マルチンゲール表現定理

確率論において、マルチンゲール表現定理は、ブラウン運動によって生成されるフィルタリングに関して測定可能なランダム変数は、このブラウン運動に関する 伊藤積分によって表すことができるということを述べています。

この定理は表現の存在を主張するだけで、それを明示的に見つけるのには役立ちません。多くの場合、マリアヴァン計算を使用して表現の形式を決定することが可能です。

同様の定理は、例えばマルコフ連鎖によるジャンプ過程によって誘導されるフィルタリングに関するマルチンゲールにも存在します。

を標準フィルタリングされた確率空間上のブラウン運動とし、をによって生成された拡張フィルタリングとする。Xがに関して測定可能な平方積分可能なランダム変数である場合、に関して適応される予測可能なプロセスCが存在し、 ${\displaystyle B_{t}}$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},{\mathcal {F}}_{t},P)}$${\displaystyle {\mathcal {G}}_{t}}$${\displaystyle B}$${\displaystyle {\mathcal {G}}_{\infty }}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{t},}$

${\displaystyle X=E(X)+\int _{0}^{\infty }C_{s}\,dB_{s}.}$

その結果、

${\displaystyle E(X|{\mathcal {G}}_{t})=E(X)+\int _{0}^{t}C_{s}\,dB_{s}.}$

マルチンゲール表現定理は、ヘッジ戦略の存在を証明するために使用できます。 がQ-マルチンゲール過程であり、そのボラティリティが常にゼロでないと仮定します。次に、 が他の任意の Q-マルチンゲールである場合、測度 0 の集合まで一意で、確率 1 でN が次のように記述される、 -可視過程が存在します。${\displaystyle \left(M_{t}\right)_{0\leq t<\infty}}$ ${\displaystyle \sigma_{t}}$${\displaystyle \left(N_{t}\right)_{0\leq t<\infty}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle \int _{0}^{T}\varphi _{t}^{2}\sigma _{t}^{2}\,dt<\infty }$

${\displaystyle N_{t}=N_{0}+\int _{0}^{t}\varphi _{s}\,dM_{s}.}$

複製戦略は次のように定義されます。

• 時点tで株式を保有し、${\displaystyle \varphi_{t}}$
• 債券のユニットを保有する。${\displaystyle \psi_{t}B_{t}=C_{t}-\varphi_{t}Z_{t}}$

ここで、は時点 までの債券価格で割り引かれた株価であり、は時点 におけるオプションの期待収益です。 ${\displaystyle Z_{t}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle C_{t}}$${\displaystyle t}$

満期日Tにおけるポートフォリオの価値は次のようになります。

${\displaystyle V_{T}=\varphi _{T}S_{T}+\psi _{T}B_{T}=C_{T}=X}$

そして、この戦略が自己資金調達型であるかどうかは簡単に確認できます。ポートフォリオの価値の変化は、資産価格の変化にのみ左右されるからです。 ${\displaystyle \left(dV_{t}=\varphi _{t}\,dS_{t}+\psi _{t}\,dB_{t}\right)}$

• 逆確率微分方程式

• Montin, Benoît. (2002) 「金融における確率過程の応用」^{[全文引用が必要]}
• Elliott、Robert (1976) 「部分的にアクセス可能なジャンプ時間を持つジャンプ プロセスのマルチンゲールの確率積分」、Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und verwandte Gebiete、36、213–226