安定分布

確率論では、分布が安定であるとは、その分布を持つ2 つの独立な確率変数の線形結合が、位置パラメータと尺度パラメータを除いて同じ分布を持つ場合をいう。確率変数は、その分布が安定している場合に安定であると言われる。安定分布族は、それを最初に研究した数学者ポール・レヴィにちなんで、レヴィ α 安定分布と呼ばれることもある。 ^{[ 1 ] [ 2 ]}

ファミリーを定義する 4 つのパラメータのうち、最も注目されているのは安定性パラメータです。${\displaystyle \alpha }$（パネルを参照）。安定分布は${\displaystyle 0<\alpha \leq 2}$、上限は正規分布に対応し、極限ではディラックのデルタ関数に近づく。${\displaystyle \alpha \rightarrow 0}$分布の分散は未定義です。${\displaystyle \alpha <2}$、および定義されていない平均値$\alpha \leq 1$。

安定確率分布の重要性は、それらが独立同分布（iid ）確率変数の適切な正規化和の「アトラクター」となる点にある。正規分布は安定分布の族を定義する。古典的な中心極限定理によれば、それぞれが有限分散を持つ一連の確率変数の適切な正規化和は、変数の数が増えるにつれて正規分布に近づく。有限分散の仮定がない場合、極限は正規分布ではない安定分布となる可能性がある。マンデルブロは、ヴィルフレド・パレートにちなんで、このような分布を「安定パレート分布」と呼んだ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}。特に、彼は正の方向に最大に歪んだ分布を次のように呼んだ。${\displaystyle 1<\alpha <2}$彼はそれを「パレート・レヴィ分布」^{[ 1 ]}と呼び、正規分布よりも株式や商品の価格をよりよく表すものだと考えていた。^{[ 6 ]}

非退化分布は、以下の性質を満たす場合、安定分布である。

正規分布、コーシー分布、レヴィ分布はすべて上記の性質を持つため、これらは安定分布の特殊なケースであることがわかる。

このような分布は、位置パラメータμと尺度パラメータc、および2つの形状パラメータによってそれぞれパラメータ化された、4パラメータの連続確率分布族を形成する。${\displaystyle \beta }$そして${\displaystyle \alpha }$これらはそれぞれ、非対称性と集中度の尺度にほぼ相当する（図を参照）。

特性関数${\displaystyle \varphi }$密度関数を持つ確率分布${\displaystyle f}$はフーリエ変換である${\displaystyle f.}$密度関数は、特性関数の逆フーリエ変換である。^{[ 8 ]}$${\displaystyle \varphi (t)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{ixt}\,dx.}$$

一般的な安定分布の確率密度関数は解析的に記述することはできませんが、一般的な特性関数は解析的に表現できます。確率変数X は、その特性関数が次のように記述できる場合に安定であると呼ばれます^{[ 7 ] [ 9 ]}$${\displaystyle \varphi (t;\alpha ,\beta ,c,\mu )=\exp \left(it\mu -|ct|^{\alpha }\left(1-i\beta \operatorname {sgn}(t)\Phi \right)\right)}$$ ここで、sgn( t )はtの符号であり、 $${\displaystyle \Phi ={\begin{cases}\tan \left({\frac {\pi \alpha }{2}}\right)&\alpha \neq 1\\-{\frac {2}{\pi }}\log |t|&\alpha =1\end{cases}}}$$μ ∈ R はシフトパラメータであり、${\displaystyle \beta \in [-1,1]}$は、歪度パラメータと呼ばれ、非対称性の尺度です。この文脈では、通常の歪度は明確に定義されていないことに注意してください。${\displaystyle \alpha <2}$この分布は2次以上のモーメントを許容せず、通常の歪度の定義は3次中心モーメントです。

これが安定分布となる理由は、2 つの独立な確率変数の和の特性関数が、対応する 2 つの特性関数の積に等しいからです。安定分布から 2 つの確率変数を加えると、同じ値を持つものが得られます。${\displaystyle \alpha }$そして${\displaystyle \beta }$ただし、μとcの値は異なる可能性がある。

