固定利付証券の帰属

一定期間において、各証券の収益率は、様々なサブ収益率の集合から構成される（詳細は下記参照）。

• 利回りによる収益（クーポン、発生利息、または継続利回りとも呼ばれる）。
• 利回り曲線のロールダウンによるリターン。
• 基準利回り曲線の変動による収益率。
• クレジットシフトによる返品。
• オプション調整スプレッド（OAS）、流動性、インフレ、ペイダウンなど、その他の収益源。

各効果から生じるリターンを計算するには、各リターン要因を考慮する前と後で、価格決定式やその他のアルゴリズムを用いて、基本原理に基づいて証券の価格を再計算することができます。例えば、利回りリターンを計算する場合、計算期間の開始時と終了時の証券価格を計算しますが、その際に期間開始時の利回りを用います。そして、この2つの価格の差を用いて、時間の経過による証券のリターンを計算することができます。

このアプローチは原理的には単純だが、運用上の困難を招く可能性がある。

• 該当する場合は、クーポン控除、決済、および国別の慣習を含む、正確な価格設定式。
• 日数計算方法や、債券の初回クーポンと最終クーポンが標準と異なるかどうかなど、証券固有のデータ。
• これらの計算式への正確な入力値（市場利回りや、変動金利債およびインフレ連動証券の90日物銀行手形スワップレート（BBSW）や消費者物価指数（CPI）係数などのその他の変動量を含む）と、これらの量の定期的な更新。
• 既存の業績測定システムと帰属システム間の調整機能

これらの理由から、データソースやデータ照合に問題がある場合、価格モデルに基づくアトリビューション手法は適切ではない可能性があります。代替案としては、証券価格に対してテイラー展開を行うことが挙げられます。${\displaystyle P\left({y,t}\right)}$そして高次の項を取り除くと、

${\displaystyle \delta P={\frac {\partial P}{\partial t}}\delta t+{\frac {\partial P}{\partial y}}\delta y+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial y^{2}}}\delta y^{2}+O\left({\delta t^{2},\delta y^{3}}\right)}$

セキュリティのリターンを次のように記述します

${\displaystyle \delta r={\frac {\delta P}{P}}}$、

これは摂動方程式につながる

${\displaystyle \delta r=y\cdot \delta t-MD\cdot \delta y+{\frac {1}{2}}C\cdot \delta y^{2}+O\left({\delta t^{2},\delta y^{3}}\right)}$

ここで、最後の項は無視できる高次の補正を表し、

${\displaystyle MD=-{\frac {1}{P}}{\frac {\partial P}{\partial y}}}$

${\displaystyle C={\frac {1}{P}}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial y^{2}}}}$

条件${\displaystyle MD}$そして${\displaystyle C}$一次および二次金利感応度を測定する。これらは一般的に、証券の修正デュレーションおよびコンベクシティと呼ばれ、リスク数値とも呼ばれる。

この帰属分析手法に必要なデータ要件は、第一原理に基づく手法よりも負担が少ない。摂動方程式では外部で計算されたリスク数値が必要となるが、これらの数値は利回りや価格と同じ情報源から容易に入手できるため、大きな障害とはならないだろう。また、この手法はユーザーが提供するリスク数値を扱えるという点で、本質的な利点も持ち合わせている。例えば、ユーザーが住宅ローン担保証券の返済モデルを独自に作成している場合などに、社内モデルの感度指標を利用できるため、特に有用である。

この手法は自己検証機能も備えており、残余収益の大きさは非常に小さくなるはずです。もしそうでない場合は、計算された収益またはリスクの数値に誤りがあるか、あるいは他のリスク要因が収益を歪めていると考えられます。

都合の良いことに、摂動法は新たな価格設定コードやデータタイプを必要とせずに新しい資産タイプにも拡張でき、ベンチマークセクターだけでなく個別証券にも適用できるため、ベンチマークデータがセクターレベルでしか入手できない場合に役立ちます。

歴史的に見て、債券ポートフォリオのリターンを左右する最も重要な要因の一つはイールドカーブであり、多くの投資戦略はイールドカーブの変化に基づいて表現されます。したがって、債券の収益要因分析を行うには、イールドカーブの変化がどのように表現されるか、そしてそれがポートフォリオのパフォーマンスにどのような影響を与えるかを理解する必要があります。

