ギルサノフの定理

確率論において、 ギルサノフの定理またはキャメロン・マーティン・ギルサノフの定理は、測度の変化によって確率過程がどのように変化するかを説明します。この定理は、原資産（株価や金利など）が特定の値を取る確率を表す物理的測度を、原資産のデリバティブの価値を評価するのに非常に役立つツールであるリスク中立測度に変換する方法を説明するため、金融数学の理論において特に重要です。

このタイプの結果は、1940 年代に Cameron-Martin によって、 1960 年にIgor Girsanovによって初めて証明されました。その後、より一般的なクラスのプロセスに拡張され、最終的に Lenglart (1977) の一般的な形式に至りました。

ギルサノフの定理は、 Q がPに関して絶対連続な測度である場合、すべてのP半マルチンゲールはQ 半マルチンゲールであるという重要な結果を可能にするため、確率過程の一般理論において重要です。

まず、基礎となる確率過程がウィーナー過程である特殊なケースについて定理を述べる。この特殊なケースは、ブラック・ショールズ・モデルにおけるリスク中立的な価格設定には十分である。

をウィーナー確率空間上のウィーナー過程とする。 をウィーナー過程の自然な濾過に適合させた測定可能な過程とする。通常の条件が満たされていると仮定する。 ${\displaystyle \{W_{t}\}}$${\displaystyle \{\Omega ,{\mathcal {F}},P\}}$${\displaystyle X_{t}}$${\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{t}^{W}\}}$

適応されたプロセスが定義される ${\displaystyle X_{t}}$

${\displaystyle Z_{t}={\mathcal {E}}(X)_{t},\,}$

ここで、XのWに関する確率指数、すなわち ${\displaystyle {\mathcal {E}}(X)}$

${\displaystyle {\mathcal {E}}(X)_{t}=\exp \left(X_{t}-{\frac {1}{2}}[X]_{t}\right),}$

プロセスXの2次変化を表します。 ${\displaystyle [X]_{t}}$

がマルチンゲールならば、確率測度Qはラドン・ニコディム微分${\displaystyle Z_{t}}$${\displaystyle \{\Omega ,{\mathcal {F}}\}}$

${\displaystyle \left.{\frac {dQ}{dP}}\right|_{{\mathcal {F}}_{t}}=Z_{t}={\mathcal {E}}(X)_{t}}$

すると、各tについて、非拡張シグマ体に制限された測度Qは、 Pに制限されたもの と等価である。${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}^{o}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}^{o}.\,}$

さらに、がPの下で局所マルチンゲールである場合、プロセス ${\displaystyle Y_{t}}$

${\displaystyle {\tilde {Y}}_{t}=Y_{t}-\left[Y,X\right]_{t}}$

は、フィルタリングされた確率空間上のQローカルマルチンゲールです。 ${\displaystyle \{\Omega ,F,Q,\{{\mathcal {F}}_{t}^{W}\}\}}$

Xが連続過程であり、Wが測度Pのもと でのブラウン運動である場合、

${\displaystyle {\tilde {W}}_{t}=W_{t}-\left[W,X\right]_{t}}$

はQによるブラウン運動です。

が連続であることは自明である。ギルサノフの定理によればQ局所マルチンゲールであり、計算によって ${\displaystyle {\チルダ {W}}_{t}}$

${\displaystyle \left[{\tilde {W}}\right]_{t}=\left[W\right]_{t}=t}$

レヴィのブラウン運動の特徴づけによれば、これはQブラウン運動であることがわかります。

多くの一般的なアプリケーションでは、プロセスXは次のように定義されます。

${\displaystyle X_{t}=\int _{0}^{t}Y_{s}\,dW_{s}.}$

この形のXに対して、マルチンゲールとなるための必要十分条件はノビコフの条件であり、 ${\displaystyle {\mathcal {E}}(X)}$

${\displaystyle E_{P}\left[\exp \left({\frac {1}{2}}\int _{0}^{T}Y_{s}^{2}\,ds\right)\right]<\infty .}$

確率指数関数は確率微分方程式を解く 過程Zである。${\displaystyle {\mathcal {E}}(X)}$

${\displaystyle Z_{t}=1+\int _{0}^{t}Z_{s}\,dX_{s}.\,}$

上記で構築した測度Q は、 上のPと同等ではありません。これは、ラドン・ニコディム導関数が一様積分マルチンゲールである場合にのみ当てはまるためですが、上記で説明した指数マルチンゲールはそうではありません。一方、ノビコフの条件が満たされている限り、測度は 上で同等です。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\infty }}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{T}}$

