t)dt+dA(t)],\quad \forall 0\leq t\leq T,}$

これにより、次のようになります。

${\displaystyle S_{0}(t)=\exp \left(\int _{0}^{t}r(s)ds+A(t)\right),\quad \forall 0\leq t\leq T.}$

したがって、が絶対的に連続している場合（つまり）、債券の価格は、ランダムで時間に依存し、測定可能な瞬間金利 を持つリスクフリーの普通預金口座の価値のように変化することが容易にわかります。 ${\displaystyle S_{0}(t)}$${\displaystyle A(\cdot )=0}$${\displaystyle r(t)}$${\displaystyle {\mathcal {F}}(t)}$

株価は、ランダムに変動する要素（ボラティリティと呼ばれる）を除いて、債券の価格と同様にモデル化されます。これらのランダムな変動から生じるリスクに対するプレミアムとして、株式の平均収益率は債券よりも高くなります。

を、次の条件を満たす連続確率過程である株式の1株当たりの厳密に正の価格とします。 ${\displaystyle S_{1}(t)\ldots S_{N}(t)}$${\displaystyle N}$

${\displaystyle dS_{n}(t)=S_{n}(t)\left[b_{n}(t)dt+dA(t)+\sum _{d=1}^{D}\sigma _{n,d}(t)dW_{d}(t)\right],\quad \forall 0\leq t\leq T,\quad n=1\ldots N.}$

ここで、は - 番目の株式のボラティリティを示し、は平均収益率を示します。 ${\displaystyle \sigma _{n,d}(t),\;d=1\ldots D}$${\displaystyle n}$${\displaystyle b_{n}(t)}$

裁定取引のない価格設定シナリオを実現するには、上記で定義したとおりにする必要があります。この解決策は次のとおりです。 ${\displaystyle A(t)}$

${\displaystyle S_{n}(t)=S_{n}(0)\exp \left(\int _{0}^{t}\sum _{d=1}^{D}\sigma _{n,d}(s)dW_{d}(s)+\int _{0}^{t}\left[b_{n}(s)-{\frac {1}{2}}\sum _{d=1}^{D}\sigma _{n,d}^{2}(s)\right]ds+A(t)\right),\quad \forall 0\leq t\leq T,\quad n=1\ldots N,}$

割引後の株価は以下のとおりです。

${\displaystyle {\frac {S_{n}(t)}{S_{0}(t)}}=S_{n}(0)\exp \left(\int _{0}^{t}\sum _{d=1}^{D}\sigma _{n,d}(s)dW_{d}(s)+\int _{0}^{t}\left[b_{n}(s)-r(s)-{\frac {1}{2}}\sum _{d=1}^{D}\sigma _{n,d}^{2}(s)\right]ds\right),\quad \forall 0\leq t\leq T,\quad n=1\ldots N.}$

債券価格の不連続性による寄与はこの式には現れないことに注意してください。 ${\displaystyle A(t)}$

各株式には、時点における株式の単価あたりの配当支払い率を示す配当率プロセスが関連付けられている場合があります。これをモデルに考慮すると、利回りプロセスは次のようになります。 ${\displaystyle \delta _{n}(t)}$${\displaystyle t}$${\displaystyle Y_{n}(t)}$

${\displaystyle dY_{n}(t)=S_{n}(t)\left[b_{n}(t)dt+dA(t)+\sum _{d=1}^{D}\sigma _{n,d}(t)dW_{d}(t)+\delta _{n}(t)\right],\quad \forall 0\leq t\leq T,\quad n=1\ldots N.}$

金融市場を考えてみましょう。 ${\displaystyle {\mathcal {M}}=(r,\mathbf {b} ,\mathbf {\delta } ,\mathbf {\sigma } ,A,\mathbf {S} (0))}$

この市場のポートフォリオ プロセス は、次のような測定可能で価値のあるプロセスです。 ${\displaystyle (\pi _{0},\pi _{1},\ldots \pi _{N})}$${\displaystyle {\mathcal {F}}(t)}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{N+1}}$