特定の満期における利回り曲線の全体的な変化のみに関心がある場合は、必要に応じて補間法を用いて、さまざまなデータセットから利回りを読み取ることができ、曲線のどの部分もモデル化する必要はありません。

一方、トレーダーが使用する用語でイールドカーブの動きを記述したい場合（または外挿したい場合）、何らかのパラメータ化が必要になります。イールドカーブの変化を記述するために最も広く使用されている用語は、「シフト」、「ツイスト」、「バタフライ」です。簡単に言うと、次のようになります。

• シフトとは、すべての満期にわたって、曲線が平行に上方または下方にどれだけ移動したかを測定するものです。
• ツイストとは、イールドカーブがどれだけ急勾配になったか、あるいは平坦になったかを測定する指標です。例えば、オーストラリアのイールドカーブの急勾配度は、10年債先物利回りと3年債先物利回りの差として測定できます。
• 曲率（またはバタフライ曲線、曲線形状変化）とは、期間構造がどの程度湾曲しているかを示す指標です。例えば、直線に近似できるイールドカーブは、曲率が全くありません。

これらの動きを数値的に表現するには、通常、限られた数のパラメータを用いて観測された利回り曲線にモデルを当てはめる必要がある。これらのパラメータは、シフト、ツイスト、バタフライといった動き、あるいはトレーダーが選択するその他の解釈に変換することができる。このモデルは、クレジット・デフォルト・スワップ（CDS）の外挿にもよく用いられる。

最も広く使用されているモデルの2つは、多項式関数とネルソン・シーゲル関数である（ネルソンとシーゲル（1987））。

• ここで、多項式関数は通常次の形式である。

${\displaystyle y\left(m\right)=a_{0}+a_{1}m+a_{2}m^{2}}$

どこ${\displaystyle m}$成熟とは、${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2}}$は適合させるパラメータであり、${\displaystyle y\left(m\right)}$満期時の曲線の利回り${\displaystyle m}$。

• ネルソン・シーゲル関数は次の形式をとる。

$y(m) = β₀ + β₁ [1 - exp(-m/τ)] / m/τ + β₂ (1 - exp(-m/τ)) / m/τ - exp(-m/τ))$

どこ${\displaystyle y\left(m\right)}$そして${\displaystyle m}$上記のとおりであり、$\displaystyle \beta _{0}}$、$\displaystyle \beta _{1}}$、$\displaystyle \beta _{2}}$そして$\displaystyle \tau }$、は最小二乗法または類似のアルゴリズムによって適合させるべきパラメータである^{[ 2 ]}（DieboldとLi[2006]、BolderとStréliski[1999]を参照）。

• $\displaystyle \beta _{0}}$これは長期的な金利水準として解釈されます（係数は1であり、減衰しない定数です）。
• $\displaystyle \beta _{1}}$は短期的な要素であり（1から始まり、単調かつ急速に0まで減衰する）、
• $\displaystyle \beta _{2}}$は中期的な要素であり（最初は0から始まり、増加し、その後0に減少する）、
• $\displaystyle \tau }$は減衰係数です。値が小さいと減衰が遅くなり、長期満期の曲線によりよく適合しますが、値が大きいと減衰が速くなり、短期満期の曲線によりよく適合します。$\displaystyle \tau }$また、$\displaystyle \beta _{2}}$最大限に能力を発揮する。

スヴェンソン（1994）は「第2のピーク」項を追加しました。これがネルソン・シーゲル・スヴェンソン（NSS）モデルです。追加される項は次のとおりです。

${\displaystyle +\beta _{3}{\left({\frac {\left[{1-\exp \left({-m/\tau _{2}}\right)}\right]}{m/\tau _{2}}}-\exp \left({-m/\tau _{2}}\right)\right)}}$、

そしてその解釈は$\displaystyle \beta _{2}}$そして$\displaystyle \tau }$その上。

^{ネルソン・シーゲルのもう一つの一般化は指数多項式モデル[ 3 ]} （「EPM(n)」）の族であり、線形係数の数は自由である。

曲線が適合すると、ユーザーはシフト、ツイスト、バタフライのさまざまな尺度を定義し、計算されたパラメータからそれらの値を計算できます。たとえば、多項式関数でモデル化された曲線のシフト量は、多項式と${\displaystyle a_{0}}$連続する日付におけるパラメータ。実際には、ネルソン・シーゲル関数は長期満期において良好な挙動を示し、そのパラメータは事実上あらゆる利回り曲線をモデル化するように設定できるという利点がある（ネルソンとシーゲル[1987]を参照）。