すべての関数が正当な確率分布（つまり、累積分布関数が実数で、減少することなく0から1まで変化する分布）の特性関数であるとは限りませんが、上記の特性関数は、パラメータがそれぞれの範囲内にある限り正当なものとなります。ある値tにおける特性関数の値は、 −tにおける値の複素共役であり、確率分布関数が実数となるためには、この複素共役が成り立つ必要があります。

最も単純なケースでは${\displaystyle \beta =0}$特性関数は単に引き伸ばされた指数関数であり、分布はμに関して対称であり、(レヴィ)対称アルファ安定分布と呼ばれ、しばしばSαSと略される。

いつ${\displaystyle \alpha <1}$そして${\displaystyle \beta =1}$、分布は [ μ , ∞) 上でサポートされます。

パラメータc > 0 は、分布の幅の尺度となるスケールファクターです。${\displaystyle \alpha }$は分布の指数またはインデックスであり、分布の漸近的な挙動を指定します。

• 安定分布は無限に分割可能である。
• 安定分布は尖度が高く裾が重い分布であり、正規分布は例外である（${\displaystyle \alpha =2}$)
• 安定分布は畳み込み演算に関して閉じている。

安定分布は、固定値に対して畳み込みに関して閉じている。${\displaystyle \alpha }$畳み込みはフーリエ変換された関数の乗算と等価であるため、同じ特性を持つ 2 つの安定な特性関数の積は${\displaystyle \alpha }$これにより、別の同様の特性関数が得られます。2つの安定な特性関数の積は次のように表されます。 $${\displaystyle \exp \left[it\left(\mu _{1}+\mu _{2}\right)-|c_{1}t|^{\alpha }-|c_{2}t|^{\alpha }+i\left(\beta _{1}|c_{1}t|^{\alpha }+\beta _{2}|c_{2}t|^{\alpha }\right)\operatorname {sgn}(t)\Phi \right]}$$

Φはμ 、c 、または${\displaystyle \beta }$変数から、畳み込み関数のこれらのパラメータは次のように与えられることがわかります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\mu &=\mu _{1}+\mu _{2}\\c&=\left(c_{1}^{\alpha }+c_{2}^{\alpha }\right)^{\frac {1}{\alpha }}\\[6pt]\beta &={\frac {\beta _{1}c_{1}^{\alpha }+\beta _{2}c_{2}^{\alpha }}{c_{1}^{\alpha }+c_{2}^{\alpha }}}\end{aligned}}}$$

いずれの場合も、得られたパラメータは安定した分布に必要な区間内に収まることが示される。

一般化中心極限定理（GCLT）は、1920年から1937年にかけて、 複数の数学者（ベルンシュタイン、リンデベルク、レヴィ、フェラー、コルモゴロフなど）の努力によって達成されました。 ^{[ 12 ]} GCLTの最初の完全な証明（フランス語）は、1937年にポール・レヴィによって発表されました。^{[ 13 ]} GCLTの完全な証明の英語版は、グネデンコとコルモゴロフの1954年の著書 の翻訳で入手できます。 ^{[ 14 ]}

GCLTの声明は以下のとおりです。^{[ 10 ]}

言い換えれば、独立で同一の分布に従う確率変数の和が、ある分布Zに収束する場合、Zは安定分布でなければならない。

f ( x )の形式には一般的な解析解はありません。ただし、特性関数を調べるとわかるように、基本関数で表現できる 3 つの特殊なケースがあります。^{[ 7 ] [ 9 ] [ 15 ]}

• のために${\displaystyle \alpha =2}$分布は^分散σ² = 2c²、平均 μ のガウス分布に帰着^する。歪度パラメータ${\displaystyle \beta }$効果がない。
• のために${\displaystyle \alpha =1}$そして${\displaystyle \beta =0}$この分布は、スケールパラメータcとシフトパラメータμを持つコーシー分布に帰着する。
• のために${\displaystyle \alpha =1/2}$そして${\displaystyle \beta =1}$この分布は、スケールパラメータcとシフトパラメータμを持つレヴィ分布に帰着する。