${\displaystyle \int _{0}^{T}|\sum _{n=0}^{N}\pi _{n}(t)|\left[|r(t)|dt+dA(t)\right]<\infty }$ほぼ確実に、

${\displaystyle \int _{0}^{T}|\sum _{n=1}^{N}\pi _{n}(t)[b_{n}(t)+\mathbf {\delta } _{n}(t)-r(t)]|dt<\infty }$ほぼ確実に、そして

${\displaystyle \int _{0}^{T}\sum _{d=1}^{D}|\sum _{n=1}^{N}\mathbf {\sigma } _{n,d}(t)\pi _{n}(t)|^{2}dt<\infty }$ほぼ確実です。

このポートフォリオの 利益プロセスは次のとおりです。

${\displaystyle G(t)\triangleq \int _{0}^{t}\left[\sum _{n=0}^{N}\pi _{n}(t)\right]\left(r(s)ds+dA(s)\right)+\int _{0}^{t}\left[\sum _{n=1}^{N}\pi _{n}(t)\left(b_{n}(t)+\mathbf {\delta } _{n}(t)-r(t)\right)\right]dt+\int _{0}^{t}\sum _{d=1}^{D}\sum _{n=1}^{N}\mathbf {\sigma } _{n,d}(t)\pi _{n}(t)dW_{d}(s)\quad 0\leq t\leq T}$

以下の場合、ポートフォリオは自己資金で運営されていると言えます。

${\displaystyle G(t)=\sum _{n=0}^{N}\pi _{n}(t)}$。

自己資金によるポートフォリオの場合、 の適切な値はから決定されるため、 はポートフォリオ プロセスと呼ばれることもあります。また、は金融市場から資金を借り入れることを意味し、 は株式の 空売りポジションを取ることを意味します。${\displaystyle \pi _{0}}$${\displaystyle \pi =(\pi _{1},\ldots \pi _{N})}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \pi _{0}<0}$${\displaystyle \pi _{n}<0}$

の SDE における項はリスクプレミアムプロセスであり、 - 番目の株式に投資する代わりに受け取る報酬です。 ${\displaystyle b_{n}(t)+\mathbf {\delta } _{n}(t)-r(t)}$${\displaystyle G(t)}$${\displaystyle n}$

時間間隔 を考え、 が時間間隔 の間にポートフォリオに保持された資産 の株式数であるとします。インサイダー取引(つまり、将来の予知)のケースを回避するには、が測定可能であることが必要です。 ${\displaystyle 0=t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{M}=T}$${\displaystyle \nu _{n}(t_{m})}$${\displaystyle n=0\ldots N}$${\displaystyle [t_{m},t_{m+1}\;m=0\ldots M-1}$${\displaystyle \nu _{n}(t_{m})}$${\displaystyle {\mathcal {F}}(t_{m})}$

したがって、このようなポートフォリオからの各取引間隔での増分利益は次のようになります。

${\displaystyle G(0)=0,}$

${\displaystyle G(t_{m+1})-G(t_{m})=\sum _{n=0}^{N}\nu _{n}(t_{m})[Y_{n}(t_{m+1})-Y_{n}(t_{m})],\quad m=0\ldots M-1,}$

は時間の経過に伴う総利益であり、ポートフォリオの合計価値は です。 ${\displaystyle G(t_{m})}$${\displaystyle [0,t_{m}]}$${\displaystyle \sum _{n=0}^{N}\nu _{n}(t_{m})S_{n}(t_{m})}$

を定義し、時間分割をゼロにして、前に定義したように を代入すると、ゲイン過程の対応する SDE が得られます。ここで は、保有株式数ではなく、 時点 における資産に投資されたドル金額を表します。${\displaystyle \pi _{n}(t)\triangleq \nu _{n}(t)}$${\displaystyle Y(t)}$${\displaystyle \pi _{n}(t)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle t}$

金融市場が与えられた場合、累積所得過程はセミマルチンゲールであり、金融​​市場の資産 への投資以外のソースによる、時間の経過に伴って蓄積された所得を表します。${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle \Gamma (t)\;0\leq t\leq T}$${\displaystyle [0,t]}$${\displaystyle N+1}$