利回り曲線の変動に関するファクターベースモデルは、あらかじめ定義された満期における利回り変動の共分散行列を導出し、この行列の固有ベクトルと固有値を計算することによって算出されます。各固有ベクトルは利回り曲線の基本モデルに対応し、各固有ベクトルは直交しているため、特定の日における曲線変動は、基底固有ベクトルの線形結合となります。この行列の固有値は、これらの曲線変動の相対的な重み、つまり重要度を示します。[Phoa (1998)]

ファクターモデルは、過去のイールドカーブデータの大規模なサンプルを使用し、これらのカーブの動きを最も経済的な方法で表現するために線形結合できる一連の基底関数を構築します。このアルゴリズムは常に、カーブの動きの大部分を最初の基底関数に割り当て、次に可能な限り多くを2番目の基底関数に割り当て、以下同様です。これらの関数は、シフトとツイストの動きにほぼ対応するため、このアプローチでは、カーブの変化のほぼすべてがこれら2つのモードに起因し、より高次のモードからの寄与はごくわずかになります。典型的な結果では、カーブの動きの90%がシフトの変化、8%がツイスト、2%が曲率（またはバタフライ）の動きに起因します。しかし、これらの基底関数がリスク決定が表現された関数と異なる可能性があるという問題は、広く認識されていません。

債券などの固定利付証券に対する従来のリスク分析では、通常、すべての満期において利回りが平行に変動すると想定されているため、平行変動モードが他のモードよりも優勢になるのが最も都合が良い。そして実際、ほぼその通りになっている。

金利の期間構造変化を因子に基づいて分解する方法は数学的には洗練されているものの、原因究明という観点からはいくつかの重大な欠点がある。

• まず、これらの基本的なモードが実際に何であるかについては合意が得られていません。なぜなら、それらは計算に使用される過去のデータセットに依存するからです（例えば、平行曲線シフトのように、純粋に数学的な用語で定義できるものとは異なります）。したがって、各市場は、各分析期間において異なる一連の基本的なモードを生成し、それゆえ異なるアトリビューション分解結果を生み出すため、より長い期間にわたるアトリビューション結果のセットを比較することは不可能かもしれません。
• このようなアプローチを採用することを決定すると、暗黙のうちに特定のデータ履歴、そして（実際には）データ／ソフトウェアベンダーに縛られることになる。
• モードの形状はユーザーの期待と必ずしも一致しない可能性があり、実際には、これらの基本的なモードを参照してポートフォリオを管理・ヘッジすることはまずないでしょう。マネージャーは、将来のカーブの動きを単純なシフトとツイストとして捉える可能性が高いです。

ファクターベースのアプローチの大きな利点は、可能な限り多くのカーブ変動をシフト変動に起因させ、ツイストと曲率変動には可能な限り小さな値を割り当てることができる点です。これにより、理解しにくいカーブ変動には帰属分析において常に小さな重みが割り当てられるため、一見すると分かりやすい報告が可能になります。しかし、これは他の結果を歪めるという代償を伴います。一方、イールドカーブの変動にシフト、ツイスト、曲率といった用語を単純に解釈すると、投資家が予想するよりもはるかに大きな高次の変動が生じる可能性があります。

また、シフトとツイストという用語の正確な定義にも問題があります。ツイストポイントを最初に固定しないと、ネルソン・シーゲル式でも多項式式でも、これらの用語に一意の値は存在しません。しかし、このツイストポイントの位置は、ユーザーの期待と一致しない可能性があります。^{[注2 ]}

債券ポートフォリオにおける収益の第一の源泉は、利息によるものです。ほとんどの証券は定期的なクーポンを支払いますが、これは市場の状況（デフォルトやそれに類する災害を除く）に関係なく支払われます。例えば、年率10%のクーポンを支払う債券は、市場状況に変化がなくても、毎年必ず額面の10%​​を所有者に支払います。

しかし、債券の市場価格は通常額面価格とは異なるため、実質利回りは異なる可能性があります。

利回りは以下から計算されます

${\displaystyle r_{yield}=y\cdot \delta t}$

どこ${\displaystyle y}$は証券の最終利回りであり、${\displaystyle \delta t}$経過時間です。

債券の満期が近づくと、しばしばパリティへの引き寄せ効果が見られます。満期が近づくにつれて、金利水準に関係なく、債券価格は額面価格に収束していくため、通常予想される動きとは異なる動きをする可能性があります。