上記の 3 つの分布は、次の方法でも関連していることに注意してください。標準コーシー確率変数は、分散が標準レヴィ分布から抽出されたガウス確率変数 (すべて平均がゼロ) の混合として見ることができます。そして実際、これは、任意の対称アルファ安定分布をこのように見ることができるより一般的な定理 ( ^{[ 16 ]} の 59ページを参照) の特殊なケースです (混合分布のアルファパラメータは混合分布のアルファパラメータの 2 倍に等しく、混合分布のベータパラメータは常に 1 に等しくなります)。

有理値を持つ安定な PDF の一般的な閉形式表現${\displaystyle \alpha }$Meijer G 関数で表すことができます。^{[ 17 ]} Fox H 関数も安定確率密度関数を表すために使用できます。単純な有理数の場合、閉形式の表現は、より単純な特殊関数で表されることがよくあります。特殊関数で表すとかなり単純な表現になる閉形式の表現がいくつかあります。下の表では、基本関数で表現できる PDF は E で示され、特殊関数で表現できる PDF はsで示されています。^{[ 16 ]}

特殊なケースの中には、特定の名称で知られているものもある。

• のために${\displaystyle \alpha =1}$そして${\displaystyle \beta =1}$この分布はランダウ分布（L）であり、物理学ではこの名前で特定の用途があります。
• のために${\displaystyle \alpha =3/2}$そして${\displaystyle \beta =0}$この分布は、スケールパラメータcとシフトパラメータμを持つホルツマーク分布に帰着する。

また、 c がゼロに近づく極限、または α がゼロに近づく極限では、分布はディラックのデルタ関数δ ( x  − μ ) に近づきます。

安定分布は、より単純な積分の実部として言い換えることができる。^{[ 18 ]}$${\displaystyle f(x;\alpha ,\beta ,c,\mu )={\frac {1}{\pi }}\Re \left[\int _{0}^{\infty }e^{it(x-\mu )}e^{-(ct)^{\alpha }(1-i\beta \Phi )}\,dt\right].}$$

2番目の指数関数をテイラー級数で表すと、次のようになります。 $${\displaystyle f(x;\alpha ,\beta ,c,\mu )={\frac {1}{\pi }}\Re \left[\int _{0}^{\infty }e^{it(x-\mu )}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-qt^{\alpha })^{n}}{n!}}\,dt\right]}$$ どこ${\displaystyle q=c^{\alpha }(1-i\beta \Phi )}$積分と総和の順序を逆にして積分を実行すると、次の式が得られます。 $${\displaystyle f(x;\alpha ,\beta ,c,\mu )={\frac {1}{\pi }}\Re \left[\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-q)^{n}}{n!}}\left({\frac {i}{x-\mu }}\right)^{\alpha n+1}\Gamma (\alpha n+1)\right]}$$これはx  ≠ μ の場合に有効であり、適切なパラメータ値に対して収束します。（したがって、x − μのデルタ関数となるn = 0 の項は省略されています。）最初の指数関数を級数として表現すると、x − μの正のべき乗の別の級数が得られますが、これは一般的にあまり有用ではありません。       

片側安定分布の場合、上記の級数展開は修正する必要がある。${\displaystyle q=\exp(-i\alpha \pi /2)}$そして${\displaystyle qi^{\alpha }=1}$実数部を合計する必要はありません。代わりに、特性関数の積分を負の軸上で実行する必要があります。これにより、次の式が得られます。^{[ 19 ] [ 20 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}L_{\alpha }(x)&={\frac {1}{\pi }}\Re \left[\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-q)^{n}}{n!}}\left({\frac {-i}{x}}\right)^{\alpha n+1}\Gamma (\alpha n+1)\right]\\[1ex]&={\frac {1}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {-\sin(n(\alpha +1)\pi )}{n!}}\left({\frac {1}{x}}\right)^{\alpha n+1}\Gamma (\alpha n+1)\end{aligned}}}$$

正規性検定とそれに続くパラメータ推定に加えて、分位数に基づく一般的な方法がマカロックによって開発され、対称安定分布と歪安定分布の両方に適用でき、安定性パラメータも適用できる。${\displaystyle 0.5<\alpha \leq 2}$[ ^{21 ]​}