富のプロセス は次のように定義されます。 ${\displaystyle X(t)}$

${\displaystyle X(t)\triangleq G(t)+\Gamma (t)}$

は、時点 における投資家の総資産を表します。ポートフォリオが- ファイナンスされていると言われるのは、次の場合です。 ${\displaystyle 0\leq t\leq T}$${\displaystyle \Gamma (t)}$

${\displaystyle X(t)=\sum _{n=0}^{N}\pi _{n}(t).}$

適切な置換により、富のプロセスに対応する SDE は次のようになります。

${\displaystyle dX(t)=d\Gamma (t)+X(t)\left[r(t)dt+dA(t)\right]+\sum _{n=1}^{N}\left[\pi _{n}(t)\left(b_{n}(t)+\delta _{n}(t)-r(t)\right)\right]+\sum _{d=1}^{D}\left[\sum _{n=1}^{N}\pi _{n}(t)\sigma _{n,d}(t)\right]dW_{d}(t)}$。

この場合も、 の値はから決定できることに注意してください。 ${\displaystyle \pi _{0}}$${\displaystyle \pi _{n},\;n=1\ldots N}$

数理ファイナンスの標準理論は、実行可能な金融市場、つまり裁定取引の機会がない市場に限定されています。裁定取引の機会が存在する場合、それは任意の大きなリスクフリーの利益を上げる可能性があることを意味しています。

金融市場において、自己資金によるポートフォリオのプロセスは、関連する利益プロセスがほぼ確実かつ厳密に行われる場合、裁定取引の機会であると見なされます。そのようなポートフォリオが存在しない市場は、実行可能であると言われます。 ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle \pi (t)}$${\displaystyle G(T)\geq 0}$${\displaystyle P[G(T)>0]>0}$${\displaystyle {\mathcal {M}}}$

実行可能な市場では、ほぼすべての場合に適応したプロセスが存在します。 ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}(t)}$${\displaystyle \theta :[0,T]\times \mathbb {R} ^{D}\rightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle t\in [0,T]}$

${\displaystyle b_{n}(t)+\mathbf {\delta } _{n}(t)-r(t)=\sum _{d=1}^{D}\sigma _{n,d}(t)\theta _{d}(t)}$。

これはリスクの市場価格と呼ばれ、 - 番目の株式のプレミアムとそのボラティリティを関連付けます。 ${\displaystyle \theta }$${\displaystyle n}$${\displaystyle \sigma _{n,\cdot }}$

逆に、上記の要件を満たす D 次元プロセスが存在する場合、${\displaystyle \theta (t)}$

${\displaystyle \int _{0}^{T}\sum _{d=1}^{D}|\theta _{d}(t)|^{2}dt<\infty }$

${\displaystyle \mathbb {E} \left[\exp \left\{-\int _{0}^{T}\sum _{d=1}^{D}\theta _{d}(t)dW_{d}(t)-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{T}\sum _{d=1}^{D}|\theta _{d}(t)|^{2}dt\right\}\right]=1}$、

そうすれば市場は存続可能になります。

また、実行可能な市場にはマネー マーケット (債券) が 1 つしか存在できず、したがってリスクのない金利も 1 つしか存在しません。したがって、- 番目の株式がリスクを伴わず (つまり)、配当金も支払わない場合 (つまり)、その収益率はマネー マーケット金利 (つまり) と等しく、その価格は債券の価格 (つまり ) に追従します。 ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \sigma _{n,d}=0,\;d=1\ldots D}$${\displaystyle \delta _{n}(t)=0}$${\displaystyle b_{n}(t)=r(t)}$${\displaystyle S_{n}(t)=S_{n}(0)S_{0}(t)}$

金融市場が標準的であるとは、次のような場合です。 ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$

（i）実行可能である。

(ii) 株式の数は、基礎となるブラウン運動過程の次元より大きくない。${\displaystyle N}$${\displaystyle D}$${\displaystyle \mathbf {W} (t)}$

（iii）リスクプロセスの市場価格は以下を満たす： ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \int _{0}^{T}\sum _{d=1}^{D}|\theta _{d}(t)|^{2}dt<\infty }$ほぼ確実です。