さらに、このケースで上記の観察を組み合わせると、プロセスが

${\displaystyle {\tilde {W}}_{t}=W_{t}-\int _{0}^{t}Y_{s}ds}$

はQ ブラウン運動です。これは Igor Girsanov による上記の定理のオリジナルの定式化です。 ${\displaystyle t\in [0,T]}$

この定理は、ブラック・ショールズモデルにおいて、唯一のリスク中立尺度、すなわちデリバティブの公正価値が割引期待値Qとなる尺度が次のように指定されることを示すために使用できる。

${\displaystyle {\frac {dQ}{dP}}={\mathcal {E}}\left(\int _{0}^{t}{\frac {r_{s}-\mu _{s}}{\sigma _{s}}}\,dW_{s}\right).}$

この定理のもう一つの応用は、イゴール・ギルサノフの原著論文にも示されているように、確率微分方程式に対するものである。具体的には、次の式を考える。

${\displaystyle dX_{t}=\mu (t,X_{t})dt+dW_{t},}$

ここで はブラウン運動を表す。ここでと は固定された決定論的関数である。この方程式は 上で唯一の強い解を持つと仮定する。 この場合、ギルサノフの定理は の関数をブラウン運動の関連関数に関して直接計算するために使用できる。より具体的には、連続関数上の任意の有界関数に対して${\displaystyle W_{t}}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle [0,T]}$${\displaystyle X_{t}}$${\displaystyle \Phi}$${\displaystyle C([0,T])}$

${\displaystyle E\Phi (X)=E\left[\Phi (W)\exp \left(\int _{0}^{T}\mu (s,W_{s})dW_{s}-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{T}\mu (s,W_{s})^{2}ds\right)\right].}$

これはギルサノフの定理と上記の観察をマルチンゲール過程に適用することで導かれる。

${\displaystyle Y_{t}=\int _{0}^{t}\mu (s,W_{s})dW_{s}.}$

特に、上記の表記法では、プロセス

${\displaystyle {\tilde {W}}_{t}=W_{t}-\int _{0}^{t}\mu (s,W_{s})ds}$

はQブラウン運動である。これを微分形式で書き直すと

${\displaystyle dW_{t}=d{\tilde {W}}_{t}+\mu (t,W_{t})dt,}$

Q の下での の法則はを定義する方程式を解き、 はQ ブラウン運動であることがわかります。特に、右辺は と書くことができ、ここで Q は過程 Y に関して取られた測度であるため、結果はまさにギルサノフの定理の記述であることがわかります。 ${\displaystyle W_{t}}$${\displaystyle X_{t}}$${\displaystyle {\チルダ {W}}_{t}}$${\displaystyle E_{Q}[\ファイ (W)]}$

この応用のより一般的な形は、

${\displaystyle dX_{t}=\mu (X_{t},t)dt+\sigma (X_{t},t)dW_{t},}$ ${\displaystyle dY_{t}=(\mu (Y_{t},t)+\nu (Y_{t},t))dt+\sigma (Y_{t},t)dW_{t},}$

上の一意な強解が許されるならば、 上の任意の有界汎関数に対して 、 ${\displaystyle [0,T]}$${\displaystyle C([0,T])}$

${\displaystyle E\Phi (X)=E\left[\Phi (Y)\exp \left(-\int _{0}^{T}{\frac {\nu (Y_{s},s)}{\sigma (Y_{s},s)}}dW_{s}-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{T}{\frac {\nu (Y_{s},s)^{2}}{\sigma (Y_{s},s)^{2}}}ds\right)\right].}$

• キャメロン・マーティン定理 – ヒルベルト空間上のガウス測度（ウィーナー測度）の変換を定義する定理。

• Liptser, Robert S.; Shiriaev, AN (2001).ランダムプロセスの統計(第 2 版、改訂および拡張版). Springer. ISBN 3-540-63929-2。
• Dellacherie, C.; Meyer, P.-A. (1982). 「スーパーマルチンゲールの分解、応用」。確率と潜在力。第 B 巻。Wilson, JP North-Holland 訳。pp. 183–308。ISBN 0-444-86526-8。
• レングラート、E. (1977)。 「絶対継続確率によるマルチンゲール ロケールの変換」。Zeitschrift für Wahrscheinlichkeit (フランス語)。39：65～70。土井: 10.1007/BF01844873。

• ギルサノフの定理の簡単な概要証明を含む確率微積分に関するノート。