逆関数には解析的な表現はありません${\displaystyle F^{-1}(x)}$CDFも${\displaystyle F(x)}$それ自体が安定分布変数を生成するために反転法を使用することはできません。^{[ 11 ]}棄却法などの他の標準的なアプローチでは面倒な計算が必要になります。Chambers、Mallows、およびStuck（CMS）^{[ 22 ]は、ある積分公式[ 23 ]}が次のアルゴリズムをもたらすことに気付き、エレガントで効率的な解決策を提案しました。 ^{[ 24 ]}

• 乱数を生成する${\displaystyle U}$均一に分布${\displaystyle \left(-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right)}$そして独立した指数分布に従う確率変数${\displaystyle W}$平均値1。
• のために${\displaystyle \alpha \neq 1}$計算する:$${\displaystyle X=\left(1+\zeta ^{2}\right)^{\frac {1}{2\alpha }}{\frac {\sin(\alpha (U+\xi ))}{(\cos(U))^{\frac {1}{\alpha }}}}\left({\frac {\cos(U-\alpha (U+\xi ))}{W}}\right)^{\frac {1-\alpha }{\alpha }},}$$
• のために${\displaystyle \alpha =1}$計算する:$${\displaystyle X={\frac {1}{\xi }}\left\{\left({\frac {\pi }{2}}+\beta U\right)\tan U-\beta \log \left({\frac {{\frac {\pi }{2}}W\cos U}{{\frac {\pi }{2}}+\beta U}}\right)\right\},}$$どこ$${\displaystyle \zeta =-\beta \tan {\frac {\pi \alpha }{2}},\qquad \xi ={\begin{cases}{\frac {1}{\alpha }}\arctan(-\zeta )&\alpha \neq 1\\{\frac {\pi }{2}}&\alpha =1\end{cases}}}$$

このアルゴリズムは乱数を生成する${\displaystyle X\sim S_{\alpha }(\beta ,1,0)}$^{詳細な証明については、 [ 25 ]}を参照のこと。

パラメータの許容値すべてに対して安定したランダム変数をシミュレートする${\displaystyle \alpha }$、${\displaystyle c}$、${\displaystyle \beta }$そして${\displaystyle \mu }$次のプロパティを使用します:${\displaystyle X\sim S_{\alpha }(\beta ,1,0)}$それから $${\displaystyle Y={\begin{cases}cX+\mu &\alpha \neq 1\\cX+\mu +{\frac {2}{\pi }}\beta c\log c&\alpha =1\end{cases}}}$$ は${\displaystyle S_{\alpha }(\beta ,c,\mu )}$。 のために${\displaystyle \alpha =2}$（そして${\displaystyle \beta =0}$CMS法は、ガウス乱数を生成するためのよく知られたボックス・ミュラー変換に帰着します。 ^{[ 26 ]}文献では、ベルグストローム^{[ 27 ]}やルページ^{[ 28 ]}級数展開の適用など、他のアプローチが提案されていますが、CMS法は最も高速かつ最も正確であると考えられています。

安定分布が理論的にも実践的にも重要視されるようになったのは、中心極限定理を2次（場合によっては1次）モーメントを持たない確率変数に一般化したことと、安定分布族の自己相似性によるものです。金融データに対する自己相似モデル（つまり、年間資産価格変動の分布の形状は、構成要素である日々または月間の価格変動の形状に似ているべきである）への要求とと​​もに、正規分布からの明らかな逸脱が、ブノワ・マンデルブロに綿花価格がα安定分布に従うという提案をさせるに至りました。${\displaystyle \alpha }$1.7に等しい。^{[ 6 ]}レヴィ分布は、重要な行動や財務データの分析でよく見られる。^{[ 9 ] [ 29 ]}

これらは分光法においても準静的圧力広がりスペクトル線の一般的な表現として見られる。^{[ 18 ]}

2001 年 12 月にCGRO BATSE の硬 X 線太陽フレアについて、太陽フレア待機時間イベント (フレアイベント間の時間) のレヴィ分布が実証されました。レヴィ統計シグネチャの分析により、2 つの異なるメモリシグネチャが明らかになりました。1 つは太陽活動周期に関連しており、もう 1 つは局所的または局所的な太陽活動領域効果の組み合わせに関連しているようです。^{[ 30 ]}

解析的に表現可能な安定分布の事例は数多く知られている。安定分布を次のように表す。${\displaystyle f(x;\alpha ,\beta ,c,\mu )}$、 それから：