(iv) 正の過程はマルチンゲールである。${\displaystyle Z_{0}(t)=\exp \left\{-\int _{0}^{t}\sum _{d=1}^{D}\theta _{d}(t)dW_{d}(t)-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{t}\sum _{d=1}^{D}|\theta _{d}(t)|^{2}dt\right\}}$

株式の数が次元 より大きい場合、ポイント (ii) に違反しますが、線形代数から、ボラティリティ (ベクトル で与えられる) が他の株式のボラティリティの線形結合である株式があることがわかります( のランクがであるため)。したがって、これらの株式は同等の投資信託 に置き換えることができます。${\displaystyle N}$${\displaystyle D}$${\displaystyle N-D}$${\displaystyle (\sigma _{n,1}\ldots \sigma _{n,D})}$${\displaystyle D}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle D}$${\displaystyle N}$${\displaystyle D}$

標準市場における 標準マーチンゲール尺度は次のように定義されます。 ${\displaystyle P_{0}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}(T)}$

${\displaystyle P_{0}(A)\triangleq \mathbb {E} [Z_{0}(T)\mathbf {1} _{A}],\quad \forall A\in {\mathcal {F}}(T)}$。

と は互いに絶対連続である、つまり同値であることに注意する。また、ギルサノフの定理によれば、 ${\displaystyle P}$${\displaystyle P_{0}}$

${\displaystyle \mathbf {W} _{0}(t)\triangleq \mathbf {W} (t)+\int _{0}^{t}\theta (s)ds}$、

は、 に関する濾過上の 次元ブラウン運動過程です。 ${\displaystyle D}$${\displaystyle \{{\mathcal {F}}(t);\;0\leq t\leq T\}}$${\displaystyle P_{0}}$

完全な金融市場とは、あらゆる投資戦略に内在するリスクを 効果的にヘッジできる市場です。

を標準的な金融市場とし、を-測定可能なランダム変数とすると、次のようになります。 ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle B}$${\displaystyle {\mathcal {F}}(T)}$

${\displaystyle P_{0}\left[{\frac {B}{S_{0}(T)}}>-\infty \right]=1}$。

${\displaystyle x\triangleq \mathbb {E} _{0}\left[{\frac {B}{S_{0}(T)}}\right]<\infty }$、

市場が完備であるとは、そのようなものがすべてファイナンス可能である場合、つまり、関連する富のプロセスが次式を満たす ようなファイナンスされたポートフォリオプロセスが存在する場合である。${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle B}$${\displaystyle x}$${\displaystyle (\pi _{n}(t);\;n=1\ldots N)}$${\displaystyle X(t)}$

${\displaystyle X(t)=B}$ほぼ確実です。

ある投資戦略で時に の支払いが必要となり、その金額が 時に不明である場合、保守的な戦略としては、支払いをカバーするために の金額を取っておくことになります。しかし、完全な市場では、 よりも少ない資本（つまり）を取っておき、それを投資して 時にの規模と一致するように成長させることは可能です。 ${\displaystyle B}$${\displaystyle T}$${\displaystyle t=0}$${\displaystyle x=\sup _{\omega }B(\omega )}$${\displaystyle x}$${\displaystyle T}$${\displaystyle B}$

標準的な金融市場は、のときのみ完全であり、ほぼすべての に対して、ルベーグ測度に関してボラティリティ過程が非特異です。 ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle N=D}$${\displaystyle N\times D}$${\displaystyle \sigma (t)}$${\displaystyle t\in [0,T]}$

• ブラック・ショールズモデル
• マーチンゲール法
• 数理ファイナンス
• モンテカルロ法

カラツァス、イオアニス。シュリーブ、スティーブン E. (1998)。数理ファイナンスの手法。ニューヨーク：スプリンガー。ISBN 0-387-94839-2。

Korn, Ralf; Korn, Elke (2001)。オプション価格設定とポートフォリオ最適化: 金融数学の最新手法。プロビデンス、ロードアイランド州: アメリカ数学協会。ISBN 0-8218-2123-7。

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