利回り曲線が急勾配の場合、ロールリターンが発生する可能性があります。曲線に変化がない場合、証券を保有し続けると満期までの期間が短くなり、利回り（曲線から読み取れる値）が変化します。傾きが正の場合、利回りは低下し、証券価格は上昇します。

ポートフォリオの資産配分を、急勾配の利回り曲線を利用するように調整することを、利回り曲線に乗る、と呼ぶことがあります。厳密に言えば、ロールリターンは別のカテゴリーに分類されます。なぜなら、それは厳密な利回り効果でも、利回り曲線の変化によって引き起こされるリターンでもないからです。

金利期間構造の変化は、ポートフォリオにおける最も重要なリスク要因の一つです。株式価格のように一次元的に変動するのとは異なり、債券価格は割引キャッシュフローの合計から算出され、その割引率は満期時の金利によって決まります。したがって、金利曲線の変化の大きさや形状は、債券運用担当者にとって非常に重要です。

最も基本的なレベルでは、利回り変動を国債利回り変動と信用格付け変動という観点から分析できます。どの満期においても、対象証券の変動を、対応する政府保証証券の変動と比較することができます。政府保証証券は信用格付けが最も高く、したがって利回りが最も低くなります。すべての証券は、市場変動のベンチマークとなる同満期の政府保証証券と同等以上の利回りを有しています。

多くの投資適格証券は、米国債利回り曲線とのスプレッドで取引されており、このスプレッドの大きさは、現在の経済状況と個々の証券の信用格付けによって決まります。例えば、2005年4月、ゼネラルモーターズの社債は格付け機関によって非投資適格債、いわゆるジャンク債に格下げされました。その結果、信用スプレッド（つまり、このリスクの高い投資を保有する投資家が求める利回り）は150ベーシスポイント以上上昇し、ゼネラルモーターズ債の価値はそれに応じて下落しました。このパフォーマンスの低下は、すべて信用リスクの影響によるものとされました。

事実上あらゆる債券の利回りは国債利回り曲線の形状の変化に影響を受けるため、トレーダーがこの曲線の変化を踏まえて将来および過去のパフォーマンスを分析するのは当然のことと言える。

ポートフォリオ全体で単一の利回り曲線を使用することは、特定の国で取引される金融商品であっても、必ずしも適切とは限りません。インフレ連動証券は独自の利回り曲線を使用し、その変動は広範な市場の利回り曲線と強い相関関係を示さない場合があります。短期金融市場証券は、国債利回り曲線専用のモデルでモデル化する方が適切である場合があり、その他の市場では、国債利回り曲線ではなくスワップ曲線を使用する場合があります。

信用市場における近年の革新や、クレジット・デフォルト・スワップや担保付債務証券（CDO）における異なるトランシェの金融商品を分割できる機能など、信用リスクを正確に特定できる金融商品の爆発的な増加により、状況はさらに複雑化している。

クレジットによる収益を最も単純に捉える方法は、市場の基準曲線の変動による変化を除いた、証券の利回り変化による収益と考えることです。これは単純なポートフォリオであれば十分かもしれませんが、意図的に金利中立的な運用を行い、クレジット投資からすべての収益を得ているトレーダーにとっては、より詳細な分析が必要となるでしょう。

クレジット商品の高利回りを別の視点から捉える方法として、異なる利回り曲線に基づいて価格設定されていると考える方法があります。これらのクレジット曲線は、基準となる利回り曲線よりも高い位置にあります。信用格付けが低いほどスプレッドは高くなり、これはリスクの高さに対して要求される追加の利回りプレミアムを反映しています。このモデルを用いると、例えばA格付けの証券のリターンを、AAA格付け曲線の変動と、クレジットスプレッドの変動（縮小または拡大）によって説明することができます。

クレジットスプレッドによって生み出されるリターンを分析する他の方法としては、各証券の利回りを業界セクターの利回り曲線と比較したり、（ユーロ債の場合は）同じ信用格付けと通貨を持つものの発行国が異なる債券間のスプレッドを測定したりする方法がある。