• コーシー分布は次のように表される。${\displaystyle f(x;1,0,1,0).}$
• レヴィ分布は次のように表される。${\displaystyle f(x;{\tfrac {1}{2}},1,1,0).}$
• 正規分布は次のように表される。${\displaystyle f(x;2,0,1,0).}$
• させて${\displaystyle S_{\mu ,\nu }(z)}$がロンメル関数である場合、次のようになります。^{[ 31 ]}$${\displaystyle f{\left(x;{\tfrac {1}{3}},0,1,0\right)}=\Re \left({\frac {2e^{-{\frac {i\pi }{4}}}}{3{\sqrt {3}}\pi }}{\frac {1}{\sqrt {x^{3}}}}S_{0,{\frac {1}{3}}}{\left({\frac {2e^{\frac {i\pi }{4}}}{3{\sqrt {3}}}}{\frac {1}{\sqrt {x}}}\right)}\right)}$$
• させて${\displaystyle S(x)}$そして${\displaystyle C(x)}$フレネル積分を とすると、次のようになる。^{[ 32 ]}$${\displaystyle f{\left(x;{\tfrac {1}{2}},0,1,0\right)}=\left({\tfrac {1}{2\pi \left|x\right|^{3}}}\right)^{1/2}\left(\sin \left({\tfrac {1}{4|x|}}\right)\left[{\tfrac {1}{2}}-S{\left({\tfrac {1}{\sqrt {2\pi |x|}}}\right)}\right]+\cos \left({\tfrac {1}{4|x|}}\right)\left[{\tfrac {1}{2}}-C{\left({\tfrac {1}{\sqrt {2\pi |x|}}}\right)}\right]\right)}$$
• させて${\displaystyle K_{v}(x)}$を第2種変形ベッセル関数とすると、次のようになる。 ^{[ 32 ]}$${\displaystyle f{\left(x;{\tfrac {1}{3}},1,1,0\right)}={\frac {2^{\frac {5}{2}}}{3^{\frac {7}{4}}\pi }}{\frac {1}{\sqrt {x^{3}}}}K_{\frac {1}{3}}{\left({\frac {2^{\frac {5}{2}}}{3^{\frac {9}{4}}}}{\frac {1}{\sqrt {x}}}\right)}}$$
• させて${\displaystyle {}_{m}F_{n}}$超幾何関数を とすると、次のようになる。^{[ 31 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}f{\left(x;{\tfrac {4}{3}},0,1,0\right)}&={\frac {3^{\frac {5}{4}}}{2^{\frac {5}{2}}\pi ^{\frac {1}{2}}}}{\frac {\Gamma {\left({\tfrac {7}{12}}\right)}\,\Gamma {\left({\tfrac {11}{12}}\right)}}{\Gamma {\left({\tfrac {6}{12}}\right)}\,\Gamma {\left({\tfrac {8}{12}}\right)}}}\;{}_{2}F_{2}{\left({\tfrac {7}{12}},{\tfrac {11}{12}};{\tfrac {6}{12}},{\tfrac {8}{12}};{\tfrac {3^{3}x^{4}}{4^{4}}}\right)}\\[2pt]&\quad -{\frac {3^{\frac {11}{4}}x^{3}}{2^{\frac {13}{2}}\pi ^{\frac {1}{2}}}}{\frac {\Gamma {\left({\tfrac {13}{12}}\right)}\,\Gamma {\left({\tfrac {17}{12}}\right)}}{\Gamma {\left({\tfrac {18}{12}}\right)}\,\Gamma {\left({\tfrac {15}{12}}\right)}}}\;{}_{2}F_{2}{\left({\tfrac {13}{12}},{\tfrac {17}{12}};{\tfrac {18}{12}},{\tfrac {15}{12}};{\tfrac {3^{3}x^{4}}{4^{4}}}\right)}\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}f{\left(x;{\tfrac {3}{2}},0,1,0\right)}&={\frac {\Gamma {\left({\tfrac {5}{3}}\right)}}{\pi }}{}_{2}F_{3}{\left({\tfrac {5}{12}},{\tfrac {11}{12}};{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {5}{6}};-{\tfrac {2^{2}x^{6}}{3^{6}}}\right)}\\[2pt]&\quad -{\frac {x^{2}}{3\pi }}\,{}_{3}F_{4}{\left({\tfrac {3}{4}},1,{\tfrac {5}{4}};{\tfrac {2}{3}},{\tfrac {5}{6}},{\tfrac {7}{6}},{\tfrac {4}{3}};-{\tfrac {2^{2}x^{6}}{3^{6}}}\right)}\\[2pt]&\quad +{\frac {7x^{4}\Gamma {\left({\tfrac {4}{3}}\right)}}{3^{4}\pi ^{2}}}{}_{2}F_{3}{\left({\tfrac {13}{12}},{\tfrac {19}{12}};{\tfrac {7}{6}},{\tfrac {3}{2}},{\tfrac {5}{3}};-{\tfrac {2^{2}x^{6}}{3^{6}}}\right)}\end{aligned}}}$$後者はホルツマーク分布である。
• させて${\displaystyle W_{k,\mu }(z)}$がウィテカー関数である場合、次のようになります。^{[ 33 ] [ 34 ] [ 35 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}f\left(x;{\tfrac {2}{3}},0,1,0\right)&={\frac {\sqrt {3}}{6{\sqrt {\pi }}|x|}}\exp \left({\tfrac {2}{27}}x^{-2}\right)W_{-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{6}}}\left({\tfrac {4}{27}}x^{-2}\right)\\[8pt]f\left(x;{\tfrac {2}{3}},1,1,0\right)&={\frac {\sqrt {3}}{{\sqrt {\pi }}|x|}}\exp \left(-{\tfrac {16}{27}}x^{-2}\right)W_{{\frac {1}{2}},{\frac {1}{6}}}\left({\tfrac {32}{27}}x^{-2}\right)\\[8pt]f\left(x;{\tfrac {3}{2}},1,1,0\right)&={\begin{cases}{\frac {\sqrt {3}}{{\sqrt {\pi }}|x|}}\exp \left({\frac {1}{27}}x^{3}\right)W_{{\frac {1}{2}},{\frac {1}{6}}}\left(-{\frac {2}{27}}x^{3}\right)&x<0\\{}\\{\frac {\sqrt {3}}{6{\sqrt {\pi }}|x|}}\exp \left({\frac {1}{27}}x^{3}\right)W_{-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{6}}}\left({\frac {2}{27}}x^{3}\right)&x\geq 0\end{cases}}\end{aligned}}}$$