MBSの金利感応度を測る最も単純な指標は、実効デュレーションです。債券の修正デュレーションは、キャッシュフローが期間構造の変動に応じて変化しないことを前提としていますが、MBSの場合はそうではありません。例えば、金利が低下すると、おそらく期限前償還率が上昇し、MBSのデュレーションも低下します。これは、通常の債券とは全く逆の挙動です。このため、実効デュレーションは、金利感応度を測る最も単純な指標となります。${\displaystyle D_{e}}$は、金利感応度をより正確に表す単一数値の指標であり、

${\displaystyle D_{e}=-{\frac {P\left({y+\delta y}\right)-P\left({y-\delta y}\right)}{2\cdot P\left(y\right)\cdot \delta y}}}$

ここ、${\displaystyle P\left(y\right)}$MBSの利回りは${\displaystyle y}$適切な前払いモデルを用いて計算されます。

実効デュレーションは簡潔ではあるものの、すべての満期におけるイールドカーブの平行移動の影響のみを測定する指標です。非平行イールドカーブのシフト、コンベクシティ、オプション調整スプレッドなど、その他のリスク要因は考慮されていません。しかしながら、多くの運用担当者にとって、実効デュレーションは基本的なリスク指標として十分かもしれません。

MBSの他のリスク要因の特定に関する研究は、事実上ほとんど発表されていない。

利回り曲線の形状変化を詳細に考慮する必要のある運用担当者にとって、金利感応度に関する単一のリスク指標では不十分であり、期間構造全体にわたる変化をより詳細に測定する方法が求められる。

これを実現するための最も一般的な手法の1つは、トーマス・ホー（1992）によって導入されたキーレート・デュレーション（KRD）の使用です。ホーは、イールドカーブ上のいくつかの満期をキーレート・デュレーションと定義しており、その典型的な値は3ヶ月、1、2、3、5、7、10、15、20、25、30年です。各点において、その点のみでの変動に対する金利の感応度を測定するデュレーションを定義し、他の満期におけるデュレーションの影響は、隣接する点に向かって直線的に減少します。

言い換えれば、キーレートデュレーションは、特定の満期に局在し、その満期のすぐ近傍に限定されたイールドカーブの変化の影響を測定するものであり、通常は、その変化が近傍の点で直線的にゼロに減少することによって示される。

もちろん、イールドカーブがこのように動く可能性は極めて低い。実際のイールドカーブの変化は、このような鋸歯状関数の和としてモデル化できるという考え方である。各キーレートデュレーションにおいて、カーブの利回りの変化がわかっているので、この変化をKRDと組み合わせてポートフォリオの全体的な価値の変化を計算できる。言い換えれば、

${\displaystyle \delta r_{yield}=\sum \limits _{i=1}^{m}{KRD_{i}\cdot \delta y_{i}}}$

ここで、合計値はすべての主要金利満期にわたるものです。

金融商品の主要金利デュレーションの合計は、その商品の修正デュレーションとほぼ等しくなります。ただし、修正デュレーションはフラットな利回り曲線を前提としているため、この合計は必ずしも正確ではありません。実際には、フラットな利回り曲線はめったに存在しないからです。

このアプローチは、シフト、ツイスト、曲率の各成分への以前の分解と容易に組み合わせることができ、これらのイールドカーブの動きの種類による価格変動を算出できます。たとえば、各キーレート満期におけるイールドカーブの傾斜度合いがわかっているとします。すると、国債利回り曲線の傾斜によるMBSのリターンは次のように表されます。

${\displaystyle \delta r_{yield}^{steepening}=\sum \limits _{i=1}^{m}{KRD_{i}\cdot \delta y_{i}^{steepening}}}$

MBSは、通常の債券で使用されるリスク要因よりもはるかに多くのリスク要因を有しており、アトリビューションスキームではそれらすべてをモデル化する必要があります。それらには以下が含まれます。

• オプション調整後のスプレッド、つまり、住宅ローン返済オプションを補償するために証券保有者が要求する追加利回り。
• 現行クーポン利回り
• 変動性
• 凸性
• 運搬コスト

MBSリターンの変動を説明する上で、これらの要因はすべて重要となり得るものの、実際には、特定のユーザーが選択できるのは一部のみとなる場合がある。その理由は、変動分析には各要因のリスク感度数値が必要となるが、場合によってはこれらの数値が入手できないことがあるためである。このように計算されていないリスクによるリターンは、アトリビューションレポートにおいて「その他」のカテゴリに分類される可能性がある。