• レヴィの飛行
• レヴィ過程
• その他の「べき乗則」分布
  • パレート分布
  • ゼータ分布
  • ジップ分布
  • ジップ・マンデルブロ分布
• ロングテール分布とボラティリティクラスタリングを用いた金融モデル
• 多変量安定分布
• 離散安定分布

• Windows 用の STABLE プログラムは、John Nolan 氏の安定版ウェブページ ( http://www.robustanalysis.com/public/stable.html ) から入手できます。このプログラムは、一般的な安定分布の確率密度関数 (pdf)、累積分布関数 (cdf)、および分位数を計算し、安定分布のパラメータの最尤推定と、データセットの適合性を評価するためのいくつかの探索的データ分析手法を実行します。
• C言語で書かれたGNU科学ライブラリにはrandistというパッケージがあり、ガウス分布やコーシー分布に加えて、歪度パラメータの有無両方のレヴィα安定分布の実装も含まれています。
• libstableは、安定分布のpdf、cdf、乱数、分位数、およびフィッティング関数をC言語で実装したものです（ベンチマーク複製パッケージとRパッケージも含まれています）。
• Diethelm Wuertz、Martin Maechler、およびRmetricsコアチームメンバーによるRパッケージ「stabledist」。安定密度、確率、分位数、および乱数を計算します。
• Pythonによる実装は、 SciPyパッケージ内のscipy.stats.levy_stableにあります。
• Julia には、安定分布の生成、適合、確率密度、累積分布関数、特性およびモーメント生成関数、分位関数および関連関数、畳み込みおよびアフィン変換のメソッドを備えたパッケージStableDistributions.jlが用意されています。これは、John P. Nolan によって改良された最新のアルゴリズムを使用しています。^{[ 10 ]}